Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 2021 các trường chuyên trên toàn quốc

Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC 2020-2021 Phần 1: Tuyển tập đề thi toàn quốc (từ trang đến trang 75) Phần 2: Phân loại theo chủ đề • Chủ đề 1: Căn bậc hai toán liên quan trang 71 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu • Chủ đề 2:Hàm số tốn liên quan trang 82 • Chủ đề 3:Phương trình trang 85 • Chủ đề 4: Hệ phương trình trang 92 • Chủ đề 5: Bất đẳng thức trang 96 • Chủ đề 6: Giải toán cách lập pt, hệ pt trang 103 • Chủ đề 7: Số học- đa thức trang 104 • Chủ đề 8:Hình học trang 113 Ngày 28/7/2020 Vũ Ngọc Thành Bản Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUN KHTN Mơn: Tốn chung Thời gian: 120 phút, khơng kể phát đề Giải hệ phương trình x2 + y + xy = 9x3 = xy + 70(x − y) Giải phương trình √ √ 11 − x + 2x − = 24 + (5 − x)(2x − 1) Bài Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x2 y − 16xy + 99 = 9x2 + 36y + 13x + 26y Với a, b số thực dương thỏa mãn ≤ 2a + 3b ≤ 5, 8a + 12b ≤ 2a2 + 3b2 + 5ab + 10 Chứng minh 3a2 + 8b2 + 10ab ≤ 21 Bài Cho tam giác ABC có BAC góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường tròn (O) Điểm D thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC Lấy điểm M, N thuộc (O) cho đường thẳng CM BN song song với đường thẳng AD Chứng minh AM = AN Gọi giao điểm đường thẳng M N với đường thẳng AC, AB E, F Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM, AN Chứng minh đường thẳng EQ, EP, AD đồng quy Bài Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a(a + bc)2 b(b + ca)2 c(c + ab)2 + + ≥4 b (ab + 2c2 ) c (bc + 2a2 ) a (ca + 2b2 ) —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI CHUN XH VÀ NV 2020-2021 Mơn: Tốn Thời gian: 60 phút, không kể phát đề  x  + 12(x + y) = 31 y Giải hệ phương trình  x +x+y =3 y √ √ Giải phương trình x + + x = + x(x + 3) Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình x2 − 2x − a = với a số thực dương Chứng minh biểu thức M = x31 + x32 + 6x1 x2 số nguyên Bài Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O) M A, M B tiếp tuyến đường tròn (O)(A, B ∈ (O)) Chứng minh tứ giác AM BO nội tiếp Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N không trùng với A, B trung điểm đoạn thẳng AB NA HA ) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng M N Chứng minh = NB HB b a + ≤ Bài Với a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh 1+a + b2 √ + c2 —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUN KHTN NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn vịng II Thời gian: 270 phút, khơng kể phát đề Giải hệ phương trình (x + y)(x + 1) = (y + xy + x + y + 5) (x3 + y + 12y + 13) = 243 Giải phương trình (x − 12)7 + (2x − 12)7 + (24 − 3x)7 = Bài Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a2 + 5b, 4b2 + 5c, 4c2 + 5a bình phương số nguyên dương Từ bốn số thực (a, b, c, d) ta xây dựng số (a + b, b + c, c + d, d + a) liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng (a, −a, a, −a) Bài Cho tam giác ABC cân A với BAC < 90◦ Điểm E thuộc cạnh AC cho AEB > 90◦ Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E lên AP Gọi giao điểm EQ P K F Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn Gọi giao điểm KQ P E L Chứng minh LA vuông góc với LE Gọi giao điểm F L AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BP R tiếp xúc với Bài Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + + −1 a b c +1≥ +3 abc a b c + + bc ca ab —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021 Mơn: Tốn chung Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề 2x − = x2 − 4x + = x + y = 10 x−y =4 Bài Thực phép tính: √ √ √ 64 + 25 − Cho biểu thức: Q = √ với x ≥ 0; x = +√ − x−3 x+3 x−9 (a) Rút gọn biểu thức Q (b) Tính giá trị Q biết x = Bài Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 (P) Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng (d): y = −x + Bài Một ô tô khách dự tính từ thành phố Lai Châu đến huyện Nậm Nhùn thời gian định Sau tơ dừng lại nghỉ 10 phút Do để đến Nậm Nhùn hạn xe phải tăng tốc thêm km/h Tính vận tốc ban đầu tơ biết quãng đường từ thành phố Lai Châu huyện Nậm Nhùn dài 120 km Bài Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE không qua tâm tới đường trịn (B,C hai tiếp điểm; D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Chứng minh AH.AO = AD.AE Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự I K Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB P cắt AC Q Chứng minh rằng: IP + KQ ≥ P Q Bài Cho a, b số không âm thỏa mãn a2 + b2 ≤ 2, tìm giá trị lớn biểu thức: M = a 3b(a + 2b) + b 3a(b + 2a) —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Khơng sử dụng máy tính, giải phương trình hệ phương trình sau: Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUN HƯNG N 2020-2021 Mơn: Tốn chun Thời gian: 180 phút, không kể phát đề 2x + 1 √ −√ x−1 x −1 : 1− x+4 √ x+ x+1 với x ≥ 0, x = 1; x = Rút gọn biểu thức M Tìm giá trị x để biểu thức M nhận giá trị nguyên dương Bài Tìm hàm số bậc có đồ thị đường thẳng với hệ số góc dương qua điểm A(2; 1) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 2 Tìm giá trị m để phương trình 2x2 − (m + 5)x + m + = ( m tham số) có hai nghiệm 17 phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = Bài √ Giải phương trình 5x2 − 2x − − (2x − 1) 5x2 + 2x − = Giải hệ phương trình x x2 − + x2 y + = x + y x2 − y + = Bài Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a M điểm di động đoạn OB (M khác O B ) Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với CD D Đường tròn (I) đường tròn (J) cắt điểm thứ hai N (a) Chứng minh điểm A, N, B, C, D thuộc đường tròn (b) Chứng minh điểm C, M, N thẳng hàng Cho tam giác M N P vuông cân M , M N = a Lấy điểm D thuộc cạnh M N ; điểm E thuộc cạnh N P cho chu vi tam giác N DE 2a Tìm giá trị lớn diện tích tam giác N DE Bài Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12 Chứng minh 1 + + 2020ab ≤ 2021 1+a 1+b —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài M = Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2020-2021 Mơn: Tốn chun Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề thức P = b c a + + = 2020 Tính giá trị biểu b+c c+a a+b a2 b2 e2 + + b+c c+a a+b : (a + b + c) Bài Giải phương trình: √ 2x2 + x + + Giải hệ phương trình: √ 2x2 − x + = x + y − 2xy = 8x2 − 6x + y = x2 + 8x2 − x + Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < CA ) nội tiếp đường tròn (O) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC, CA, AB đồng quy Bài Cho số thực a, b Chứng minh rằng: a2 + b (a − b)2 ≥ ab + 2 a + b2 + 2 Cho hai số dương a, b thoả mãn điều kiện a + ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = 20 b−a+ + a b Bài Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Kẻ đường kính EJ đường tròn (I) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d, BC L, H Chứng minh: E, F, L thẳng hàng JA, JP cắt BC M, K, Chứng minh: M B = M K Bài Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3x − y = —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021 Mơn: Tốn chun Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề : √ x− x √ +√ x− x−2 x−2 Tìm điều kiện x để P xác định rút gọn biểu thức P Tìm x để P = Bài Cho Parabal có phương trình: y = 3x2 (P) đường thẳng có phương trình y = 6x + 2m − (d) Tìm m để parabal (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt Cho phương trình: x2 − 6x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x31 + x32 < 72 Bài Cho (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C hai tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC(IB < IC) Kẻ đường thẳng d vng góc với OI I Đường thẳng d cắt đường thẳng AB, AC E F Chứng minh tứ giác OIBE tứ giác OIF C tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC P Q Tìm vị trí A để diện tích tam giác AP Q nhỏ √ √ √ √ Bài Giải phương trình: 2x2 − + x2 − 3x − = 2x2 + 2x + + x2 − x + Bài Cho a, b, c ba số dương biết a + b + c + ab + bc + ca = 6abc Chứng minh 1 + + ≥ a b c —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Cho biểu thức P = √ √ x+2 x− x−3 √ √ − x+1 x− x−2 Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 TUYỂN SINH CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 Mơn: chun tốn Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề Cho biểu thức P = (x − 2)2 √ Tìm số tự nhiên x lớn có hai chữ số để P có giá trị số x+2 x−1 phương Cho P (x) đa thức có tất hệ số số nguyên thoả mãn P (0) = 21; P (1) = Chứng minh P (x) khơng có nghiệm nguyên Bài Giải phương trình: √ √ √ x + x + = 3x + x+2 Giải hệ phương trình: x2 + xy + x − 12y = 12 xy + 3y − x + 6y = −3 Bài Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R), giả sử B, C cố định A di động đường tròn cho AB < AC AC < BC Đường trung trực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường thẳng trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N Chứng minh OM.ON = R2 Chứng minhrằng bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N CP Q cắt S T , gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy đường tròn cố định A động Bài Giả sử phương trình 2x2 + 2ax + − b = có hai nghiệm nguyên (với a, b tham số) Chứng minh a2 − b2 + số nguyên không chia hết cho Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: bc ac ab + + − T = 3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b ab(a + 2c)(b + 2c) —HẾT— Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021 Mơn: chun Tốn- tin Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề Thu gọn biểu thức: A = (4 + √ √ √ √ 15)( − 3) − 15 Cho phương trình: 2019x2 − (m − 2020)x − 2021 = (m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x21 + 2020 − x22 + 2020 Bài √ Giải phương trình: + x3 = (x2 + 2) Giải hệ phương trình: x3 − x2 y + xy − y = √ xy + 3y − x + − = Bài Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn (20202000 + 1) chia hết cho (n3 + 2018n) Bài Cho hình thoi ABCD có ABC = 60◦ Gọi M điểm đường chéo BD Gọi H, K hình chiếu vng góc M AB, AD N trung điểm đoạn HK Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BD chứa điểm A dựng tam giác BED Chứng minh điểm M, N, E thẳng hàng Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác BAC cắt đường tròn (O) D khác A Gọi M trung điểm AD E điểm đối xứng với D qua tâm O Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đường thẳng AC điểm F khác A (a) Chứng minh BM.BC = BF.BD (b) Chứng minh EF ⊥ AC Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + yz y + zx z + xy + + y+z z+x x+y —HẾT— 10 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Đường thẳng AO qua trung điểm đoạn BC Bài 377 (TS chuyên Đà Nẵng 2020-2021) Cho tam giác ABC nhọn (AB = AC), nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường phân giác AD (D ∈ BC) tam giác Lấy điểm E đối xứng với D qua trung điểm đoạn BC Đường thẳng vng góc với BC D cắt AO H, đường thẳng vng góc với BC E cắt AD K Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp Bài 378 (TS chuyên Đăk Lăk 2020-2021) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu vng góc H lên AB, AC Đường thẳng DE cắt tia CB M Đường thẳng M A cắt đường trịn đường kính AH I ( I khác A ) Các đường thẳng BI AC cắt N Chứng minh rằng: Các tứ giác ADHE vàBCED nội tiếp đường tròn ∆M BI đồng dạng với ∆M AC ∆N AI đồng dạng với ∆N BC Bài 379 (TS chuyên Đăk Nông 2020-2021) Cho đường trịn (O; R) Một đường thẳng d khơng qua tâm O cắt đường tròn hai điểm A B, tia đối tia AB lấy điểm M Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến M C M D với đường tròn (O) (C; D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh bốn điểm M, D, O, H nằm đường tròn Đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) I Chứng minh điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác M CD Vẽ đường thẳng qua điểm O vng góc với đoạn thẳng OM cắt tia M C, M D theo thứ tự hai điểm P Q Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho diện tích tam giác M P Q nhỏ Bài 380 (TS chuyên Đồng Nai 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có hai đường cao BE, CF cắt trực tâm H, biết AB < AC Gọi L giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A (O) Gọi K giao điểm hai đường thẳng BC EF Gọi M, N trung điểm hai đoạn thẳng BC, EF Chứng minh tứ giác ALM O nội tiếp đường tròn Gọi D giao điểm (O) với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ALM O , D khác A Chứng minh LD tiếp tuyến (O) Chứng minh M H vuông góc với AK, suy KH vng góc với AM Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng Bài 381 (TS chuyên Gia Lai 2020-2021) Cho đường trịn tâm O , đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm đoạn thẳng OA , qua C kẻ dây cung M N vng góc với OA Gọi K điểm tùy cung nhỏ BM ( K không trùng với B M ), H giao điểm AK M N Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp đường tròn 115 Vũ Ngọc Thành M B.M C + N A.N C = M N Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Chứng minh AK.AH = R2 Trên đoạn thẳng KN lấy điểm I cho KI = KM Chứng minh N I = KB Bài 382 (TS chuyên Gia Lai 2020-2021) Cho đường tròn (O; R), BC dây cung cố định (O; R) không qua O Gọi A điểm di động cung lớn BC cho AB < AC tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE cắt H Gọi T giao điểm DE với BC Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn Chứng minh T B = T D.T E − T B.BC √ Cho BC = R Tìm giá tri lớn chu vi tam giác ADH theo R Bài 383 (TS chuyên 2020-2021) Cho đường tròn (O) , đường kính AB cố định Điểm H cố định nằm hai điểm A O cho AH < OH Kẻ dây cung M N vng góc với AB H Gọi C điểm tùy thuộc cung lớn M N cho C không trùng với M, N B Gọi K giao điểm AC M N Chứng minh tứ giác BCKH nội tiếp Cho độ dài đoạn thẳng AH = a Tính AK.AC − HA.HB theo a Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC Xác định vị vị trí điểm C để độ dài đoạn thẳng IN nhỏ Bài 384 (TS chuyên Hà Nam 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) , có đường cao AH Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M Gọi A điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng M A cắt đường thẳng AH, BC theo thứ tự N K Gọi L giao điểm M A BC Đường thẳng A I cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Hai đường thẳng AD BC cắt điểm S Chứng minh tam giác AN A tam giác cân M A M K = M L.M A Chứng minh M I = M L.M A tứ giác N HIK tứ giác nội tiếp Gọi T trung điểm cạnh SA , chứng minh ba điểm T, I, K thẳng hàng Chứng minh AB + AC = 2BC I trọng tâm tam giác AKS Bài 385 (TS sở Hà Nội 2020-2021) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC ba đường cao AD, BE, CF qua điểm H Gọi (S) đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF Chứng minh đường tròn (S) qua trung điểm đoạn thẳng AH Gọi M N giao điểm đường tròn (S) với đoạn thẳng BH CH Tiếp tuyến điểm D đường tròn (S) cắt đường thẳng M N điểm T Chứng minh đường thẳng HT song song với đường thẳng EF Gọi P giao điểm hai đường thẳng BH DF , Q giao điểm hai đường thẳng CH DE Chứng minh ba điểm T, P, Q ba điểm thẳng hàng 116 Vũ Ngọc Thành Chứng minh tam giac AM K đồng dạng với tam giác ACM Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 386 (TS chuyên ĐHSP Hà Nội 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có AB > BC Một đường trịn qua hai đỉnh A, C tam giác ABC cắt cạnh AB, BC hai điểm K, N ( K, N khác đỉnh tam giác ABC ) Giả sử đường tròn (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt giao điểm thứ hai M ( M khác B ) Chứng minh rằng: Ba đường thẳng BM, KN, AC đồng quy điểm P Tứ giác M N CP nội tiếp BM − P M = BK.BA − P C.P A Bài 387 (TS ĐH Quốc Gia Hà Nội -KHTN 2020-2021) Cho tam giác ABC có BAC góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường tròn (O) Điểm D thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC Lấy điểm M, N thuộc (O) cho đường thẳng CM BN song song với đường thẳng AD Chứng minh AM = AN Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM, AN Chứng minh đường thẳng EQ, EP AD đồng quy Bài 388 (TS chuyên Hải Dương 2020-2021) Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Lấy E điểm cung nhỏ AD ( E không trùng với A D ) Đường thẳng EC cắt OA M ; đường thẳng EB cắt OD N √ (a) Chứng minh rằng: AM · ED = 2OM · EA OM ON (b) Xác định vị trí điểm E để tổng + đạt giá trị nhỏ AM DN Cho nửa đường trịn (O) đường kính M N Trên tia đối tia M O lấy điểm B Trên tia đối tia N O lấy điểm C Từ B C kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) , chúng cắt A , tiếp điểm nửa đường tròn (O) với BA, AC E, D Kẻ AH vng góc với BC (H ∈ BC) Chứng minh A H, B D, C E đồng quy Bài 389 (TS chun Hịa Bình 2020-2021) Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M khác B , M khác C ), từ M kẻ M I , M K , M P vng góc với AB , AC , BC (I ∈ AB, K ∈ AC, P ∈ BC) Chứng minh rằng: M P K = M BC Chứng minh rằng: Tam giác M IP đồng dạng với tamgiác M P K Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích M I · M K · M P đạt giá trị lớn Bài 390 (TS chun Hịa Bình 2020-2021) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc A cắt đường tròn (O) D Chứng minh AB + AC < 2AD 117 Vũ Ngọc Thành Gọi giao điểm đường thẳng M N với đường thẳng AC, AB E, F Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 391 (TS chuyên Khánh Hòa 2020-2021) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có AC = 2AB Gọi M trung điểm AC , D chân đường phân giác góc A , G giao điểm AD với đường tròn (O) ( G khác A ), E hình chiếu vng góc O lên AD , F thuộc cạnh AD thỏa mãn CD = CF ( F khác D ) Chứng minh rằng: Tứ giác DM CG tứ giác nội tiếp đường tròn AM = AD.AE EBF = ECF Bài 392 (TS chuyên Lâm Đồng 2020-2021) Cho hai đường tròn (O; R) đường tròn (O ; R ) tiếp xúc điểm A (trong R > R ) Gọi BC dây đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ D Chứng minh AD tia phân giác góc BAC Chứng minh M BIC tứ giác nội tiếp đường tròn F I · F M = F D · F E ◦ Chứng minh M IO = 90 Tìm vị trí điểm A cung lớn BC cho tam giác IBC có diện tích lớn Đường thẳng OI cắt (O) P Q ( P thuọc cung nhỏ AB ) Đường thẳng QF cắt (O) T ( T khác Q ) Chứng minh ba điểm P , T , M thẳng hàng Bài 394 (TS chuyên Long An 2020-2021) Cho đường trịn (O) có AB đường kính Vẽ đường kính CD khơng trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD E F Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AF Chứng minh ACBD hình chữ nhật Chứng minh QO song song BF ∆BQC tam giác cân Chứng minh EB · EC + F B · F D ≥ 2CD2 Bài 395 (TS chuyên Long An 2020-2021) Cho ∆ABC nhọn có AB < AC Gọi O, H, G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm tam giác Gọi E điểm tùy cho tạo thành ∆EHG ∆EOG Chứng minh: tỉ số diện tích ∆EHGvà diện tích ∆EOGkhơng phụ thuộc vào vị trí điểm E Bài 396 (TS chuyên Phú Thọ 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) Gọi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC nằm tam giác ABC ,(P = B, C, H) Gọi M giao điểm đường thẳng P B với đường tròn (O), (M = B); N giao điểm đường thẳng P C với (O) , (N = C) Đường thẳng BM cắt AC E , đường thẳng CN cắt AB F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM E đường tròn ngoại tiếp tam giác AN F cắt Q, (Q = A) Chứng minh tứ giác AEP F nội tiếp 118 Vũ Ngọc Thành Bài 393 (TS chun Lạng Sơn 2020-2021) Cho tam giác ABC khơng có góc tù, AB < AC, nội tiếp đường trịn (O; R) Trong B, C cố định đường trịn (O) , A di động cung lớn BC Các tiếp tuyến với (O) B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB , đường thẳng cắt (O) D E ( D thuộc cung nhỏ BC ), cắt BC F , cắt AC I Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Chứng minh M, N, Q thẳng hàng Trong trường hợp AP phân giác M AN , chứng minh P Q qua trung điểm đoạn thẳng BC Bài 397 (TS chuyên Phú Yên 2020-2021) Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN ( M, N tiếp điểm) cát tuyến ABC (AB < AC) Gọi I trung điểm BC, T giao điểm N I với (O) ( T = N ) Chứng minh tam giác AM N Chứng minh M T AC Tiếp tuyến (O) B, C cắt K Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng Bài 398 (TS chuyên Quảng Nam 2020-2021) Cho tam giác ABC cân A (AB < AC), M trung điểm AC , G trọng tâm tam giác ABM Lấy điểm N cạnh BC cho BN = BA Vẽ N K vng góc với AB K , BE vng góc BE với AC E , KF vng góc với BC F Tính tỉ số KF Bài 399 (TS chuyên Quảng Nam 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy H Vẽ đường trịn (O) đường kính BC Tiếp tuyến đường tròn (O) E cắt AD K Chứng minh KA = KE Vẽ tiếp tuyến AM đường tròn (O) ( M tiếp điểm) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDM Chứng minh O, I, M thẳng hàng Bài 400 (TS chuyên Quảng Trị 2020-2021) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cung AB khơng chứa C I điểm đoạn M C cho M I = M A Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vẽ đường tròn (O ) tiếp xúc với (O) D tiếp xúc với AB, AC E, F (a) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng (b) Chứng minh tứ giác DIF C nội tiếp Bài 401 (TS chuyên Tây Ninh 2020-2021) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân có O tâm đường tròn ngoại tiếp AH đường cao với H thuộc BC Gọi M trung điểm cạnh BC K hình chiếu vng góc M cạnh AC Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABK cắt lại cạnh BC D Chứng minh CH.CM = CB.CD Gọi N trung điểm AB Chứng minh I trung điểm ON 119 Vũ Ngọc Thành Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OG vng góc với BM Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 402 (TS chuyên Thái Bình 2020-2021) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R), giả sử B , C cố định A di động đường tròn cho AB < AC AC < BC Đường trung trực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N Chứng minh OM.ON = R2 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N CP Q cắt S T , gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy đường tròn cố định A di động Bài 403 (TS chuyên Thái Bình 2020-2021) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn, kẻ đường thẳng d vng góc với AB C Gọi E trung điểm đoạn thẳng OB, đường thẳng qua E cắt đường tròn (O) M N ( M khác A B ) Tia AM , AN thứ tự cắt d P Q Chứng minh AM · AP = AN · AQ Giả sử M N = 7R tính độ dài M E, N E theo R 4 Cho A, B, C cố định Chứng minh M N quay quanh điểm E ( M khác A B ) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AP Q nằm đường thẳng cố định Bài 404 (TS chuyên Thái Nguyên 2020-2021) Cho đường trịn (O) , từ điểm A nằm bên ngồi đường tròn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC Vẽ đường kính CD đường tròn (O) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) M khác D Chứng minh tam giác AM B tam giác ABD đồng dạng Gọi N giao điểm BM AO Chứng minh N H = N M · N B Bài 405 (TS chuyên Thái Nguyên 2020-2021) Cho đường tròn (I, r) nội tiếp tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC với M = B, M = C Đường tròn (I1 , r1 ) nội tiếp tam giác AM C Đường thẳng song song với BC , tiếp xúc với đường tròn (I1 , r1 ) cắt cạnh AB, AC B , C Gọi N giao điểm AM với B C , đường tròn (I2 , r2 ) nội tiếp tam giác AB N Chứng minh: Bốn điểm A, I, I1 , I2 nằm đường tròn r = r1 + r2 Bài 406 (TS chuyên KHTN 2020-2021) Cho tam giác ABC có BAC góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường trịn (O) Điểm D thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC Lấy điểm M, N thuộc (O) cho đường thẳng CM BN song song với đường thẳng AD Chứng minh AM = AN Gọi giao điểm đường thẳng M N với đường thẳng AC, AB E, F Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn 120 Vũ Ngọc Thành Chứng minh tứ giác BCP M nội tiếp Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM, AN Chứng minh đường thẳng EQ, EP, AD đồng quy Bài 407 (TS chuyên Phú Yên 2020-2021) Cho hình vuông ABCD Gọi E, F trung điểm CD, AD G giao điểm AE BF Chứng minh F ED = F GD Gọi H điểm đối xứng với F qua G , I giao điểm BD EF Đường thẳng qua D , song song với BF cắt HI K Chứng minh K trực tâm tam giác GDE Bài 408 (TS chuyên Thanh Hóa 2020-2021) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường tròn tâm O đường kính BC = 2R cắt AB, AC E D ( E khác B D khác C ) Trên cung BC không chứa D lấy điểm F ( F khác B C ) Đường thẳng AF cắt BC M, cắt đường tròn (O; R) N ( N khác F ) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P ( P khác A ) Chứng minh tứ giác BEP M nội tiếp đường tròn Gọi I, H, K hình chiếu vng góc điểm F lên đường thẳng BD , BC , AC BC BD CD + + đạt Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng tìm vị trí F cho tổng FH FI FK giá trị nhỏ Bài 409 (TS Năng khiếu ĐH quốc gia TP HCM 2020-2021) Cho đường tròn (O) , dây cung BC không chứa tâm O điểm A thay đổi cung lớn BC Lấy điểm E F thỏa mãn: ◦ ABE = CAE = ACF = BAF = 90 Chứng minh AE · AC = AF · AB điểm O trung điểm EF Hạ AD vng góc với EF (D ∈ EF ) Chứng minh tam giác DAB DCA đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định Gọi G giao điểm AD với đường tròn (O) (G = A) Chứng minh AD qua điểm cố định GB · AC = GC · AB Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định Bài 410 (TS chuyên KHTN 2020-2021) Cho tam giác ABC cân A với BAC < 90◦ Điểm E thuộc cạnh AC cho AEB > 90◦ Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E lên AP Gọi giao điểm EQ P K F Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn Gọi giao điểm KQ P E L Chứng minh LA vng góc với LE Gọi giao điểm F L AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BP R tiếp xúc với 121 Vũ Ngọc Thành Chứng minh AN.AF = AP.AM Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 411 (TS chuyên Thanh Hóa 2020-2021) Trên đường tròn người ta lấy 2024 điểm phân biệt, điểm tô màu xanh màu đỏ xen kẽ Tại điểm ta ghi số thực khác cho quy tắc sau thỏa mãn " số ghi điểm màu xanh tổng hai số ghi hai điểm màu đỏ kề nó;số ghi điểm màu đỏ tích hai số ghi hai điểm màu xanh kề nó" Tính tổng 2024 số Bài 412 (TS chuyên Bình Định 2020-2021) Cho hình thoi ABCD có ABC = 60◦ Gọi M điểm đường chéo BD Gọi H, K hình chiếu vng góc M AB, AD N trung điểm đoạn HK Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BD chứa điểm A dựng tam giác BED Chứng minh điểm M, N, E thẳng hàng Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác BAC cắt đường tròn (O) D khác A Gọi M trung điểm AD E điểm đối xứng với D qua tâm O Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đường thẳng AC điểm F khác A (b) Chứng minh EF ⊥ AC Bài 413 (TS chuyên Bình Định 2020-2021) Cho tam giác ABC cân A ( với BAC < 60◦ ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ BC Chứng minh M A > M B + M C Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm cạnh BC E, F tương ứng hình chiếu vng góc D lên AC AB Đường thẳng EF cắt đường thẳng AO BC theo thứ tự M N (a) Chứng minh tứ giác AM DN nội tiếp (b) Gọi K giao điểm AB ED, L giao điểm AC F D, H trung điểm KL I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh HI ⊥ EF Bài 414 (TS chuyên Quảng Bình 2020-2021) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB E ( E không trùng với hai điểm A B ) Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến B C đường tròn (O) M N Gọi F giao điểm M C BN Chứng minh rằng: ∆CAN đồng dạng với ∆BM A, ∆M BC đồng dạng với ∆BCN Bốn điểm B, M, E, F nằm đường tròn Đường thẳng EF qua điểm cố định đường thẳng d thay đổi Bài 415 (TS chuyên Thanh Hóa 2020-2021) Cho tam giác ABC nhọn có BAC > 45◦ Về phía ngồi tam giác BAC dựng hình vng ABM N ACP Q Đường thẳng AQ cắt đoạn thẳng BM E , đường thẳng AN cắt đoạn thẳng CP F Chứng minh tứ giác EF QN nội tiếp đường tròn 122 Vũ Ngọc Thành (a) Chứng minh BM.BC = BF.BD Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Gọi I trung điểm đoạn đoạn thẳng EF Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng M N cắt đường thẳng P Q D Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DM Q DN P cắt K ( K khác D ) Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B C cắt J Chứng minh bốn điểm D, A, K, J thẳng hàng Bài 416 (TS chuyên Tiền Giang 2020-2021) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Tiếp tuyến D cắt đường thẳng BC P , đường thẳng P O cắt đường thẳng AC M cắt đường thẳng AB N Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Qua C vẽ đường thẳng song song với đường thẳng M N cắt đường thẳng AD E cắt đường thẳng AB Q Chứng minh rằng: Bốn điểm P, O, I, D nằm đường tròn EIP = EDC O trung điểm đoạn thẳng M N Cho tam giác ABC vng A , có đường cao AH Tia phân giác HAC cắt HC D Gọi K hình chiếu vng góc D AC Tính AB , biết BC = 25 cm DK = cm Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường trịn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng AH cắt BC D cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Gọi L giao điểm hai đường thẳng CH AB , S giao điểm hai đường thẳng BH AC (a) Chứng minh tứ giác BCSL nội tiếp BC đường trung trực đoạn thẳng HK (b) Gọi M trung điểm BC , đường thẳng OM cắt đường thẳng AB, AC P, Q Gọi N trung điểm P Q Chứng minh hai đường thẳng HM AN cắt điểm nằm đường trịn (O) Bài 418 (TS chun Bình Thuận 2020-2021) Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh a A sin ≤ b+c Bài 419 (TS chuyên Lâm Đồng 2020-2021) Cho hình thang ABCD (AB CD), hai đường chéo vng góc với Biết AC = cm; BD = cm Tínhchiều cao hình thang Bài 420 (TS chuyên Lâm Đồng 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC Gọi AH, BD, CK đường cao tam giác (H ∈ BC, D ∈ AC, K ∈ AB) Chứng minh rằng: SHDK + cos2 A + cos2 B + cos2 C = SABC Bài 421 (TS chuyên Tây Ninh 2020-2021) Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH ( H AB 12 thuộc cạnh BC ) Biết = AH = a Tính theo a độ dài BC AC ◦ ◦ Bài 422 (TS chuyên Tây Ninh 2020-2021) Cho tam giác ABC có ABC = 30 , ACB = 15 M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC cho CD = AB Tính số đo góc M AD 123 Vũ Ngọc Thành Bài 417 (TS chuyên Quảng Ngãi 2020-2021) Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 423 (TS chuyên An Giang 2020-2021) Trên đường tròn đường kính AD lấy hai điểm B C khác phía với AD cho BAC = 60◦ Từ B kẻ BE vng góc với AC (E ∈ AC) Chứng minh hai tam giác ABD BEC đồng dạng Biết EC = 3cm Tính độ dài dây BD Bài 424 (TS chuyên Lào Cai 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC AB < AC, vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC , kẻ AE vuông góc với BC E , kẻ CF vng góc với AB F Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh AF · AB = AH · AE Gọi D trung điểm BC , tia DH cắt (O) G Chứng minh tứ giác AGED nội tiếp Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai M , đường thẳng M E cắt (O) điểm thứ hai K Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác GKE Bài 427 (TS chuyên Nam Định 2020-2021) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt BC đường tròn (O) M I Gọi D điểm thuộc cung lớn BC đường tròn (O) ( với DB < DC) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi E, F hình chiếu vng góc A đường thẳng DB, DC Chứng minh DM vng góc với EF Gọi K giao điểm thứ hai tia DM với đường tròn (O) Chứng minh KI tia phân giác AKM Bài 428 (TS chuyên Ninh Bình 2020-2021) Cho đường tròn (T ) tâm O dây cung AB cố định (O ∈ / AB) P điểm di dộng đoạn thẳng AB (P = A, B P khác trung điểm đoạn thẳng AB ) Đường tròn (T1 ) tâm C điqua điểm P tiếp xúc với đường tròn (T ) A Đường tròn (T2 ) tâm D qua P tiếp xúc với đường tròn (T ) B Hai đường tròn (T1 ) (T2 ) cắt N (N = P ) Gọi (d1 ) tiếp tuyến chung (T ) với (T1 ) A , (d2 ) tiếp tuyến (T ) với (T2 ) B , (d1 ) cắt (d2 ) điểm Q Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn Chứng minh AN P = BN P bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua cố định P di động đoạn thẳng AB (P = A, B P khác trung điểm đoạn thẳng AB) Bài 429 (TS chuyên KH NV 2020-2021) Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O) M A, M B tiếp tuyến đường tròn (O)(A, B ∈ (O)) 124 Bài 430 Bài 426 (TS chuyên Nam Định 2020-2021) Cho hình nón tích V = 4π cm3 , biết bán kính đáy R = cm Tính chiều cao hình nón Vũ Ngọc Thành Bài 425 (TS chuyên Nam Định 2020-2021) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC √ , biết độ dài cạnh tam giác cm Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Chứng minh tứ giác AM BO nội tiếp Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N không trùng với A, B trung điểm đoạn thẳng AB NA HA ) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng M N Chứng minh = NB HB (TS chuyên Lai Châu 2020-2021) Cho (O; R) điểm A nằm đường tròn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C hai tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC(IB < IC) Kẻ đường thẳng d vng góc với OI I Đường thẳng d cắt đường thẳng AB, AC E F Chứng minh tứ giác OIBE tứ giác OIF C tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF Bài 431 (TS Quốc Học Huế 2020-2021) Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm phân biệt A B ( điểm O nằm đường tròn (O )) Từ điểm M tia đối tia AB , vẽ tiếp tuyến M C, M D với đường tròn (O) ( C, D tiếp điểm D nằm đường tròn (O ) ) Hai đường thẳng AC AD cắt đường tròn (O ) E F ( E F không trùng với A ), hai đường thẳng CD EF cắt I Chứng minh tứ giác BCEI nội tiếp EI · BD = BI · AD Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh M thay đổi tia đối tia AB đường thẳng CD ln qua điểm cố định Bài 432 (TS chuyên Hà Nội 2020-2021) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC K tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến đường thẳng BC, CA, AB Đường thẳng AD cắt đường tròn ( I ) hai điểm phân biệt D M Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BC N Chứng minh tam giác M F D đồng dạng với tam giác BN K Gọi P giao điểm BI F D Chứng minh góc BM F góc DM P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M BC qua trung điểm đoạn thẳng KN Bài 433 (TS chuyên Hưng Yên 2020-2021) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M điểm di động đoạn OB (M khác O B ) Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với CD D Đường tròn (I) đường tròn (J) cắt điểm thứ hai N (a) Chứng minh điểm A, N, B, C, D thuộc đường tròn (b) Chứng minh điểm C, M, N thẳng hàng 125 Vũ Ngọc Thành Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC P Q Tìm vị trí A để diện tích tam giác AP Q nhỏ Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Cho tam giác M N P vuông cân M , M N = a Lấy điểm D thuộc cạnh M N ; điểm E thuộc cạnh N P cho chu vi tam giác N DE 2a Tìm giá trị lớn diện tích tam giác N DE Bài 434 (TS chuyên TP HCM 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < CA ) nội tiếp đường tròn (O) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC, CA, AB đồng quy Bài 435 (TS chuyên Thái Bình 2020-2021) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), giả sử B, C cố định A di động đường tròn cho AB < AC AC < BC Đường trung trực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường thẳng trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N Chứng minh OM.ON = R2 Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N CP Q cắt S T , gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy đường tròn cố định A động Bài 436 (TS chun Hịa Bình 2020-2021) Một tam giác vng có cạnh huyền dài 10 cm Hai cạnh góc vng cm Tính độ dài hai cạnh góc vng Bài 437 (TS chun Hịa Bình 2020-2021) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC < 2R Gọi A điểm cung nhỏ BC , M điểm tùy cung lớn BC (CM ≥ BM > 0) Qua C kẻ tiếp tuyến d tới (O) Đường thẳng AM cắt d BC Q N Các đường thẳng M B AC cắt P Chứng minh rằng: P QCM tứ giác nội tiếp Chứng minh rằng: P Q song song với BC Tiếp tuyến A (O) cắt d E Chứng minh rằng: 1 + = CN CQ CE Xác định vị trí M cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác M BN lớn Bài 438 (TS chuyên Nam Định 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC M, N có tâm I thuộc cạnh BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Chứng minh điểm A, M, H, I, N thuộc đường trịn HA tia phân giác góc M HN Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt M N K Chứng minh AK qua trung điểm D BC Tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt S Chứng minh BAS = CAD 126 Vũ Ngọc Thành Chứng minhrằng bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 439 (TS ĐH Huế Vòng 2020-2021) Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Qua A kẻ tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) , với M N tiếp điểm Dựng cát tuyến ABC với đường tròn (O) cho B nằm A, C đồng thời B M nằm phía so với đường thẳng AO Chứng minh tứ giác AN OM nội tiếp đường tròn AB.AC = AM Gọi H giao điểm AO M N Chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp đường tròn Qua B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng M C cắt AM M N E F Chứng minh HM phân giác góc BHC B trung điểm đoạn thẳng EF Bài 440 (TS chuyên TP HCM 2020-2021) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Kẻ đường kính EJ đường trịn (I) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d, BC L, H Chứng minh: E, F, L thẳng hàng JA, JP cắt BC M, K, Chứng minh: M B = M K tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đường tròn ( B, C tiếp điểm, AD < AE, DB < DC ) Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với DE H, đường thẳng cắt đường thẳng BC K Chứng minh: Tứ giác BCOH nộp tiếp KD tiếp tuyến đường tròn (O) DBC = HBC Bài 442 (TS chuyên Bà Rịa-Vũng Tàu 2020-2021) Cho đường trịn (O) có đường kính AB Từ điểm S thuộc tia đốicủa tia AB kẻ đến (O) hai tiếp tuyến SC SD( C, D hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm hai đường kính AB dây CD Vẽ đường tròn (O ) qua C tiếp xúc với đường thẳng AB S Hai đường tròn (O) (O ) cắt M khác C Chứng minh tứ giác SM HD nội tiếp Gọi K hình chiếu vng góc C BD, I giao điểm BM CK Chứng minh HI song song với BD Các đường thẳng SM HM cắt (O) điểm L T (L, T khác M ) Chứng minh tứ giác CDT L hình vuông M C = M S.M D Bài 443 (TS chuyên Bà Rịa-Vũng Tàu 2020-2021) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có trực AB + tâm H Gọi D, E, F chân ba đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC Biết HF 2 BC CA + = 36, chứng minh tam giác ABC HD HE Bài 444 (TS chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường caoAD, BE, CF tamgiác ABC cắt điểm H 127 Vũ Ngọc Thành Bài 441 (TS chuyên Quảng Ninh 2020-2021) Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Chứng minh BC đường phân giác tam giác DEF Gọi M giao điểm đường thẳng EF với đường tròn (O) ( M nằm cung nhỏ AB ); O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BM F tam giác CM E Chứng minh AM ⊥ O1 O2 Lấy điểm K đoạn thẳng HC ( K khác H C ), đường thẳng BK cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I đường thẳng CI cắt đường thẳng BE điểm G Chứng minh hệ thức BF.BE FK + S∆CEF ( S∆GF B diện tích tam giác GF B , S∆CEF S GF B = FC CF · CE diện tích tam giác CEF ) Bài 445 (TS ĐH Huế Vịng 2- 2020-2021) Một hình chữ nhật bị đường thẳng chia thành đa giác hình vẽ Trong có tam giác tứ giác có diện tích 5, 6, 10, x 54 Hãy tìm giá trị x 54 x 10 Bài 446 (TS ĐH Huế Vòng 2- 2020-2021) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B.Trên tia đối tia AB lấy điểm P Kẻ tiếp tuyến P C P D với đường tròn (O’), C D tiếp điểm D nằm bên đường tròn (O) Chứng minh AC AD = BC BD Các đường thẳng AC, AD cắt (O) theo thứ tự điểm thứ hai E, F gọi I giao điểm CD với EF Chứng minh cặp tam giác ∆IF B, ∆CAB ∆EIB, ∆ADB đồng dạng.Từ suy I trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh P thay đổi CD qua điểm cố định Bài 447 (TS chuyên Vĩnh Phúc 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tia AI cắt đường tròn (O) điểm D (khác A ) Đường thẳng OD cắt đường tròn (O) điểm E ( khác D ) cắt cạnh BC điểm F Chứng minh tam giác IBD cân Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Chứng minh ID.IE = IF.DE Gọi điểm M, N hình chiếu vng góc I cạnh AB, AC Gọi H, K điểm đối xứng với M, N qua I.Biết AB + AC = 3BC, chứng minh KBI = HCI 128 Vũ Ngọc Thành Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021 Bài 448 (TS chuyên Quảng Bình 2020-2021) Cho tam giác ABC vng A (AB < AC) có đường cao AH (H ∈ BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường trịn (O1 ) đường kính BH cắt AB I ( I khác B ) nửa đường trịn (O2 ) đường kính HC cắt AC K ( K khác C ) Chứng minh rằng: Tứ giác AKHI hình chữ nhật Tứ giác BIKC tứ giác nội tiếp IK tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1 ) (O2 ) Bài 449 (TS chuyên Lai Châu 2020-2021) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE không qua tâm tới đường trịn (B,C hai tiếp điểm; D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự I K Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB P cắt AC Q Chứng minh rằng: IP + KQ ≥ P Q 129 Vũ Ngọc Thành Chứng minh AH.AO = AD.AE ... √ − x−1 x− x Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020- 2021 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG NAI 2020- 2021 Mơn: Tốn chun Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề Tìm số ngun... Châu Bài Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020- 2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM 2020- 2021 Môn: chuyên Toán Bài Chứng minh hàm số y = (−m2 + 2m − 10) x + 2021 nghịch... phút, không kể phát đề Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020- 2021 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN AN GIANG NĂM 2020- 2021 Mơn: Tốn chun Thời gian: 180 phút, khơng kể phát đề Tính giá trị