SKKN: Khai thác sáng tạo, linh hoạt một bài toán sách giáo khoa – Hình học 7

Tham khảo sáng kiến kinh nghiệm về khai thác sáng tạo, linh hoạt từ một bài toán hình học ở sách giáo khoa toán 7 thành những bài toán khác phù hợp với từng đối tượng học sinh nhằm phát huy tư duy tích cực, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn của học sinh.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ KHAI THÁC SÁNG TẠO, LINH HOẠT MỘT BÀI TỐN SÁCH GIÁO KHOA – HÌNH HỌC ” -1- Chủ đề “ KHAI THÁC SÁNG TẠO, LINH HOẠT MỘT BÀI TỐN SÁCH GIÁO KHOA – HÌNH HỌC ” -PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong bối cảnh ngành Giáo dục Đào tạo nỗ lực đổi phương pháp dạy học theo hường phát huy tính tích cực chủ động học sinh hoạt động học tập, để dáp ứng đòi hỏi đặt cho bùng nổ kiến thức sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển lực tư duy, lực giải vấn đề tính sáng tạo Hướng giải tích cực hố hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển lực tự học nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh Dạy toán thực chất dạy hoạt động toán, học sinh cần phải đước hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh tự lực khám phá điều chưa biết khơng phải thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần này, tiết lên lớp tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập: Củng cố kiến thức cũ, tìm tịi phát kiến thức mới, luyện tập vận dụng kiến thức vào tình khác Khơng thế, tơi ln suy nghĩ làm để học sinh tự đọc hiểu tào liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức bản, đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân Do vậy, tơi tìm tịi, học hỏi đồng nghiệp, tham khảo tài liệu để viết đề tài nhằm hướng dẫn học sinh biết khai thác sáng tạo toàn đơn giản sách giáo khoa thành tốn đa dạng, có đơn giản, có phức tạp, giúp học sinh tự phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ quen, quy khó dễ, để từ giúp học sinh hứng thú học toán -2- II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Khai thác sáng tạo, linh hoạt từ tốn hình học sách giáo khoa toán thành toán khác phù hợp với đối tượng học sinh - Phát huy tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn học sinh - Giúp giáo viên có tư liệu tham khảo vấn đề III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu tình hình dạy học vấn đề trường - Đưa số toán phù hợp với đối tượng học sinh hướng giải IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu: - Các tài liệu - Giáo viên, học sinh lớp trường THCS Viên Thành Phạm vi nghiên cứu: Các tốn hình học phù hợp với đối tượng học sinh lớp 7, phương pháp giải tốn V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp điều tra khảo sát - Phương pháp thể nghiệm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG -3- Từ toán sách giáo khoa toán 7: ( Bài 65 – trang 137 – SGK – Toán – Tập – NXB giáo dục 2003) Bài toán I : Cho ABC cân A (  < 900 ), Vẽ BH  AC ( H  AC ), CK  AB ( K  AB ) a Chứng minh AH = AK b Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác góc A Phân tích toán I: - Để chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc A nhau, thơng thường ta phải chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng hai góc ( Tuy nhiên cịn nhiều cách khác) Vậy để K H chứng minh AH = AK ta phải chứng minh tam giác nhau? I 2 - Hai tam giác theo trường hợp nào? 1 Giả thiết cho ta rồi? Có thể chứng B C minh hai đoạn thẳng trực tiếp H×nh khơng? Hay phải thơng qua yếu tố trung gian nào? Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên để học sinh thảo luận đưa phương án chứng minh riêng học sinh Giáo viên hướng đẫn cho học sinh theo sơ đồ sau: Sơ đồ Sơ đồ AH = AK AH = AK  ABH  ACK  AB = AC ( ABC cân);  BK = CK ( Vì AB = AC)  KCB  HBC   KAH chung   BC chung; KCB = HCB ( ABC cân) - Tương tự giáo viên nêu hệ thống câu hỏi gợi mở giúp học sinh tìm lời giải câu b theo sơ đồ sau: Sơ đồ Sơ đồ AI phân giác góc A AI phân giác góc A    1=  Â1=   AKI  AHI   ABI  ACI  +B1= B2 ( KBC  HCB +AB = AC ( ABC cân A) AK = AH ( c/m câu a); AI chung -4- + AI cạnh chung tốn A ( hình 1), ta chứng minh AK = AH AKH tam giác cân A; học sinh tính AKH  AHK  1800  BAC (1) Và giả thiết cho ABC cân A nên học sinh chứng minh được: 1800  BAC BAC  ABC  (2) Từ (1) (2) suy ra: AKH  ABC , mà góc vị trí đồng vị,điều giúp học sinh chứng minh được: KH // BC Vậy ta có tốn sau: Bài tốn 1: Cho ABC cân A (  < 900), Vẽ BH  AC ( H  AC ), K  AB ( K  AB ) Chứng minh rằng: KH // BC A tốn A ( hình 2), ABC cân A  AB = AC, học sinh chứng minh Â1 = Â2, có thêm AN cạnh chung nên suy ra: K H ABN  ACN (c.g.c)  N1  N mà N1  N  1800 ( kề bù) 1800  N1  N   900  AN  BC hay AI  BC I 1 B C H×nh Từ giúp học sinh chứng minh toán sau: Bài toán 2: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao hạ từ đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh rằng: AI  BC Vì học sinh chứng minh KH // BC ( toán 1), mà toán lại chứng minh AI  BC , nên ta chứng minh AI  KH Từ giúp học sinh dễ dàng chứng minh toán sau: Bài toán 3: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao hạ từ đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh rằng: AI  KH Như chứng minh tốn (hình 2): ABN  ACN (c.g.c)  BN  CN  N trung điểm BC Từ giúp học sinh tìm lời giải cho toán sau: Bài toán 4: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao hạ từ đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh rằng:AI qua trung điểm BC Bài toán khác tương tự: Bài toán 5: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) cắt I A Chứng minh rằng:AI qua trung điểm KH Tổng hợp toán ( hình 3), học sinh chứng minh toán tương tự sau: K H Bài toán 6: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao hạ từ đỉnh B đỉnh C cắt I I Chứng minh rằng: AI vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến, vừa đường B C -5H×nh trung trực tam giác ABC.(Có thể khơng cần gới thiệu định lý) Bài toán 7: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) cắt I Chứng minh rằng:AI vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến, vừa đường trung trực tam giác ABC .(Có thể khơng cần gới thiệu định lý) A D K H B I 1 C H×nh Với giả thiết tốn A ( hình 4), học sinh chứng minh AI  KH ( giả sử D – Bài tốn 3); Lúc đó: A2  H1 ( phụ với AHD ), mà Â1 = Â2 ( theo chứng minh toán A)  A1  H1 hay BAI  KHB Đến học sinh xác định cần phải vẽ thêm đường phụ bắt gặp toán sau: Bài toán 8: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) cắt I Chứng minh rằng: BAI  KHB Nếu toán chứng minh BAI  KHB ta lại có: KHB  HBC (so le trong)  BAI  HBC , giúp học sinh giải toán khác tương tự Bài toán 9: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) cắt I Chứng minh rằng: BAI  HBC Ở tốn A ( hình 4) ta chứng minh AI tia phân giác   A1  A2  BAC Ở toán chứng minh BAI  HBC tức là: A1  HBC  HBC  BAC Từ giúp học sinh biết vẽ thêm đường phụ để chứng minh toán sau: Bài toán 10: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao BH ( H  AC) A Chứng minh rằng: HBC  BAC Bài toán 10 tốn khó học sinh lớp 7, lại cịn khó ta chưa hướng dẫn cho học sinh tốn Tuy nhiên tốn có nhiều cách khác H K -6B I C H×nh nhau, có đơn giản để chứng minh học sinh cần phải linh động vẽ thêm hình Vậy ta đảo lại số kiện giả thiết tốn A có thêm tốn khác Ta xét toán sau: Bài toán 11: Cho ABC cân A (  < 900), có đường cao BH ( H  AC) Trên cạnh AB lấy điểm K cho AK = AH Chứng minh rằng: a KH // BC b CK  AB ( Bài 40 –Trang 68 – Sách nâng cao phát triển toán – NXB Giáo dục 2003) Câu a: Học sinh dễ dàng chứng minh tương tự tốn Câu b Học sinh dễ dàng nhìn thấy AHB  AKC có: + AH = AK ( giả thiết) +  chung + AB = AC ( ABC cân A)  AKC  AHB mà AHB  900  AKC  900  CK  AB (đpcm) A Bài toán 12: Cho ABC cân A (  < 900), Một điểm I nằm tam giác cho IB = IC Chứng minh 12 rằng: AI tia phân giác BAC Khi đọc đề toán học sinh nghĩ IB = IC I  I thuộc đường trung trực BC (1), mà ABC cân A nên AB = AC B C  A đường trung trực BC (2) H×nh Từ (1) (2)  AI đường trung trực BC, mà BC đáy tam giác ABC cân nên tương tự ta có AI đồng thời đường phân giác góc BAC Đến ta quay lại xem xét toán Nếu thay giả thiết  < 900 tốn có chứng minh hay khơng? Sự thay đổi có cần phải phân chia trường hợp phân chia toán hay khơng? Xét tốn A, Nếu thay giả thiết  < 900 giả thiết   900 tốn hồn tồn chứng minh Ở tốn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, thay giả thiết  90 ) I Cịn tốn kết luận thay đổi bởi: Nếu  < 900 BAI  HCB , song  > 900 (hình H K 7) BAI HBC hai góc bù nhau; để giúp học sinh chứng minh triệt để trường hợp A I giáo viên nên định hướng để học sinh chuyển thành toán sau: B C Bài toán 13: Cho ABC cân A (   90 ), có N H H×nh đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) cắt A I Hãy cho biết mối quan hệ hai góc BAI HBC K -7B N H×nh C tốn 11, thay giả thiết Â< 900 giả thiết   900 kết luận xẩy hai trường hợp: * Nếu  < 900 kết luận tốn 11 là: KH // BC; CK  AB * Nếu  > 900 ( hình 8) KH  BC, song CK khơng cịn vng góc với AB Vậy ta có toán sau: Bài toán 14: Cho ABC cân A (   900), đường cao BH ( H AC), cạnh AB lấy điểm K cho AH = AK Tìm vị trí tương đối KH với BC Hướng dẫn: + Nếu  < 900 chứng minh 11, ta có: KH // BC (1) + Nếu  > 900, giả sử AN đường cao ABC cân A cắt đường cao BH I AKH cân A  AHK  AKH AN đồng thời tia phân giác  A1  A2  BAC (hình 8) (2) Mặt khác : AH = AK ( giả thiết ), suy Mà BAC  AHK  AKH ( theo tính chất góc ngồi tam giác)  BAC  AHK  AKH  AKH  BAC (3) Từ (2) (3) suy Â2 = AHK , mà hai góc vị trí đồng vị  KH // AI , mà AI  BC (ở trên)  KH  BC (4) Từ (1) (4) suy ra: KH // BC KH  BC * tốn 12 hồn tồn bỏ đợc giả thiết  < 900 ta phát triển toán thành toán sau: Bài toán 15: Cho ABC cân A, Lấy điểm I khác A nằm tam giác cho IB = IC Chứng minh rằng: AI tia phân giác BAC ( chứng minh hoàn toàn tương tự 12) Quay lại tốn 12 ( Hình 9), học sinh chứng A minh AI tia phân giác góc A, mà ABC cân A nên AI đồng thời đường cao  AI  BC ( giả sử điểm N) ta có: A1  ABC  900 ( vng N) K H I Nếu cho thêm điều kiện A1  ICN ICN  ABC  900  BCK có: BKC  1800  ( ICN  ABC )  1800  900  900  CK  AB K hay CI  AB B N H×nh C Từ giúp HS chứng minh toán sau: Bài toán 16: Cho ABC cân A (  < 900), Lấy điểm I khác A nằm tam giác cho IB = IC IAB  IBC Chứng minh rằng: CI  AB Để tốn có tính phức tạp hơn, kích thích sáng tạo cho hoc sinh giáo viên ( hình 9): BAC ; IBC  ICB ( IBC cân I), mà tốn 16 có: IAB  IBC  IBC  ICB , để đề toán cho học sinh giỏi sau: IAB  -8- Bài toán 17: Cho ABC cân A (  < 900), Lấy điểm I khác A nằm tam giác cho IB = IC ICB  A Chứng minh rằng: CI  AB BI  AC Đến nhiều toán khác hấp dẫn hơn, thú vị hơn, em học sinh tự khám phá Vậy đảo hoàn toàn đề tốn A việc chứng minh có khó khăn khơng? Có liên quan đến toán làm quen? Ta xét toán sau? Bài tốn 18: Cho tam giác có hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh Chứng minh tam giác cân Phân tích: Để chứng minh tam giác cân trước A hết giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh dự đoán tam giác cân đâu, từ cần phải chứng minh điều kiện để tam giác cân K H Ở (hình 10), giả sử tam giác ABC có hai đường cao BH CK nhau, ta dự đoán tam 1 giác ABC cân A B C Vậy ta cần chứng minh AB = AC ABC  AKC H×nh 10 Thật vậy, AHB AKC có: Â1 chung K1  H1  900  B1  C1 ( phụ với Â) BK = BH ( giả thiết)  AHB  AKC ( g.c.g )  AB  AC  ABC cân A (đpcm) Cách khác: vuongBKC  vuongCHB ( cạnh huyền – cạnh góc vng) (Vì cạnh huyền BC chung; cạnh góc vng BH CK nhau)  KBC  HCB  ABC cân A (đpcm) Theo tính chất ba đường cao tam giác đồng quy điểm nên AI đường cao thứ 3, AI đồng thời ta phân giác BAC ABC cân A, từ học sinh chừng minh đợc toán sau: Bài toán 19: Cho tam giác ABC Nếu hai đường cao hạ từ đỉnh B C cắt I cho AI tia phân giác BAC tam giác ABC cân Tương tự AI đường cao đồng thời đường trung tuyến trung trực học sinh chứng minh tam giác ABC cân A, nên ta yêu cầu học sinh chừng minh toán khác tượng tự sau: Bài toán 20: Cho tam giác ABC Nếu hai đường cao hạ từ đỉnh B C cắt I cho AI đường trung trực (hoặc đường trung tuyến) tam giác ABC cân A Vậy tam giác ABC (hình 11) có đường cao BH ( H  AC) CK ( K  AB) cắt I cho I cách đỉnh B, C tam giác ABC co cân không? Câu hỏi K 1 I -9- H B 2 H×nh 11 C giúp học sinh phải suy nghĩ ngay: I cách B, C  IB  IC Mà I1  I (đối đỉnh)  vuongBKI  vuongCHI ( cạnh huyền – góc nhọn)  B2  C2 (1) Mà IB = IC  IBC cân I  B1  C1 (2) Từ (1) (2)  ABC  ACB  ABC cân A Đó lời giải toán sau: Bài toán 22: Chứng minh rằng, tam giác có trực tâm cách hai cạnh tm giác tam giác cân Mở rộng toán 21 hoắc toan 22, học sinh dễ dàng chứng minh toán sau: Bài toán 23: Chứng minh rằng, tam giác có trực tâm cách đỉnh ( cách cạnh tam giác tam giác Quay lại toán A ta nhận thấy BHC vng H; BKC vng K có chung cạnh huyền BC A Giả sử M trung điểm BC ( hình 12) ta chứng minh: KM  HM  BM  CM  K H I BC B C M H×nh 12 Nên giúp học sinh chứng minh toán sau: Bài toán 24: Cho ABC cân A (   900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: Tam giác KMH cân Bài toán 25: Cho ABC cân A(   900), có đường cao BH, CK ( H AC, K  AB ) Chứng minh rằng: B, K, H, C cách điểm Bài toán 26: Cho ABC cân A(   900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) Chứng minh rằng: B, K, H, C thuộc đường trịn Nếu cho A    900 ( hình 13) ta tính A 1800    KMB  HNC  1800  ABC ABC  ACB   K H  1800  I 180     (1) Mà theo toán ta chứng minh KH//BC  KHM  HMC ( so le trong) (2) Mặt khác: KHM  HKM (3) (vì KHM cân M – theo chứng minh 24) Kết hợp (1), (2), (3) ta có: I B C M H×nh 13 H K A  -10- B M H×nh 14 C KHM  HKM    KMH  1800  2 Ngược lại  =  > 90 ( hình 14) hồn tồn tương tự ta tính được: HKM  KHM  1800 -   HKM  1800  HKM  1800  2(1800   )  2  1800 Đến ta có toán sau: Bài toán 27: Cho ABC cân A (   900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) Gọi M trung điểm BC Tính số đo góc tam giác KHM, biết A   Bài toán 28: Cho ABC cân A (   900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) Gọi M trung điểm BC Tìm điều kiện  để: a Tam giác KHM đều; b Tam giác KHM vuông; c Tam giác KHM có góc  A Ở tốn 27: * Nếu  < 900 ( hình 15) ta chứng minh K H MHC  MCH  KHA I  KHB  MHB ( phụ với hai góc nhau)  HB phân giác KHM Tương tự KC phân giác HKM , mà HB cắt KC I  I điểm cách cạnh KHM C H×nh 15 I * Nếu  > 900 ( hình 16) ta chứng minh tương tự I giao điểm hai đường phân giác phân giác HKM  I cách đường thẳng chứa cạnh HKM Từ giúp học sinh giải tốn sau: M B H K A B M C H×nh 16 Bài toán 29: Cho ABC cân A (   900), có đường cao BH, CK ( H  AC, K  AB ) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: I cách ba cạnh tam giác MHK Trên số toán khai thác phù hợp với học sinh lớp 7, song sang lớp 8, lớp toán cịn nhiều điều lý thú Giáo viên thay đổi số giả thiết toán I ban đầu để phát triển tư cho học sinh, nhằm giúp em hăng say sáng tạo, tìm tịi lời giải, cách đề gặp toán -11- Tương tự qua tốn giải, giáo viên cho học sinh tự khai thác tốn thành nhiều dạng khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để lớp thảo luận, giáo viên làm trọng tài, yêu cầu học sinh tự chứng minh tốn Cứ giáo viên tạo cho học sinh thói quen quan sát, tư duy, lật lật lại vấn đề để tìm lời giải cho toán VII ,thực trạng học sinh trước sau tiếp thu phương pháp 1, Bài kiểm tra trước học phương pháp (kiểm tra 45 phút) Kết thu : Có khoảng 7% học sinh đạt điểm trở lên ,và có tới 93% đạt điểm trở xuống 2, Bài kiểm tra sau học phương pháp (kiểm tra 45 phút) Kết thu : Có khoảng 15% học sinh đạt điểm trở lên ,và có tới 61% học sinh đạt điểm trung bình ,đạt điểm trung bình 24% Kết luận Trên số trăn trở suy nghĩ việc làm thực trình giảng dạy,phương pháp phương pháp mà thấy giáo viên học sinh đường xây dựng tồn diện nó, tơi nghĩ điều mà cần quan tâm ,cần tìm tịi trích luỹ chocác giáo viên để học sinh đạt chất lượng đại trà,cũng học sinh mủi nhọn ngày nâng cao Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu ban chuyên môn ,tổ khoa học tự nhiên ,và đồng nghiệp tơi,và thành viên khơng thể thiếu học sinh thân yêu ,đã tạo điều kiện cho tơi viết lên điều mà ấp ủ nung nấu thực trình giảng dạy Rất mong thầy cô ,và đồng nghiệp góp ý cho tơi chun đề ,để lại tếp tục vững bước đường trồng người Người viết Sáng kiến : Nguyễn Thế Trung GIÁO VIÊN : Trường THCS xã Viên Thành –Yên Thành-nghệ An -12- ... pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG -3- Từ toán sách giáo khoa toán 7: ( Bài 65 – trang 1 37 – SGK – Toán – Tập – NXB giáo dục 2003) Bài toán I : Cho ABC cân A (  < 900 ), Vẽ BH  AC (... “ KHAI THÁC SÁNG TẠO, LINH HOẠT MỘT BÀI TỐN SÁCH GIÁO KHOA – HÌNH HỌC ” -PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong bối cảnh ngành Giáo dục Đào tạo nỗ lực đổi phương pháp dạy học. .. đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh Dạy toán thực chất dạy hoạt động toán, học sinh cần phải đước hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh tự lực khám phá