®Ị tµi: Híng dÉn häc sinh vÏ u tè phơ để giải số toán hình học 7, I lý chọn đề tài: Trong tìm phơng pháp giải toán hình học có lúc việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm đợc lời giải Tuy nhiên, vẽ thêm yếu tố phụ nh để có lợi cho việc giải toán điều khó khăn phức tạp Kinh nghiệm thực tế cho thấy phơng pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ mà sáng tạo giải toán Bởi việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt đợc mục đích sáng tạo điều kiện để giải toán công việc tùy tiện Hơn việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình Nhận thức đợc tầm quan trọng việc đào sâu kiến thức, phát huy trí lực, kích thích niềm say mê sáng tạo lòng yêu thích môn toán học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Tôi đà nghiên cứu hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải thêm số toán hình học 7, II Đối tợng điều tra - Học sinh lớp 7, - Tổng số 107 học sinh Thuận lợi: Đợc quan tâm giúp đỡ lÃnh đạo nhà trờng, anh em tổ nh bạn bè đồng nghiệp Đặc biệt nhà trờng có đội ngũ giáo viên vững vàng chuyên môn tâm huyết với nghề Bên cạnh nhận đợc quan tâm giúp đỡ cấp lÃnh đạo đạo chuyên môn Phòng giáo dục Khó khăn: Bên cạnh thuận lợi nêu số khó khăn sau: Giáo viên năm đầu dạy toán 7, thay sách nên kinh nghiệm hạn chế, đa số giáo viên xem nhẹ việc vẽ thêm yếu tố phụ giải Toán, cho không quan trọng không gặp Mức độ nhận thức, ý thức tự giác học tập học sinh môn toán 7, đặc biệt phần hình học cha cao, học sinh đợc làm quen với cách chứng minh toán hình học Trình độ nhận thức học sinh không đồng nên giáo viên gặp khó khăn truyền đạt kiến thức III Số liệu điều tra ban đầu: Bài kiểm tra hình học có câu toán có yêu cầu vẽ yếu tố phụ mà học sinh cha biết hớng vẽ Kết nh sau: Lớp Tỉ lệ 7, 8A 7, 8B Giỏi Khá T.bìn h Yếu kÐm Tæng sè 0% 0% 6,4% 5% 33,3% 30% 44,4% 48,2% 15,9% 16,8% 100% 100% IV Nguyên nhân: Sau chấm, tổng kết thống kê kết băn khoăn, trăn trở tiết học sau tiếp tục tìm hiểu đà tìm đợc số nguyên nhân sau: Về giáo viên: - Cha khai thác hết đối tợng học sinh để có phơng pháp dạy học phù hợp Cha hớng dẫn cho em cách tỉ mỉ kỹ vẽ hình, viết giả thiết, kết luận, kỹ chứng minh toán hình học mà học sinh lớp 7, cần Về học sinh: - Do em tiếp xúc với hình học cha nhiều nên bỡ ngỡ suy nghĩ cách trình bày chứng minh, đặc biệt toán để chứng minh phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm đợc lời giải - ý thức häc tËp cđa c¸c em cha thùc sù tù gi¸c Còn ỷ lại, không chịu đào sâu suy nghĩ để tìm cách giải Có nhiều em học mang tính đối phó V giải pháp khắc phục: Đối với giáo viên: - Tôi thờng xuyên nghiên cứu tài liệu, học hỏi kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp, trau dồi chuyên môn kỹ s phạm - Tìm hiểu đối tợng học sinh giảng dạy hớng dẫn cách tỉ mỉ , cụ thể, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận, kỹ chứng minh hình học từ đơn giản đến khó - Trong buổi dạy phụ đạo thờng đa số vào cho em làm quen dần Đối víi häc sinh: - TÝch cùc hái bµi cị, kiĨm tra 15 phút để rèn kỹ vẽ hình, viết giả thiết, kết luận, kỹ chứng minh - Hớng dẫn tỉ mỉ, phân tích đề toán để tìm yếu tố cần vẽ thêm - Thờng xuyên động viên giúp đỡ em học môn hình học Cho em thấy hình học môn đòi hỏi có đầu óc tởng tợng, t duy, sáng tạo, đặc biệt có vẽ thêm yếu tố phụ em phải tự giác học, vơn lên chiếm lĩnh kiến thức cách chủ động - Giáo viên có hình thức khen chê kịp thời để động viên học sinh VI Các sở để xác định đờng phụ : Ta đa dựa sở sau để xác định đờng phụ vẽ đờng gì? vẽ từ đâu? 1- Kẻ thêm đờng phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán 2- Kẻ thêm đờng phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán 3- Kẻ thêm đờng phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán 4- Kẻ thêm đờng phụ để sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng Kẻ thêm đờng phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tơng đơng để giải toán VII Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đờng phụ: Dựa vào toán đà biết: Dựa vào toán quen thuộc, định lý tính chất đà học, học sinh nghiên cứu giả thiết kết luận toán, tìm điểm tơng đồng từ vẽ đờng phụ thích hợp để đa toán cần giải toán quen thuộc Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: AM = BC/2 Híng dÉn gi¶i: Ta cã: AM = BC/2 suy 2AM = BC Tìm cách tạo đoạn đờng thẳng 2AM chứng minh BC đoạn thẳng Nh vậy, dễ dàng nhận yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD Giải: Trên tia đối cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA XÐt: MAC vµ MBD cã: A MA = MD (cách lấy điểm M) = (đối đỉnh) MC = MB (gt) B Suy ra: MAC = MDB (c.g.c) C M Suy ra: AC = DB (hai cạnh tơng ứng) = (hai góc tớng ứng) Mặt khác D hai gãc so le nªn AC song song víi BD Ta cã: AC song song víi DB AC vu«ng gãc víi AB Suy BD vu«ng gãc víi AB Suy = 900 XÐt ABC vµ BAD cã: AC = BD (chứng minh trên) = (= 900) AB: cạnh chung Do ®ã: ABC = BAD (c.g.c) Suy ra: BC = AD (hai cạnh tơng ứng) Mà AM = AD/2 Do vËy AM = BC/2 (®pcm) VÝ dơ 2: Cho góc xAy 600 Az tia phân giác góc xAy Từ điểm B tia Ax vẽ đờng thẳng song song với Ay cắt Az C Vẽ BD vu«ng gãc víi Ay (D thc Ay) Chøng minh rằng: BD = AC/2 Hớng dẫn giải: Để chứng minh đoạn thẳng có độ dài nửa đoạn thẳng khác ta có cách giải sau: Cách 1: Chia đôi đoạn thẳng dài chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng ngắn Gọi E trung điểm AC Cần chứng minh AE EC BD Điều có đợc nhờ ADB = BEA Cách 2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn đợc đoạn thẳng chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng dài Trên tia đối tia DB lấy điểm F cho DF = DB tìm cách chứng minh AC = DF Giải: Cách 1: Gọi E trung điểm đoạn thẳng AC Ta có: = = /2 = 300 (1) B (v× Az phân giác góc xAy) z C Vì BC song song với Ay nên: = (vì góc so le trong) A (2) D y Tõ (1) vµ (2) suy ra: = Suy ra: ABC cân B, AD = BC Xét BAE BCE có: AB = CB (chứng minh trên) BE cạnh chung AE = BE (gt) Suy BAE = BCE (c.c.c) Suy = (hai góc tơng ứng) Mặt khác: + = 1800 Suy ra: = 900, EAB cã: = 900; = 300 Suy ra: = 600 = 900, = 600 Mặt khác: tam giác ADB có Suy ra: = 300 XÐt DAB vµ EBA cã: = (= 600) AB: c¹nh chung = (= 300) Do vËy, DAB = EBA (g.c.g) Suy ra: BD = AE (hai cạnh tơng ứng) Mà AE = AC/2 Vậy, BD =AC/2 (đpcm) Cách 2: Trên tia đối tia BD lấy điểm F cho DF = DB x XÐt ABD vµ AFD cã: BD = FD (chøng minh trªn) = F (= 900) z D AD: cạnh chung C Do đó: ABD = AFD (c.g.c) Suy ra: = (hai gãc t¬ng øng) A B y Suy ra: = = 1200 Ta cã: + = 1800 (hai gãc cïng phÝa) Suy ra: = 1800 600 = 1200 Mặt khác: DAB cã: = 900 Suy ra: + = 900 Suy ra: = 900 – = 300 Ta còng cã: = /2 = 300 XÐt ABF vµ BAC cã: = = 300 AB: cạnh chung = (= 1200) Do đó: ABF = BAC (g.c.g) Suy ra: BF = AC (hai c¹nh tơng ứng) Mặt khác: BD = BF/2 Do vậy, BD = AC/2 (đpcm) Ví dụ : Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến tam gi¸c ABC CMR: CE = CD A E B C M D Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đờng phụ Phân tích: Từ kết luận toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đôi đoan thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm CD ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE=CM CE=DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nèi B víi M ta suy nÕu chøng minh đợc EBC = MBC ta có đợc CE=CM điều phải chứng minh Đến điều cần chứng minh đà rõ ràng phải chứng minh EBC = MBC, hai tam giác theo trờng hợp c.g.c Việc hớng dẫn học sinh kẻ đờng phụ ta dựa vào phân tích trên, ta đa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M trung điểm cđa CD, em nµo cho biÕt CE vµ CM lµ cạnh tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đờng phụ chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? Kẻ thêm đờng phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán: Đối với trờng hợp (dạng này) thờng toán chứng minh đờng thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến tam giác, tam giác cân có đờng cao đồng thời đờng trung tuyến Ví dụ 4: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đờng chéo AC cho 900 Gọi F điểm đối xứng A qua N, chøng minh: FB BNM AC Ta ph©n tÝch néi dung kẻ đờng phụ gợi ý chứng minh Phân tích: Ta they góc BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng góc BCF BFC � 1800 , nhng ta cha cña tam giác 180O có FBC BCF thể tính đợc FBC độ nên suy đ8 Vậy vận dụng định lý để chứng ợc số đo góc BFC minh - Nhng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vuông trung điểm đoạn thẳng , ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh toán cách nào? Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh hớng dẫn em tự đặt câu hỏi nh Liệu BF có đờng cao BNC đợc không? Để chứng minh BF đờng cao tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác? Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm BNC Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE BC E Gọi giao điểm NE víi BF lµ I Ta suy r»ng nÕu chøng minh đợc CI // MN suy CI vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI đờng cao BNC Vậy I trực tâm BNC (Vì I NE CK) Do suy điều phải chứng minh là: BF AC Tóm lại việc kể thêm NE BC E nhằm tạo điểm I NE BF để chứng minh I trực tâm BNC Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi nh: - Để chứng minh BF vuông góc với AC ta chứng minh BF đờng BNC? - Để chứng minh BF qua trực tâm BCN ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đờng phụ để có điểm giao BF với đờng cao BNC? - Với NE đờng cao BNC NE BF I, ta phải chứng minh I điểm có tính chất gì? Ví dơ 5: Cho tam gi¸c ABC (AB < AC) Tõ trung điểm M cạnh BC kẻ đờng vuông góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt AB D cắt AC E Chøng minh r»ng: BD = CE Híng dÉn gi¶i: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo đoạn thẳng thứ ba chứng minh chúng đoạn thẳng thứ ba Đờng phụ cần vẽ thêm đờng thẳng qua B song song với AC cắt DE F BF đoạn thẳng thứ ba Giải: Vẽ đờng thẳng qua B song song với CE Gọi F giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng DE A Xét tam giác MBF tam giác MCE có: = (so le trong) MB = MC (vì M trung điểm BBC) M = (hai gãc ®èi ®Ønh) D F E H C Do ®ã: MBF = MCE (g.c.g) Suy ra: BF = CE (hai cạnh tơng ứng) (1) Mặt khác ADE có AH đờng cao (vì AH vuông góc với DE) Và tia phân giác Suy ra: ADE cân A Suy = (hai góc đáy) Hay = Mà BF song song với CE nên = (hai góc đồng vị) Do đó: = Suy ra: BDF cân B Suy ra: BD = BF (2) Từ (1) (2) suy ra: BD = CE (đpcm) Ví dụ 6: Cho ABC M điểm Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện lần lợt A, B, C qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB; AC K H Chứng minh rằng: MK = MH Đây toán tơng đối khó với học sinh ? Sau đà tìm nhiều cách chứng minh kết Ta ý đến giả thiết toán cho tacác yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất? Câu trả lời mong đợi định lý Talet KH // BC Đoạn thẳng BC đợc chia thành đoạn nhỏ ? Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA CA,BC Cần phải xác định thêm điểm nào? Điểm P vµ Q lµ giao cđa KH víi AB vµ AC 10 A B' C' P M K H B A' Q C Ta cã lêi gi¶i nh sau Gi¶ sư HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo ®Þnh lý TalÐt MH CA' MP CB MQ BC MK BA' MP BA' MQ CA' MH MQ MP CA' CB BA' MP MK MQ CB BA' CA' MH 1 MH MK MK Dựa vào biến đổi đại số để xác định đờng phụ Ví dụ 4: Cho ABC cã �A B� Chøng minh r»ng: BC2 = AC2 + AC.AB Hớng dẫn: - Các định lý tính chất giúp ta công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời định lý Pitago công thức gần với công thức , GV cần hớng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago không tạo đợc góc vuông có liên quan đến độ dài ba cạnh đợc Ngoài định lý Pitago cách khác không? Câu trả lời mong định lý ta lét tam giác đồng dạng 11 HÃy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng BC AC AC AB � BC AC AC AB Đến GV yêu cầu học sinh đa toán quen thuộc cđa viƯc chøng minh hƯ thøc ab= cd dùa vµo tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC - Từ học sinh đa hai cách vẽ đờng phụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh đẻ vận dụng đợc giả thiết A B ? Câu trả lời mong đợi lấy tia đối tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải D Giải: A Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Khi ®ã ABC cân A nên: BAC ABD � ADB 1� B � � ABC BAC XÐt ABC vµ BDC cã: BDC C C chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g) BC AC BC AC CD AC ( AC AD ) AC ( AC AB ) AC AC AB CD BC Nh việc dạy cho học sinh biết cách giải toán mà lời giải có kẻ thêm đờng phụ không đơn đa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đờng phụ, sau phân dạng toán đa vào gợi mở học sinh tìm đợc lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đờng phụ giải toán hình học VIII Một số tập đà hớng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh hình thoi ABCD biết bán kính đờng tròn ngoại tiếp cac tam giác ABC ABD lần lợt Bài : Cho tam giác nhọn ABC cân A Đờng cao BH Chứng minh : AB �AC � � � 2CH �BC � Bµi 3: Cho tam giác ABCcân A có A 200 AB BC 3 Chøng minh r»ng : BC AB Bài : Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh : tg ABC AC 1 víi p lµ nưa chu vi cđa tam giác 2 p AC ABC Bài :Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox Oy lần lợt lấy hai điểm M N 12 cho OM +ON = 2a không đổi a) Chứng minh : Khi M ,N chạy Ox , Oy trung điểm MN nằm đoạn thẳng cố định b) Xác định vị trí M N để tam giác OMN có diện tích lớn Bài 6: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm BC;AC AB Kẻ đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy Bài 7: Cho đờng tròn (O) điểm A bên đờng tròn kẻ cát tuyến BAC Gọi (P) đờng tròn qua A tiếp xúc với (O) B (Q) đờng tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác APOQ hình ? b) Gọi giao điểm thứ hai (P) (Q) E; (E A) Tìm tập hợp điểm E cát tuyến BAC quay quanh A Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm P, Q thứ tự di chuyển tia Ox Oy cho OP + OQ = 2007 Vẽ đờng tròn (P; OQ) (Q; OP) a) Chứng minh hai đờng tròn (P) (Q) cắt b) Gọi M, N giao điểm hai đờng tròn (P) (Q) chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định P Q thay đổi IX kiểm nghiƯm thùc tÕ Sau mét thêi gian híng dÉn häc sinh làm toán có vẽ yếu tố phụ đà thu đợc kết nh sau: Tỉ lệ Lớp 7, 8A 7, 8B Giỏi Khá T.bìn h Yếu kÐm 20,6 % 17,8 % 27% 44,3% 8,1% 0% 26,7 % 44,4% 11,1 % 0% Tæn g sè 100 % 100 % Và điều đáng mừng kiến thức học em tiến nhiều đà tự giác tìm tòi vấn đề mấu chốt toán Đa số em đà bỏ đợc thói ỷ lại giải toán mà đà học tập cách tích cực, chủ động, sáng tạo suy nghĩ tìm hớng giải toán Nếu nh trớc để trình bày 13 hình học khó khăn bầy em đà biết trình bày lời giải tập cách chặt chẽ xác Nhìn chung em đà giải đợc toán hình học đặc biệt yêu cầu vẽ thêm yếu tố phụ X kết luận: Trên chút kinh nghiệm nhỏ viƯc híng dÉn häc sinh vÏ thªm u tè phụ để giải số toán hình học 7, Tuy áp dụng phạm vi nhỏ nhng đà thu đợc kết khả quan, tin sử dụng phơng pháp dạy học phù hợp để hớng dẫn cho học sinh lớp làm dạng toán phát huy đợc khả thu đợc kết cao Đề tài để cập đến toán chơng trình hình học lớp chắn nhiều thiếu sót, mong đợc đóng góp thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp hội đồng khoa nhà trờng Xin chân thành cảm ơn! 14 Phụ lục Trang Phần I: Lý chọn đề tài Phần II: Đối tợng điều tra Phần III: Số liệu điều tra Phần IV: Nguyên nhân Phần V: Giải pháp khắc phục Phần VI: Các sở để xác định đờng phụ Phần VII: Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đờng phụ Phần VIII Một số dạng tập đà cho học sinh giải 12 Phần VIII: Kiểm nghiệm thực tế 13 Phần IX: Kết luận 14 Tài liệu tham khảo: - Sách nâng cao phát triển toán 15