THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

HÌNH LĂNG TRỤ A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT Thể tích khối lăng trụ: V= B.h h với B diện tích đáy, h chiều cao B 2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a, b, c ba kích thước 3) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh B – BÀI TẬP THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG (cm3) Câu 1: Thể tích A Hướng dẫn giải: khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy cạnh bên B C D 2 Dễ dàng tính V = cm là: Chọn đáp án A Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên 2a là: a3 a3 a3 a3 A B C D Hướng dẫn giải: a2 a3 nên chọn C V = S ABC AA ' = 2a = Chọn đáp án C Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng B AB = 2a, BC = a, AA′ = 2a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 2a 3 Hướng dẫn giải: A V = S∆ABC AA ' = Chọn đáp án D B a3 3 2a.a.2a = 2a 3 C 4a 3 D 2a 3 Câu 4: Gọi V thể tích hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' V1 thể tích tứ diện A ' ABD Hệ thức sau ? A V = 6V1 B V = 4V1 C V = 3V1 D V = 2V1 Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau: Ta có V = S ABCD AA '; V1 = S ABD AA ' V 2.S ABD AA ' Mà S ABD = S ABCD ⇒ = =6 V1 S AA ' ABD ⇒ V = 6V1 Chú ý nhiều độc giả tư nhanh nên xét tỉ số diện tích đáy mà qn với khối chóp cịn tích với nữa, nhanh chóng chọn ý D sai Vì thế, nhanh cần phải xác bạn Chọn đáp án A Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 2a Thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là: A 2a3 B 2a C 2a3 D a Hướng dẫn giải: Để tính thể tích hình lập phương ta cần biết cạnh hình lập phương đó, từ liệu diện tích mặt chéo A’ACC’ ta tính cạnh hình lập phương Gọi cạnh hình lập phương x suy A ' C ' = x Diện tích mặt chéo A’ACC’ x.x = 2a ⇒ x = a Thể tích hình lập phương V = x3 = 2a3 Chọn đáp án A Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 45o.Thể tích lăng tru là: a3 a3 A B C a 3 D a3 2 Hướng dẫn giải: - ABC = 450 - AC = AB ⇒ 2a = AB ⇒ AB = BC = AA ' = a - V = AB.BC AA ' = a 2 Chọn đáp án D Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA1 Thể tích khối chóp M.BCA1 là: a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 24 Hướng dẫn giải: ∆ABC tam giác cạnh a nên có diện tích S ABC = a2 AA1 a = 2 Hai tứ diện MABC MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB MA1B nên tích nhau, suy a3 VM BCA1 = VM ABC = AM S ABC = 24 Chọn đáp án B Ta có AM = Câu 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a Gọi N, I trung điểm AB, BC; góc hai mặt phẳng (C’AI) (ABC) 60 o Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I? a3 3a 3a A 32 3a B C D 32 32 Hướng dẫn giải: Ta có ( ( C ' AI ) , ( ABC ) ) = CIC = 60 o CC ' a ⇒ CC ' = CI tan CIC ' = CI 2 1 a a Ta có S ANI = S ABC = = 4 16 1 a a a3 ⇒ VC ' NAI = CC '.S NAI = = 3 2 32 Chọn đáp án B Mặt khác tan CIC ' = Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân B, BA = BC = a , A’B tạo với (ABC) góc 600 Thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ là: a3 3a 3a A B C 3a D Hướng dẫn giải: Góc A”B đáy góc ABA ' = 600 , AA ' = a a2 a3 Vậy thể tích lăng trụ : V = S ABC AA ' = 2 Chọn đáp án A S ABC = Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a ( A′BC ) hợp với mặt đáy ABC góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 3a a3 a3 a3 A B C D 12 24 24 24 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm cạnh BC Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ AM hình chiếu vng góc A′M ( ABC ) , nên ( A′BC ) , ( ABC ) góc A′MA = 300 Xét ∆A′MA vng A Ta có a a tan 300 = A′A = AM tan A′MA = 2 a a S= a = 2 1 a a a3 Vậy VA′ ABC = S ∆ABC A′A = = 3 24 Chọn đáp án B Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng ( AB ' C ' ) tạo với mặt đáy góc 600 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3a 3 a3 a3 A V = B V = C V = Hướng dẫn giải: Vì ABC A ' B ' C ' lăng trụ đứng nên AA ' ⊥ ( ABC ) D V = Gọi M trung điểm B ' C ' , tam giác A ' B ' C ' Nên suy A ' M ⊥ B ' C ' Khi 600 = ( AB ' C ') , ( A ' B ' C ') = AM , A ' M = AMA ' Tam giác AA ' M , có a 3a A'M = ; AA ' = A ' M tan AMA ' = 2 a2 Diện tích tam giác S ∆A ' B ' C ' = 3a 3 Vậy V = S∆ABC AA ' = (đvtt) Chọn đáp án D 3a 3 C A B C' A' M B' Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng B, AB=3a, BC= a , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ 6a a3 6a a3 A B C D 2 Hướng dẫn giải: 1 3a 2 S ∆ABC = AB.BC = 3a.a = 2 / o Đường cao AA = AB tan 60 = 3a Vậy V = S ∆ABC AA / = Chọn đáp án C 3a 2 9a 3a = 2 Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, ACB = 60 Đường chéo BC' mặt bên (BB'C'C) tạo với mặt phẳng mp ( AA ' C ' C ) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a là: 6 A V = a B V = a C V = a D V = a 3 3 Hướng dẫn giải: a2 Tính AB = a ; SABC = ; Góc AC’B = 300 nên AC’ = 3a Pitago cho tam giác vng ACC’ tính CC’ = 2a Từ V = a Chọn đáp án B Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, ACB = 600 Đuòng chéo B’C mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a a 15 a 15 a 15 A B a C D 12 24 Hướng dẫn giải: Vì A ' B ' ⊥ ( ACC ') suy B ' CA ' = 300 góc tạo đường chéo BC’ mặt bên (BB’C’C) mặt phẳng a (AA’C’C) Trong tam giác ABC ta có AB = AB sin 600 = Mà AB = A ' B ' ⇒ A'B' = a A' B = 3a Trong tam giác vng A’B’C’ ta có: A ' C = tan 300 Trong tam giác vuông A’AC ta có: AA ' = A ' C − AC = 2a Vậy VLT = AA '.S∆ABC = 2a a2 = a3 Chọn đáp án B Câu 15: Hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có độ dài đường chéo a Khi thể tích khối tứ diện AA’B’C’ a2 a3 a3 a2 A B C D 3 18 18 Hướng dẫn giải: Gọi x cạnh hình lập phương ta có AA '2 + A ' C '2 = AC '2 x + ( x 2) = a => x = a / 1 a3 S A ' B ' C ' AA ' = x = 18 Chọn đáp án B V= Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA ' = a Lấy điểm M cạnh AD cho AM = 3MD Tính thể tích khối chóp M.AB’C a3 a3 3a 3a A VM AB ' C = B VM AB ' C = C VM AB ' C = D VM AB ' C = 4 Hướng dẫn giải: Thể tích khối chóp M.AB’C thể tích khối chóp B’.AMC 3a Ta có : S ∆AMC = S ∆ADC = 4 3a Do VM AB ' C = VB '.AMC = Chọn đáp án C Câu 17: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ tích a Tính độ dài A’C A A ' C = a B A ' C = a C A ' C = a D A ' C = 2a Hướng dẫn giải: Ta có: A ' C = AB + AD + AA '2 Mà AB = AD = AA ',V = AB AD AA ' = a AB = a , AD = a, AA ' = a Suy A ' C = a Chọn đáp án A Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính thể tích V hình lập phương biết a khoảng cách từ trung điểm I AB đến mặt phẳng A’B’CD a A V = B V = a C V = 2a D V = a3 Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ bên IH ⊥ I ' J Đặt cạnh x a AB = x suy IH = = ⇒ x = a Vậy V = a 2 Chọn đáp án B Câu 19: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a Khoảng cách từ điểm A a đến mặt phẳng (A’BCD’) Tính thể tích hình hộp theo a a 21 a3 3 V = a A V = a B V = C D V = Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu A lên cạnh A’B a ⇒ AH ⊥ A ' BCD ' ⇒ AH = Gọi AA ' = x > Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác AA’B: 1 1 = + ⇔ = 2+ 2 2 AH AA ' AB 3a x a 2 ⇔ x = 3a ⇔ x = a VABCD A ' B ' C ' D ' = AA ' AB AD = a 3.a.a = a3 Chọn đáp án C Câu 20: Người ta gọt khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt nội tiếp ( tức khối cố đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó: a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Hướng dẫn giải: a Tính tính cạnh hình bát diện  a    a3 a 2 V =  = Thể tích hình bát diện có cạnh nên Nhận xét: Ta có cơng thức tính thể tích hình bát diện x3 cạnh x V = Chọn đáp án A Câu 21: Đường chéo hình hộp chữ nhật d, góc đường chéo mặt đáy α , góc nhọn hai đường chéo đáy β Thể tích hình hộp là: 1 A d 3cos 2α sin α sin β B d 3cos 2α sin α sin β C d sin αcosα sin β D d sin αcosα sin β Hướng dẫn giải: Tính được: BD = d cos α ⇒ OD= d cos α DD' = d sin α β β Tính : HD = d cos α sin ⇒ CD = d cos α sin 2 β Tính được: BC = BD − CD = d cos αcos … Chọn đáp án A Câu 22: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a khoảng cách từ A đến mặt a phẳng ( A ' BC ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 2a 3a 3 2a 3a A B C D 16 48 12 16 Hướng dẫn giải: HS tự vẽ hình Đặt chiều cao lăng trụ h gọi M trung điểm BC ta có hệ thức 1 1 4 a a a 3a = + ⇒ = − = ⇒ h = ⇒ V = S h = = d ( A, A ' BC ) h AM h a 3a 3a 4 16 Chọn đáp án D Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a , mặt phẳng ( α ) cắt cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ M, N,P,Q Biết AM= a , CP = a Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là: a3 2a 11 11 A B C D a a 30 15 3 Hướng dẫn giải: Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I thuộc đoạn OO’ AM + CP 11 a Ta có: OI = = a< B 30 C Gọi O1 điểm đối xứng O qua I : O 11 OO1=2OI = a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’ A D 15 N Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt I cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ M P A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp ABCD.A B1C1D1 Vậy V(ABCD MNPQ)=V( O1 Q MNPQ.A1 B1C1D1) = B’ C’ 1 11 O’ V ( ABCD A1B1C1D1 ) = a OO1 = a 2 30 A’ Chọn đáp án A D’ Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , D = 600 SA vng góc với a3 ABCD Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng Biết thể tích khối chóp S ABCD ( ) ( SBC ) A k = 3a Hướng dẫn giải: Diện tích đáy S▱ ABCD = B k = a C k = 2a a2 a3 1 V = B.h = B.SA ⇒ SA = 2 = a 3 a BC ⊥ AM   ⇒ BC ⊥ ( SAM ) (1) BC ⊥ SA  BC ⊂ ( SBC ) ( 2) Từ (1) ( ) ⇒ ( SAM ) ⊥ ( SBC ) ( SAM ) ∩ ( SBC ) = SM Kẻ AH ⊥ SM Xét ∆SAM vuông A Ta có ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) D k = a 3a 1 1 ⇒ AH = ⇒ AH = k = a = + = + = 2 2 2 5 AH SA AM 3a 3a 3a Chọn đáp án B Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh bàng a Mặt bên ABB′A′ có diện tích a Gọi M , N trung điểm A′B, A′C Tính tỉ số thể tích hai khối chóp A′ AMN A′ ABC V V V V A A′ AMN = B A′ AMN = C A′ AMN = D A′ AMN = VA′ ABC VA′ ABC VA′ ABC VA′ ABC Hướng dẫn giải: V A′M A′N Ta có : A′ AMN = VA′ ABC A′B A′C A′M M trung điểm A′B ⇒ = A′B A′N N trung điểm A′C ⇒ = A′C VA′ AMN 1 = = VA′ ABC 2 Chọn đáp án C Câu 26: Cho lăng trụ tam giác ABCD A ' B ' C ' có tất cạnh a M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với CB’, cắt cạnh BC, CC’, AA’ N, E, F Xác định N, E, F tính thể tích khối chóp C.MNEF 7a3 7a 3a 21 3a A B C D 128 128 128 128 Hướng dẫn giải: Xác định N , E , D Gọi I, J trung điểm BC, CC’ Khi mp ( AIJ ) ⊥ B ' C Suy mp (P) qua M song song mặt phẳng mp(AIJ) Do MN AI , NE IJ;EF AJ Tính thể tích khối chóp C.MNEF Thấy ENC góc mặt phẳng (P) mp(ABC) Tứ giác MNCA hình chiếu vng góc tứ giác MNEF mp(ABC) dt ( MNCA) Suy dt ( MNEF ) = cos ENC π a2 Ta có ENC = , dt ( ABC ) = 4 Suy ra: a2 a2 − dt ( ABC ) − dt ( BMN ) 32 = 6a = dt ( MNEF ) = π 32 cos a 2a = Mặt khác d (C , mp ( MNFEF )) = 6a 2a 3a Gọi V thể tích khối chóp C.MNEF, ta có: V = = 32 128 Chọn đáp án B Câu 27: Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi diện tích S1, tứ giác ACC’A’ BDD’B’ có diện tích S2, S3 Thể tích khối hộp ABCD A’B’C’D’ tính theo S1, S2, S3 ? S1S2 S3 S1S2 S3 S1S2 S3 A B C D S1S S3 3 Hướng dẫn giải: Gọi đáy hình hộp có độ dài đường chéo AC = a , BD = b đường cao hình hộp AA’ = BB’ = c a 2b c Suy S1 = ab ; S2 = AC.AA ' = ac ; S3 = BD.BB ' = bc ⇒ S1S S3 = 2 2 1 abc S1S S3 Thể tích khối hộp là: V = S1.c = abc = = 2 2 Chọn đáp án A Câu 28: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng tích V Để diện tích tồn phần lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ bằng: V A B V C V D V Hướng dẫn giải: V Gọi x, h cạnh đáy chiều cao lăng trụ Có V = x h ⇒ h = x V V V V V  Stp = x + xh = x + =  x + +  ≥ 2.3 x = V x x x x x  V Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇔ x = V x Chọn đáp án C Câu 29: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn : 1 A B C D 10 Hướng dẫn giải: Nhìn vào hình vẽ ta thấy phần hình lập phương ABCD A’B’C’D’ chia mặt phẳng (BDC’) gồm hình chóp BCC’D phần cịn lại VBCC ' D Tỉ lệ cần tính T = VABCD A ' B ' C ' D ' − VBCC ' D Giả sử hình lập phương có cạnh ⇒ VABCD A ' B ' C ' D ' = 13 = Hình chóp BCC’D có đáy tam giác vuông cân DCC’, đỉnh B, đường cao BC 1 1 ⇒ VBCC ' D = BC S DCC ' = 1.1.1 = , 3 1 T= = = 10 1− Chọn đáp án D Câu 30: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' I trung điểm BB’ Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A 1:3 B 7:17 C 4:14 D 1:2 Hướng dẫn giải: Coi khối lập phương có cạnh Để giải toán này, ta phải xác định thiết diện cắt mặt phẳng ( DIC ') Lấy M trung điểm AB IM đường trung bình tam giác ABB’ nên IM / / AB '/ / DC ' Suy bốn điểm I , M , C ' D thuộc mặt phẳng ( C ' ID ) Thiết diện cắt mặt phẳng ( DIC ' ) tứ giác C ' DMI Phần tích nhỏ khối đa diện C ' IBMDC Để thuận tiện tính tốn ta chia khối thành phần tứ diện IMBD hình chóp DIBCC’ 1 1 1 VIMBD = IB.S BDM = IB.DA.MB = = 3 2 24 1 1 1  VD IBCC ' = DC S IBCC ' = DC ( IB + CC ') BC = . + 1 3 2 2  1 Suy thể tích khối tích nhỏ Vn = VIMBD + VDIBCC ' = + + 24 24 17 Thể tích phần lớn Vl = VABCDA ' B ' C ' D ' − Vn = − = 24 24 Vậy tỉ lệ cần tìm Vn : Vl = :17 Nhận xét: Đây tốn khó địi hỏi khả dựng hình xác định điểm phù hợp thí sinh Có số bạn xác định thiết diện gặp khó khăn việc tính thể tích phần chưa chia khối thể tích thành hình nhỏ để tính cho phù hợp Chọn đáp án D Câu 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài phía A’ lấy điểm M cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C’D’ Tính giá trị nhỏ MN? A 3a B 2a C 3a D 2a Hướng dẫn giải: Đây toán sử dụng phương pháp tọa độ hóa Đối với việc tọa độ hóa Đối với việc tọa độ hóa việc quan trọng cẩn thận xác Trọn hệ trục tọa độ Axyz với A(0;0;0); B (a;0;0); A '(0;0; a ); D (0; a;0) Gọi M (0;0; m) N (a; n;0) Ta có ( ADD ' A ') / /( BCC ' C ') ( MD ' NC ) cắt ( ADD ' A ' ) theo giao tuyến MD ' cắt ( BCC ' B ') theo giao tuyến CN MD '/ /CN Lại có MD ' = (0; a; a − m); NC ' = (0; a − n; a ) a a−m an Suy = ⇒m= a−n a n−a Có MN = AB + BN + AM = a + m + n 2  n − an + a   an  2 n a ⇔ MN =  + + =    n−a n−a   n − an + a ⇔ MN = n−a n − an + a [ 0;+∞ ) Xét hàm số f (n) = n−a Ta MN đạt giá trị nhỏ 3a n = 2a Chọn đáp án A Câu 32: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể ) A 1182 viên; 8800 lít B 1180 viên; 8820 lít C 1180 viên; 8800 lít D 1182 viên; 8820 lít Hướng dẫn giải: Gọi V thể tích hình hộp chữ nhật, có V = 5.1.2 = 10m Ta có VH = 0,1.4,9.2 = 0,98 m VH ' = 0,1.1.2 = 0, m Do VH + VH ' = 0,98 + 0, = 1,18m3 Mà thể tích viên gạch VG = 0, 2.0,1.0,05 = 0,001m Nên số viên gạch cần sử dụng là: VH + VH ' 1,18 = = 1180 viên gạch 0,001 VG Thể tích thực bồn VB = 10 − 1,18 = 8,82m3 ⇒ VB = 8820dm = 8820l Chọn đáp án B Câu 33: Một người thợ nhơm kính nhận đơn đặt hàng làm bể cá cảnh kính dạng hình hộp chữ nhật khơng có nắp tích 3,2 m3; tỉ số chiều cao bể cá chiều rộng đáy bể (hình dưới) Biết giá mét vng kính để làm thành đáy bể cá 800 nghìn đồng Hỏi người thợ cần tối thiểu tiền để mua đủ số mét vng kính làm bể cá theo u cầu (coi độ dày kính khơng đáng kể so với kích thước bể cá) A 9,6 triệu đồng Hướng dẫn giải: B 10,8 triệu đồng C 8,4 triệu đồng Theo hình vẽ ta có xyh = 3, h = x ⇒ x y = 1,6 ⇒ y = D 7,2 triệu đồng 1,6 x2 Tổng diện tích mặt bể cá 1,6 6, 4 S = xy + xh + yh = + x2 + = x + = x + + ≥ 12 x x x x x Đẳng thức xảy x = Vậy tổng diện tích tối thiểu 12 m2, suy số tiền tối thiểu cần 9,6 triệu Chọn đáp án A Câu 34: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm Ta gấp nhôm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A x = 20 B x = 15 C x = 25 D x = 30 Hướng dẫn giải: Ta có PN = 60 − x , gọi H trung điểm PN suy AH = 60 x − 900 S ∆ANP = ( 60 − x ) 60 x − 900 = ( 60 − x ) 15 x − 225 = f ( x ) , chiều cao khối lăng trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max f(x) max −45 ( x − 20 ) f '( x ) = = ⇔ x = 20, f ( 20 ) = 100 3, f (15) = 15 x − 225 max f ( x ) = 100 x = 20 ( ) Chọn đáp án A Câu 35: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) , hệ số k cho trước (k- tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x, y , h > chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x, y, h > xây tiết kiệm nguyên vật liệu x,y,h A x = B x = C x = D x = ( 2k + 1)V ; y = 4k ( 2k + 1)V ; y = 4k 3 ( 2k + 1) ( 2k + 1)V ; y = 4k 4k ( 2k + 1) 2kV ( 2k + 1)V ; y = 2 2kV 2 ;h = ;h = 23 2kV ( 2k + 1) ;h = ;h = 2kV ( 2k + 1) k ( 2k + 1)V k ( 2k + 1)V k ( 2k + 1)V k ( 2k + 1)V Hướng dẫn giải: Gọi x, y, h ( x, y, h > ) chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga h V V ⇔ h = kx V = xyh ⇔ y = = x xh kx Nên diện tích tồn phần hố ga là: ( 2k + 1)V + 2kx S = xy + yh + 2xh = kx ( 2k + 1)V Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ x = 4k Ta có: k = Khi y = Chọn đáp án C 2kV ( 2k + 1) ,h = k ( 2k + 1)V THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN Câu 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB ' C ' C là: A 12,5 (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 7,5 (đơn vị thể tích) D (đơn vị thể tích) Hướng dẫn giải: Khi ta so sánh trực tiếp được, nhiên ta suy luận nhanh sau: Khối B'ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC) chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC A'B'C' Do VB ' ABC = VABCA ' B ' C ' V Tương tự ta có AA ' B ' C ' = , VABCA ' B ' C ' 30 ⇒ VAB ' C ' C = VABCA ' B ' C ' ⇒ VAB ' C 'C = = 10 3 Chọn đáp án B Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 300 có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ A 340 B 336 C 274 D 124 Hướng dẫn giải: Ta có : S∆ABC = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 Gọi O hình chiếu A’ (ABC) ∆A ' AO vuông O cho ta : A ' O = AA '.sin 30 = Vậy : VABC A ' B ' C ' = 84.4 = 336 Chọn đáp án B Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên ( AA ' C ' C ) tạo với đáy góc 450 Thể tích khối lăng trụ bằng: 3a 3a 3a 3a A VABC A ' B ' C ' = B VABC A ' B ' C ' = C VABC A ' B ' C ' = D VABC A ' B ' C ' = 32 16 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB ⇒ A’H ⊥ ( ABC ) Vẽ HK ⊥ AC K ⇒ góc A’KH = 45° AB a a a AH = = ; HK = AH sin60° = ⇒ A ' H = HK = 2 4 a a 3a VABC A ' B ' C ' = A ' H S ABC = = 4 16 Chọn đáp án B Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a 3; BC = 3a, ACB = 300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho BC=3BH mặt phẳng (A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng: 4a 19a 9a 4a A B C D 4 19 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết, áp dụng định lí cosin tam giác AHC ta tính AH=a ( A ' BC ) ⊥ ( ABC ) => AH ⊥ ( ABC ) => A ' AH = 600 Do  A AH ABC ( ' ) ( ) ⊥  Do △AA ' H vuông H => A ' H = d ( A ';( ABC )) = AH tan 60 = a 9a => VABC A ' B ' C ' = S ABC d ( A ',( ABC )) = 3a.a sin 300.a = Chọn đáp án C Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có A ' ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a Biết a Tính thể tích khối chóp A '.BB '.C ' C độ dài đoạn vng góc chung AA' BC a3 a3 a3 a 15 A B C D 18 18 18 18 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm đáy ABC M trung điểm cạnh BC Hạ MN ⊥ A ' A Do BC ⊥ ( A ' AM ) nên MN đoạn vng góc chung A’A BC ⇒ MN = Ta có a a a 3a ; AO = AM = ; AN = AM − MN = 3 Hai tam giác A’OA MNA đồng dạng nên A ' O AO MN AO a = ⇒ A 'O = = MN AN AN VA '.BB '.C ' C = VA ' B ' C ' ABC − VA ' ABC = A ' O.S ABC AM = 2 a a a3 A ' O.S ABC = = 3 18 Chọn đáp án B Câu 6: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' tích 48cm3 M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh CC’, BC B’C’, thể tích khối chóp A ' MNP 16 A 24cm3 B cm3 C 16 cm3 D cm3 Hướng dẫn giải: 1 Ta có VA ' ABC = VABCA ' B ' C ' = 48 = 16 cm 3 ⇒ VA ' BCC ' B ' = VABCA ' B ' C ' − VA ' ABC = 48 − 16 = 32cm3 Mặt khác = 1 S BCC ' B ' ⇒ VA ' MNP = VA ' BCC ' B ' = 32 = 8cm3 4 Chọn đáp án D S MNP = Câu 7: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu C’ (ABC) trung điểm I BC Góc AA’ BC 30o Thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ : a3 a3 a3 3a A B C D 8 Hướng dẫn giải: Do AA ' song song với CC ' nên góc AA ' BC góc CC ' BC Nên a a a a a3 Vậy: V = C ' I = tan 300 = = 6 Chọn đáp án D Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' bằng: a3 3a 3a 3a3 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi H, M, I trung điểm đoạn AB, AC, AM Theo giả thiết, A ' H ⊥ ( ABC ) , BM ⊥ AC Do IH đường trung bình tam giác ABM nên IH / / BM ⇒ IH ⊥ AC Ta có: AC ⊥ IH , AC ⊥ A ' H ⇒ AC ⊥ IA ' Suy góc (ABC) (ACC’A’) A 'IH = 450 a A ' H = IH tan 450 = IH = MB = Thể tích lăng trụ là: 1 a a 3a V = B.h = BM AC A ' H = a = 2 2 Chọn đáp án C Câu 9: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc H A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC Tất cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ là: a3 a3 a3 a3 A B C D 2 Hướng dẫn giải: Gọi I giao điểm AH BC Theo giả thiết H trực tâm tam giác đề ABC nên AH đường cao H lả trọng tâm tam giác ABC 2a a Nên AH = AI = = 3 Do AH ' ⊥ ( ABC ) nên A ' AH = 600 A ' H ⊥ AH Trong tam giác vng HA’A có a AH ' = AH tan 600 = 3=a Thể tích khối chóp a VABC A ' B ' C ' = S ABC A'H = a a = a3 2 Chọn đáp án A Câu 10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng 450 Hình chiếu a mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm A’B’ Tính thê tích V khối lăng trụ theo a a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 16 24 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm A’B, theo đề ta suy : AH ⊥ ( A ' B ' C ') ⇒ AA ' H = 450 AH = A ' H tan 450 = a a3 Chọn đáp án D Vậy V = 7a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ A V = 12 a B V = 3a C V = 9a D V = 6a Hướng dẫn giải: Gọi O = AC ∩ BD Từ giả thuyết suy A ' O ⊥ ( ABCD ) Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BCD = 1200 AA ' = a2 Vì BCD = 120 nên ABC = 600 ⇒ ∆ABC S ABCD = BC.CD.sin1200 = ⇒ AC = a ⇒ A ' O = A ' A2 − AO = Suy VABCD A ' B ' C ' D ' = 3a Chọn đáp án B 49a a − = 3a 4 Câu 12: Cho hình lăng trụ ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác A’AC tam giác nằm mặt phẳng vng với đáy Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD A’B’C’D’ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = Hướng dẫn giải: + Gọi H trung điểm AC Do A′AC tam giác nên A′H ⊥ AC + Mặt khác, ( A′AC ) ⊥ ( ABCD ) theo giao tuyến AC nên A′H ⊥ ( ABCD ) hay A′H đường cao lăng trụ + Ta có AC = a ⇒ A′H = + Vậy V = AH S ABCD = a a3 Chọn đáp án D Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách điểm A, B, C Mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ a3 a3 a3 a3 A B C D 16 12 Hướng dẫn giải: Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vng góc A’ C’ A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC ’ Gọi H hình chiếu vng góc B lên AA’, Khi (P) B’ (BCH) Gọi M trung điểm BC MH ⊥ AA’ góc A ' AM nhọn, H nằm AA’ Thiết diện lăng H trụ cắt (P) tam giác BCH a a ∆ABC cạnh a nên AM = , AO = AM = A C 3 O Theo M 2 a a a S BCH = ⇒ HM BC = ⇒ HM = B 8 3a 3a 3a AH = AM − HM = − = 16 A ' O HM Do hai tam giác A’AO MAH đồng dạng nên suy = AO AH AO.HM a a a A 'O = = = AH 3a 1aa a3 Thể tích khối lăng trụ: V = A ' O.S ABC = A ' O AM BC = a= 23 12 Chọn đáp án C Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Thể tích lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 theo a là: 3a a3 a3 a3 B C D Hướng dẫn giải: Ta có V = Bh + Diện tích đáy B = a2 + Ta có h = A1O ( O giao điểm AC BD) + Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) góc OIA1 600 I trung điểm AD 3a a a Vậy V = + Ta có ∆A1OI , A1OI = 900 , OI = , A1O = 2 Chọn đáp án C A Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có tất cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng ( A1B1C1 ) thuộc đường thẳng B1C1 Thể tích khối lăng trụ ABC A1B1C1 bằng: a3 a3 a3 B C Hướng dẫn giải: Do AH ⊥ ( A1B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 A ( A1B1C1 ) , theo giả thiết góc D a3 16 AA1 H 300 Xét tam giác vng AHA1 có AA1 =a, góc a AA1H = 300 ⇒ AH = a a a3 VABCA1 B1C1 = AH S A1 B1C = = Chọn đáp án A Câu 16: Cho hình hộp với mặt hình thoi cạnh a , góc nhọn 600 Khi thể tích khối hộp là: a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 3 2 Hướng dẫn giải: Giả sử khối hộp cps C ' D ' D = 1200 ; A ' D ' D = 1200 ADC = 600 Khi AD ' = CD ' = DD ' = a suy D ' ACD tứ diện Gọi H trọng tâm tam giác ACD a DH = ⇒ D ' H = DD '2 − DH = a 3 a a a = Vậy V = S ABCD D ' H = Chọn đáp án D Câu 17: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC = 2a Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H cạnh AC , đường thẳng A ' B tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 450 Cho phát biểu sau: (1) VABC A ' B ' C ' = a , ( ) A ' B ⊥ B ' C , ( 3) BB ' = a 3, Số phát biểu là: A B C Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AC → A ' H ⊥ ( ABC ) ( ) AB = a 2; D AC 2a = =a 2 2 1 → S ABC AB.BC = a = a 2 AC = a HB hình chiếu vng góc Có HB = A ' B lên ( ABC ) Có AB = BC = ( ) Suy ∠A ' BH = 45 → A ' H = HB.tan 45 = a Do đó: VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' H = a a = a + Chứng minh A ' B ⊥ B ' C (chỉ A ' B ⊥ ( P ) ( P ) chứa B ' C 2 Ta có: BB = AA ' = AH + HA = A Suy ABB ' A ' hình thoi → A ' B ⊥ AB ' (1)  AC ⊥ A ' H Và  → AC ⊥ ( A ' BH ) → AC ⊥ A ' B ( )  AC ⊥ BH Kết luận: Từ (1) (2) suy A ' B ⊥ ( AB ' C ) → A ' B ⊥ B ' C ( dpcm ) Chọn đáp án C Câu 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, N thuộc cạnh bên AA’, CC’ cho MA = MA ' NC = NC ' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ A’BCN, khối tứ diện tích nhỏ nhất? A Khối A’BCN B Khối GA’B’C’ C Khối ABB’C’ D Khối BB’MN Hướng dẫn giải: + Nhận thấy khoảng cách từ G A xuống mặt phẳng (A’B’C’) ( G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’) VGA ' B ' C ' = VA A ' B ' C ' Mà VA A ' B ' C ' = VABB ' C ' (Do hình chóp có đáy AA’B’ ABB’ diện tích nhau;chung đường cao hạ từ C’) ⇒ VGA ' B ' C ' = VABB ' C ' => Khơng khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ → Loại B,C + So sánh Khối A’BCN Khối BB’MN Nhận thấy khoảng cách từ M A’ xuống mặt BBCC’ → Khối A’BCN Khối BB’MN có đường cao hạ từ M A’ Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN => Khối A’BCN < Khối BB’MN => Khối A’BCN có diện tích nhỏ Chọn đáp án A Câu 19: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy 60° Tính thể tích khối lăng trụ 3 27 3 A V = B V = C V = a D a a a 4 Hướng dẫn giải: Ta có ABCDEF lục giác nên góc đỉnh 120° ABC tam giác cân B , DEF tam giác cân E a2 S ABC = S DEF = a.a.sin120° = A' F' B' E' AC = AB + BC − AB.BC.cos B C'  1 = a + a − 2.a.a. −  = a  2 2 S ACDF = AC AF = a 3.a = a S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF a2 a 3a = + a2 + = 4 F B V = BH '.SABCDEF = a Chọn đáp án D 3a2 = a 4 E H C a B ' BH = 60° ⇒ B ' H = BB '.sin 60° = D' A D ... khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB ' C ' C là: A 12,5 (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 7,5 (đơn vị thể tích) D (đơn vị thể tích) ... S1S S3 Thể tích khối hộp là: V = S1.c = abc = = 2 2 Chọn đáp án A Câu 28: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng tích V Để diện tích tồn phần lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ bằng:... Vậy thể tích lăng trụ : V = S ABC AA ' = 2 Chọn đáp án A S ABC = Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a ( A′BC ) hợp với mặt đáy ABC góc 300 Tính thể tích khối lăng