TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM THAM DỰ IMO NĂM 2010

Tài li u b i dư ng ñ i n Vi t Nam tham d IMO 2010 Tháng - 2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 M cl c Các phương pháp k thu t ch ng minh Nguyên lý chu ng th Gi i phương trình hàm b ng cách l p phương trình Các tốn t i ưu v h t p h p V kỳ thi ch n ñ i n Vi t Nam d thi IMO 2010 B t ñ ng th c: M t s ví d t p ch n l c | Tr n Nam Dũng – 6/2010 42 50 63 69 80 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Các phương pháp k thu t ch ng minh Trong toán h c cu c s ng, c n bi t: Linh ho t x lý tình hu ng, ch n l a phương án t i ưu Tr n Nam Dũng Trư ng Đ i h c KHTN Tp HCM Các ñ nh lý toán h c phát bi u v tính ch t c a đ i tư ng toán h c m i quan h gi a chúng Và nh ng kh ng ñ nh c n ñư c ch ng minh xu t phát t tiên đ , đ nh lý tính ch t ñã ñư c ch ng minh trư c ñó Và ñ th c hi n bư c ch ng minh, ta c n có nh ng quy t c suy di n ñ ch ng minh ch!t ch" v m!t toán h c V i toán Olympic v y, yêu c u ch ng minh m t k#t qu ln hi n di n, c nh ng khơng có c m t “ch ng minh r ng” Ch ng h$n đ gi i phương trình x3 – 3x + = có th ta s" ph i ch ng minh t t c nghi m c a chúng thu c ño$n [-2, 2], ñ gi i phương trình hàm f(x2 + f(y)) = f2(x) + y có th ta s" ph i ch ng minh f tồn ánh Bài vi#t nói v hai phương pháp m t s k thu t ch ng minh b n: ch ng minh ph n ch ng, ch ng minh quy n$p, ch ng minh ph n ch ng, dùng m nh ñ ph n ñ o, ph n ví d nh nh t, ví d ph n ví d , s% d ng nguyên lý Dirichlet, nguyên lý c c h$n, nguyên lý b t bi#n, s% d ng tơ màu, đ#m b ng hai cách, s p x#p th t … Cách ti#p c n c a s" thông qua ví d đ nói v phương pháp k thu t & s" ch' có nh n xét, bình lu n, nguyên t c chung ch khơng đư c trình bày h th ng m t lý thuy#t Bài vi#t ñ u tiên ñư c vi#t trình bày chương trình “G!p g g Tốn h c 2010”, đư c t( ch c vào tháng năm 2010, sau đư c b( sung, hồnh ch'nh trình bày t$i H i ngh khoa h c “Các chun đ chun Tốn ng d ng” t( ch c t$i Ba Vì, tháng 5/2010 Cu i cùng, ñ chu*n b cho ñ i n Vi t Nam thi Olympic Toán qu c t#, vi#t ñư c b( sung thêm ph n v Đ#m b ng hai cách, Nguyên lý c c h$n, S p x#p th t ng d ng c a phương pháp k thu t ch ng minh toán T i ưu t( h p Phép ch ng minh ph n ch ng M t s ví d m đ u Ch ng minh ph n ch ng có th nói m t nh ng vũ khí quan tr ng c a tốn h c Nó cho phép ch ng minh s có th khơng có th c a m t tính ch t đó, | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 cho phép bi#n thu n thành ñ o, bi#n ñ o thành thu n, cho phép lý lu n nh ng đ i tư ng mà khơng rõ có t n t$i hay khơng Ví d kinh n nh t v phép ch ng minh ph n ch ng thu c v Euclid v i phép ch ng minh Đ nh lý T n t i vô s s nguyên t & ñây, Euclid ñã gi s% ngư c l$i r ng t n t$i h u h$n s nguyên t p1, p2, …, pn Ông xét tích N = p1p2…pn + N ph i có nh t c s nguyên t p Khi đó, p1, p2, …, pn t t c s nguyên t nên t n t$i i cho p = pi Nhưng p | 1, mâu thu,n Bài t p Ch ng minh r ng t n t$i vô s s nguyên t d$ng 4k+3 Ch ng minh r ng t n t$i vô s s nguyên t d$ng 4k+1 Phương pháp xu ng thang M t ch ng minh n(i ti#ng khác b ng phương pháp ph n ch ng ch ng minh c a Euler cho ñ nh lý nh Fermat v i trư-ng h p n = Đ nh lý Phương trình x4 + y4 = z4 (1) khơng có nghi m ngun dương Ơng gi s% r ng phương trình (1) có nghi m ngun dương Khi đó, theo ngun lý c c h n, t n t$i nghi m (x0, y0, z0) v i x0 + y0 + z0 nh nh t Sau ñó, b ng cách s% d ng c u trúc nghi m c a phương trình Pythagore x2 + y2 = z2, ơng đ#n s t n t$i c a m t nghi m (x1, y1, z1) có x1 + y1 + z1 < x0 + y0 + z0 Mâu thu,n Phương pháp thư-ng ñư c g i phương pháp xu ng thang Bài t p Ch ng minh r ng phương trình x3 + 3y3 = 9z3 khơng có nghi m ngun dương Ch ng minh r ng phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz khơng có nghi m ngun dương S d ng m nh ñ ph n ñ o Ch ng minh s% d ng m nh ñ ph n ñ o m t phương án ch ng minh ph n ch ng hay ñư c s% d ng Cơ s c a phương pháp ñ ch ng minh A B, ta có th ch ng minh B → A V m!t b n ch t hai phép suy di n có v/ gi ng nhau, th c t# l$i khác Ta th% xem xét vài ví d Ví d Ch ng minh r ng hàm s f ( x) = x x2 +1 m t ñơn ánh t R vào R | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Ví d Ch ng minh r ng n u (p-1)! + s nguyên t p s nguyên t Trong ví d 1, rõ ràng vi c ch ng minh x1 ≠ x2 suy f(x1) ≠ f(x2) khó khăn vi c ch ng minh f(x1) = f(x2) suy x1 = x2, dù r ng v m!t logic, hai ñi u tương đương Trong ví d 2, g n khơng có cách khác ngồi cách ch ng minh n#u p h p s , p = r.s (p-1)! + khơng chia h#t cho p Bài t p Cho hàm s f: R R tho mãn ñi u ki n sau 1) f ñơn ñi u ; 2) f(x+y) = f(x) + f(y) v i m i x, y thu c R Cho a, b, c s th c không âm tho mãn ñi u ki n a2 + b2 + c2 + abc = Ch ng minh r ng a + b + c ≤ Phương pháp ph n ví d nh nh t Trong vi c ch ng minh m t s tính ch t b ng phương pháp ph n ch ng, ta có th có thêm m t s thông tin b( sung quan tr ng n#u s% d ng ph n ví d nh nh t Ý tư.ng ñ ch ng minh m t tính ch t A cho m t c u hình P, ta xét m t đ!c trưng f(P) c a P m t hàm có giá tr nguyên dương Bây gi- gi s% t n t$i m t c u hình P khơng có tính ch t A, s" t n t$i m t c u hình P0 khơng có tính ch t A v i f(P0) nh nh t Ta s" tìm cách suy ñi u mâu thu,n Lúc này, vi c có c u hình P0 khơng có tính ch t A, ta cịn có m i c u hình P v i f(P) < f(P0) đ u có tính ch t A Ví d Cho ngũ giác l i ABCDE m t ph ng to đ có to ñ ñ nh ñ u nguyên a) Ch ng minh r ng t n t i nh t ñi m n m ho c n m c nh c a ngũ giác (khác v i A, B, C, D, E) có to đ ngun b) Ch ng minh r ng t n t i nh t ñi m n m ngũ giác có to đ ngun c) Các đư ng chéo c a ngũ giác l i c t t o m t ngũ giác l i nh A1B1C1D1E1 bên Ch ng minh r ng t n t i nh t m n m ho c biên ngũ giác l i A1B1C1D1E1 Câu a) có th gi i quy#t d dàng nh- nguyên lý Dirichlet: Vì có m nên t n t$i nh t m X, Y mà c!p to$ đ (x, y) c a chúng có tính ch0n l/ (ta ch' có trư-ng h p (ch0n, ch0n), (ch0n, l/), (l/, ch0n) (l/, l/)) Trung ñi m Z c a XY ñi m c n tìm Sang câu b) lý lu n chưa đ , n#u XY khơng ph i đư-ng chéo mà c$nh Z có th s" n m biên Ta x% lý tình hu ng sau Đ ý r ng n#u XY m t c$nh, ch ng h$n c$nh AB ZBCDE m t ngũ giác l i có đ'nh có to$ đ đ u ngun ta có th l!p l$i lý lu n nêu ñ i v i ngũ giác ZBCDE, … Ta có th | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 dùng ñơn bi n ñ ch ng minh q trình khơng th kéo dài mãi, đ#n m t lúc s" có ngũ giác có m ngun n m Tuy nhiên, ta có th trình bày l$i lý lu n m t cách g n gàng sau: Gi s% t n t$i m t ngũ giác nguyên mà bên khơng ch a m t m nguyên (ph n ví d ) Trong t t c ngũ giác v y, ch n ngũ giác ABCDE có di n tích nh nh t (ph n ví d nh nh t) N#u có nhi u ngũ giác v y ta ch n m t s chúng Theo lý lu n trình bày câu a), t n t$i hai ñ'nh X, Y có c!p to$ đ tính ch0n l/ Trung ñi m Z c a XY s" có to$ ñ ngun Vì bên ngũ giác ABCDE khơng có m nguyên nên XY ph i m t c$nh Khơng m t tính t(ng qt, gi s% AB Khi ngũ giác ZBCDE có to$ đ đ'nh đ u ngun có di n tích nh di n tích ngũ giác ABCDE Do tính nh nh t c a ABCDE (ph n ví d nh nh t phát huy tác d ng!) nên bên ngũ giác ZBCDE có m nguyên T Đi u mâu thu,n T n m ngũ giác ABCDE Bài t p Gi i ph n c) c a ví d (Đ nh lý Bezout) Ch ng minh r ng n#u (a, b) = t n t$i u, v cho au + bv = Trên m!t ph ng ñánh d u m t s ñi m Bi#t r ng ñi m b t kỳ chúng ñ'nh c a m t t giác l i Ch ng minh r ng t t c ñi m ñư c ñánh d u ñ'nh c a m t ña giác l i Ph n ch ng toán ch ng minh s không t n t i Phương pháp ph n ch ng thư-ng hay ñư c s% d ng toán b t bi n ho!c toán ph hình đ ch ng minh s khơng th c hi n ñư c Sau ñây xem xét ví d v y Ví d Xét hình vng × Ch ng minh r ng ta có th xố m t đ ph n cịn l i khơng th ph kín b ng 15 qn trimino kích thư c × quân trimino hình ch L Ta ch ng minh r ng n#u b m t góc bên trái ph n cịn l$i khơng th ph đư c b ng qn triminơ cho Đ làm u này, ta đánh s vuông sau 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Khi đó, nh n xét r ng qn triminơ kích thư c × s" che s 1, 2, (n#u n m ngang) ho!c s gi ng (n#u n m d c) Như v y t(ng s mà m t qn triminơ × che ln chia h#t cho Trong d th y qn triminơ hình ch L che s có t(ng khơng chia h#t cho Bây gi- gi s% ngư c l$i r ng hình vng × b góc bên trái có th ph đư c b ng 15 qn triminơ × qn triminơ hình ch L theo lý lu n trên, t(ng s s mà quân triminô che s" không chia h#t cho Đi u mâu thu,n t(ng s cịn l$i b ng 20 × + 14 × + 14 × = 90 chia h#t cho 3! Mâu thu,n ch ng t ñi u gi s% sai ta có ñi u ph i ch ng minh Ví d Hình trịn đư!c b i đư ng kính thành thành 10 b ng Ban đ u m"i ô có viên bi M"i l n th c hi n, cho phép ch n viên bi b t kỳ di chuy n chúng sang ô bên c nh, viên theo chi u kim ñ ng h viên ngư!c chi u kim ñ ng h H i sau m t s h u h n l n th c hi n, ta có th chuy n t t c viên bi v đư!c khơng? N#u làm th% s" th y r ng không th th c hi n đư c u c u Chúng ta có th l m d n viên bi v ơ, cịn viên bi khác khơng th d n ñư c Nhưng làm th# ñ ch ng minh u này? L-i gi i hóa ñơn gi n Ta s" dùng ph n ch ng k#t h p v i b t bi#n Ta tô màu ô b ng hai màu ñen tr ng xen k" G i S t(ng s viên bi n m đen tr$ng thái ban đ u ta có S = N#u gi s% ngư c l$i r ng ta có th đưa viên bi v ô tr$ng thái cu i này, ta s" có S = (n#u ta d n viên bi v m t ô tr ng) ho!c S = 10 (n#u ta d n viên bi v m t đen) Bây gi- ta s" thu đư c ñi u mâu thu,n n#u ta ch ng minh ñư c qua l n th c hi n tính ch0n l/ c a S s" khơng thay ñ(i, t c n#u ban ñ u S s l/ qua l n th c hi n, S s" s l/ (và s" không th b ng ho!c b ng 10) N#u nh n xét r ng đen tr ng xen k" u mà c n ch ng minh hi n nhiên xin dành phép ch ng minh chi ti#t cho b$n đ c Bài t p 10 Hình vng x b g c bên trái Ch ng minh r ng có th ph ph n cịn l$i b ng qn trimino hình ch L khơng th ph đư c b ng qn trimino hình ch kích thư c x Tìm t t c giá tr k cho có th ph ph n l$i b ng k quân trimino x 8-k trimino hình ch L 11 Xét hình vng × Tìm t t c mà n#u ta xóa ph n cịn l$i có th ph kín b ng 15 qn trimino kích thư c × quân trimino hình ch L | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 12 Trên vịng trịn ban đ u theo m t th t tuỳ ý có s s & kho ng gi a hai ch s gi ng ta vi#t s kho ng gi a hai ch s khác ta vi#t s Các s ban ñ u b xố H i sau m t s l n th c hi n v y ta có th thu ñư c m t b g m s 0? 13 Cho trư c hàm s f1(x) = x2 + 2x, f2(x) = x + 1/x, f3(x) = x2 - 2x Cho phép th c hi n phép toán c ng hai hàm s , nhân hai hàm s , nhân m t hàm s v i m t h ng s tuỳ ý Các phép tốn có th ti#p t c đư c th c hi n nhi u l n fi k#t qu thu ñư c Ch ng minh r ng có th thu đư c hàm s 1/x t hàm s f1, f2, f3 b ng s% d ng phép tốn u khơng th th c hi n đư c n#u thi#u m t hàm f1, f2, f3 Ph n ch ng tốn b t đ ng th c Trong ch ng minh b t ñ ng th c, phương pháp ph n ch ng thư-ng dùng ñ ñ o ñi u ki n k#t lu n v i trư-ng h p ñi u ki n ph c t$p, cịn b t ñ ng th c c n ch ng minh ñơn gi n Ví d Ch ng minh r ng n#u a, b, c s th c khơng âm th a mãn u ki n a2 + b2 + c2 + abc = a + b + c ≤ Ví d (IMO 2001) Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng ta có b t ñ ng th c a a + 8bc + b b + 8ca + c c + 8ab ≥1 Đ phá th c, ta ñ!t: x= a a + 8bc ,y= b b + 8ca ,z= c c + 8ab Rõ ràng x, y, z ∈ (0, 1) Ta c n ch ng minh r ng x + y + z ≥ Chú ý r ng a2 x2 b2 y2 c2 z2 x2 y2 z2 , = , = = ⇒ = 512 − x − y − z 8bc − x 8ca − y 8ab − z Như v y, ta c n ch ng minh r ng x + y + z ≥ 1, x, y, z ∈ (0, 1) (1-x2)(1-y2)(1-z2) = 512x2y2z2 Nhưng n#u x + y + z < theo b t đ ng th c AM-GM ta có (1-x2)(1-y2)(1-z2) > ((x+y+z)2-x2)((x+y+z)2-y2)((x+y+z)2-z2) = (y+z)(y+z+2x)(z+x)(z+x+2y)(x+y)(x+y+2z) ≥ 2(yz)1/2.4(yzx2)1/4.2(zx)1/2.4(zxy2)1/4.2(xy)1/2.4(xyz2)1/4 = 512x2y2z2 Mâu thu,n Ví d Cho a, b, c, d s th c khơng âm có t(ng b ng Đ!t Fk = (1+ak)(1+bk)(1+ck)(1+dk) Ch ng minh r ng F4 ≥ F3 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Gi s% ngư c l$i, t n t$i b b n s (a, b, c, d) th a mãn: a, b, c, d ≥ 0, a + b + c + d = F4 < F3 (1) Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có F4F2 ≥ F32, F3F1 ≥ F22, F2F0 ≥ F12 (2) T (1) (2) suy F4 < F3 < F2 < F1 < F0 = 16 (3) T (3) ta có F4 < 16, suy max(a,b,c,d) < Đ d,n t i mâu thu,n v i (3), ta s" ch ng minh F3 ≥ F1 (4) Ph n ch ng minh b ng d n bi#n ñư c xem m t t p Ví d (Cezar Lupu) Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c + abc = Ch ng minh r ng a b+c + b c+a + c a+b ≥ (a + b + c) Gi i Theo b t ñ ng th c Cauchy Schwarz, ta có (a )  a b c  + + b + c + b c + a + c a + b   ≥ (a + b + c) c+a a+b   b+c Ti#p t c áp d ng b t ñ ng th c Cauchy Schwarz (a + b + c)(a (b + c) + b(c + a ) + c(a + b)) ≥ a b + c + b c + a + c a + b T suy a b+c + b c+a + c a+b ≥ a+b+c (a + b + c) ab + bc + ca Như v y ta ch' c n ch ng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca B t ñ ng th c Schur v i r = có th vi#t dư i d$ng 9abc ≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c) a+b+c Bây gi- gi s% ngư c l i, ta có a + b + c < ab + bc + ca 9abc ≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c) > (a + b + c)(4 − (a + b + c)) = abc(a + b + c) a+b+c Suy a + b + c < Nhưng abc < suy = a + b + c + abc < 4, mâu thu,n Bài t p 14 (MOP) Cho n ≥ c ñ nh Cho x1, …, xn s dương th a mãn ñi u ki n 1 + + + x1 x xn 1 Ch ng minh r ng + + + ≤ n − + x1 n − + x n − + xn x1 + x + + x n = | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 15 (Pu-Ro Loh) Cho a, b, c > th a mãn ñi u ki n 1 + + = Ch ng minh r ng a −1 b −1 c −1 1 ≤ + + a +1 b +1 c +1 16 Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n 1 + + ≥ a + b + c Ch ng minh r ng a b c a + b + c ≥ 3abc 17 (IMO 1991) Cho tam giác ABC ñi m P n m tam giác Ch ng minh r ng m t góc ∠PAB, PBC, PCA nh ho!c b ng 300 M t s ñ%nh lý tính ch t ch ng minh b ng phương pháp ph n ch ng Cu i cùng, ta s% d ng phương pháp ph n ch ng ñ ch ng minh m t s tính ch t quan tr ng chương trình tốn Olympic Đ nh lý a) N b) N c) N d) N u p s u p s u p s u p s nguyên t nguyên t nguyên t nguyên t d d d d ng 4k+1 t n t i x cho x2 + chia h t cho p; ng 4k+3 khơng t n t i x cho x2 + chia h t cho p ng 6k+1 t n t i x cho x2 + chia h t cho p; ng 6k+5 khơng t n t i x cho x2 + chia h t cho p Ch ng minh a) Gi s% ngư c l$i, không t n t$i x cho x2 + chia h#t cho p Xét a b t kỳ thu c A = {1, 2, …, p-1} D dàng ch ng minh ñư c r ng t n t$i nh t m(a) thu c A cho a.m(a) ≡ -1 (mod p) Hơn n a, n#u a ≠ b m(a) ≠ m(b) Cu i cùng, không t n t$i x ñ x2 + chia h#t cho p nên a ≠ m(a) Như v y s 1, 2, …, p-1 ñư c phân thành (p-1)/2 c!p (a, b) v i a.b ≡ -1 (mod p) Nhân ñ ng dư th c l$i v i nhau, ký (p-1)/2 = 2k, ta có (p-1)! ≡ (-1)2k ≡ (mod p) Đi u mâu thu,n v i ñ nh lý Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p)! b) Gi s% t n t$i x cho x2 + ≡ (mod p) x2 ≡ -1 (mod p) (x2)2k+1 ≡ -1 (mod p) x4k+2 ≡ -1 (mod p) M!t khác, theo đ nh lý nh Fermat, ta có x4k+2 ≡ (mod p) T ñây suy ≡ (mod p), mâu thu,n V y ñi u gi s% sai, t c không t n t$i x sap cho x2 + chia h#t cho p 10 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 bên ph i z M t cách khác xét m t kho ng J bào có đ dài k ý r ng 2k-2 kho ng có giao v i kho ng ñư c chia thành k-1 c!p mà m7i c!p ch a hai kho ng không giao Đ nh lý Turan toán Turan Trư-ng h p ñ!c bi t c a ñ nh lý Turan cho ñ th không ch a tam giác ñư c ch ng minh b.i Mantel vào năm 1907 ) c a m t đ th n đ'nh khơng ch tam giác ñ$t S l n nh t c$nh (ký hi u ñư c ñ th hai phe ñ y ñ n ñ'nh v i kích thư c hai phe g n t t (c th [n/2] [(n+1)/2] Đ nh lý Turan d$ng t(ng quát ñư c ch ng minh vào nh ng năm 40 c a th# k5 trư c ) c a đ th n đ'nh khơng ch a đ th ñ y ñ S l n nh t c$nh (ký hi u (r+1) ñ'nh ñ$t ñư c t$i ñ th r phe ñ y ñ v i n đ'nh, kích thư c c a ph n g n t t Paul Turan Ch ng minh ñ nh lý Turan: Th c s đ nh lý Turan khơng khó; g n cách ti#p c n có th thành cơng Sau m t cách ti#p c n v y: ñ ñơn gi n, ta xét trư-ng h p tam giác Xét ñ'nh v v i b c l n nh t chia đ'nh cịn l$i c a ñ th thành hai ph n: A – ñ'nh k v i v, B – đ'nh cịn l$i Bây gi- ý ñ'nh thu c A l p thành m t t p h p ñ c l p (t c khơng có c$nh n i gi a đ'nh c a A) V i m7i ñ'nh thu c B ta xố t t c c$nh ch a đ'nh thay vào đó, n i đ'nh v i t t c ñ'nh thu c A Đ ý r ng ñ th m i, b c c a m7i đ'nh đ u khơng nh b c ñ th ban ñ u Và, n a, ñ th m i ñ th hai phe (trong A m t phe) Cu i ta ch' c n ch ng minh v i ñ th hai phe s c$nh l n nh t hai ph n có s đ'nh g n t t Sau ñây m t ch ng minh khác Xố m t đ'nh c a đ th G v i n+1 đ'nh khơng chưá S c$nh c a đ th cịn l$i khơng vư t q Th c hi n u ñ i v i t t c ñ'nh ý r ng m t m t c$nh đư c tính n-1 l n Ta thu đư c r ng s c$nh G (và 67 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 nghĩa ) không vư t ph n nguyên c a cho k#t qu xác c a tốn Đánh giá Chúng ta k#t thúc chuy#n tham quan thú v b ng tốn mà Turan đưa vào năm 1940 Chúng ta mu n tìm s ph n t% l n nh t c a t p h p b ba l p t {1,2,…,n} không ch a m t “t di n”, t c không ch a b n b ban có d$ng {a,b,c},{a,b,d),{a,c,d},{b,c,d} N#u đ c gi chưa bi#t ñáp s , th% ñưa d đốn c a Turan đưa m t gi thuy#t c a gi thuy#t hi n v,n m t v n ñ m Tr n Nam Dũng d%ch gi i thi u (t web site c a Seminar: T i ưu t( h!p I) M t s ghi thêm c a d ch gi : Đ i xích: Trong m t t p s p th t (partial order set), m t đ i xích m t h ph n t% đơi m t khơng so sánh ñư c v i LYM: Lubell, Yamamoto, Meshalkin nh ng ngư-i ñã ch ng minh ñ nh lý m t cách ñ c l p Bollobas ngư-i th tư tìm k#t qu m t cách ñ c l p 68 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 V kỳ thi ch n ñ i n Vi t Nam tham d IMO 2010 Tr n Nam Dũng Kỳ thi ch n ñ i n Vi t Nam tham d IMO 2010 (VTST 2010) ñư c t( ch c hai ngày 17, 18/4 v i s tham gia c a 42 thí sinh đ#n t t'nh thành trư-ng ĐH Thành ph n tham d TST năm có nhi u m đ!c bi t Hai đ i có l c lư ng hùng h u nh t tham d TST Ngh An (6 em) Đà N0ng (5 em) Các đơn v l n đ u tiên có thí sinh d TST Bà R a Vũng Tàu (2 em), ĐHSP Tp HCM (1 em) M t ñi m n(i b t n a Phú Yên v i h c sinh tham d TST Bên c$nh đó, có th nh n m$nh s v ng m!t c a m t s đơn v có truy n th ng H i Phịng, Thanh Hóa, ĐH Vinh hay s xu ng s c c a ñơn v có s má khác Vĩnh Phúc, PTNK Như thư-ng l , ñ thi ch n ñ i n năm có Đi m đ!c bi t năm ch' có hình, ñ$i s Các phân môn S h c T( h p ñư c “ưu ái” v i Bài ñư c coi d c a kỳ thi Bài thu c lo$i trung bình Các 5, đư c ñánh giá khó r t khó Đánh giá chung đ năm khơng khó b ng đ năm ngối Cơng tác ch m thi ñã ñư c ti#n hành sau kỳ thi k#t qu ñã ch n ñư c thành viên tham d IMO 2010 Trái v i d đốn l$c quan c a nhi u ngư-i, ñi m thi năm không cao nhi u so v i năm ngối, m cao nh t đ i n 24 ñi m th p nh t 18 Như v y, kỳ thi năm m t l n n a l$i kh ng ñ nh chân lý: N#u làm ch c ăn s" l t vào ñ i n K#t qu ti#p t c cho th y ñi m y#u chung c a thí sinh v,n hai m ng S h c T( h p, khâu trình bày c a thí sinh r t có v n ñ Sau kỳ thi, nhi u thí sinh tun b làm đư c k#t qu th c t# cho th y không ph i v y Có m t s ý ki#n cho r ng tốn 5, khơng phù h p v i ñ thi ch n ñ i n ñem l$i l i th# cho nh ng ñã bi#t ñ nh lý Hall ñ nh lý Lucas Tuy nhiên, theo ý ki#n c a chúng tơi, m c đ kỳ thi ch n đ i n, n#u mu n có m t ñ i n m$nh, ñ s c t n cơng tốn 3, c a IMO c n ph i nâng t m ki#n th c suy lu n c a h c sinh ñ#n m c ñ ñ nh lý Chú ý ñ nh lý r t sơ c p ch a ñ ng nhi u phương pháp tư lý lu n ñ8p hay Cu i cùng, xinh chúc m ng thí sinh ñã vư t qua kỳ thi Vietnam TST v a qua, chúc ñ i n Vi t Nam có thành tích xu t s c t$i IMO 2010! 69 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Đ# CH$N Đ%I TUY&N VN D' THI TOÁN QU(C T) Ngày 1, 17/4/2010 Th i gian làm bài: 240 phút BÀI (6 ñi m) Cho tam giác ABC khơng vng t$i A có trung tuy#n AM D m t ñi m ch$y AM G i (O1), (O2) l n lư t ñư-ng tròn ñi qua D ti#p xúc v i BC t$i B C CA c t (O2) t$i Q BA c t (O1) t$i P a) Ch ng minh r ng ti#p tuy#n t$i P c a (O1) ti#p tuy#n t$i Q c a (O2) ph i c t G i giao ñi m S b) Ch ng minh r ng S ch$y m t ñư-ng c ñ nh D ch$y AM BÀI (6 ñi m) V i m7i s n nguyên dương, xét t p sau Tìm t t c n cho không t n t$i a khác b thu c Tn cho a-b chia h#t cho 110 BÀI (8 m) Hình ch nh t kích thư c 1*2 đư c g i hình ch nh t đơn Hình ch nh t 2*3 b di góc chéo (t c cịn có ơ) g i hình ch nh t kép Ngư-i ta ghép khít hình ch nh t đơn hình ch nh t kép đư c b ng 2008*2010 Tìm s bé nh t hình ch nh t đơn có th dùng đ lát đư c Ngày 2, 18/4/2010 Th i gian làm bài: 240 phút BÀI (6 ñi m) Cho a, b, c s th c dương th a mãn ñi u ki n Ch ng minh r ng BÀI (7 m) Có n m7i nư c có k đ$i di n (n > k > 1) Ngư-i ta chia n.k ngư-i thành n nhóm m7i nhóm có k ngư-i cho khơng có ngư-i nhóm đ#n t nư c Ch ng minh r ng có th ch n n ngư-i đ#n t nhóm khác đ#n t nư c khác BÀI (7 ñi m) G i Sn t(ng bình phương h s khai tri n c a (1+x)n Ch ng minh r ng S2n + không chia h#t cho 70 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 L i gi i Nh n xét Bài Ta có MB2 = MC2 nên M thu c tr c ñ ng phương c a (O1) (O2) Suy DM tr c ñ ng phương c a đư-ng trịn Do A thu c tr c ñ ng phương c a ñư-ng tròn Suy AP.AB = AQ.AC => t giác BCPQ n i ti#p G i ti#p tuy#n c a (O1) Px ∠xPB = ∠PBC = ∠PQA, suy Px ti#p xúc v i (APQ) hay (APQ) ti#p xúc v i (O1) Tương t suy (APQ) ti#p xúc v i c (O1) (O2) Tam giác APQ ñ ng d$ng v i ACB nên APQ không vuông Suy ti#p tuy#n t$i P Q ph i c t t$i S Vì SP2 = SQ2 nên S thu c tr c ñ ng phương c a (O1) (O2), đư-ng th ng AM, hay S thu c m t ñư-ng th ng c ñ nh Bài Đ!t s(k,h, n) = 11(k + h) + 10(nk + nh) Do s(h,k) = s(k, h) nên ta gi s% k ≥ h Ta th y n#u n ≡ m s(k,h, n) ≡ s(k,h,m) mod 110, ta ch' c n tìm n ≤ 11 Xét s(6,6,n) – s(1,1,n) = 110 + 20n(n5-1) Do n#u n(n5-1) chia h#t cho 11 n khơng th a mãn u ki n T ta lo$i giá tr n = 1, 3, 4, 5, 9, 11 Xét s(8,2,n) – s(6,4,n) = 10(n8-n6+n2-n4) = 10(n6-n2)(n2-1) Do n#u n2 – chia h#t cho 11 n khơng th a mãn u ki n V y ta lo$i giá tr n = 10 Ta ch ng minh v i n = 2, 6, 7, s(k,h,n) – s(k’,h’,n) khơng chia h#t cho 110 v i m i b {k, h} ≠ {k’,h’} Trư c h#t b ng cách th% tr c ti#p, ta th y r ng v i n = 2, 6, 7, nk ≠ nh mod 11 v i m i k ≠ h (*) Th t v y, n#u s(k,h,n) – s(k’,h’,n) chia h#t cho 110 11(k+h-k’-h’) + 10(nk+nh-nk’-nh’) chia h#t cho 110, suy k+h – k’ – h’ ≡ mod 10 (1) nk + nh – nk’ – nh’ ≡ mod 11 (2) T (1) suy k – k’ ≡ h’ – h (mod 10) T ñây, theo ñ nh lý nh Fermat, ta có nk-k’ ≡ nh’-h (mod 11) Vi#t (2) l$i thành nk’(nk-k’-1) ≡ nh(nh’-h-1) (mod 11) Theo lý lu n nk-k’-1 ≡ nh’-h-1 mod 11 Theo (*) nk-k’-1 ≡ nh’-h-1 ≠ Như v y ta có th chia hai v# cho nk-k’-1 ñ ñư c nk’≡ nh (mod 11) T (*) suy k’ = h T (1) suy k = h’ Như th# {k,h} = {k’, h’} Ta ñư c ñi u ph i ch ng minh Nh n xét Có th đưa đ!c trưng ng n g n cho s n th a mãn ñi u ki n là: n ph i nguyên th y modulo 11 Bài tốn có th t(ng qt hóa b ng cách thay 11 b ng s nguyên t b t kỳ (và dĩ nhiên 10 ñư c thay b ng p-1 110 ñư c thay b ng p(p-1) Đây m t tốn đ8p Ý tư.ng đơn gi n khơng t m thư-ng 71 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Bài Ta ch ng minh s hình ch nh t đơn nh nh t c n s% d ng 1006 Trư c h#t ta ch' cách ghép khít t$o thành hình ch nh t 2008 x 2010 v i 1006 hình ch nh t ñơn (và hình ch nh t kép) Kh i Kh i Kh i Kh i Trên hình v" mơ t cách ghép hình ch nh t 10 x 16 Hình ch nh t 2010x2008 có th đư c t$o thành t c u hình sau: + Thêm dòng b ng cách chèn thêm kh i có d$ng vào gi a kh i h p thành t c t liên ti#p M7i l n thêm đư c dịng + Thêm c t b ng cách l!p l$i kh i c t liên ti#p (chú ý tính tu n hoàn c a kh i này: Kh i ~ Kh i 3, Kh i ~ Kh i …) + Theo cách ghép ta chia hình ch nh t 2010x2008 thành 502 kh i, m7i kh i g m c t & kh i kh i 502 ta c n dùng hình ch nh t đơn (tương ng v i kh i ví d trên) Các kh i cịn l$i ta dùng hình ch nh t ñơn Như v y t(ng c ng cách ghép ta dùng 500 x + x = 1006 hình ch nh t đơn Xoay hình ch nh t 2010x2008 l$i, ta đư c hình ch nh t 2008 x 2010 Bây gi- ta ch ng minh ph i c n nh t 1006 hình ch nh t đơn đ ph hình ch nh t 2008 x 2010 Xét m t phép ph h p l , g i x, y, z, t l n lư t s hình ch nh t x 2, x 1, x 3, x s% d ng phép ph Tô tr ng hàng l/, tơ đen hàng ch0n Đi n s i vào hàng th i Ta có Nh n xét 2(x+y) + 4(z+t) = 2008 x 2010 (*) 72 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Nh n xét Xét tồn b ng, hình ch nh t khuy#t hình ch nh t x có s ô tr ng b ng s ô ñen Suy s hình ch nh t x hàng tr ng = s hình ch nh t x hàng ñen = x/2 Như v y x ch0n Nh n xét V i m7i hình ch nh t c a phép ph , ta xét t(ng s đen – t(ng s tr ng Khi đ i v i hình ch nh t x đ$i lư ng = 0, v i hình ch nh t x ñ$i lư ng b ng ± 2, v i hình ch nh t x ñ$i lư ng b ng ± Cu i cùng, t(ng s hình ch nh t x m t s ch0n thu c [2, 2.2008] Do ta có b t đ ng th c T(ng s đen – T(ng s ô tr ng = 1004.2010 ≤ (x/2)(2.2008-2) + y + 2z 1004.2010 ≤ 2007x + y + 2z (**) Đ(i ch7 hàng c t, ta ñư c 1005.2008 ≤ 2009y + x + 2t (***) C ng (**) v i (***) r i ñ ý (*), ta ñư c 1005.2008 ≤ 2007x+2009y ≤ 2009(x+y) Suy x + y ≥ 1005.2008/2009 > 1004 Vì x, y ch0n nên x + y ≥ 1006 Nh n xét Đây tốn khó nh t c a ngày th nh t tốn khó nh t c a c kỳ thi Đi m m u ch t c a l-i gi i tìm cách ph t i ưu ch ng minh tính t i ưu c a Vi c tìm cách ph cho hình ch nh t x 2n v i hình ch nh t đơn khơng khó r t d d,n đ#n ng nh n v i hình ch nh t 4m x 2n (2m < n) ta có th nhân cách ph ñ thành cách ph t i ưu s% d ng 4m hình ch nh t đơn Trong th c t#, cách ph t i ưu s% d ng hình ch nh t kép đ thay hai hình ch nh t ñơn cho kh i k Sau tìm cách ph “t i ưu”, ta c n ch ng minh tính t i ưu c a M t cách ti#p c n truy n th ng tô màu Tuy nhiên, m t vài phép th% sai cho th y cách tô màu ñen tr ng ho!c A, B, C, D ñơn gi n khơng gi i quy#t đư c v n đ ta ph i s% d ng ñ#n nh ng m i liên h sâu s c gi a s hóa m i liên h b ng cách ñưa tr ng s vào Có ý ki#n cho r ng s gi ng v i m t toán thi ch n ñ i n Vi t Nam năm 1993 Tuy nhiên, n#u xem xét k l-i gi i s gi ng ch' hình th c Bài năm khó r t nhi u so v i năm 1993 (VTST 1993, Bài 1) G i hình ch nh&t kích thư c x (ho c x 2) b% c t b m t hình vng x m t góc hình ch nh&t khuy t đơn G i hình ch nh&t kích thư c x (ho c x 2) b% c t b hình vng x hai góc đ i di n hình ch nh&t khuy t kép Ngư i ta ghép m t s hình vng x 2, m t s hình ch nh&t khuy t đơn m t s hình ch nh&t khuy t kép v i nhau, cho khơng có hai hình ch m lên nhau, đ t o thành m t hình ch nh&t kích thư c 1993 x 2000 G i s t(ng s hình vng x 73 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 hình ch nh&t khuy t kép c n dùng m"i cách ghép hình nói Tìm giá tr% l n nh t c a s L-i gi i tốn đơn gi n (khơng ph i ng,u nhiên đư c đ!t v trí s c a kỳ thi): Tô màu hàng xen k" đen tr ng s" có 997 hàng ñen 996 hàng tr ng, suy s ô ñen nhi u s ô tr ng 2000 M7i m t hình vng x m7i m t hình ch nh t khuy#t kép ln có tr ng, đen, cịn m7i m t hình ch nh t khuy#n đơn có s đen – tr s tr ng = ho!c -1 Vì v y n#u g i x, y, z l n lư t s hình vng x 2, s hình ch nh t khuy#t kép, s hình ch nh t khuy#t đơn ta l n lư t có: 1) 4x + 4y + 5z = 1993 x 2000 (s ô) 2) 2000 ≤ z (s đen – s tr ng) T suy 4x + 4y ≤ 1988 x 2000 Suy s = x + y ≤ 994000 Phép ph t i ưu có th xây d ng d dàng nh- c u hình b n sau: Bài Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM, ta có suy C ng b t đ ng th c v i hai b t ñ ng th c tương t , ta suy Hơn n a, ta l$i có Vì v y, 74 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 (1) Bây gi-, s% d ng b t ñ ng th c b n ta suy t c (2) K#t h p (1) (2), ta có k#t qu c n ch ng minh Đ ng th c x y ch' Nh n xét • Đánh giá b n t nhiên, ñ ng th-i bư c m u ch t đ đơn gi n hóa b t đ ng th c • Sau tìm đư c ñánh giá , ta s% d ng ñi u ki n m t cách tr c ti#p ñ ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh v d$ng thu n nh t Đ#n ñây, ta có nhi u phương hư ng ch ng minh khác nhau, có cách trình bày l-i gi i Bài Cách Ta nh n xét r ng v i ñi u ki n c a ñ v i m i h thu c {1, 2, …, n} t p h p ñ$i bi u h nhóm b t kỳ s" ñ#n t nh t h nư c Th t v y, h nhóm g m hk đ$i di n, mà m7i nư c ch' có k đ$i bi u suy s nư c có đ$i di n h nhóm nói khơng th dư i h nư c Ta g i tính ch t h nhóm b t kỳ có đ$i bi u c a nh t h nư c tính ch t (*) Đ ch ng minh toán, ta ch ng minh r ng ta có th chuy n b t đ$i di n kh i nhóm cho 1) M7i nhóm ch' cịn l$i m t đ$i di n 2) Đi u ki n (*) v,n ñư c th a mãn Rõ ràng n#u ta ch n đ$i di n cịn l$i phịng n ngư-i th a mãn yêu c u tốn, theo u ki n (*) v i h = n đ$i di n s" ñ$i bi u ñ#n t n nư c Ta ch ng minh kh ng đ nh nói b ng cách s% d ng nguyên lý c c h$n Trong cách chuy n b t ñ$i di n kh i nhóm cho u ki n (*) v,n ñư c th a mãn, ch n cách chuy n có s đ$i di n ñư c chuy n l n nh t Ta ch ng minh r ng v i cách chuy n này, m7i nhóm ch' cịn l$i đ$i di n 75 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Th t v y, gi s% có nhóm nào đó, ch ng h$n nhóm ch a nh t ngư-i x, y N#u ta b ngư-i x kh i phịng theo ch n cách chuy n trên, u ki n (*) s" khơng cịn đư c th a mãn T c t n t$i q nhóm i1, i2, …, iq cho nhóm (ñã b ngư-i x), i1, i2, …, iq (1) ch' ch a nhi u nh t ñ$i di n c a q nư c Tương t , t n t$i p nhóm j1, j2, …, jp cho nhóm (đã b ngư-i y), j1, j2, …, jp (2) ch' ch a nhi u nh t ñ$i di n c a p nư c Trong ch' s i j, gi s% có r ch' s trùng nhau: i1 = j1, …, ir = jr ch' s khác Khi nhóm i1, i2, …, ir ch a đ$i di n c a nh t r nư c nên có nh t r nư c trùng hai danh sách (1) (2) Do đó, hai danh sách (1) (2) g p l$i ch a nhi u nh t ñ$i di n c a q + p – r nư c (3) M!t khác, h p hai danh sách phịng nói l$i, ta đư c danh sách phòng phân bi t 1, i1, i2, …, ir, ir+1, …, ik, jr+1, …, jp (nhóm thi#u x nhóm thi#u y h p l$i thành nhóm 1) Áp d ng u ki n (*) ta th y h p c a hai danh sách ch a đ$i di n c a nh t + q + p – r nư c, mâu thu,n v i (3) Bài tốn đư c gi i quy#t hoàn toàn Cách Đ l-i gi i t nhiên, chúng tơi trình bày thêm ph n d,n d t Trong l-i gi i có th b ñi ph n in nghiêng Đ thu n ti n trình bày, ta phát bi u tốn dư i d$ng t p h p: Cho A1, A2, …, An n t p k ph n t% c a X = {1, 2, …,n}, m7i ph n t% xu t hi n ñúng k l n Khi tìm đư c a1, a2, …, an đơi m t khác cho thu c Ai D th y h p c a p t p h p b t kỳ ch a nh t p ph n t% Ý tư ng ta s* ch n a1 m t cách b t kỳ t t&p A1, a2 m t ph n t khác a1 ch n t A2 Ta c ch n ng.u nhiên theo nguyên t c th cho ñ n khơng ch n đư!c n a T c ta g p trư ng h!p g p t&p h!p Ap+1 t t c ph n t c a đư!c ch n trư c Gi s thu c Ai, i = 1, 2, …, p ph n t ñã ñư!c ch n Ta ñ t J1 = { i ∈ {1, 2, …, k}| ∈ Ak+1} N u ta ch n a thu c B Gi s a thu c Ai1 theo đ%nh nghĩa, ai1 thu c Ak+1, ta đ(i l i, ch n a t Ai1 cịn ai1 t Ak+1 Như v&y ta m r ng cách ch n ph n t phân bi t ñ n Ak+1 } N u Trong trư ng h!p B1 = ∅, ta l i ñ t J2 = {i ∈ {1, 2, …, k} | ta ch n a thu c B2 Gi s a thu c Ai1 ai1 s* thu c Ai2 v i i2 thu c J1, suy ñó ai2 thu c Ak+1 Bây gi ta ch n a t Ai1, ai1 t Ai2 ai2 t Ak+1 Như v&y ta ñã m r ng cách ch n ph n t phân bi t ñ n Ak+1 76 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 N u B2 = ∅ ta l i ti p t c th c hi n trình … Bây gi- vào l-i gi i Ta xét đ th có hư ng G g m p+1 ñ'nh: 1, 2, …, p, p+1 Đ'nh i ñư c n i ñ#n ñ'nh j n#u thu c Aj Ta ñ!t J = { i ∈ {1, 2,…, p+1}| có đư-ng t i đ#n p+1} V i m i i ∈ {1, 2,…, p}, ta có ∈ A thu c Aj v i j thu c J t i đ#n j ∈ J G ch a ñư-ng ñi t i ñ#n p+1 i ∈ J có c$nh n i T {i | i ∈ {1, 2,…, p}, ∈ A} = J \ {p+1} = J* Đ!t B = A \ {ai| i ∈ J*} Khi B ∩ {a1, a2,…, ap} = ∅ |B| = |A| - |J*| = |A| - |J| + ≥ Xét a ∈ B Khi a ∈ Aj v i j ∈ J Rõ ràng j ≠ p+1 Như v y có đư-ng t j đ#n p+1 Gi s% j0=j, j1,…, jl = p+1 Chú ý r ng I = {j0, j1,…, jl} ⊆ J Bây gi- n#u ñ!t bj0, bj1, …, bjl tương ng a, aj0, …, aj(l-1) rõ ràng bi ∈ Ai v i m i i thu c I Đ!t bp+1 = ajl, bi = v i m i i ∉ I Khi b1, b2, …, bk+1 ph n t% phân bi t l y t A1, A2, …, Ap+1 tương ng Như v y ta ñã m r ng ñư c cho p+1 t p h p Bài tốn đư c ch ng minh hồn toàn Cách L-i gi i s% d ng ñ nh lý Hall sau ñây: B( ñ : Cho A1, A2, …, An m t h t p c a m t t p h p X th a mãn ñi u ki n v i m i I ⊆ X (*) | Khi t n t$i a1, a2, …, an phân bi t c a X cho ∈ Ai v i m i i = 1, 2, …, n Ch ng minh Ta ch ng minh b ng quy n$p theo n V i n = 1, k#t lu t c a b( ñ hi n nhiên Gi s% b( ñ ñúng v i m i h t p F có |F| < n Xét h F = (A1, A2, …, An) Ta xét hai trư-ng h p Trư-ng h p 1: T n t$i m t t p ch' s I ⊂ {1, 2, …, n}, | I | < n cho | Đ!t J = {1, 2, …, n} \ I, , Aj* = Aj \ A v i m i j ∈ J Ta ch ng minh h Aj* th a mãn ñi u ki n (*) T áp d ng gi thi#t quy n$p cho h Ai, i ∈ I, Aj*, j ∈ J ta suy ñi u ph i ch ng minh Gi s% ngư c l$i, t n t$i K ⊂ J cho | Khi đó, nên ta có | | M!t khác, nên v# trái c a ñ ng th c | Mâu thu,n 77 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 b ng Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Trư-ng h p 2: V i m i I ⊂ {1, 2, …, n}, | I | < n, ta có | Khi ch n m t ph n t% b t kỳ a1 t A1 Đ!t Ai* = Ai \{a1} v i m i i = 2, 3, …, n Khi v i m i I ⊂ { 2, …, n}, ta có | Như v y h (A2*, …, An*) th a mãn ñi u ki n (*) theo gi thi#t quy n$p, ta có th ch n ñư c ph n t% phân bi t a2, a3, …, an cho ∈ Ai* v i m i i = 2, …, n K#t h p v i a1 ta ñư c ph n t% phân bi t a1, a2, …, an ∈ Ai Quay tr l$i tốn, b ng cách mơ hình hóa đ$i di n c a nư c ph n t%, nhóm t p con, b ng cách lý lu n tương t l-i gi i 1, ta th y t p th a mãn u ki n (*) tìm ñư c cách ch n th a mãn yêu c u toán Nh n xét V i k=1 k = n, k#t lu n c a toán hi n nhiên V i k = 2, ta có m t cách gi i đơn gi n sau: & nhóm 1, ta l y ñ$i di n b t kỳ thu c nư c i1, ti#p theo, ta đ#n nhóm có ngư-i cịn l$i c a nư c i1, l y ngư-i l$i nhóm (thu c nư c i2) làm đ$i di n cho nhóm này, l$i chuy n sang nhóm có ngư-i cịn l$i c a nư c i2 … N#u q trình có th kéo dài đ#n h#t n nhóm xong N#u khơng s" x y trư-ng h p sau ch n ñ$i di n cho nhóm k thu c nư c ik ngư-i nư c v i cịn l$i nhóm l$i thu c nhóm Như th# nhóm 1, 2, …, k t$o thành m t xích, ta lo$i xíc làm vi c v i nh ng nhóm cịn l$i b ng cách tương t Bài Ta có So sánh h s c a bên ta có Ti#p theo ta ch ng minh không chia h#t cho Gi s% 2n có bi u di n tam phân v i ∈{0, 1, 2} Trư-ng h p 1: thu c t p {0, 1}, Khi a0 + a1 + … + ak = 2p 4n có bi u di n tam phân (do = ho!c 1) theo ñ nh lý Lucas, ta có Trư-ng h p 2: t n t$i i nh nh t mà = 2, h s tương ng c a 4n Do 78 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 nên Nh n xét • Vì đ nh lý Lucas khơng đư c s% d ng nên thí sinh s% d ng ph i ch ng minh l$i đ nh lý • Cũng có th trình bày l-i gi i tr c ti#p khơng thơng qua đ nh lý Lucas, nhiên có l" khơng th tránh kh i vi c s% d ng h tam phân lý lu n t( h p dư i • Cách ti#p c n c a đ bài, yêu c u ch ng minh S2n + khơng chia h#t cho có hai m c đích: 1) Ki m tra xem thí sinh có tính đư c S2n khơng? Và ch7 đ cho ñi m 2) Đưa b n ch t t( h p c a t g i ý đ#n cách khai tri n đa th c theo mơ-đun * Đ hồn ch'nh l-i gi i, chúng tơi trình bày cách ch ng minh ñ nh lý Lucas Đ nh lý Lucas Cho m n s nguyên không âm, p s nguyên t m = mkpk + mk-1pk-1 + … + m1p + m0 n = nkpk + nk-1pk-1 + … + n1p + n0 bi u di n p phân c a m n tương ng Khi Ch ng minh Ta làm vi c ña th c v i h s ñư c xét theo modulo p Do v i m i k = 1, 2, …, p-1 nên ta có (1+ x)p ≡ + xp (mod p) T b ng quy n$p ta suy (mod p) Như v y ta có (mod p) H s c a xn v# trái v# ph i Do bi u di n p phân c a n nh t nên h s c a xn T ta có u ph i ch ng minh L i gi i có s d ng đáp án th c, l i gi i ý tư ng c a b n LTL, Ph m Minh Khoa, Võ Qu c Bá C0n, Traum m t s th o lu&n khác di1n ñàn www.mathscope.org 79 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 B t ñ ng th c: M t s ví d t p ch n l c (USA MO 2004) Cho a, b, c s th c dương Ch ng minh r ng (a5 – a2 + 3)(b5 – b2 + 3)(c5 – c2 + 3) ≥ (a+b+c)3 (IMO 2005) Ch ng minh r ng n#u a, b, c s dương có tích l n hay b ng a5 − a2 b5 − b c5 − c + + ≥0 a + b + c b5 + c + a c5 + a + b (Kvant) Cho a, b, c s th c dương tho mãn ñi u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng ta ln có 1 + + + 48(ab + bc + ca ) ≥ 25 a b c (Mathlinks) Cho a, b, c, x, y, z s th c th a mãn ñi u ki n (a+b+c)(x+y+z) = 3, (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = Ch ng minh r ng ax + by + cz ≥ (Vi t Nam 2002) Cho x, y, z s th c tho mãn ñi u ki n x2 + y2 + z2 = Ch ng minh r ng 2(x+y+z) – xyz ≤ 10 Cho x, y, z s th c tho mãn ñi u ki n x + y + z = x2 + y2 + z2 = Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c F = x2y + y2z + z2x (Vasile Cirtoaje) Cho s th c khơng âm th a mãn u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng a2b + b2c + c2a + abc ≤ (IMO 1999) Cho n ≥ m t s ngun dương c đ nh, tìm h ng s C nh nh t cho v i m i s th c không âm x1, x2, …, xn  n  xi x j ( x + x ) ≤ C  ∑ x i  ∑ 1≤i < j ≤ n  i =1  i j Cho a, b, c s th c dương cho trư c x, y, z s th c dương thay ñ(i tho mãn ñi u ki n xyz = ax + by + cz Ch ng minh r ng giá tr nh nh t c a x + y + z b ng b + c + 2bc / d + c + a + 2ca / d + a + b + 2ab / d , d s th c dương xác đ nh b.i phương trình a b c + + = a+d b+d c+d 80 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 10 (Romanian TST 2007) Cho n ≥ x1, …, xn ; y1, …, yn 2n s th c tho mãn ñi u ki n n ∑ ai2 = 1, i =1 n n ∑ bi2 = 1, ∑ bi = 0, i =1  n  i =1  n  Ch ng minh r ng  ∑  +  ∑ bi  ≤ n  i =1   i =1  11 (IMO Shortlist 2007) Cho a1, a2, …, a100 s th c không âm tho mãn ñi u ki n a12 + a22 + … + a1002 = Ch ng minh r ng a12a2 + a22a3 + … + a1002a1 < 12/25 12 IMO Short List 2003) Cho n ≥ s nguyên dương x1, x2, …, xn, y1, y2, …, yn 2n s th c dương Gi s% z2, z3, …, z2n s th c dương cho z2i+j ≥ xiyj v i m i i, j thu c {1, 2,…,n} Đ!t M = max{z2, z3,…, z2n} Ch ng minh r ng  M + z + z + + z n  2n    x1 + + x n  y1 + + y n  ≥   n n     13 Cho a1, a2, …, an s th c cho a12 + a22 + … + an2 = Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c a1a2 + a2a3 + … + an-1an 14 Cho x1, x2, …, xn s dương G i A s nh nh t s x1 , x + 1 1 , x3 + , , x n + , , B s l n nh t s Ch ng minh x1 x2 xn −1 x n r ng giá tr l n nh t c a A b ng giá tr nh nh t c a B tìm giá tr 15 T(ng n s th c dương x1, x2, x3, , xn b ng G i S — s l n nh t s x1/(1 + x1), x2/(1 + x1 + x2), , xn/(1 + x1 + x2 + + xn) Tìm giá tr nh nh t c a S V i nh ng giá tr c a x1, x2, x3, , xn giá tr ñ$t ñư c? 81 | Tr n Nam Dũng – 6/2010