quan hệ vuông góc trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN ———————o0o——————– MƠN HỌC : PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MƠN TỐN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Nhóm 8: LƯU THỊ GIANG PHẠM THỊ THU HÀ TRẦN THỊ LAN ANH TẠ THỊ HÀ HÀ NỘI, - 2019 1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Trong khơng gian cho hai đường thẳng a, b Từ điểm O ta vẽ hai đường thẳng a b song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc a b khơng thay đổi Do ta có định nghĩa: 1.1 Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song với a b Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D Tính góc đường thẳng sau đây: a) AB B C b) AC B C c)A C B C Giải a) Ta có B C BC ⇒ (AB, B C ) = (AB, BC) = ABC = 900 ( ABCD hình vng) b) Ta có B C BC ⇒ (AC, B C ) = (AC, BC) = ACB = 450 c) Ta có A C AC ⇒ (A C , B C) = (AC, B C) = ACB Lại có AC, B C, AB đường chéo mặt hình vng ⇒ AC = B C = AB ⇒ ABC tam giác ⇒ (A C , B C) = ACB = 600 1.2 Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại b) Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b (u, v) = α góc hai đường thẳng a b α 00 ≤ α ≤ 900 1800 − α 900 < α ≤ 1800 Nếu a b song song trùng góc chúng 00 1.3 Phương pháp tính góc hai đường thẳng Cách 1: Tính theo định nghĩa Lưu ý : Trong trường hợp ta thường sử dụng định lí Cơsin tam giác để tính Cách 2: Tìm hai vecto phương u, v hai đường thẳng a, b |u.v| Khi góc hai đường thẳng a, b xác định cos(a, b) = | cos(u, v)| = |u||v| √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng SC AB Giải Cách Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, AC Khi M N Để tính góc hai đường thẳng SC AB, ta cần tính góc N M P a Ta có MN = MP = √ a 3a2 SAC tam giác có cạnh a ⇒ SP = ⇒ SP = 4 AB, M P SC BP trung tuyến P N trung tuyến √ 2 2 2) BA + BC AC a + (a a2 5a2 ABC ⇒ BP = − = − = 4 3s2 5a2 + 2 SP + BP SB − a = 3a SBP ⇒ N P = − = 4 4 Mặt khác N P = N M + M P − 2M N.M P cos N M P , a2 cos N M P = − a4 a = − , suy N M P = 1200 2 2 Vậy góc hai đường thẳng SC AB 600 −→ −→ Cách Ta tính cos(SC, AB) Ta có a2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ − +0 −→ −→ (SA + AC).AB SC.AB SA.AB + AC.AB cos(SC, AB) = −→ −→ = = = =− 2 a a a |SC|.|AB| Suy cos(SC, AB) = Vậy góc hai đường thẳng SC AB 600 2.1 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Định nhĩa Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 Người ta kí hiệu hai đường thẳng a b vng góc với a ⊥ b Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D Chỉ đáp án đáp án sau: A AC ⊥ A B B BB ⊥ DD C BD ⊥ A C D A C ⊥ B C Đáp án: C 2.2 Nhận xét a) Nếu u v vecto phương hai đường thẳng a b thì: a ⊥ b ⇔ u.v = b) Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng c) Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo 2.3 Phương pháp Cách 1: Tính góc hai đường thẳng Nếu góc hai đường thẳng 900 chúng vng góc với Cách 2: Sử dụng định lí Pitago Cách 3: Chứng minh a ⊥ b ta chứng minh u.v = u, v vecto phương a, b b c Cách 4: Sử dụng tính chất ⇒ a ⊥ b a⊥c Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC AB ⊥ BD Gọi P Q trung điểm AB CD Chứng minh AB P Q hai đường thẳng vuông góc với Giải −→ −→ −→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ Ta có P Q = P A + AC + CQ P Q = P B + BD + DQ −→ −→ −−→ Do 2P Q = AC + BD −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ Vậy 2P Q.AB = (AC + BD).AB = AC.AB + BD.AB = hay P Q.AB = tức P Q ⊥ AB Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cạnh Hãy giải thích AC ⊥ B D Giải Do hình hộp ABCD.A B C D có tất cạnh ⇒ Các mặt hình hộp hình thoi Ta có AC A C Mà A B C D hình thoi nên A C ⊥ B D Suy AC ⊥ B D 3.1 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (α) d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) Khi d vng góc với (α) ta cịn nói (α) vng góc với d, d (α) vng góc với kí hiệu d ⊥ (α) 3.2 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định lý Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Hệ Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh thứ ba tam giác Ví dụ Ta có: SA ⊥ AB SA ⊥ AC suy SA ⊥ BC 3.3 Tính chất Tính chất Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Người ta gọi mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Tính chất Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước 3.4 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng Tính chất a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất a) Cho mặt phẳng song song với Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất a) Cho đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với Đường thẳng vng góc với (α) vng góc với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH ⊥ SC Giải a) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ AB Từ suy BC ⊥ (SAB) b) Vì BC ⊥ (SAB) AH nằm (SAB) nên BC ⊥ AH Ta lại có AH ⊥ BC, AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) Từ suy AH ⊥ SC 10 3.5 Phép chiếu vng góc định lí ba đường vng góc Phép chiếu vng góc Cho đường thẳng vng góc với mặt phẳng (α) Phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng (α) gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (α) Định lý ba đường vng góc Định lý Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) b đường thẳng khơng thuộc (α) đồng thời khơng vng góc với (α) Gọi b hình chiếu vng góc b (α) Khi a vng góc với b a vng góc với b (h.3.27) Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (α) 900 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) góc d hình chiếu d (α) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (α) Khi d khơng vng góc với (α) d cắt (α) điểm O, ta lấy điểm A tùy ý d với điểm O Gọi H hình chiếu vng góc A lên (α) ϕ góc d (α) AOH = ϕ Chú ý Nếu ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng (α) ta lng có ≤ ϕ ≤ 900 11 Ví √ dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Gọi M N hình chiếu điểm A lên đường thẳng SB SD Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (AM N ) b) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giải a) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA, suy BC ⊥ (SAB) Từ suy BC ⊥ AM , mà SB ⊥ AM nên AM ⊥ (SBC) Do AM ⊥ SC(h.3.29) Tương tự ta chứng minh AN ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AM N ) b) Ta có AC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) nên SCA góc đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) Tam giác vng SAC cân A có √ SA = AC = a Do SCA = 450 12 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 4.1 Góc hai mặt phẳng Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 00 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt Giả sử hai mặt phẳng (α) (β) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng (α) đường thẳng a vng góc với c dựng (β) đường thẳng b vng góc với c Người ta chứng minh góc hai mặt phẳng (α) (β) góc hai đường thẳng a b Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giác H nằm mặt phẳng (α) có diện tích S H’ hình chiếu vng góc H mặt phẳng (β) Khi diện tích S H’ tính theo cơng thức: S = S cos ϕ với ϕ góc (α) (β) 13 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA a vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a) Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) b) Tính diện tích tam giác SBC Giải a) Gọi H trung điểm cạnh BC Ta có BC ⊥ AH (1) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ SH Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) SHA Đặt ϕ = SHA, ta có: a √ SA = √ =√ = tan ϕ = AH a 3 ta suy ϕ = 300 Vậy góc (ABC) (SBC) 300 b) Vì SA ⊥ (ABC) nên tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác SBC Gọi S1 , S2 diện tích tam giác SBC ABC Ta có S2 = S1 cos ϕ ⇒ S1 = √ a2 a2 Suy ra: S1 = √ = 14 S2 cos ϕ 4.2 Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng Nếu hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với ta kí hiệu (α) ⊥ (β) Các định lí Định lý Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hệ Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến thù vng góc với mặt phẳng Hệ Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nằm mặt phẳng (α) Định lý Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.(h.34) 15 4.3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Định nghĩa Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng.(h.35) Nhận xét Các mặt bên hình lăng trụ đứng ln ln vng góc với mặt phẳng đáy hình chữ nhật 4.4 Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tam đa giác đáy Nhận xét a) Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc b) Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 16 Hình chóp cụt Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Nhận xét Các mặt bên hình chóp cụt hình thang cân cạnh bên hình chóp cụt có độ dài 5.1 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O, a) gọi H hình chiếu vng góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O, a) 17 Ví dụ 10 Cho điểm O đường thẳng a Chứng minh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bé so với khoảng cách từ O đến điểm đường thẳng a Giải Gọi H ∈ a cho OH ⊥ a ⇒ d(O, a) = OH Gọi H = H ∈ a Ta chứng minh OH ≥ OH Xét OHH vng H có OH ≥ OH ∀H ∈ a ⇒ OH khoảng cách bé so với khoảng cách từ O đến điểm đường thẳng a.(đpcm) 5.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) kí hiệu d(O, (α)) 18 Ví dụ 11 Cho điểm O mặt phẳng (α) Chứng minh khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ O tới điểm mặt phẳng (α) Giải Gọi H ∈ (α) cho OH ⊥ (α) ⇒ d(O, (α)) = OH Gọi H = M ∈ (α) Ta chứng minh OM ≥ OH Xét OHM vng H có OM ≥ OH ∀M ∈ (α) ⇒ OH khoảng cách bé so với khoảng cách từ O đến điểm mặt phẳng (α).(đpcm) 6.1 KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Định nghĩa Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α).Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α), kí hiệu (d(a, (α)) Ví dụ 12 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Chứng minh khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (α) 19 Giải Gọi O ∈ a H ∈ (α) cho OH ⊥ (α) ⇒ d(a, (α)) = d(O, (α)) = OH Gọi H = H ∈ (α) Ta chứng minh OH ≥ OH Xét OHH vng H có OH ≥ OH ∀H ∈ (α) ⇒ OH khoảng cách bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (α) (đpcm) 6.2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ta kí hiệu khoảng cách hai mặt phẳng (α) (β) song song với d((α), (β)) Khi d((α), (β)) = d(M, (β)) với M ∈ (α), d((α), (β)) = d(M , (β)) với M ∈ (β) Ví dụ 13 Cho hai mặt phẳng (α) (β) Chứng minh khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) nhỏ khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới điểm mặt phẳng 20 Giải Gọi O ∈ (β) H ∈ (α) cho OH ⊥ (α) ⇒ d((α), (β)) = d(O, (α)) = OH Gọi H = H ∈ (α) Ta chứng minh OH ≥ OH Xét OHH vuông H có OH ≥ OH ∀H ∈ (α) ⇒ OH khoảng cách bé so với khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng (β) tới điểm thuộc mặt phẳng (α) (đpcm) ĐƯỜNG VNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Ví dụ 14 Cho tứ diện ABCD Gọi M, F trung điểm cạnh BC AD Chứng minh rằng: M F ⊥ BC M F ⊥ AD Giải 21 Xét BF C có BF = CF (Tứ diện ABCD đều, BF, CF tương ứng đường trung tuyến hai tam giác nhau) ⇒ BF C tam giác cân F Có F M đường trung tuyến (M trung điểm BC) ⇒ F M ⊥ BC Chứng minh tương tự, M F ⊥ AD (đpcm) 7.1 Định nghĩa a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhai a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b b) Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a , b M, N độ dài đoạn thẳng M N gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b 7.2 Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi (β) mặt phẳng chứa b song song với a, a hình chiếu vng góc a mặt phẳng (β) 22 Vì a//(β) nên a//a Do a b cắt điểm Gọi điểm N Gọi (α) mặt phẳng chứa a a , ∆ đường thẳng qua N vng góc với (β) Khi (α) vng góc với (β) Như ∆ nằm (α) nên cắt đường thẳng a M cắt đường thẳng b N , đồng thời ∆ vng góc với a b Do ∆ đường vng góc chung a b 7.3 Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Ví dụ 15 Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng chéo bé so với khoảng cách hai điểm nằm hai đường thẳng 23 Giải Gọi (α) (β) mặt phẳng qua a song song với b, qua b song song với a Gọi a hình chiếu đường thẳng a lên mặt phẳng (β) a ∩b=H Gọi O hình chiếu H lên a ⇒ d(a, b) = d(α, (β)) = d(H, (α)) = OH Gọi H = H ∈ (b) Ta chứng minh OH ≥ OH Xét OHH vuông H có OH ≥ OH ∀H ∈ (b) ⇒ OH khoảng cách bé so với khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng a tới điểm thuộc đường thẳng b (đpcm) Ví dụ 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD Giải 24 Gọi O tâm hình vng ABCD Trong mặt phẳng (SAC) vẽ OH ⊥ SC Ta có BD ⊥ AC BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC), suy BD ⊥ OH Mặt khác OH ⊥ SC Vậy OH đoạn vng góc chung SC BD Độ dài đoạn OH khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD Hai tam giác vuông SAC OHC đồng dạng có chung góc nhọn C SA OH = (= sinC) SC OC SA.OC Vậy OH = SC √ a Ta có SA = a.OC = √ SC = SA2 + AC Do √ √ a2 + 2a2 = a √ a √ a a nên OH = √2 = a = √ a Vậy khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD OH = 25 ... trước vng góc với mặt phẳng cho trước 3.4 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng Tính chất a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với... mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hệ Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến thù vng góc với mặt phẳng Hệ Cho hai mặt... thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng c) Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo 2.3 Phương pháp Cách 1: Tính góc hai đường thẳng Nếu góc hai đường thẳng 900 chúng vng góc với Cách