Đang tải... (xem toàn văn)
Nhiệt dung riêng và độ từ hóa chỉ ra mô hình có hai chuyển pha, bao gồm chuyển pha trên, T2, giữa pha mất trật tự và pha giả trật tự và chuyển pha dưới, T1, giữa pha giả trật tự và pha trật tự. Mô đun xoắn không những chỉ ra T2 là chuyển pha Kosterlitz-Thouless mà còn có biểu hiện của chuyển pha T1.
No.15_Mar 2020|Số 15 – Tháng năm 2020|p.5-9 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ Mơ đun xoắn mơ hình q-state clock Lương Minh Tuấnab*, Tạ Thành Longa, Dương Xuân Núiac, Đào Xuân Việta, Nguyễn Bá Đứcd, Nguyễn Đức Trung Kiêna a Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội b Trường Đại học Xây dựng, Hà Nội c Trường Đại học Lâm nghiệp Hà Nội d Trường Đại học Tân trào * Email: tuanlm@nuce.edu.vn Thơng tin viết Tóm tắt Ngày nhận bài: 18/02/2020 Ngày duyệt đăng: 10/3/2020 Chúng nghiên cứu tượng chuyển pha mơ hình q-state clock hai chiều phương pháp mơ Monte Carlo Chúng tơi tính toán đại lượng vật lý là: nhiệt dung riêng, độ từ hố mơ đun xoắn cho q > (cụ thể q = 8) Nhiệt dung riêng độ từ hóa mơ hình có hai chuyển pha, bao gồm chuyển pha trên, T2, pha trật tự pha giả trật tự chuyển pha dưới, T1, pha giả trật tự pha trật tự Mô đun xoắn T2 chuyển pha Kosterlitz-Thouless mà cịn có biểu chuyển pha T1 Từ khóa: Khoa học vật liệu; mô Monte Carlo; chuyển pha; vật liệu từ; mơ hình q-state clock Giới thiệu Mơ hình 2D q-state clock quan tâm nghiên cứu tượng chuyển pha nhiều năm [1, 2, 3, 4, 5] Mô hình tổng qt hóa mơ hình 2D Ising, mơ hình trở thành mơ hình 2D XY số trạng thái q tiến tới vô Mơ hình 2D Ising có chuyển pha bậc hai pha trật tự pha trật tự Mơ hình 2D XY có chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) pha trật tự pha giả trật tự [6] Chuyển pha KT khái niệm quan trọng vật lí thống kê giải thích pha chuyển pha lớp chuyển tiếp Josephson [7], màng tinh thể lỏng [8] Thú vị chỗ, chuyển pha KT xuất mơ hình q-state clock tùy thuộc vào số trạng thái q véctơ spin Chuyển pha mơ hình q-state clock nghiên cứu lý thuyết [1] khẳng định lai mô số [2, 3, 4] Các tác giả đồng thuận cho mơ hình q-state clock có chuyển pha bậc hai cho q < hai chuyển pha KT riêng biệt nhiệt độ xác định T1 T2 (T2 > T1) cho q ≥ Pha nhiệt độ pha giả trật tự giống mơ hình XY nhiệt độ chuyển pha KT, pha T2 pha trật tự, pha T1 pha trật tự [2] Các nghiên cứu mơ cho mơ hình q-state clock sau tập trung vào vấn đề: i) tranh luận chuyển pha KT hay KT; ii) đại lượng vật lý mô tả chuyển pha mơ hình Năm 1982, dựa biểu nhiệt dung riêng, độ từ hoá độ từ thẩm Tobochnik cộng [3] chứng minh mơ hình q-state clock có hai chuyển pha KT riêng biệt với q ≥ Năm 2010, Baek cộng [4] cho mô đun xoắn q = không tiến pha nhiệt độ cao, nên chuyển pha T2 chuyển pha loại KT Tác giả so sánh biểu mô đun xoắn trường hợp q = 3, 4, 5, khẳng định mơ hình q-state clock có chuyển pha KT với q ≥ Ở đây, mơ đun xoắn tính nhiệt độ chuyển pha T2 khơng có biểu chuyển pha T1 L.M Tuan et al/ No.15_Mar 2020|p.5-9 Tuy nhiên, số nghiên cứu năm 2013 [5] 2014 [9], ủng hộ kết luận trước hai chuyển pha mơ hình q-state clock thuộc loại chuyển pha KT cho q ≥ Kumano cộng cho định nghĩa mô đun xoắn liên tục tính qua góc xoắn liên tục khơng phù hợp với hệ có spin gián đoạn, nhóm đưa định nghĩa mô đun xoắn (gọi mô đun xoắn gián đoạn) tính thơng qua góc xoắn rời rạc cho hệ spin gián đoạn Các tác giả khẳng định mơ đun xoắn rời rạc có biểu đồng thời chuyển pha T1 T2 mơ hình q-state clock Sau đó, Baek cộng cơng bố nghiên cứu khác [10] tác giả tính tốn mơ đun xoắn liên tục cho mơ hình q-state clock với điều kiện biên khác Một lần tác giả nhận định mô đun xoắn liên tục mơ tả chuyển pha q-state clock với q > 5, biểu cho chuyển pha T2 Từ đặt câu hỏi rằng: mô đun xoắn gián đoạn xác định đồng thời nhiệt độ chuyển pha T1 T2, mô đun xoắn liên tục có xác định đồng thời nhiệt độ chuyển pha T1 T2 với q > hay khơng? Do đó, báo chúng tơi nghiên cứu mơ mơ hình q-state clock tập trung tính tốn đại lượng nhiệt dung riêng, độ từ hố mơ đun xoắn liên tục cho q > (cụ thể q = 8) phương pháp mô Monte Carlo kiểm tra thông qua nhiệt dung riêng tính theo công thức thống kê theo biến thiên nhiệt độ Chúng tơi chạy mẫu để tính trung bình sai số đại lượng vật lí phương pháp Jackknife Các đại lượng vật lý thống kê chúng tơi trình bày nghiên cứu gồm: Nhiệt dung riêng định nghĩa theo biểu thức [3], C H J cos(i j ) , (1) ij i 2 n , với n = 0, 1, 2…, góc q spin thứ i với trục x, J = số tương tác trao đổi spin Chúng tiến hành mô MC cho mạng hai chiều hình vng có kích thước N = LL, với L = 16, 32, 64, 128, áp dụng điều kiện biên tuần hoàn Để đưa hệ trạng thái cân chúng tơi sử dụng kết hợp thuật tốn Metropolis thuật tốn Wolff Trong đó, bước MC (MCs) định nghĩa bước Wolff bước Metropolis Điều kiện cân E E k 1T e 2 e (2) B E H e E N Độ từ hoá tham số biểu thị độ trật tự mơ hình từ, hay nói cách khác độ từ hóa mơ hình từ tham số trật tự, tính theo cơng thức sau [9]: m N 2 cos i sin i i i 1/ (3) Mô đun xoắn liên tục định nghĩa sau [4]: e s2 , LT Trong đó, e L2 Mơ hình phương pháp Mơ hình 2D q-state clock (cịn gọi mơ hình đồng hồ q trạng thái), đây, vector spin có q hướng (q = 2, 3, 4, ) hướng cách góc Mơ hình 2D q-state clock mơ hình trung gian hai mơ hình 2D Ising (q = 2) mơ hình 2D XY (q → ∞) Mơ hình 2D q-state clock mơ tả hàm Hamilton sau [1, 2]: N kBT (4) ij x c o s i j lượng liên kết spin lân cận theo trục x tính cho spin, s L ij x sin i j đo thăng giáng (sự quay) spin theo trục x với tổng lấy tất liên kết theo hướng trung bình nhiệt động lực học Kết thảo luận Trong mục chúng tơi trình bày kết mô Monte Carlo thảo luận mơ hình qstate clock cho mạng hai chiều hình vng với q > (cụ thể q = 8) cho đại lượng vật lý nhiệt dung riêng (C), độ từ hóa (m) mơ đun xoắn (Υ) 3.1 Nhiệt dung riêng Kết mô nhiệt dung riêng phụ thuộc nhiệt độ với kích thước khác L = 16, 32, 64 128 cho hai trường hợp điển hình q = (hình 1a) q = (hình 1b) có hai đỉnh tương ứng với dấu hiệu hai chuyển pha Khi nhiệt độ giảm, kết mô nhiệt dung riêng cho hai trường hợp (q = q = 8) đỉnh thứ hai có hình dạng tù, phụ thuộc vào kích thước L.M Tuan et al/ No.15_Mar 2020|p.5-9 (khi kích thước tăng nhiệt dung riêng dịch phía nhiệt độ thấp), biểu chuyển pha KT nhiệt độ T2 từ pha trật tự sang pha giả trật tự [11] Tuy nhiên, đỉnh thứ có biểu dạng tù nhiệt độ T1 khơng phụ thuộc kích thước (kích thước tăng đỉnh cố định mà khơng dịch phía nhiệt độ thấp), điều cho thấy khó phân loại chuyển pha dựa vào biểu đỉnh Do đó, chúng tơi xem xét đại lượng độ từ hóa mơ đun xoắn để xác định loại chuyển pha cho hai trường hợp này, đặc biệt vùng nhiệt độ thấp giả trật tự vùng nhiệt độ Còn vùng nhiệt độ T < T1 độ từ hố có xu hướng tiến giá trị hữu hạn với kích thước, biểu pha trật tự Hình 2: Sự phụ thuộc nhiệt độ độ từ hoá: a) q = b) q = 3.3 Mơ đun xoắn Hình 1: Sự phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung riêng: a) q = b) q = 3.2 Độ từ hố Hình biểu diễn độ từ hoá phụ thuộc vào nhiệt độ với kích thước L = 16, 32, 64, 128 Trong hai trường hợp q = (hình 2a) q = (hình 2b), nhiệt độ giảm dần độ từ hóa có biểu rõ ràng hai bước nhảy (đặc biệt với kích thước mơ lớn) tương ứng với hai chuyển pha Xem xét kĩ cho hai trường hợp này, thấy bước nhảy gần nhiệt độ T2 thể chuyển pha từ pha trật tự nhiệt độ cao sang pha giả trật tự Thật vùng T > T2 độ từ hố khơng thể pha trật tự, vùng T1 < T < T2 độ từ hố có xu hướng tiến chậm khơng kích thước L → ∞ dấu hiệu pha Để làm sáng tỏ cho nhận xét kể độ từ hoá, phản biện lại quan sát trước cho mô đun xoắn liên tục biểu chuyển pha T2 nghiên cứu [4] không sử dụng đại lượng nghiên cứu chuyển pha [5, 9] cho q > Chúng khảo sát phụ thuộc vào nhiệt độ mô đun xoắn (hình 3) cho giá trị q = (hình 3a) (hình 3b) với kích thước L = 16, 32, 64 128 Khi kích thước L tăng, mơ đun xoắn có biểu bước nhảy T2 tiến vùng nhiệt độ T > T2 [4], biểu chuyển pha KT từ pha trật tự sang pha giả trật tự nhiệt độ T2 Kết phù hợp với nghiên cứu trước [4, 5, 9] Ngoài ra, quan sát q = 6, vùng nhiệt độ thấp, chúng tôi, lần Υ có biểu điểm gẫy (đặc biệt biểu rõ ràng q lớn) gần T1 Đây dấu hiệu chuyển pha T1 phù hợp với biểu chuyển pha T1 thông qua độ từ hóa Vậy, mơ đun xoắn liên tục, thân nó, biểu đồng thời hai chuyển pha mơ hình q-state clock với q > L.M Tuan et al/ No.15_Mar 2020|p.5-9 TÀI LIỆU THAM KHẢO J V Jose, L P Kadanoff, S Kirkpatrick, and D R.Nelson, "Renormalization, vortices, and symmetrybreaking perturbations in the two-dimensional planar model," Phys Rev B, vol 16, p 1217, 1977 S Elitzur, R B Pearson, and J Shigemitsu, "Phase structure of discrete abelian spin and gauge systems," Phys Rev D, vol 19, p 3698, 1979 J Tobochnik, "Properties of the q-state clock model for q=4, 5, and 6," Phys Rev B, vol 26, p 6201, 1982 S K Baek and P Minnhagen, "Non-kosterlitzthouless transitions for the q-state clock models," Phys Rev E, vol 82, p 031102, 2010 Y Kumano, K Hukushima, Y Tomita, and M Oshikawa, "Response to a twist in systems with zp symmetry: The two-dimensional p-state clock model," Phys Rev B, vol 88, p 104427, 2013 Hình 3: Sự phụ thuộc vào nhiệt độ mô đun xoắn: a) q = b) q= Kết luận Chúng tiến hành nghiên cứu tượng chuyển pha mô hình q-state clock mạng hai chiều hình vng cho q > phương pháp mô Monte Carlo Chúng tơi tính tốn đại lượng vật lý nhiệt dung riêng, độ từ hố mơ đun xoắn Nhiệt dung riêng có biểu hai chuyển pha không rõ chất chuyển pha vùng nhiệt độ thấp, độ từ hóa biểu rõ ràng chuyển pha nhiệt độ thấp pha giả trật tự pha trật tự Đặc biệt, lần mơ đun xoắn có dấu hiệu chuyển pha pha giả trật tự pha trật tự Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.05-2019.44 Chương trình mơ thực hệ máy tính Viện Tiên tiến Khoa học Công nghệ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội J M Kosterlitz and D J Thouless, "Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems," Journal of Physics C: Solid State Physics, vol 6, p 1181, 1973 M R Beasley, J E Mooij, and T P Orlando, "Possibility of Vortex-Antivortex Pair Dissociation in Two-Dimensional Superconductors," Phys Rev Lett., vol 42, p 1175, 1979 D J Bishop and J D Reppy, "Study of the superfluid transition in two-dimensional 4He films," Phys Rev B, vol 22, p 5171, 1980 C Chatelain, "Dmrg study of the berezinskii– kosterlitz–thouless transitions of the 2d five-state clock model," Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, vol 11, p 11022, 2014 10 S K Baek, H Mäkelä, P Minnhagen, and B J Kim, "Residual discrete symmetry of the five-state clock model," Phys Rev E, vol 88, p 012125, 2013 11 D B Carpenter and J T Chalker, "The phase diagram of a generalised XY model," J Phys.: Condens Matter, vol 1, p 4907, 1989 L.M Tuan et al/ No.15_Mar 2020|p.5-9 Helicity modulus in a q-state clock model Luong Minh Tuan, Ta Thanh Long, Duong Xuan Nui, Dao Xuan Viet, Nguyen Ba Duc, Nguyen Duc Trung Kien Article info Recieved: 18/02/2020 Accepted: 10/3/2020 Keywords: Materials science; Monte Carlo simulation; phase transition; magnetic materials; q-state clock model Abstract We study the phase transition properties of the two-dimentional q-state clock model by an extensive Monte Carlo simulation Several independent physical quantities, including the specific heat, the magnetization and the helicity modulus had been calculated for q > The specific heat and the magnetization shows the behavior of two distinct phase transitions, including the higher phase transition, T2, between the disordered phase and the quasi-long-range ordered phase and the lower phase transition, T1, between the quasi-long-range ordered phase and the quasi-long-range ordered phase The helicity modulus not only show that T2 is the Kosterlitz-Thouless phase transition but also has signature of phase transition around T1 ... mơ đun xoắn (gọi mô đun xoắn gián đoạn) tính thơng qua góc xoắn rời rạc cho hệ spin gián đoạn Các tác giả khẳng định mô đun xoắn rời rạc có biểu đồng thời chuyển pha T1 T2 mơ hình q-state clock. .. [10] tác giả tính tốn mơ đun xoắn liên tục cho mơ hình q-state clock với điều kiện biên khác Một lần tác giả nhận định mơ đun xoắn liên tục mơ tả chuyển pha q-state clock với q > 5, biểu cho... rằng: mô đun xoắn gián đoạn xác định đồng thời nhiệt độ chuyển pha T1 T2, mơ đun xoắn liên tục có xác định đồng thời nhiệt độ chuyển pha T1 T2 với q > hay khơng? Do đó, báo nghiên cứu mô mô hình q-state
