Công thức đường thẳng oxy

CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC OXY Đường thẳng qua M  x0 ; y0  có hệ số góc k Đường thẳng biết vtcp u  a; b  qua điểm M  x0 ; y0  Đường thẳng biết vtpt n  a; b  qua điểm M  x0 ; y0  Phương trình tắc: x  x0 y  y0  a b Phương trình tham số:  x  x0  a.t ; t   y  y0  b.t Phương trình tổng quát: a  x  x0   b  y  y0   Phương trình đường thẳng: y  k. x  x0   y0 , ý k  tan  Đường thẳng  qua M  x0 ; y0  Đường thẳng  qua M  x0 ; y0  Đường thẳng qua hai điểm A  x1 ; y1  và song song a.x  b y  c  vuông góc a.x  b y  c  B  x2 ; y2  Cách 1: Vì  / / a.x  b y  c   n   a; b  Cách 1: Vì   a.x  b y  c   n   b; a  Phương trình  : a  x  x0   b  y  y0   Phương trình  :  b. x  x0   a  y  y0   Cách 2: Vì  / / y  a.x  b   có dạng: Cách 2: Vì   a.x  b y  c    có dạng: a.x  b y  d  Thay tọa độ M  x0 ; y0  vào   d b.x  a y  d  Thay tọa độ M  x0 ; y0  vào   d Lập phương trình đường thẳng qua điể M  x0 ; y0  chắn Lập phương trình đường thẳng qua M  x0 ; y0  cắt hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài TH1: Xét đường thẳng cần tìm qua gốc tọa độ: y  ax , thay Ox, Oy điểm A B cho M trung điểm AB tọa độ điểm M  x0 ; y0  vào tìm a TH2: Đường thẳng cần tìm khơng qua gốc tọa độ, cắt hai trục tọa x y độ A B phương trình đường thẳng là:   ( a b phương trình đoạn chắn) (*) Vì độ dài hai đoạn thẳng nên a  b  a  b Kết hợp với phương trình thay tọa độ M TH1: Đường thẳng cần tìm qua M  x0 ; y0  song song AB : (dùng cách viết ptđt qua M  x0 ; y0  có vtcp u  AB ) TH2: Đường thẳng cần tìm qua M  x0 ; y0  trung điểm I AB ( Dùng cách viết ptđt qua hai điểm M , I ) a0  x x y   a  x0   đường thẳng  AB  :    a b  b  y0  b   y0  với x0  Lập phương trình đường thẳng qua M  x0 ; y0  cắt hai đường thẳng d1 , d A B cho M trung điểm AB Chuyển d1 , d tham số  tọa độ A; B theo tham số  xA  xB  x0 Dùng công thức trung điểm   tham số, từ  y A  yB  y0 tìm A; B viết phương trình qua hai điểm AB Lập phương trình đường thẳng, qua điểm M  x0 ; y0  độ tam giác có diện tích S tạo với đường thẳng d : y  a1 x  b1 góc  x y   (PT đoạn chắn) a b x y Vì M  x0 ; y0    d     S  ab Giải hệ để a b tìm a; b thẳng cần tìm là:  d  : tìm a; b  đường thẳng Gọi A  a;0  , B  0; b  Vì M  x0 ; y0  trung điểm A, B nên Lập phương trình đường thẳng qua M  x0 ; y0  hai trục tọa Giả sử đường thẳng cắt hai trục A  a;0 ; B  0; b   đường Thay tọa độ điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  để  Qua A  x1 ; y1  Cách 3: Đường thẳng  AB  :   vtcp u  AB vào (*) giải để tìm a, b Đường thẳng qua M  x0 ; y0  cách hai điểm A; B x  x1 y  y1  x2  x1 y2  y1 Cách 2: Gọi đường thẳng y  a.x  b Cách 1: PT đường thẳng: Phương trình trung trực đoạn AB Bước 1: Tính tọa độ trung điểm I  x0 ; y0  x A  xB y  yB ; y0  A 2 Bước 2: Tính AB  xB  xA ; yB  y A    a; b  Bước 3: Phương trình trung trực qua I nhận AB làm vecto pháp tuyến là: a. x  x0   b  y  y0   Lập phương trình đường thẳng cách hai đường thẳng song song d1 , d Lấy A  d1 ; B  d tìm trung điểm I AB Đường thẳng cần tìm qua I song song d1 A d1 Cách 1: Gọi đt cần tìm y  a.x  b Dùng cơng thức tính góc hai đường thẳng cos   n1 n2 n1 n2  a1 a2  a12  a22  Cách 2: Tính hệ số góc qua cơng thức: tan   a  a1  a.a1 I B d2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Hai đường thẳng cho dạng a1 x  b1 y  c1  Vị trí tương đối hai đt cho dạng tổng quát   d1  : y  a1 x  b1  d1  : y  a1 x  b1 a2 x  b2 y  c2  a1 x  b1 y  c1  Cách 1: Giải hệ  a2 x  b2 y  c2  phương pháp cộng phương pháp Hệ vô nghiệm: Song song Hệ vô số nghiệm: Trùng Hệ có nghiệm nhất: Cắt Cách 2: a b Nếu  : Cắt a2 b2 Nếu a1  a2 : Cắt a b c Nếu   : Song song a2 b2 c2 a1  a2 Nếu  : Song song b1  b2 Thế x, y từ  d  a  a2 Nếu  : Trùng b1  b2 Nếu a1 a2  1 : Vng góc trình ẩn t Phương trình vơ nghiệm: Song song Có nghiệm nhất: Cắt Vô số nghiệm: Trùng a1 b1 c1   : Trùng a2 b2 c2 Vng góc: a1 a2  b1 b2  Nếu  x  x2  c.t  x  x1  a.t Hai đường thẳng cho dạng tham số  d1  :   d  :   y  y2  d t  y  y1  b.t  x1  a.t  x2  c.t Giải hệ phương trình tạo hai đường thẳng:   y1  b.t  y2  d t Hệ vô nghiệm: Song song, có nghiệm nhất: Cắt nhau, Vơ số nghiệm: Trùng Vị trí tương đối hai điểm A, B với đường thẳng a.x  b y  c  Cho đường thẳng ax  by  c  0; a  b2   hai điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  Nếu  ax1  by1  c   ax2  by2  c   A B nằm phía đường thẳng d Nếu  ax1  by1  c   ax2  by2  c   A B nằm khác phía với đường thẳng d Tìm tọa độ chân đường cao từ đỉnh A Viết phương trình đường cao AH tìm giao điểm đường cao AH với cạnh đáy BC Hai đường thẳng cho dạng tham số, tổng quát Tìm tọa độ chân đường phân giác góc A Cách 1: Viết phương trình đường phân giác góc A tìm giao với BC Cách 2: Gọi D  x; y  chân đường phân giác từ A Sử dụng công thức: AB DB   DC để tìm x; y AC Ba đường thẳng  d1  ;  d2  ;  d3  đồng quy Tìm giao điểm A hai đường thẳng  d1  ;  d2  không chứa tham số, thay Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng d tham số suy tọa độ H theo tham số Tính AH sử dụng cơng thức AH ud   t  H Biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng Là tìm điều kiện tham số để hai đường thẳng cắt nhau, trùng nhau, song song tọa độ A vào  d3  Tìm tọa độ trọng tâm – Trung điểm Trọng tâm tam giác:  x  x  x y  yB  yC  G A B C ; A  3    x  xB y A  yB  Trung điểm AB : I  A ;   Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp Tâm đường tròn nội tiếp giao ba phân giác, ta viết phương trình hai đường phân giác tìm giao điểm hai đường phân giác Tìm tọa độ hình chiếu điểm A lên đường thẳng d Cách 1: Viết phương trình đường thẳng  d1  qua A vng góc với d Tìm tọa độ hình chiếu giao  d1  d  x  x0  c.t  d  :   y  y0  d t vào  d1  phương  d1  : a.x  b y  c  d1 Tọa độ trực tâm ABC Viết phương trình hai đường cao, tìm giao điểm hai đường cao A H B C Tìm tọa độ tâm đường ngoại tiếp Cách 1: Viết phương trình đường trung trực cạnh, tìm giao hai đường trung trực OM BC  Cách 2: Gọi O  x; y    với ON AC  M , N trung điểm BC , AC Tìm điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng d Bước 1: Tìm tọa độ hình chiếu H A lên H đường thẳng d ( Xem phương pháp bên) A A' Bước 2: Vì A đối xứng A qua d nên H trung điểm AA Sử dụng công thức trung điểm để tìm tọa độ A d Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết trung điểm AB, BC , AC M , N , P Cách 1: Viết phương trình cạnh tam giác: Cạnh AB qua M có vtcp u  NP ……….Rồi tìm giao cạnh Cách 2: Giải hệ phương trình: x A  xB  xM ; x A  xC  xP ; xC  xB  xN để tìm x A ; xB ; xC Tương tự y A ; yB ; yC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT - GĨC – KHOẢNG CÁCH Lập phương trình đường thẳng d  đối xứng đường thẳng d qua đường Lập phương trình đường thẳng d  đối xứng với d qua điểm I thẳng  d Kiểm tra xem điểm I có thuộc đường thẳng B' A' d' A' d' d không ( cách thay tọa độ điểm I A vào d I + Nếu điểm I  d  d   d I H d' A' d d A A B Kiểm tra vị trí d  Nếu I  d : Cách 1: + Nếu d / /  : – Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua  Cách 2: Lấy A B thuộc d, xác định điểm A ', B ' đối xứng A, B qua I Phương trình d ' Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d + Nếu d cắt  I phương trình A ' B ' Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua  Viết phương trình đường thẳng d qua A I GĨC HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương trình đường phân giác Cho hai đường thẳng  1  : a1x  b1 y  c1   1  : a2 x  b2 y  c2  cắt Phương trình đường phân giác góc tạo Cho hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1  (có n1  (a1 ; b1 ) )  : a2 x  b2 y  c2  a x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  hai đường thẳng  1   1  là: (có n2  (a2 ; b2 ) ) a12  b12 a22  b22 Góc tạo hai đường thẳng là: a1 x  b1 y  c1 a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 a2 x  b2 y  c2 n1.n2 a1.b1  a2 b1   Nếu n1.n2  phân giác góc nhọn ; phân giác góc tù cos  1;     2 2 2 2 a1  b1 a1  b1 a2  b2 a2  b2 n1 n2 | a1  b12 a22  b22 a x  b1 y  c1 a x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 a x  b2 y  c2 Chú ý:   Nếu n1.n2  phân giác góc nhọn là: ; phân giác góc tù 2 2 2 2 a1  b1 a1  b1 a2  b2 a2  b2 00   1; 2   900 Để viết phân giác góc A: Ta viết phương trình cạnh AB; AC suy phân giác góc A là:     a a b b  a1 x  b1 y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22  d1  a1 x  b1 y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22  d2  Sau thực hai cách sau: 2 Để tính góc A ABC : cos A  cos  AB, AC   Cách 1: Tính góc vecto AB; AC xem góc A nhọn hay tù tính n1.n2 để tìm phân giác tương ứng AB AC AB AC Cách 2: Vì B , C nằm hai phía phân giác nên ta thay tọa độ B , C vào  d1  PB PC   d1  phân giác trong, PB PC   d2  phân giác Cơng thức tính khoảng cách Bước 1: Chuyển đường thẳng dạng tổng quát a.x  b y  c  Bước 2: Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0  đến a.x  b y  c  là: d  a.x0  b y0  c  a  b2 Khoảng cách hai đường thẳng song song ax  by  c  ax  by  d  là: d  d c a  b2 CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC – MỘT SỐ BÀI TỐN HAY Lập phương trình cạnh tam giác biết điểm A hai đường cao từ B, C Lập phương trình cạch biết phương trình cạnh AB hai đường cao từ A, B Bước 1: Viết phương trình cạnh AB qua A vng Bước 1: Tìm tọa độ điểm A  AB  d tọa C A góc d độ điểm B  AB  d1 Bước 2: Viết phương trình cạnh AC qua A vng d1 d1 Bước 2: Viết phương trình BC qua B vng d2 d2 góc d1 góc d Bước 3: Tìm tọa độ điểm B  AB  d1 tọa độ Bước 3: Viết phương trình cạnh AC qua A điểm C  AC  d Bước 4: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm B , C vng góc với d1 B C Viết phương trình cạnh biết tọa độ điểm A hai phân giác góc B, C Bước 1: Tìm điểm A đối xứng với A qua d A Bước 2: Tìm điểm A đối xứng với A qua d1 d2 d1 Bước 3: Phương trình BC phương trình AA B A Lập phương trình cạnh biết tọa độ điểm A hai trung tuyến từ B C Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm G  d1  d A Bước 2: Tìm tọa độ điểm A đối xứng A qua G ( dùng công thức trung điểm) d1 d2 Bước 3: Viết phương trình 1 qua A song song d1  qua A song song d Bước 4: Tìm tọa độ B  BC  d1 ; C  BC  d Bước 5: Viết phương trình AB, AC ( phương trình đường thẳng qua điểm) G B A' A'' C B C A' Tìm tọa độ điểm M  d để khoảng cách từ M đến  K Bước 1: Chuyển d tham số  M theo tham số t Bước 2: Dùng cơng thức tính khoảng cách từ M tới  , cho khoảng cách  K  t ( ý giải phương trình GTTĐ em phải chia hai trường hợp) Bước 3: Thay giá trị t tìm để tìm tọa độ M Tìm tọa độ điểm M  d để MA  MB nhỏ nhất, Chú ý d  Ox B 2  yM Tìm tọa độ điểm M  d để xM nhỏ Bước 1: Chuyển d tham số  M theo tham số t 2  yM Bước 2: Tính xM theo t tìm GTNN Dựa vào dấu xảy để tìm t Bước 3: Thay giá trị t tìm để tìm tọa độ M Tìm tọa độ điểm M  d để MA  MB lớn B d A M A  M  AB  MB  MA Dấu xảy A d M Bài thường gặp A, B nằm phía với d Ta thầy điểm M  d B A M0 d M A' Bước 1: Kiểm tra xem A, B nằm phia hay khác phía với d : a.x  b y  c  Nếu  a.xA  b y A  c   a.xB  b yB  c   A, B nằm phía d ngược lại Bước 2: Nếu A, B nằm khác phía với d em viết phương trình AB tìm M  AB  d Nếu A, B nằm phía với d , em tìm A đối xứng A qua d Viết phương trình AB tìm tọa độ M  AB  d Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm C  1  d tọa độ B    d1 Bước 5: Viết phương trình cạnh ( phương trình đường thẳng qua hai điểm) M M0 M  M Tức để tìm điểm M ta viết phương trình đường thẳng AB  M  AB  d ... PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT - GĨC – KHOẢNG CÁCH Lập phương trình đường thẳng d  đối xứng đường thẳng d qua đường Lập phương trình đường thẳng d  đối xứng với d qua điểm I thẳng  d Kiểm... với đường thẳng d Tìm tọa độ chân đường cao từ đỉnh A Viết phương trình đường cao AH tìm giao điểm đường cao AH với cạnh đáy BC Hai đường thẳng cho dạng tham số, tổng quát Tìm tọa độ chân đường. .. phương trình đường thẳng d qua A I GĨC HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương trình đường phân giác Cho hai đường thẳng  1  : a1x  b1 y  c1   1  : a2 x  b2 y  c2  cắt Phương trình đường phân giác