1 lũy THỪA, mũ và LÔGARIT

Mũ – Lôgarit Nâng Cao LŨY THỪA – MŨ – LÔGARIT A – LÝ THUYẾT CHUNG I LŨY THỪA Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α Cơ số a Luỹ thừa aα α = n∈ N* a∈R aα = a n = a.a a (n thừa số a) α =0 a≠0 aα = a = α = −n ( n ∈ N * ) a≠0 a α = a −n = m (m ∈ Z , n ∈ N * ) n a>0 a α = a n = n a m ( n a = b ⇔ b n = a) α = lim rn ( rn ∈ Q, n ∈ N * ) a>0 aα = lim a rn α= an m Tính chất luỹ thừa • Với a > 0, b > ta có: a α a β = a α+β ; aα = a α−β aβ a > : aα > a β ⇔ α > β ; • α ; (a α )β = a α.β ; (ab)α = a α b α aα a ;   = α b b < a < : aα > a β ⇔ α < β • Với < a < b ta có: a m < bm ⇔ m > ; a m > bm ⇔ m < + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương Định nghĩa tính chất thức • Căn bậc n a số b cho b n = a • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: n ab = n a n b ; Nếu p q = n m n n a na = (b > 0) ; b nb n a p = ( n a ) (a > 0) ; a p = m a q ( a > 0) ; Đặc biệt • Nếu n số nguyên dương lẻ a < b n p n a = mn a m a n chẵn     với x ≠ n lẻ  u′ n u n −1 n LƠGARIT Định nghĩa • Với a > 0, a ≠ 1, b > ta có: log a b = α ⇔ aα = b a > 0, a ≠ Chú ý: log a b có nghĩa  b > • Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b • Logarit tự nhiên (logarit Nepe):  1 ln b = loge b (với e = lim  +  ≈ 2, 718281 )  n n Tính chất • log a = ; log a a = ; log a a b = b ; • Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > Khi đó: + Nếu a > log a b > log a c ⇔ b > c + Nếu < a < log a b > log a c ⇔ b < c Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: aloga b = b (b > 0) Mũ – Lôgarit Nâng Cao • log a (bc) = log a b + log a c b • log a   = log a b − log a c c • log a bα = α log a b Đổi số Với a, b, c > a, b ≠ 1, ta có: IV • log b c = log a c log a b • log a b = log b a hay log a b.log b c = loga c • log a α c = log a c (α ≠ 0) α HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1) Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: T = (0; +∞) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang • Đồ thị: y y=ax y y=ax 1 x a>1 0 hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng • Đồ thị: x Mũ – Lôgarit Nâng Cao y y O y=logax y=logax x O x 0 0); x ( log a u )′ = ( ln u )′ = u′ u u′ u ln a ex − =1 x →0 x • lim Mũ – Lơgarit Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho log7 12 = x , log12 24 = y log 54 168 = axy + , a, b, c số nguyên bxy + cx Tính giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c A S = Câu 2: B S = 19 C S = 10 Nếu log8 a + log b2 = log a + log8 b = giá trị ab A 29 B 218 C Câu 3: D Với a > 0, a ≠ , cho biết: t = a 1−log a u ; v = a 1−log a t Chọn khẳng định đúng: A u = a Câu 4: D S = 15 −1 − log a v B u = a + log a t C u = a + log a v D u = a − log a v Trong hình vẽ có đồ thị hàm số y = a x , y = b x , y = logc x y=a x y y = bx y = log c x −1 O x Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây? A c < a < b Câu 5: B a < c < b C b < c < a D a < b = c x x   1 x y=  ( ) , y = ( ) , y =   ( ) có đồ thị    3 đường cong theo phía đồ thị, thứ tự từ trái qua phải ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) , ( C4 ) hình vẽ bên Cho bốn hàm số y = ( ) x (1) , Tương ứng hàm số - đồ thị A (1) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) B (1) − ( C1 ) , ( ) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) ( C3 ) y ( C1 ) ( C4 ) C (1) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C2 ) D (1) − ( C1 ) , ( ) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) Câu 6: Giá trị nhỏ hàm số 40 x tập hợp số tự y = ( 20 x + 20 x − 1283) e O x Mũ – Lôgarit Nâng Cao nhiên A −1283 Câu 7: B −163.e280 C 157.e320 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = D −8.e300 xác định m log x − log x + m + 3 khoảng ( 0; +∞ ) Câu 8: Câu 9: A m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) B m ∈ [1; +∞ ) C m ∈ ( −4;1) D m ∈ (1; +∞ )   Cho hàm số y =    2017  e 3x − ( m -1 ) e x + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; ) A 3e3 + ≤ m < 3e4 + B m ≥ 3e4 + C 3e2 + ≤ m ≤ 3e3 + D m < 3e2 + Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = ex − m − đồng biến ex − m2   khoảng  ln ;     1 A m ∈  − ;  ∪ [1; 2)  2 B m ∈ [−1; 2] C m ∈ (1; 2)  1 D m ∈  − ;   2 Câu 10: Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m < B m ≤ 3− x − nghịch biến khoảng ( −1;1) 3− x − m C < m < 3 D m < Câu 11: Cho x, y , z số thực thỏa mãn 2x = 3y = 6− z Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: A Câu 12: Cho B C D log a log b log c b2 = = = log x ≠ 0; = x y Tính y theo p, q, r p q r ac A y = q − pr B y = p+r 2q C y = 2q − p − r D y = 2q − pr Câu 13: Giả sử p q số thực dương cho: log p = log12 q = log16 ( p + q ) Tìm giá trị p q A B C 1+ ( ) D 1+ ( ) Câu 14: Cho a log + b log + c log6 = , với a, b c số hữu tỷ khẳng định sau đây, khẳng định đúng? Mũ – Lôgarit Nâng Cao A a = b B a > b C b > a Câu 15: Cho n > số nguyên Giá trị biểu thức B n A D c > a > b 1 + + + log n ! log n ! log n n ! C n ! D Câu 16: Tính giá trị biểu thức P = ln ( tan1°) + ln ( tan 2°) + ln ( tan3°) + + ln ( tan89°) B P = A P = C P = D P = Câu 17: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019 + 22 log a A 2017 2019 + 32 log a 2019 + + n log n a 2019 = 10082 × 2017 log a 2019 B 2019 C 2016 Câu 18: Cho hai số a, b dương thỏa mãn điều kiện: a − b = A B 2016 D 2018 a.2b − b.2 a Tính P = 2017a − 2017b a + 2b C 2017 D −1 Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có diện tích 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, đỉnh A, B C nằm đồ thị hàm số y = log a x, y = log a x y = log a x với a số thực lớn Tìm a A a = B a = C a = D a = Câu 20: Cho hàm số y = log a x y = logb x có đồ thị hình vẽ bên Đường thẳng x = cắt trục hoành, đồ thị hàm số y = log a x y = logb x A, B C Biết CB = AB Mệnh đề sau đúng? A a = b B a3 = b C a = b3 D a = 5b 1  1+ 2 3log 2 2log x x Câu 21: Kí hiệu f ( x ) =  x +8 + 1 − Giá trị     f ( f ( 2017 ) ) bằng: A 2016 Câu 22: Cho hàm số f ( x ) = A 50 B 1009 C 2017 4x   Tính giá trị biểu thức A = f  + x +2  100  B 49 4x Tính tổng 4x +       S= f + f  + f   + +  2018   2018   2018  C 149 Câu 23: Cho hàm số f ( x) =  2017  f   2018  D 1008   f  + +  100  D 301  100  f ?  100  Mũ – Lôgarit Nâng Cao A S = 2017 B S = 2018 C S = 2019 D S = 2017 16 x Tính tổng 16 x +        2017  S= f + f  + f   + + f    2017   2017   2017   2017  Câu 24: Cho hàm số f ( x) = A S = 5044 B S = 10084 D S = C S = 1008 10089 9x − Tính giá trị biểu thức 9x +      2016   2017  P= f  + f   + + f  + f    2017   2017   2017   2017  Câu 25: Cho hàm số f ( x) = A 336 B 1008 Câu 26: Cho hàm số f ( x) = C 4039 12 D 8071 12 9x 9x +       Tính tổng S = f  + f  + f   + + f (1) ?  2007   2007   2007  A S = 2016 B S = 1008 Câu 27: Cho hàm số f ( x) =   S= f +  2017  4035 A S = hàm   f +  2017    f  + +  2017  8067 B S = f ( x) = số A 336 Câu 29: Cho hàm số f ( x) = B 1008 6053 D S = 4035 D S = 8071  2016  f  + f (1)  2017  C S = 1008 Tính giá trị biểu  2017  f   2017  C 4039 12 D 8071 12 25 x 25 x +   Tính tổng S = f  +  2017  A S = 4015 9x Tính tổng 9x + 9x − 9x +      2016  P= f  + f   + + f  +  2017   2017   2017  Câu 28: Cho C S =     f + f  +  2017   2017  B S = 12101    2017  f  + + f    2017   2017  C S = 1008 D S = 12107 thức Mũ – Lơgarit Nâng Cao 2016 x Tính giá trị biểu thức 2016 x + 2016 Câu 30: Cho f ( x ) =      2016  S= f + f   +…+ f    2017   2017   2017  A S = 2016 B S = 2017 Câu 31: Cho hàm số f ( x ) = C S = 1008 D S = 2016  2x  log   Tính tổng 1− x    S= f +  2017  A S = 2016     f + f   + +  2017   2017  B S = 1008 Câu 32: Cho < a ≠ + hàm f ( x ) =  2015   2016  f + f    2017   2017  C S = 2017 D S = 4032 a x + a− x a x − a−x , g ( x) = Trong khẳng định 2 sau, có khẳng định đúng? I f ( x ) − g ( x ) = II g ( x ) = g ( x ) f ( x ) III f ( g ( ) ) = g ( f ( ) ) IV g ′ ( x ) = g ′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′ ( x ) A B Câu 33: Cho f ( x ) = e nhiên 1+ x2 + C ( x +1)2 D m Biết f (1) f ( ) f ( ) f ( 2017 ) = e n với m , n số tự m tối giản Tính m − n2 n A m − n2 = 2018 B m − n2 = −2018 C m − n2 = D m − n2 = −1 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m 9t + m cho f ( x ) + f ( y ) = với x, y thỏa mãn e x + y ≤ e ( x + y ) Tìm số phần tử S Câu 34: Xét hàm số f ( t ) = A B C Vô số Câu 35: Tìm tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số f ( x ) = nhỏ 4sin x + 6m +sin x không 9sin x + 41+sin x A m ≥ log D B m ≥ log 13 18 C m ≤ log D m ≤ log Mũ – Lôgarit Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GẢI Câu 1: Cho log 12 = x , log12 24 = y log 54 168 = axy + , a, b, c số nguyên bxy + cx Tính giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c A S = B S = 19 C S = 10 D S = 15 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: log 54 168 = = log ( 24.7 ) log 54 = log 24 + log 12 log12 24 + = log 54 log 54 log 12 log12 24 + xy + = log 12 log12 54 x.log12 54 Tính log12 54 = log12 ( 27.2 ) = 3log12 + log12 = 3log12 3.2.12.24 24 + log12 2.12.24 12 123 24 + log12 = ( − log12 24 ) + ( log12 24 − 1) = − 5log12 24 = − y 24 12 = 3log12 Do đó: log 54 168 = xy + xy + = x ( − y ) −5 xy + x a =  Vậy b = −5 ⇒ S = a + 2b + 3c = 15 c =  Câu 2: Nếu log8 a + log b2 = log a + log8 b = giá trị ab A 29 B 218 C D Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt x = log a ⇒ a = x ; y = log b ⇒ b = y 1  x + y = log8 a + log b =  x + y = 15 x = Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ Suy ab = 2x + y = 29    3 x + y = 21  y = log a + log b = x + y =  BÌNH LUẬN Nguyên tắc đưa logarit số Câu 3: Với a > 0, a ≠ , cho biết: t = a 1−log a u ; v = a 1−log a t Chọn khẳng định đúng: A u = a −1 − log a v B u = a + log a t C u = a Giải: Từ giả thiết suy ra: log a t = 1 log a a = − log a u − log a u + log a v D u = a − log a v Mũ – Lôgarit Nâng Cao log a v = 1 = log a a = − log a t − log a t − 1 − log a u = − log a u − log a u ⇔ − log a v log a u = − log a u ⇔ log a u (1 − log a v ) = 1 ⇔ log a u = ⇔ u = a 1−log a v − log a v Chọn D Câu 4: Trong hình vẽ có đồ thị hàm số y = a x , y = b x , y = logc x y=a x y y = bx y = log c x −1 O x Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây? A c < a < b B a < c < b C b < c < a D a < b = c Hướng dẫn giải: Chọn B Từ đồ thị Ta thấy hàm số y = a x nghịch biến ⇒ < a < Hàm số y = b x , y = log c x đồng biến ⇒ b > 1, c > ⇒ a < b, a < c nên loại A, C Nếu b = c đồ thị hàm số y = b x y = logc x phải đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ y = x Nhưng ta thấy đồ thị hàm số y = logc x cắt đường y = x nên loại D Câu 5: Cho bốn hàm số y = ( ) x x   (1) , y =   ( ) , y = x ( 3) ,  3 ( C3 ) y x 1 y =   ( ) có đồ thị đường cong theo phía ( C1 ) 4 đồ thị, thứ tự từ trái qua phải ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) , ( C4 ) hình vẽ bên ( C4 ) Tương ứng hàm số - đồ thị 10 O x Mũ – Lôgarit Nâng Cao A (1) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) B (1) − ( C1 ) , ( ) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) C (1) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C2 ) D (1) − ( C1 ) , ( ) − ( C2 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C4 ) Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y = ( 3) x y = 4x có số lớn nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị ( C3 ) ( C4 ) Lấy x = ta có ( 3) < nên đồ thị y = 4x ( C3 ) đồ thị y = ( ) x ( C4 ) x x 1 1 Ta có đồ thị hàm số y = y =   đối xứng qua Oy nên đồ thị y =   ( C2 ) 4 4 x x   Còn lại ( C1 ) đồ thị y =    3 Vậy (1) − ( C4 ) , ( ) − ( C1 ) , ( ) − ( C3 ) , ( ) − ( C2 ) Câu 6: Giá trị nhỏ hàm số y = ( 20 x + 20 x − 1283 ) e 40 x tập hợp số tự nhiên B −163.e280 A −1283 C 157.e320 D −8.e300 Hướng dẫn giải: Chọn B y ′ = ( 40 x + 20 ) e 40 x + ( 20 x + 20 x − 1283 ) 40e 40 x = ( 800 x + 840 x − 51300 ) e 40 x y′ = ⇒ x = − 342 300 ;x = 40 40 Bảng xét dấu đạo hàm x −∞ y′ + y ( ) = −163.e 280 ; y ( ) = 157.e 320 Vậy y = −163.e280 11 − 342 40 − 300 = 7,5 40 + +∞ Mũ – Lơgarit Nâng Cao Câu 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = xác định m log x − log x + m + 3 khoảng ( 0; +∞ ) A m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) B m ∈ [1; +∞ ) C m ∈ ( −4;1) D m ∈ (1; +∞ ) Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt t = log3 x , x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ t ∈ ℝ y= 1 trở thành y = mt − 4t + m + m log x − log x + m + 3 Hàm số y = y= xác định khoảng ( 0; +∞ ) hàm số m log x − log x + m + 3 xác định ℝ mt − 4t + m + ⇔ mt − 4t + m + = vô nghiệm ⇔ ∆′ = − m − 3m < ⇔ m < −4 ∨ m > Câu 8:   Cho hàm số y =    2017  e 3x − ( m -1 ) e x +1 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; ) A 3e3 + ≤ m < 3e4 + B m ≥ 3e4 + C 3e2 + ≤ m ≤ 3e3 + D m < 3e2 + Hướng dẫn giải: Chọn B   • y′ =    2017  e3 x −( m −1)e x +1   y′ =    2017    ( 3x ( ′ x ln   e − m − 1) e + 1) =  2017  e3 x − ( m −1) e x +1   ( 3x ( x ln   3e − m − 1) e )  2017  •Hàm số đồng biến khoảng (1; ) ⇔ e3 x −( m −1) e x +1     ( 3x ( x y′ =  ln    3e − m − 1) e ) ≥ 0, ∀x ∈ (1; ) (*), mà  2017   2017  3x x   e −( m −1)e +1  > 0, ∀x ∈ ℝ  2017  Nên (*) ⇔ 3e3 x − ( m − 1) e x ≤ 0, ∀x ∈ (1; ) ⇔     ln  2017  < 3e x + ≤ m, ∀x ∈ (1; ) •Đặt g ( x ) = 3e x + 1, ∀x ∈ (1; ) , g ( x ) = 3e x > , ∀x ∈ (1; ) 12 Mũ – Lôgarit Nâng Cao x g′( x) g ( x) Vậy (*) xảy m ≥ g ( ) ⇔ m ≥ 3e4 + | + | | ր | BÌNH LUẬN Sử dụng ( a u ) ' = u ' a u ln a phương pháp hàm số Câu 9: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = ex − m − đồng biến ex − m2   khoảng  ln ;     1 A m ∈  − ;  ∪ [1; 2)  2 B m ∈ [−1; 2] C m ∈ (1; 2)  1 D m ∈  − ;   2 Hướng dẫn giải: Chọn A Tập xác định: D = ℝ \ {ln m } Ta có y ' = ( −m + m + 2)e x (e x −m khoảng ( −∞; ln m > ⇔ −m + m + > ⇔ −1 < m < hàm số đồng biến ) ) ( ln m ; +∞ ) 2 1   ln m2 ≤ − ≤m≤     Do để hàm số đồng biến khoảng  ln ;  4⇔ 2     ln m ≥  m ≤ −1 ∨ m ≥  1 Kết hợp với điều kiện −1 < m < suy m ∈  − ;  ∪ [1; 2)  2 Câu 10: Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m < B m ≤ 3− x − nghịch biến khoảng ( −1;1) 3− x − m C < m < 3 D m < Hướng dẫn gải: 1  Đặt t = 3− x , với x ∈ ( −1;1)  → t ∈  ;3  3  Hàm số trở thành y ( t ) = t −3 −m +  → y '(t ) = t−m (t − m) Ta có t ' = −3− x.ln < 0, ∀x ∈ ( −1;1) , t = 3− x nghịch biến ( −1;1) 13 Mũ – Lơgarit Nâng Cao 1  1  Do YCBT ← → y ( t ) đồng biến khoảng  ;3  ← → y ' ( t ) > 0, ∀t ∈  ;3  3  3  m < −m + > m < 1  1   ⇔ , ∀t ∈  ;3  ⇔  , ∀t ∈  ;3  ⇔  1  ⇔ m ≤ 3    m ∉  ;3  t − m ≠ m ≠ t 3   Chọn B Câu 11: Cho x, y , z số thực thỏa mãn x = y = 6− z Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: A B C D Hướng dẫn giải: Khi ba số x, y , z số cịn lại Khí M=0 1 Khi x, y, z ≠ ta đặt x = 3y = 6− z = k suy = k x ,3 = k y , = k 1 −1 Do 2.3=6 nên k x k y = k z hay −1 z 1 −1 + = x y z Từ suy M=0 Chọn A Câu 12: Cho log a log b log c b2 = = = log x ≠ 0; = x y Tính y theo p, q, r p q r ac A y = q − pr B y = p+r 2q C y = 2q − p − r D y = 2q − pr Hướng dẫn giải: Chọn C b2 b2 = x y ⇔ log = log x y ac ac ⇒ y log x = log b − log a − log c = 2q log x − p log x − r log x = log x ( 2q − p − r ) ⇒ y = 2q − p − r (do log x ≠ ) BÌNH LUẬN Sử dụng log a bc = log a b + log a c, log a b = log a b − log a c, log a bm = m log a b c Câu 13: Giả sử p q số thực dương cho: log p = log12 q = log16 ( p + q ) Tìm giá trị p q A B C 1+ ( ) D 1+ ( Hướng dẫn giải: Đặt: t = log9 p = log12 q = log16 ( p + q ) thì: p = 9t , q = 12t , 16t = p + q = 9t + 12t (1) 14 ) Mũ – Lôgarit Nâng Cao 2t t t 4 q  4 4 Chia hai vế (1) cho ta được:   = +   , đặt x =   = > đưa phương p  3 3 3 trình: t x2 − x −1 = ⇔ x = q 1 + x > , suy = + p ( ) ( ) Chọn D Câu 14: Cho a log + b log + c log6 = , với a, b c số hữu tỷ khẳng định sau đây, khẳng định đúng? A a = b B a > b C b > a D c > a > b Hướng dẫn giải: Ta có: a log + b log6 + c log6 = ⇔ log 3a 2b 5c = ⇔ 3a 2b 5c = 65 = 35.25.50 Do a,b,c số hữu tỉ nên a=b=5 c=0 Chọn C Câu 15: Cho n > số nguyên Giá trị biểu thức A B n 1 + + + log n ! log n ! log n n ! C n ! D Hướng dẫn giải: Chọn D n > 1, n ∈ ℤ ⇒ 1 1 + + + + = log n! + log n! + log n! + + log n! n log n ! log3 n ! log n ! log n n ! = log n! ( 2.3.4 n ) = log n! n ! = BÌNH LUẬN log a b = Sử dụng công thức , log a bc = log a b + log a c , log a a = logb a Câu 16: Tính giá trị biểu thức P = ln ( tan1°) + ln ( tan 2°) + ln ( tan3°) + + ln ( tan89°) A P = 1 B P = C P = Hướng dẫn giải: P = ln ( tan1° ) + ln ( tan 2° ) + ln ( tan 3° ) + + ln ( tan 89° ) = ln ( tan1°.tan 2°.tan 3° tan 89° ) = ln ( tan1°.tan 2°.tan 3° tan 45°.cot 44°.cot 43° cot1° ) = ln ( tan 45°) = ln1 = (vì tan α.cot α = ) Chọn C 15 D P = Mũ – Lôgarit Nâng Cao Câu 17: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019 + 22 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n log n a 2019 = 10082 × 2017 log a 2019 A 2017 B 2019 C 2016 D 2018 Hướng dẫn giải: Chọn C log a 2019 + 22 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n log n a 2019 = 10082 × 2017 log a 2019 (*) Ta có n log n a 2019 = n n.log a 2019 = n3 log a 2019 Suy  n(n + 1)  VT (*) = (1 + + + n ) log a 2019 =  log a 2019   3 VP (*) = 10082 × 2017 log a 2019 Khi (*) được: n2 (n + 1)2 = 22.10082.20172 = 20162.20172 ⇒ n = 2016 Câu 18: Cho hai số a, b dương thỏa mãn điều kiện: a − b = A B 2016 a.2b − b.2a Tính P = 2017a − 2017b a b +2 C 2017 D −1 Hướng dẫn gải: Từ giả thiết, ta có a − b = a.2b − b.2a ← → ( a − b ) ( 2a + 2b ) = a.2b − b.2a a b +2 ← → a.2a + a.2b − b.2a − b.2b = a.2b − b.2a ⇔ a.2a = b.2b ( ∗ ) Xét hàm số f ( x ) = x.2 x với x > , có f ′ ( x ) = x + x.2 x.ln = x (1 + x.ln ) > 0; ∀x > Suy hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) Nhận thấy ( ∗) ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b Khi a = b 2017 a − 2017b = 2017 a − 2017 a = Chọn A Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có diện tích 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, đỉnh A, B C nằm đồ thị hàm số y = log a x, y = log a x y = log a x với a số thực lớn Tìm a A a = B a = C a = D a = Hướng dẫn gải: → A, B nằm đường thẳng y = m ( m ≠ ) Do AB Ox  Lại có A, B nằm đồ thị hàm số y = log a x, y = log  m  Từ suy A ( a m ; m ) , B  a ; m    16 a x Mũ – Lôgarit Nâng Cao m Vì ABCD hình vng nên suy xC = xB = a Lại có C nằm đồ thị hàm số  m 3m  y = log a x , suy C  a ;    Theo đề S ABCD m  m a −a2 =  AB =  = 36  →  →  BC =  3m − m =   m = −12  m = 12  ← →   a = a = < 1( loaïi )  Chọn D Câu 20: Cho hàm số y = log a x y = logb x có đồ thị hình vẽ bên Đường thẳng x = cắt trục hoành, đồ thị hàm số y = log a x y = logb x A, B C Biết CB = AB Mệnh đề sau đúng? A a = b B a = b C a = b D a = 5b Hướng dẫn gải: Theo giải thiết, ta có A ( 5; ) , B ( 5; log a ) , C ( 5; log b ) → CB = BA ↔ log a − logb = ( − log a 5) Do CB = AB  ← → 3log a = logb ← → log a = log b ← → log a = log b3  → a = b3 Chọn C 1  1+ 2 3log 2 2log x + x + 1 − Giá trị f ( f ( 2017 ) ) bằng: Câu 21: Kí hiệu f ( x ) =  x     A 2016 B 1009 C 2017 Hướng dẫn gải: 1+  1+ log1 x log x log x x = x = x1+ log x = x x ( ) = x  Ta có  1  3log x2 3.log 2 log 2 x log x =2 =2 x =2 =x 8 1 Khi f ( x ) = ( x + x + 1) − = ( x + 1)  − = x   Suy f ( 2017 ) = 2017  → f ( f ( 2017 ) ) = f ( 2017 ) = 2017 17 D 1008 Mũ – Lôgarit Nâng Cao Chọn C Câu 22: Cho hàm số f ( x ) = 4x   Tính giá trị biểu thức A = f  + x +2  100  A 50 B 49 C   f  + +  100  149 D  100  f ?  100  301 Hướng dẫn giải: Chọn D X  100    = 301 Cách Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức ∑ X   X =1  100  4 +2 100 Cách 2.Sử dụng tính chất f ( x ) + f (1 − x ) = hàm số f ( x ) = 4x Ta có 4x +    A=f  +   100   51   f  +  100    99      f  +  f  +  100     100    49   98   f   + +  f  +  100     100   50  f +  100  = 49 + 42 + +2 301 = 4+2 PS: Chứng minh tính chất hàm số f ( x ) = Ta có f ( x ) + f (1 − x ) = 4x +2 x 4x 41− x 4x 4x + = + = + = x 1− x x x x + + + + 2.4 + 2 + 4x 4x Tính tổng 4x +       S= f + f  + f   + +  2018   2018   2018  Câu 23: Cho hàm số f ( x) = A S = 2017 B S = 2018  2017  f   2018  C S = 2019 D S = 2017 Hướng dẫn giải: Chọn A 41− x = = ⇒ f (1) + f (1 − x ) = 1− x x + + 2.4 + 4x    2017     2016   1008  Do đó: f  + f   = 1, f  + f   = 1, , f  +  2018   2018   2018   2018   2018  1009 2017 ⇒ S = 1008 + = 2018 16 x Câu 24: Cho hàm số f ( x) = x Tính tổng 16 +        2017  S= f + f  + f   + + f   2017 2017 2017        2017  Ta có: f (1 − x ) = 18  1010  f  =1  2018   100  f   100  Mũ – Lôgarit Nâng Cao A S = 5044 B S = 10084 C S = 1008 D S = 10089 Hướng dẫn giải: Chọn A Nhận xét: Cho x + y = Ta có f ( x ) + f ( y ) =   S= f +  2017  = + + + + 1008 so hang 16 x 16 y 16 + 4.16 x + 16 + 4.16 y + = =1 16 x + 16 y + 16 + 4.16 x + 4.16 y + 16  2016  f +  2017    f +  2017   2015  f  + +  2017   1008  f +  2017   1009  f +  2017   2017  f   2017  16 5044 = 1008 + = 16 + 5 9x − Tính giá trị biểu thức 9x +      2016   2017  P= f  + f   + + f  + f    2017   2017   2017   2017  Câu 25: Cho hàm số f ( x) = A 336 B 1008 C 4039 12 D 8071 12 Hướng dẫn giải: Chọn C Xét: f ( x ) + f (1 − x ) = x − 91− x − + = x + 91− x + 3 Vậy ta có:      2016  P= f + f   + + f  +  2017   2017   2017  1008 4039 ⇔ P = ∑ + f (1) = 336 + = 12 12 Câu 26: Cho hàm số f ( x) =   f +  2007  B S = 1008   f  + + f (1) ?  2007  C S = Hướng dẫn giải: Chọn C 9 x x 91− x f (1 − x) = 1− x = = x = + + + 3.9 + 3.9 x 9x 9x 19 k   f 1 −  +  2017   9x 9x +   Tính tổng S = f  +  2007  A S = 2016  2017  1008   k  f  = ∑ f  +  2017    2017  4015 D S = 4035  2017  f   2017  Mũ – Lôgarit Nâng Cao 9x 9 x.(9 + 3.9 x ) + 9.(9 x + 3) x +1 + 3.92 x + x +1 + 27 + = = x +1 = x + + 3.9 x (9 x + 3)(9 + 3.9 x ) + 3.92 x + x +1 + 27    2006     2005   1003   1004  ⇒ f + f   = 1; f  + f   = 1; ; f  + f   = 2007 2007 2007 2007 2007            2007  Vậy 4015       S= f = 1003 + = + f  + f   + + f (1) = + + + + 9+3 4  2007   2007   2007  ⇒ f ( x) + f (1 − x) = Câu 27: Cho hàm số f ( x) = 9x Tính tổng 9x +        2016  S= f + f  + f   + + f   + f (1)  2017   2017   2017   2017  4035 8067 8071 A S = B S = C S = 1008 D S = 4 Hướng dẫn giải: Chọn A 9x 91− x 9x 9x 9x + Xét f ( x ) + f (1 − x ) = x + 1− x = x + = + = = + + + + 3.9 x x + x + x +     2016       2015   Khi S =  f  + f   +  f  + f    +  2017     2017   2017     2017   + f   1008   +  2017  4035  1009   = 1008 + = f   + f (1) = + + + + f (1) = 1008 + 9+3 4  2017   1008 số 9x − Tính giá 9x +      2016   2017  P= f  + f   + + f  + f    2017   2017   2017   2017  Câu 28: Cho hàm f ( x) = số A 336 B 1008 C 4039 12 trị D biểu thức 8071 12 Hướng dẫn giải: Chọn C Xét: f ( x ) + f (1 − x ) = x − 91− x − + = x + 91− x + 3 Vậy ta có:      2016  P= f + f   + + f  +  2017   2017   2017  1008 4039 ⇔ P = ∑ + f (1) = 336 + = 12 12 Câu 29: Cho hàm số f ( x) = k   f 1 −  +  2017   25 x 25 x +   Tính tổng S = f  +  2017  20  2017  1008   k  f  = ∑ f  +  2017    2017      f + f  +  2017   2017     2017  f  + + f    2017   2017   2017  f   2017  Mũ – Lôgarit Nâng Cao A S = 6053 B S = 12101 C S = 1008 D S = 12107 D S = 2016 Hướng dẫn giải: Chọn C Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính kết quả: S = 1008 2016 x Câu 30: Cho f ( x ) = 2016 x + 2016 Tính giá trị biểu thức      2016  S= f + f   +…+ f    2017   2017   2017  A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f (1 − x ) = 2016 → f ( x) + f (1 − x) = 2016 + 2016 x      2016    Suy S = f  + f   +…+ f  = f  +  2017   2017   2017   2017   2015   1008   1009  +f   + + f  + f   = 1008  2017   2017   2017  Câu 31: Cho hàm số f ( x ) =  2016  f +  2017    f   2017   2x  log   Tính tổng 1− x    S= f +  2017  A S = 2016     f + f   + + 2017    2017  B S = 1008  2015   2016  f + f   2017    2017  C S = 2017 D S = 4032 Hướng dẫn gải: Xét f ( x ) + f (1 − x ) = =  (1 − x )   2x  log    + log   1− x  1 − (1 − x )   (1 − x )   x (1 − x )  1  2x  log   = log   = log =  + log  x  2 1− x   x  1 − x Áp dụng tính chất trên, ta    S =f  +   2017   2016      f  +  f  +  2017     2017    1008   2015   f   + +  f  +  2017     2017   1009   f   2017   = + + + = 1008 Chọn B Câu 32: Cho < a ≠ + hàm f ( x ) = sau, có khẳng định đúng? 21 a x + a− x a x − a−x , g ( x) = Trong khẳng định 2 Mũ – Lôgarit Nâng Cao I f ( x ) − g ( x ) = II g ( x ) = g ( x ) f ( x ) III f ( g ( ) ) = g ( f ( ) ) IV g ′ ( x ) = g ′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′ ( x ) A B C D Hướng dẫn gải: Ta có 2  a x + a−x   a x − a−x  • f ( x) − g ( x) =  → I  −  =  2     2 x −x x −x a x − a −2 x ( a − a )( a + a ) a x − a−x a x + a−x • g ( 2x) = = = = g ( x ) f ( x )  → II 2 2  f ( g ( ) ) = f ( ) =  •   → f ( g ( ) ) ≠ g ( f ( ) )  → III sai a− a2 −1  g f ( ) = g (1) = a = )  ( 2a • Do g ( x ) = g ( x ) f ( x ) nên g ′ ( x ) =  g ′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′ ( x )  → IV sai Vậy có khẳng định Chọn D Cách giải trắc nghiệm: Chọn a = Câu 33: Cho f ( x ) = e nhiên 1+ x2 + ( x +1)2 m Biết f (1) f ( ) f ( ) f ( 2017 ) = e n với m, n số tự m tối giản Tính m − n2 n A m − n2 = 2018 B m − n2 = −2018 C m − n2 = D m − n2 = −1 Hướng dẫn giải: Xét số thực x > 1 = Ta có: + + x ( x + 1) (x + x + 1) x ( x + 1) Vậy, f (1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e hay = 1 x2 + x + = 1+ = 1+ − x +x x ( x + 1) x x +1 1   1  1  1  − 1+ −  +  1+ −  + 1+ −  +…+ + 1+   2  3  4  2017 2018  m 20182 − = n 2018 Ta chứng minh 22 2 20182 − phân số tối giản 2018 =e 2018 − 2018 =e 20182 −1 2018 , Mũ – Lôgarit Nâng Cao Giả sử d ước chung 20182 − 2018 Khi ta có 20182 − 1⋮ d , 2018⋮ d ⇒ 20182 ⋮ d suy 1⋮d ⇔ d = ±1 Suy 20182 − phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 2018 Vậy m − n2 = −1 Chọn D 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m 9t + m cho f ( x ) + f ( y ) = với x, y thỏa mãn e x + y ≤ e ( x + y ) Tìm số phần tử S Câu 34: Xét hàm số f ( t ) = A B C Vô số D Hướng dẫn giải: Chọn D x e ≥ e.x Ta có nhận xét:  y ⇒ e x+ y ≤ e ( x + y ) ⇔ x + y = e ≥ e y ( Dấu ‘’=’’ xảy x + y = ) Do ta có: f ( x) + f ( y ) = ⇔ f ( x) + f (1 − x ) = ⇔ 9x 91− x + m x + + m 91− x + = ⇔ =1 x + m 91− x + m + m x + m 91− x + m ⇔ + m2 9x + + m2 91− x = + m2 9x + m2 91− x + m4 ⇔ m4 = ⇔ m = ± Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu Câu 35: Tìm tất giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số f ( x ) = nhỏ A m ≥ log B m ≥ log 13 18 C m ≤ log Hướng dẫn gải: 2   Hàm số viết lại f ( x ) =   2sin x  2 + 6m    3 2sin x 2 +   3 2 Đặt t =   3 23 4sin x + 6m +sin x không 9sin x + 41+sin x sin x sin x 2 t + nt  ≤t ≤ với   → f (t ) = + 4t  n = 6m >  D m ≤ log Mũ – Lơgarit Nâng Cao Bài tốn trở thành '' Tìm n > để bất phương trình f ( t ) ≥ 2 3 có nghiệm đoạn  ;  '' 3 2 2 3 t∈ ;  t + nt t 3 2 → ≥ ← → t + ≤ 3nt ← →n ≥ + Ta có f ( t ) ≥ ← + 4t 3 3t t Xét hàm g ( t ) = + đoạn 3t 2 3 g ( t ) = g (1) =  ;  , ta có 2 3 3;2   2 3 có nghiệm đoạn  ;  bất phương trình g ( t ) ≤ n 3 2 phải có nghiệm đoạn  ;  ← → n ≥ g ( t )  →n ≥   3 2  ;  Để bất phương trình f ( t ) ≥  → 6m ≥ Chọn A 24 2  → m ≥ log 3 ... Tính log12 54 = log12 ( 27.2 ) = 3log12 + log12 = 3log12 3.2 .12 .24 24 + log12 2 .12 .24 12 12 3 24 + log12 = ( − log12 24 ) + ( log12 24 − 1) = − 5log12 24 = − y 24 12 = 3log12 Do đó: log 54 16 8 =... = =1 16 x + 16 y + 16 + 4 .16 x + 4 .16 y + 16  2 016  f +  2 017    f +  2 017   2 015  f  + +  2 017   10 08  f +  2 017   10 09  f +  2 017   2 017  f   2 017  16 5044... > 1 = Ta có: + + x ( x + 1) (x + x + 1) x ( x + 1) Vậy, f (1) f ( ) f ( 3) f ( 2 017 ) = e hay = 1 x2 + x + = 1+ = 1+ − x +x x ( x + 1) x x +1 1   1? ??  1? ??  1? ??  − ? ?1+ −  +  1+ −  + ? ?1+