CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC I) Lý thuyết : ĐN : Nếu a > 0 ; b > 0 ; và a > b thì a – b > 0 Tính chất : Nếu a > b thì a + c > b + c Nếu a > b và b > c thì a > c Nếu a > b + c ⇔ a – c > b Nếu a > b và c > d ⇔ a + c > b + d Nếu a > b ⇔ a.c b.c 0 . . 0 nếu c a c b c nếu c > > < < Nếu a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd Nếu a > b, n nguyên dương ⇒ a n > b n Nếu a > b, n nguyên dương ⇒ n n a b > Nếu 2 2 , 0a b và a b a b a b ≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ Nếu a > b , a.b > 0 1 1 a b ⇒ < Nếu a > 1 ; m và n nguyên dương m > n ⇒ a m > a n Nếu 0 < a < 1 ; m và n nguyên dương m > n ⇒ a m < a n * Bất đẳng thức Cauchy : Cho a 1 , a 2 , a 3 , …………,a n là các số không âm . Khi đó : 1) n n n aaaa n aaaa . . 321 321 ≥ ++++ 2) Dấu bằng xãy ra trong (1) khi a 1 = a 2 = a 3 = ………= a n * Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski : Cho a 1 , a 2 , a 3 , …………,a n và b 1 , b 2 , b 3 ,…………b n là 2n số bất kỳ . Khi đó ta có 1) ) ( ( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 . nnnn babababbbaaa +++≥+++++ 2) Dấu bằng xãy ra khi : n n b a b a b a === 2 2 1 1 * Bất đẳng thức Trê-bư-sep : Cho hai dãy tăng a 1 < a 2 < a 3 < …….< a n và b 1 < b 2 < ………< b n . Khi đó ta có : 1) ( a 1 + a 2 + ………… + a n ) ( b 1 + b 2 +……… +b n ) ) nn bababan +++≤ ( 2211 2) dầu bằng xãy ra khi chỉ khi : a 1 = a 2 = ………… = a n hoặc b 1 = b 2 =……… =b n • Chú ý : Cần tránh các sai lầm sau : • Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều. • Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm. • Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm. • Khử mẩu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẩu. • Nghòch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi chưa có giả thiết hai vế cùng vế. • Thừa nhận x m > x n với m , n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x. • Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : Dùng đònh nghóa. Phương pháp : Biến đổi tương tương. Phương pháp : Làm trội. Phương pháp : Phản chứng. Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta phải dựa vào những bất đẳng thức đúng dã biết. Chú ý : ( Ghi nhớ ) 2 2 1) 0, 0 " " 0 2) " " 0 a a a Dấu xảyra a a a a Dấu xảyra a ∀ ≥ − ≤ = ⇔ = − ≤ ≤ = ⇔ = Bài 1 : Chứng minh rằng : (a + b) 2 ≥ 4ab Với mọi a,b ∈ R HD : ( a + b ) 2 – 4ab ≥ 0 Bài 2 : Chứng minh rằng : V i moi a,b 0 2 a b ab ớ ï + ≥ ≥ Bài 3 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b + ≤ + Bài 4 : Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2x y z xy yz + + ≥ − Bài 5 : Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 3 2a b c a b c + + + ≥ + + Bài 6 : Chứng minh rằng : 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc + + ≥ − + Bài 7 : Chứng minh rằng : 4 2 3 4 5 8 2 1a a a a + ≥ + − Bài 8 : Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + + Bài 9 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc + + + + + ≥ Bài 10 : Chứng minh rằng : 4 3 4a a + ≥ Bài 11 : Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 x x + ≥ + Bài 12 : Cho a >2, b> 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b HD : Do a >2 và b>0 nên 2a > ab , Tương tự 2b > ab , ta cộng từng vế ta được điều cần chứng minh Bài 13 : Với mọi a,b ∈ R . Chứng minh rằng : ( 2 ba + ) 2 ≥ ab HD : ( 2 ba + ) 2 ≥ ab ( a + b ) 2 ≥ 4ab mở rộng thêm ta có thể CMR : ( 3 cba ++ ) 3 ≥ abc Bài 14 : Cho x >0 , y >0 . Chứng minh rằng : yxyx + ≥+ 411 ( dấu bằng xãy ra khi nào ) HD : ta chứng minh bất đẳng thức sau : 4)( 11 ≥++ yx yx ta dùng bất đẳng thức Cauchy x+y ≥ 2 xy ; xy yx 211 ≥+ ( dấu bằng xãy ra khi x = y ) Bài 15 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab+bc+ca) HD : ta có : a < b + c => a 2 < a( b+c) = ab + ac b < a +c => b 2 < b (a+c) = bc + ab c < b + a => c 2 < c ( b+a) = cb +ca Ta cộng từng vế ta có : a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab+bc+ca) Bài 16 : Chứng minh rằng : với mọi số thực a,b,c ta có các bất đẳng thức sau : a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b) a 4 + b 4 ≥ a 3 b + ab 3 (*) với a>0, b>0 HD : a) a 2 + b 2 ≥ 2ab ; a 2 + c 2 ≥ 2ac ; b 2 + c 2 ≥ 2bc ta cộng từng vế với nhau ( ĐPCM) b) (*) a 4 + b 4 - a 3 b - ab 3 ≥ 0 a 4 + b 4 - a 3 b - ab 3 = (a 4 – a 3 b) – (ab 3 – b 4 ) = a 3 (a – b) – b 3 (a – b) = (a –b) ( a 3 – b 3 ) = (a-b) 2 ( a 2 +ab+b 2 ) ≥ 0 (Do ĐK) Bài 17 : Cho x>0, y>0 . Chứng minh rằng : x 2 +y 2 +1 ≥ xy+x+y HD : Dùng Cauchy : x 2 +y 2 ≥ 2xy ; x 2 + 1 ≥ x ; y 2 +1 ≥ y . Ta cộng từng vế ( ĐPCM) Bài 18 : Chứng minh rằng : a 4 + b 4 +c 2 + 1 ≥ 2a( ab 2 – a + c +1) HD : Tương tự như bài 7 Bài 19 : Cho ba số thực a, b, c sao cho: a 2 +b 2 +c 2 = 1 Chứng minh rằng : 1 2 1 ≤++≤− cabcab HD : (a+b+c) 2 ≥ 0 2( ab + bc + ca) ≥ -( a 2 +b 2 +c 2 ) = -1 ab + bc + ca ≥ 2 1 − (1) Do bài 6 ta CM : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 1 ≥ ab + bc + ca (2) Từ (1) và (2) ĐPCM Bài 20 : Cho p > 0 ; q > 0 Chứng minh rằng : (p+2) (q+2) (p+q) ≥ 16pq HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM) Bài 21 : Cho a, b, c là ba số không âm . Chứng minh rằng : (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM) Bài 22 : Cho a,b,c là ba số dương CMR : (a+b+c) 9) 111 ( ≥++ cba HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM) a+b+c ≥ 3 3 abc ; 3) 111 ( ≥++ cba 3 1 abc Bài 23: Với a>0; b>0; c>0 .Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) b a bc c ab 2 ≥+ 2) cba b ca a bc c ab ++≥++ HD : Dùng Cauchy: bb ac bcab a bc c ab 22 . . 2 2 ==≥+ Tương tự : cc ba cabc b ca a bc 22 . . 2 2 ==≥+ ; a b ca c ab 2 ≥+ Bài 24 : Cho a>0 ; b>0 ; CMR : a 3 +b 3 ≥ a 2 b + ab 2 HD : a 3 +b 3 ≥ a 2 b + ab 2 )( ba ab ba +≥ + 33 Bài 25: Cho a>0, b>0, c>0 .Chứng minh rằng : cba ca ac bc cb ab ba ++≥ + + + + + 222 333333 HD : ca ac bc cb ab ba 222 333333 + + + + + = 2 1 ( ca ac bc cb ab ba 333333 + + + + + ) ≥ 2 1 (a+b)+(b+c)+(c+a) Bài 26: Cho a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 ; Chứng minh rằng : ab + bc + ca + a + b + c ≤ 6 HD : ta có 2( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2 ( ab + bc + ca ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca ≤ 3 (*) ; Tương tự : a 2 + 1 ≥ 2a ; b 2 + 1 ≥ 2b ; c 2 +1 ≥ 2c a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) a + b + c ≤ 3 (**) Từ (*) và (**) suy ra : ab + bc + ca + a + b + c ≤ 6 Bài 27 : Chứng minh rằng : 2( a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ a 2 (b+c)+b 2 (c+a)+c 2 ( a+b) ∈∀ cba ,, R HD : a 3 +b 3 ≥ ab ( a+b) ; b 3 + c 3 ≥ bc(b+c) ; a 3 + c 3 ≥ ac( a+c) cộng từng vế với nhau ta suy ra được điều cần chứng minh Bài 28 : Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + c 2 +1 ≥ 2a ( ab 2 – a + c + 1) ∈∀ cba ,, R ; “dấu bằng xãy ra khi nào” HD : ta có (a 2 + b 2 ) 2 = a 4 + b 4 – 2a 2 b 2 ≥ 0 dấu bằng xãy ra khi a=b Bài 29 : Cho a, b >0. Chứng minh rằng a 2 + b 2 ≥ a + b - 2 1 HD :( a - 2 1 ) 2 ≥ 0 a 2 ≥ a - 4 1 ; Tương tự b 2 ≥ b - 4 1 Bài 30 : Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +1 ≥ a + b + c + d HD : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +1 –( a + b + c + d) ≥ 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +1 –( a + b + c + d) ( a - 2 1 ) 2 + ( b - 2 1 ) 2 + ( c - 2 1 ) 2 + ( d - 2 1 ) 2 ≥ 0 Phương pháp làm trội : Bài 31 : : 1 1 1 1 . ; 1 1 2 2 2 Với n n n n n + + + > ∈ > + + ¥ HD : ( ) 1 1 1 2 1 1 2 vì n n n n n n > = > + + + ; Tương tự ta có 1 1 2 2n n > + 1 1 2 1 2n n > − 1 1 2 2n n = Do đó suy ra điều cần chứng minh. Bài 32 : : 1 1 1 1 . 1 2 3 n n + + + + > ; 1Với n n∈ >¥ Bài 33 : : ( ) 1 1 1 1 . 2 2 1 3 2 4 3 1n n + + + + < + ; 1Với n n∈ >¥ Phương pháp phản chứng : . đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm. • Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm. • Khử mẩu khi chưa. < a n * Bất đẳng thức Cauchy : Cho a 1 , a 2 , a 3 , …………,a n là các số không âm . Khi đó : 1) n n n aaaa n aaaa . . 321 321 ≥ ++++ 2) Dấu