MI CC BN N VI CU LC B TON TIU HC (violet.vn/toantieuhoc) NI GIAO LU TRAO I V CHUYấN MễN TON TIU HC NI CUNG CP CC TI LU V TON TIU HC T A N Z Bẩy trong toán Phan Duy Nghĩa (Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Trong các đề thi môn toán, đặc biệt là đề thi chọn học sinh giỏi toán ngời ra đề thi th- ờng đa ra các bài toán có tính bẩy để đánh lừa học sinh. Nếu học sinh không tỉnh táo và nắm chắc kiến thức cơ bản thì rất dễ bị sa vào các bẩy mà bài toán đã giăng ra. Bài viết này nhằm giúp các em học sinh biết cách né tránh những bẩy khi giải toán để các em học tập môn toán có hiệu quả cao thể hiện cụ thể trong việc giải bài tập, bài kiểm tra và bài thi đạt kết quả tốt. 1. Bẩy trong các bài toán về số và chữ số[ơ Ví dụ 1. Hiệu của hai số bằng 15. Tìm hai số đó, biết rằng nếu gấp một số lên 2 lần và gấp số kia lên 5 lần thì đợc hai số mới có hiệu bằng 51. *Lời bàn : Khi giải bài toán này học sinh thờng chỉ xét đến hai trờng hợp sau : - Trờng hợp 2 lần số bị trừ lớn hơn 5 lần số trừ. - Trờng hợp 5 lần số bị trừ lớn hơn 2 lần số trừ. Trong lúc đó bài toán này phải xét đến 4 trờng hợp, ngoài 2 trờng hợp đã nêu trên chúng ta còn phải xét thêm 2 trờng hợp sau : - Trờng hợp 5 lần số bị trừ bé hơn 2 lần số trừ. - Trờng hợp 2 lần số bị trừ bé hơn 5 lần số trừ. Trong 4 trờng hợp trên chỉ có trờng hợp 2 lần số bị trừ bé hơn 5 lần số trừ có đáp số là 42 và 27. Còn lại 3 trờng hợp kia không có đáp số. Nh vậy nếu học sinh chỉ xét hai trờng hợp nh đã chỉ ra thì sẽ không tìm đợc đáp số của bài toán và nh thế là các em đã bị sa vào bẩy của bài toán. * Lời khuyên : Các em cần lu ý xét hết các trờng hợp của bài toán. Ví dụ 2. Viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 20 để đợc một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số tự nhiên đó mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để đ- ợc số lẻ bé nhất. *Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau : Số tự nhiên gồm các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 20 là : 2468101214161820, có 16 chữ số. Ta cần phải xoá đi 10 chữ số để tạo nên số lẻ bé nhất có 6 chữ số. Lần lợt phải xoá các chữ số 2; 4; 6; 8; 1 ở các vị trí đầu tiên và xoá các chữ số 0; 2; 8 ở các vị trí cuối cùng. Sau khi xoá 8 chữ số đó thì còn lại 8 chữ số tạo thành số 01214161. Cuối cùng xoá các chữ số 2; 4 thì ta đợc số lẻ bé nhất là 011161. Rõ ràng đáp số trên là sai vì trong một số tự nhiên, chữ số ở vị trí đầu tiên (hàng cao nhất) phải khác 0. Đáp số đúng của bài toán là số 101111. Do các em không nắm vững cấu tạo của một số tự nhiên là chữ số ở vị trí đầu tiên (hàng cao nhất) phải khác 0) nên đã mắc phải bẩy của bài toán. 1 * Lời khuyên : Các em cần ghi nhớ : Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng cao nhất khi đếm, đọc, viết số tự nhiên. Ví dụ 3. Hãy viết tất cả các phân số bằng phân số 27 15 mà tử số và mẫu số là số có hai chữ số ? *Lời bàn : Sau đây là bài làm của phần lớn học sinh khi làm bài toán trên : Nhân cả tử số và mẫu số của phân số 27 15 lần lợt với 2, 3, 4 ta đợc : 27 15 = 227 215 ì ì = 54 30 ; 27 15 = 327 315 ì ì = 81 45 ; 27 15 = 427 415 ì ì = 108 60 . Vì 108 là số có 3 chữ số nên chỉ có 2 phân số 54 30 ; 81 45 thoả mãn đầu bài. Lời giải trên đã mắc phải bẩy của bài toán đó là không rút gọn phân số 27 15 nên dẫn đến không tìm đủ các phân số bằng 27 15 mà tử số và mẫu số đều là số có hai chữ số. Lời giải đúng nh sau : Rút gọn phân số 27 15 ta có : 27 15 = 3:27 3:15 = 9 5 . Lần lợt nhân cả tử và mẫu của phân số 9 5 với 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ta đợc các phân số thoả mãn bài toán là : 18 10 ; 36 20 ; 45 25 ; 54 30 ; 63 35 ; 72 40 ; 81 45 ; 90 50 ; 99 55 . * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý rút gọn phân số. 2. Bẩy trong các bài toán về thực hiện phép tính Ví dụ 4. Tính giá trị biểu thức sau : A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + .+ 0,19. (19 số hạng) (Đề thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000) *Lời bàn : Sau đây là lời giải của một số em học sinh : A = (0,19 + 0,1) x 19 : 2 = 2,755. Sở dĩ các em cho lời giải sai nh vậy là do các em đã nghĩ dãy số đó là dãy số cách đều. Và đó cũng là cái bẩy mà bài toán giăng ra. Lời giải đúng : Ta có : M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5. N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 = (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15) = 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 = 5 x 0,29 = 1,45. Vậy A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đọc kĩ đầu bài. Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức : 251552012415931062531 151051284963642321 ìì+ìì+ìì+ìì+ìì ìì+ìì+ìì+ìì+ìì (Đề thi toán quốc tế Tiểu học ở Hồng Kông) *Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau : Ta có : A = 1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15 = 1x(1x2x3) + 2x(1x2x3) + 3x(1x2x3) + 4x(1x2x3) + 5x(1x2x3) = 1x2x3x(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1x2x3x15. B = 1x3x5 + 2x6x10 + 3x9x15 + 4x12x20 + 5x15x25 = 1x(1x3x5) + 2x(1x3x5) + 3x(1x3x5) + 4x(1x3x5) + 5x(1x3x5) = 1x3x5x(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1x3x5x15. Vậy ta có : B A = 15531 15321 ììì ììì = 5 2 . 2 Sở dĩ các em giải sai là do các em đã hiểu nhân một số với một tích thành nhân một số với một tổng. Và đó cũng chính là cái bẩy của bài toán này. Lời giải đúng : Ta có : A = 1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15 = 1x(1x2x3) + 2x2x2x(1x2x3) + 3x3x3x(1x2x3) + 4x4x4x(1x2x3) + 5x5x5x(1x2x3) = 1x2x3x(1 + 2x2x2 + 3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5). B = 1x3x5 + 2x6x10 + 3x9x15 + 4x12x20 + 5x15x25 = 1x(1x3x5) + 2x2x2x(1x3x5) + 3x3x3x(1x3x5) + 4x4x4x(1x3x5) + 5x5x5x(1x3x5) = 1x3x5x(1 + 2x2x2 + 3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5). Vậy : B A = )5554443332221(531 )5554443332221(321 ìì+ìì+ìì+ìì+ììì ìì+ìì+ìì+ìì+ììì = 5 2 . * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý phân biệt sự khác nhau giữa nhân một số với một tích với nhân một số với một tổng. Ví dụ 6. Sau khi thực hiện phép chia : - Bạn Xuân nói : phép chia này có số d là 1. - Bạn Hạ nói : phép chia này có số d là 0,1. - Bạn Thu nói : phép chia này có số d là 0,01. Biết rằng chỉ một bạn nói đúng. Hỏi bạn đó là ai ? Vì sao ? (Đề thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2002) *Lời bàn: Khi giải bài toán này một số em đã nhầm lẫn với cách tìm số d trong phép chia có d học ở lớp 3 và lớp 4 nên đã vội vàng cho rằng bạn Xuân nói đúng. Do vậy các em đã bị sa vào bẩy của bài toán. Lời giải đúng : Có nhiều cách suy luận để tìm đúng số d của phép chia trên. Chẳng hạn: từ dấu phẩy ta gióng thẳng xuống thì thấy chữ số 1 nằm ở hàng phần trăm có nghĩa số d của phép chia là 0,01. Vậy bạn Thu nói đúng. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý về số d trong phép chia số thập phân cho số tự nhiên. 3. Bẩy trong các bài toán về tỉ số phần trăm Ví dụ 7. Cuối năm 1996 dân số nớc ta có 78 triệu ngời. Hỏi cuối năm 1999 dân số nớc ta là bao nhiêu nếu tốc độ tăng dân số mỗi năm là 2%. *Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau : Từ năm 1996 đến năm 1999 cách nhau số năm là : 1999 1996 = 3 (năm). Ba năm đó dân số nớc ta tăng số phần trăm là : 3 x 2 = 6(%). Ba năm đó nớc ta tăng đợc số dân là : 78 000 000 : 100 x 6 = 4680000 (ngời). Cuối năm 1999 dân số nớc ta là : 78 000 000 + 4 680 000 = 82 680 000 (ngời). Lời giải trên đã mắcbẩy bài toán. Sở dĩ mắcbẩy là do các em đã hiểu sai về tốc độ tăng dân số mỗi năm. Tốc độ tăng dân số mỗi năm là 2% nghĩa là năm sau dân số tăng 2% so với năm liền trớc chứ không phải so với cùng một thời điểm là cuối năm 1996. Lời giải đúng nh sau : Vì 100% + 2% = 102% nên số dân năm sau bằng 102% số dân năm liền trớc đó. Số dân năm 1997 là : 78 000 000 : 100 x 102 = 79 560 000 (ngời). Số dân năm 1998 là : 79 560 000 : 100 x 102 = 81 151 200 (ngời). Số dân năm 1999 là : 81 151 200 : 100 x 102 = 82 774 224 (ngời). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý Tốc độ tăng dân số mỗi năm là a% nghĩa là năm sau dân số tăng a% so với năm liền trớc đó . 3 Ví dụ 8. Một cửa hàng điện tử định giá bán một chiếc Tivi là 4 500 000 đồng. Tuy nhiên để thu hút khách hàng cửa hàng quyết định giảm giá hai lần liên tiếp, mỗi lần giảm 10%. Hỏi sau hai lần giảm giá thì giá bán chiếc Tivi đó là bao nhiêu ? *Lời bàn : Lời giải của đa số học sinh khi giải bài toán này nh sau : Hai lần giảm số phần trăm là : 10% + 10% = 20%. Số tiền bị giảm đi là : 4 500 000 : 100 x 20 = 900 000 (đồng). Giá chiếc Tivi sau hai lần giảm giá là : 4 500 000 900 000 = 3 600 000 (đồng). Bài giải trên sai ngay từ phép tính đầu tiên : 10% + 10% = 20%. Đây chính là bẩy của bài toán. Sở dĩ các em mắcbẩy là do các em đã hiểu 10% giá lần đầu cũng bằng 10% giá lần sau. Lời giải đúng nh sau : Sau khi giảm giá 10% lần đầu thì giá bán chiếc Tivi là : 4 500 000 4 500 000 : 100 x 10 = 4 050 000 (đồng). Sau khi giảm giá 10% lần thứ hai thì giá bán chiếc Tivi là : 4 050 000 4 050 000 : 100 x 10 = 3 645 000 (đồng). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý giảm a% lần thứ nhất khác với giảm a % lần thứ hai . Ví dụ 9. Một ngời bỏ ra 2 500 000 đồng để đi buôn. Chuyến thứ nhất ngời đó lãi đợc 40%. Sau đó ngời đó gộp cả vốn lẫn lãi để đi buôn chuyến thứ hai thì bị lỗ 40%. Hỏi sau hai chuyến đi buôn ngời đó còn lại bao nhiêu tiền ? *Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em đều cho đáp số là : ngời đó còn lại 2 500 000 đồng). Sở dĩ có đáp số sai đó là do các em nghĩ rằng tăng 40% rồi lại giảm 40% thì vẫn trở về nh cũ. Và nh thế là các em đã mắcbẩy của bài toán. Lời giải đúng nh sau : Số tiền ngời đó đem đi buôn chuyến thứ hai là : 2 500 000 + 2 500 000 : 100 x 40 = 3 500 000 (đồng). Sau hai chuyến đi buôn ngời đó còn lại số tiền là : 3 500 000 3 500 000 : 100 x 40 = 2 100 000 (đồng). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý tăng a% lại giảm a% thì không trở về con số cũ đợc . 4. Bẩy trong các bài toán về hình học Ví dụ 10. Có 11 mẫu que thẳng, trong đó có : 1 mẫu que dài 2cm, 3 mẫu que mỗi mẫu que dài 3cm, 4 mẫu que mỗi mẫu dài 4cm, 3 mẫu que mỗi mẫu dài 5cm. Dùng một số mẫu que đó ghép thành một hình vuông thì cạnh hình vuông lớn nhất có thể ghép đợc có độ dài là bao nhiêu ? *Lời bàn : Sau đây là lời giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này : Tổng độ dài của 11 mẫu que đó là : 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 = 42 (cm). Chu vi hình vuông là một số chia hết cho 4. Vì tổng độ dài của 11 que trên là 42 cm nên số đo chu vi hình vuông cần ghép không vợt quá 42. Số lớn nhất không vợt quá 42 và chia hết cho 4 là số 40. Bỏ một mẫu que dài 2 cm thì với các mẫu que còn lại ta ghép đợc hình vuông có độ dài mỗi cạnh là : 40 : 4 = 10 (cm). Rõ ràng bài giải trên là sai vì từ 10 mẫu que còn lại (3 mẫu que mỗi mẫu que dài 3cm, 4 mẫu que mỗi mẫu dài 4cm, 3 mẫu que mỗi mẫu dài 5cm) không thể ghép thành 1 hình vuông có độ dài mỗi cạnh 10 cm đợc. Sở dĩ các em mắcbẩy là do các em không kiểm tra lại lời giải bài toán. Lời giải đúng nh sau : Xét chu vi hình vuông bằng 36 cm; khi đó độ dài cạnh hình vuông là : 36 : 4 = 9 (cm). Ta có 2 cách xếp sau: Cách 1. 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 3 + 3 + 3 (bỏ 1 mẫu que 2cm và 1 mẫu que 4cm). 4 Cách 2. 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 4 + 3 + 2 (bỏ 2 mẫu que 3 cm). Do đó độ dài cạnh hình vuông có thể ghép đợc lớn nhất là 9 cm. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý kiểm tra lại kết quả bài toán với giả thiết bài toán xem có thoả mãn không. Ví dụ 11. Nền một gian nhà hình chữ nhật có chiều dài là 6,1m, chiều rộng 4,5m. Hỏi nền nhà đó lát đợc bao nhiêu viên gạch hoa hình vuông nguyên vẹn có cạnh là 30cm. Cho rằng mạch giữa các viên gạch không đáng kể. *Lời bàn : Một số em cho lời giải nh sau : Diện tích của nền nhà đó là : 6,1 x 4,5 = 27,45 (m 2 ). Đổi : 27,45 m 2 = 274500 cm 2 . Diện tích một viên gạch hoa là : 30 x 30 = 900 (cm 2 ). Số viên gạch hoa nguyên vẹn lát đợc là : 274500 : 900 = 305 (viên). Vấn đề đợc đặt ra là : nền nhà đó có phải lát đợc 305 viên gạch nguyên vẹn không ? Để trả lời câu hỏi này, có thể trình bày lại cách giải nh sau : Diện tích của nền nhà đó là : 6,1 x 4,5 = 27,45 (m 2 ). Đổi : 30 cm = 0,3 m. Vì 6,1 : 0,3 = 20 (d 0,1) nên mỗi hàng lát theo chiều dài nền nhà có 20 viên gạch nguyên (và còn 0,1 m cha lát gạch). Vì 4,5 : 0,3 = 15 nên mỗi hàng lát theo chiều rộng nền nhà có 15 viên gạch nguyên. Số viên gạch hoa nguyên vẹn đợc lát là : 20 x 15 = 300 (viên). Nh vậy lời giải bài toán trên của các em là sai. Sở dĩ sai nh vậy là do các em cha lu ý đến yếu tố thực tế của bài toán. Và đây cũng là cái bẩy của bài toán. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến yếu tố thực tế của bài toán. Ví dụ 12. Một sân trờng hình chữ nhật trên bản vẽ đợc vẽ theo tỉ lệ xích 100 1 , biết chu vi là 40 cm và chiều dài hơn chiều rộng 4 cm. Tính diện tích sân trờng trên thực tế. *Lời bàn : Bài giải của đa số học sinh khi giải bài toán này nh sau : Nửa chu vi sân trờng trên bản vẽ là : 40 : 2 = 20 (cm). Chiều dài sân trờng trên bản vẽ là : (20 + 4) : 2 = 12 (cm). Chiều rộng sân trờng trên bản vẽ là : 12 4 = 8 (cm). Diện tích sân trờng trên bản vẽ là : 12 x 8 = 96 (cm 2 ). Diện tích sân trờng trên thực tế là : 96 x 100 = 9600 (cm 2 ). Bài giải trên đã hiểu sai về tỉ lệ xích nên tính diện tích thực tế sai và đây cũng là cái bẩy của bài toán. Nếu hiểu đúng về tỉ lệ xích thì kích thớc thực của sân trờng phải có chiều dài gấp 100 lần và chiều rộng cũng gấp 100 lần. Do đó diện tích phải gấp lên là : 100 x 100 = 10000 (lần). Vậy diện tích sân trờng là : 96 x 10000 = 960000 (cm 2 ). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến tỉ lệ xích. 5. Bẩy trong các bài toán về chuyển động đều Ví dụ 13. Hồng và Hà khởi hành cùng một lúc từ hai làng A và B cách nhau 40 km và đi ngợc chiều nhau. Hồng đi từ A đến B với vận tốc 5 km/giờ, Hà đi từ B đến A. Sau 4 giờ hai bạn cách nhau 4 km. Tính vận tốc của Hà. *Lời bàn : Sau đây là bài giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này : Sau 4 giờ Hồng đi đợc là : 5 x 4 = 20 (km). Quãng đờng Hà đã đi là : 40 20 4 = 16 (km), Vận tốc của Hà là : 16 : 4 = 4 (km/giờ). Bài giải trên mới chỉ nêu đợc một trờng hợp là sau 4 giờ hai bạn cha gặp nhau và còn cách nhau 4 km. Còn một trờng hợp cha xét đến là sau 4 giờ hai bạn đã gặp nhau và đi tiếp nên cách xa nhau 4 km. Vì vậy mà các em đã mắc phải bẩy của bài toán. 5 Bài giải đúng và đầy đủ nh sau : a) Trờng hợp hai bạn cha gặp nhau : Giải nh cách giải trên. b) Trờng hợp hai bạn gặp nhau rồi đi tiếp nên cách xa nhau 4 km : Sau 4 giờ Hồng đi đợc là : 5 x 4 = 20 (km). Quãng đờng Hà đi là : 40 20 + 4 = 24 (km). Vận tốc của Hà là : 24 : 4 = 6 (km/giờ). * Lời khuyên : Đối với các bài toán có nhiều khả năng (hay trờng hợp) xảy ra chỉ đợc coi là bài giải đúng và đầy đủ nếu các em biết xét tất cả mọi trờng hợp có thể xẩy ra trong tình huống đã cho. Ví dụ 14. Hai bạn Toán và Văn xuất phát cùng một lúc từ A để đến B. Trong nửa thời gian đầu bạn Toán đi chơi với vận tốc 16 km/giờ và trong nửa thời gian sau đi với vận tốc 12 km/giờ. Còn bạn Văn trong nửa quãng đờng đầu đi với vận tốc 12 km/giờ và trong nửa quãng đờng sau đi với vận tốc 16 km/giờ. Hỏi bạn nào đến B trớc ? (Đề thi HSG lớp 5 tỉnh Nam Định, năm 2003) *Lời bàn : Bài giải của đa số học sinh khi giải bài toán này nh sau : Vận tốc trung bình của bạn Toán là : (16 + 12) : 2 = 14 (km/giờ). Vận tốc trung bình của bạn Văn là : (12 + 16) : 2 = 14 (km/giờ). Vì vận tốc trung bình của hai bạn bằng nhau (đều bằng 14 km/giờ) nên hai bạn đến B cùng một lúc. Bài giải trên đã mắc sai lầm khi tính vận tốc trung bình của bạn Văn là tính trung bình cộng của hai số đo vận tốc khi thời gian xe chạy nửa đầu quãng đờng và nửa sau quãng đ- ờng là khác nhau. Và đây cũng là cái bẩy của bài toán. Lời giải đúng : Vận tốc trung bình của bạn Toán là : (16 + 12) : 2 = 14 (km/giờ). Bạn Văn đi 1 km trong nửa đầu quãng đờng AB hết thời gian là : 1 : 12 = 12 1 (giờ). Bạn Văn đi 1 km trong nửa sau quãng đờng AB hết thời gian là : 1 : 16 = 16 1 (giờ). Vận tốc trung bình của bạn Văn là : 2 : ( 12 1 + 16 1 ) = 13 7 5 (km/giờ). Vì 14 km/giờ > 13 7 5 (km/giờ) nên bạn Toán đến B trớc. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý khi tính vận tốc trung bình. Ví dụ 15. Một đoàn tàu hoả chạy ngang qua chỗ em đứng hết 10 giây và đi hết qua cái cầu dài 150 mét mất 25 giây. Hãy tìm chiều dài và vận tốc của đoàn tàu. *Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải nh sau : Vận tốc của đoàn tàu hoả là : 150 : 25 = 6 (m/giây). Chiều dài của đoàn tàu hoả là : 6 x 10 = 60 (m). Bài giải trên đã mắc phải bẩy là không tính đến chiều dài đoàn tàu nên đã hiểu là đoàn tàu chạy đợc 150 m hết 25 giây. Lời giải đúng : Chiều dài đoàn tàu đúng bằng độ dài quãng đờng đoàn tàu đi đợc trong 10 giây qua chỗ em đứng. Trong 25 giây đoàn tàu đi đợc quãng đờng đúng bằng tổng chiều dài của đoàn tàu và chiều dài của cây cầu. Thời gian đoàn tàu chạy 150 m là : 25 10 = 15 (giây). Vận tốc của đoàn tàu là : 150 : 15 = 10 (m/giây) Chiều dài đoàn tàu là : 10 x 10 = 100 (m). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến chiều dài của đoàn tàu. 6 Ví dụ 16. Hai xe máy A và B xuất phát ở cùng một điểm và chạy cùng chiều trên một đờng đua tròn có chu vi 1 km. Biết vận tốc của xe A là 22,5 km/giờ, vận tốc của xe B là 25 km/giờ. Sau khi xe A xuất phát 6 phút thì xe B mới bắt đầu chạy. Hỏi để đuổi kịp xe A thì xe B phải chạy trong bao nhiêu phút ? (Đề thi Giao lu Toán Tuổi Thơ, năm 2008) *Lời bàn : Bài giải của đa số học sinh khi giải bài toán này nh sau : Đổi : 6 phút = 0,1 giờ. Khoảng cách giữa xe A và xe B khi xe B bắt đầu xuất phát là : 0,1 x 22,5 = 2,25 (km). Hiệu vận tốc của xe B so với xe A là : 25 22,5 = 2,5 (km/giờ). Xe B đuổi kịp xe A sau : 2,25 : 2,5 = 0,9 (giờ). Bài giải trên đã mắc phải bẩy là xem đờng đua tròn nh đờng đua thẳng. Lời giải đúng : Đổi : 6 phút = 0,1 giờ. Khi xe B bắt đầu chạy thì xe A đã chạy đợc quãng đờng dài là : 22,5 x 0,1 = 2,25 (km). Vì 2,25 km = 2 km + 0,25 km nên lúc đó xe B cách xe A là 0,25 km. Hiệu vận tốc của xe B và xe A là : 25 22,5 = 2,5 (km/giờ). Xe B đuổi kịp A sau một thời gian là : 0,25 : 2,5 = 0,1 (giờ). 0,1 giờ = 6 phút. Vậy sau 6 phút thì xe B đuổi kịp xe A. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến quãng đờng khép kín. 6. Bẩy trong các bài toán khác Ví dụ 17. Bạn Toán đến cửa hàng bán sách cũ và mua đợc một quyển sách toán rất hay gồm 200 trang. Về đến nhà đem sách ra xem, Toán mới phát hiện ra từ trang 100 đến trang 125 đã bị xé. Hỏi cuốn sách này còn lại bao nhiêu trang ? *Lời bàn : Sau đây là bài giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này : Từ trang 100 đến trang 125 có số trang là : 125 100 + 1 = 26 (trang). Số trang còn lại của quyển sách là : 200 26 = 174 (trang). Bài giải trên đã mắc phải bẩy là không tính đến tình huống 1 tờ có 2 trang. Nh thế nếu xé trang 100 là đã mất cả trang 99. Xé trang 125 là đã mất cả trang 126. Lời giải đúng : Số trang sách bị xé mất là : 126 99 + 1 = 28 (trang). Số trang còn lại của quyển sách là : 200 28 = 172 (trang). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến yếu tố thực tế của bài toán. Ví dụ 18. Một con ốc sên bò lên một cây cột cao 10 m, vào ban ngày ốc sên bò lên đợc 3 m, đến ban đêm ốc sên tụt xuống 2 m. Hỏi sau bao lâu ốc sên mới bò lên đến đỉnh cột ? *Lời bàn : Bài giải của một số học sinh : Do ban ngày ốc sên bò lên 3 m, ban đêm ốc sên tụt xuống 2 m nên một ngày - đêm ốc sên bò lên đợc : 3 2 = 1 (m). Thời gian để ốc sên bò lên đến đỉnh cột là : 10 : 1 = 10 (ngày - đêm). Bài giải trên đã mắc phải bẩy của bài toán là cho buổi ban ngày bằng buổi ban đêm. Lời giải đúng : Sau mỗi ngày đêm ốc sên bò lên đợc một đoạn dài là : 3 2 = 1 (m). Sau đêm cuối cùng ốc sên lên cách đỉnh cột là : 10 3 = 7 (m). Thời gian để ốc sên đạt đợc 7 m là : 7 : 1 = 7 (ngày - đêm). Do đó buổi ban ngày thứ 8 ốc sên bò tiếp 3 m nữa là tới đỉnh cột cao 10 m. Vậy sau 8 buổi ban ngày và 7 buổi ban đêm thì ốc sên bò lên tới đỉnh cột cao 10 m. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý kiểm tra lại kết quả bài toán với giả thiết bài toán xem có thoả mãn không. Ví dụ 19. Một ngời thợ mộc ca một cây gỗ dài 13m5dm thành những đoạn dài 15 dm. Mỗi lần ca hết 6 phút. Cứ sau mỗi lần ca, ngời thợ lại nghỉ 2 phút rồi mới ca tiếp. Hỏi sau đúng 1 giờ ngời ấy đã hoàn thành công việc hay cha ? Vì sao ? 7 (Đề thi Giao lu Toán Tuổi Thơ, năm 2007) *Lời bàn : Sau đây là bài giải của một số em học sinh : Đổi : 13 m 5 dm = 135 dm. Số khúc gỗ có đợc là : 135 : 15 = 9 (khúc gỗ). Thời gian để ca một mạch và nghỉ là : 6 + 2 = 8 (phút). Ngời thợ mộc phải thực hiện 8 mạch ca nên thời gian ca xong cây gỗ là : 8 x 8 = 64 (phút). Vì 64 phút > 60 phút (1 giờ) nên ngời ấy cha hoàn thành công việc. Bài giải trên đã mắc phải bẩy của bài toán là tính thời gian nghỉ ở mạch ca cuối cùng. Mặc dù vẫn cho đáp số đúng là ngời ấy cha hoàn thành công việc nhng trong toán học đáp số đúng cha phải là tất cả. Đáp số đúng là : Vì 62 phút > 60 phút (1 giờ) nên ngời ấy cha hoàn thành công việc. * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến yếu tố thực tế của bài toán. Ví dụ 20. Một chai chứa 5 4 lít xăng, 1 lít xăng cân nặng 5 4 kg. Hỏi nửa chai xăng đó cân nặng mấy kg ? Biết rằng vỏ chai cân nặng 5 4 kg. *Lời bàn : Bài giải của một số học sinh : Một chai đó cân nặng số kg là : 5 4 x 5 4 + 5 4 = 25 36 (kg). Nửa chai đó cân nặng số kg là : 25 36 : 2 = 25 18 (kg). Bài giải trên đã mắc phải bẩy của bài toán là chia đôi cả lợng xăng và vỏ chai (vỏ chai vẫn còn nguyên, sao lại chia đôi ?). Bài giải đúng : Khối lợng xăng trong chai xăng là : 5 4 x 5 4 = 25 16 (kg). Nửa chai xăng đó cân nặng là : 25 16 : 2 + 5 4 = 25 28 (kg). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý đến đại lợng không thay đổi là vỏ chai xăng. Ví dụ 21. Có thể thay các chữ cái bằng các số thích hợp để đợc phép tính đúng sau đây không ? *Lời bàn : Sau đây là bài giải của một số học sinh : Ta thấy số bị trừ HOCHOCHOC có tổng các chữ số là (H + O + C) x 3 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Số trừ TAPTAPTAP có tổng các chữ số là (T + A + P) x 3 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Vậy hiệu phải chia hết cho 3. Ta thấy hiệu có tổng các chữ số là : 1 + 2 + 0 + 0 + 3 + 2 + 0 + 0 + 4 = 12 là số chia hết cho 3. Nh vậy có thể thay các chữ cái bằng các chữ số thích hợp để có đợc phép tính đúng nêu trên. Bài giải trên là sai, sai ở chỗ do các em đã hiểu Hai số chia hết cho 3 và hiệu của chúng cũng chia hết cho 3 nên đã khẳng định phép tính là đúng. Và đó cũng là cái bẩy của bài toán này. Bài giải đúng : HOCHOCHOC - TAPTAPTAP = HOC x 1001001 - TAP x 1001001 = ( HOC - TAP ) x 1001001 chia hết cho 1001001. Vì 120032004 chia cho 1001001 đợc 119 và d 912885 nên HOCHOCHOC - TAPTAPTAP không thể cho kết quả là 120032004. 8 * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý : Hai số chia hết cho 3 và hiệu của chúng cũng chia hết cho 3 cha khẳng định đợc phép tính là đúng nên cũng cha khẳng định đợc tồn tại các chữ số thay vào các chữ cái để có phép tính đúng. Ví dụ 22. Trong cuộc thi tìm hiểu về 60 năm ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam, có một câu hỏi nh sau : Biết ngày 22 tháng 12 năm 2004 là ngày thứ t, hỏi ngày 22 tháng 12 năm 1944 là ngày thứ mấy ? *Lời bàn : Sau đây là bài giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này : Từ năm 1944 đến năm 2004 tròn 60 năm. Do năm 1944 và 2004 đều là các năm nhuận, nên từ năm 1944 đến năm 2004 có : (2004 1944) : 4 + 1 = 16 (năm nhuận). Vì mỗi năm nhuận hơn năm thờng là 1 ngày nên tổng số ngày tính từ ngày 22 tháng 12 năm 1944 đến ngày 22 tháng 12 năm 2004 là : 60 x 365 + 16 = 21916 (ngày). Vì 21916 chia cho 7 có số d là 6, ngày 22 tháng 12 năm 2004 là thứ t nên ngày 22 tháng 12 năm 1944 là ngày thứ năm. Bài giải trên đã mắcbẩy của bài toán là đã tính luôn cả ngày 29 tháng 2 năm 1944 nên cho kết quả sai. Đúng là kể từ năm 1944 đến năm 2004 thì có 16 năm nhuận. Nhng kể từ sau ngày 22 tháng 12 năm 1944 đến ngày 22 tháng 12 năm 2004 thì chỉ có 15 ngày 29 tháng 2. Do đó số ngày sau ngày 22 rtháng 12 năm 1944 đến ngày 22 tháng 12 năm 2004 chỉ là : 365 x 60 + 15 = 21915 (ngày). Vì 21915 : 7 = 3130 (d 5) nên suy ra ngày 22 tháng 12 năm 1944 là ngày thứ sáu (tính lùi từ thứ t đúng năm ngày nữa). * Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lu ý mốc thời gian cần tính đứng trớc ngày 29 tháng 2 hay đứng sau ngày 29 tháng 2. Qua 22 bài toán trên chắc các em đã rút ra cho mình những kinh nghiệm quý. Trong quá trình làm bài các em phải bình tĩnh đọc kĩ đề bài, cần sử dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức cơ bản, để không bị sa bẩy mà bài toán đã giăng ra. Chúc các em thành công ! Phan Duy Nghĩa (Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) ĐT : 01689.636.412 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 9 . 78 000 000 + 4 680 000 = 82 680 000 (ngời). Lời giải trên đã mắc bẩy bài toán. Sở dĩ mắc bẩy là do các em đã hiểu sai về tốc độ tăng dân số mỗi năm. Tốc. ngay từ phép tính đầu tiên : 10% + 10% = 20%. Đây chính là bẩy của bài toán. Sở dĩ các em mắc bẩy là do các em đã hiểu 10% giá lần đầu cũng bằng 10% giá