Phân tích môđun Cyclic trong đại số đường đi Leavitt

Trong bài viết này, chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic trong đại số đường đi Leavitt sinh bởi các phần tử trong đồ thị cảm sinh.

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26 PHÂN TÍCH MƠĐUN CYCLIC TRONG ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Ngô Tấn Phúc1*, Trần Ngọc Thành2 Tăng Võ Nhật Trung2 Trường Đại học Đồng Tháp Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: ntphuc@dthu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 25/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 06/4/2020; Ngày duyệt đăng: 18/4/2020 Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi mơ tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh phần tử đồ thị cảm sinh Từ khóa: Đại số đường Leavitt, mơđun cyclic, môđun đơn - THE DECOMPOSITION OF CYCLIC MODULES IN LEAVITT PATH ALGEBRA Ngo Tan Phuc1*, Tran Ngoc Thanh2, and Tang Vo Nhat Trung2 Dong Thap University Student, Dong Thap University *Corresponding author: ntphuc@dthu.edu.vn Article history Received: 25/02/2020; Received in revised form: 06/4/2020; Accepted: 18/4/2020 Abstract In this paper, we describe the structure of the cyclic module in the Leavitt path algebra generated by elements in the original graph Keywords: Leavitt path algebra, cyclic module, simple module 23 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Mở đầu Cho đồ thị (trực tiếp) E trường số K , Abrams Aranda Pino (2005) giới thiệu lớp đại số đường Leavitt LK ( E ) cảm sinh từ đồ thị E Lớp đại số mở rộng đại số Leavitt LK (1, n) (Leavitt, 1962) Sau đó, Abrams (2015) lí đại số đường Leavitt trở thành đối tượng quan tâm không nhiều nhà đại số mà cịn có nhà giải tích Trong lý thuyết mơđun, người ta quan tâm đến tốn mô tả cấu trúc môđun cấu trúc mơđun Theo hướng nghiên cứu này, có hai lớp mơđun đóng vai trị tảng mơđun đơn mơđun cyclic Một mơđun đơn mơđun khơng có cấu trúc thực mơđun cyclic mơđun có hệ sinh gồm phần tử Abrams Aranda Pino (2005) đưa tiêu chuẩn đồ thị E để LK ( E ) môđun đơn Khi LK ( E ) không môđun đơn, mơ tả mơđun đơn hay không? Đây công việc tương đối phức tạp để bắt đầu, phải xem xét cấu trúc môđun cyclic Đại số đường Leavitt đồ thị có hướng có tập sinh tập đỉnh cạnh đồ thị Một cách tự nhiên, viết mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu Đại số đường Leavitt môđun cyclic Trong phần nhắc lại số khái niệm đồ thị trực tiếp đại số đường Leavitt Một đồ thị E  ( E , E , s, r ) bao gồm hai tập hợp E E1 hai ánh xạ r , s : E1  E Các phần tử E gọi đỉnh phần tử E1 gọi cạnh Đối với cạnh e E1 , s  e  gọi điểm đầu e r  e  gọi điểm cuối e Đồ thị E gọi hữu hạn tập E E1 tập hữu hạn phần 24 tử Trong viết này, ta xét đồ thị hữu hạn Một đường đồ thị E chuỗi cạnh p  e1e2 en cho r  ei   s  ei 1  với i  1,2, , n  Trong đồ thị E , đỉnh v gọi đỉnh dìm s 1  v    v gọi gốc r 1 (v)  , v th gọi đỉnh ch nh quy Cho đồ thị trực tiếp E  ( E , E1 , s, r ) trường bất k K , đại số đường Leavitt LK ( E ) đồ thị E với hệ tử K K -đại số sinh tập E E1 , với tập cạnh ảo {e* | e  E1}, thỏa mãn điều kiện sau với v, w  E e, f  E1 : (1) vw   v, w w, (  kí hiệu Kronecker); (2) s(e)e  e  er (e) r (e)e*  e*  e*s(e); (3) e* f   e, f r (e); (4) v   ee* với đỉnh quy v 1 es ( v ) Cho M môđun vành R (trong viết này, môđun hiểu mơđun trái) Nếu M có hệ sinh gồm phần tử th M gọi môđun cyclic (trên vành R ) Một môđun khác gọi mơđun đơn có mơđun tầm thường (là nó) Kết Trong phần này, chúng tơi mơ tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu Định lí Cho E  ( E ; E1 , r , s) đồ thị hữu hạn với K trường Khi với cạnh f  E1 mà s 1  r  f    0, ta có: fLK  E    es 1  r  f   feLK  E  Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh es 1  r  f   feLK  E   0 es Gọi s 1  r  f    e1 , , en  , n  Giả  sử suy   fe11  fe2 2   fen n * Nhân f vào bên trái, ta có  3.1  e11   en n Lấy x  fLK  E  suy   LK  E  để x  f   f r  f    es 1  r  f    es  1  r  f  ee*  es 1  r  f   feLK  E  Cuối cùng, ta chứng minh  Lấy x   feLK  E   fLK  E  es 1  r  f   feLK  E  suy e  LK  E  , e  s 1  r  f   để x  es 1  r  f   fe e ,  e  LK  E     f   e e   fLK  E   es1  r  f     Định lí Cho E  ( E , E1 , r , s) đồ thị hữu hạn  trường Khi với v  E khơng đỉnh dìm ta có vLK  E    r  e  L  E  es 1  v  K Chứng minh Xét hai tương ứng  : vLK  E         e*   es1  v           r  e  e*   es1  v     (điều kiện  r  e  L  E  es 1 v K E (2) định nghĩa)   es 1 e.e* v  v (điều kiện (4) định nghĩa) Tiếp theo ta chứng minh   idvL fee*  es 1  r  f   e e K   v      v   feLK  E   es 1  v  Trước tiên ta chứng minh   idvL (3.2) Tiếp theo, ta chứng minh  f e Lấy   LK  E  ta có es 1  r  f   es 1  r  f   es 1  v  (3.1) Nhân e1* vào bên trái,  3.2  1    Suy   hay feLK  E   0  v K  r  e  1 , , n  LK  E  để e* K es 1  v  1  r  e  L  E   vL  E  : * feLK  E  es 1  r  f   fLK  E    v  r  e  x  es 1  v  K e  E Lấy  r e L  E  K es 1  v    x      x         e e   es1  v           ve. e  (điều kiện (2)  es1  v     định nghĩa)     v.e  e es 1  v     es  1  v  es  v  1 e* e e  r  e  es 1  v  x e (điều kiện (3) định nghĩa) Ta kiểm    v   v     đồng  e       e*  e*  tra es 1  v  es 1 cấu: * v 25 Chuyên san Khoa học Tự nhiên   es 1 e*   v  es 1 e*  v    v     v  Trong  ,    ,   LK  E  Cuối cùng, ta kiểm tra  đồng cấu:   r  e   e   e     es1  v       e   e  e    x   y    es 1  v    es 1  v  e e    es 1  v  e e    x     y  Trong  ,   x  es 1 v e e , y   es 1 v e e Kết luận Trong trường hơp vành R trường, ta dễ thấy môđun cyclic R 26 môđun đơn Nhưng R không trường th kết luận khơng cịn Bài viết điều trường hợp đại số đường Leavitt Lời cảm ơn: Bài báo hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2019.02.11./ Tài liệu tham khảo G Abrams (2015), “Leavitt path algebras: the first decade”, Bulletin of Mathematical Sciences, (5), pp 59-120 G Abrams and G Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, Journal of Algebra, (293), pp 319-334 W G Leavitt (1962), “The module type of a ring”, Trans Amer Math Soc, (42), pp 113-130  ... môđun cyclic Đại số đường Leavitt đồ thị có hướng có tập sinh tập đỉnh cạnh đồ thị Một cách tự nhiên, viết mô tả cấu trúc môđun cyclic đại số đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu Đại số. .. trường số K , Abrams Aranda Pino (2005) giới thiệu lớp đại số đường Leavitt LK ( E ) cảm sinh từ đồ thị E Lớp đại số mở rộng đại số Leavitt LK (1, n) (Leavitt, 1962) Sau đó, Abrams (2015) lí đại số. .. đường Leavitt sinh cạnh đỉnh đồ thị ban đầu Đại số đường Leavitt môđun cyclic Trong phần nhắc lại số khái niệm đồ thị trực tiếp đại số đường Leavitt Một đồ thị E  ( E , E , s, r ) bao gồm hai