Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng nguyễn chín em

MỤC LỤC CHƯƠNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Nguyên hàm tính chất 1.1 Nguyên hàm 1.2 Tính chất Phương pháp tính nguyên hàm 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần 2.3 Bảng nguyên hàm 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng Các dạng toán tập 3.1 1 2 Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm 3.1.1 Bài tập vận dụng 3.2 Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số 3.2.1 Bài tập áp dụng 3.3 Nguyên hàm phần 3.3.1 Ví dụ tập Phương pháp đổi biến số B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 39 Nhận biết 39 1.1 Thông hiểu 2.1 ĐÁP ÁN 69 Vận dụng thấp 69 3.1 ĐÁP ÁN 81 Vận dụng cao 81 4.1 3 22 23 35 35 39 ĐÁP ÁN 54 54 ĐÁP ÁN TÍCH PHÂN 86 87 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 87 Khái niệm tích phân 87 1.1 Định nghĩa tích phân 87 1.2 Tính chất tích phân 87 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 87 2.1 Phương Pháp Đổi Biến Số 87 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 2.2 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần 88 Các dạng toán tập 88 3.1 3.1.1 3.2 3.2.1 3.3 3.3.1 Tích phân tính chất tính phân Ví dụ tập Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Ví dụ tập Tính chất tích phân Ví dụ tập 88 88 93 93 95 96 b 3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối | f (x) | dx 107 a 3.4.1 3.5 3.5.1 3.6 3.6.1 Ví dụ tập Phương pháp đổi biến số Ví dụ tập Tích phân phần Ví dụ tập 107 109 109 140 140 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 150 Nhận biết 150 1.1 Thông hiểu 2.1 ĐÁP ÁN 191 Vận dụng thấp 192 3.1 ĐÁP ÁN 227 Vận dụng cao 228 ĐÁP ÁN 161 161 4.1 ĐÁP ÁN 246 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 247 A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 247 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh 247 Hình phẳng giới hạn hai đường cong 247 B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 247 C Dạng tốn tập 248 Diện tích hình phẳng tốn liên quan 248 1.1 1.2 Thể tích 2.1 2.2 Th.s Nguyễn Chín Em Diện tích hình phẳng 248 Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường vật lí 251 254 Thể tích vật thể 254 Tính thể tích vật thể trịn xoay 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebra D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 259 Nhận biết 259 1.1 Thông hiểu 2.1 ĐÁP ÁN 286 Vận dụng thấp 287 3.1 ĐÁP ÁN 297 Vận dụng cao 297 4.1 ĐÁP ÁN 277 277 ĐÁP ÁN 302 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1.1 NGUYÊN HÀM Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F ( x) = f ( x) với x ∈ K Định lí Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K với số C , hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm hàm số f ( x) K Định lí Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K nguyên hàm hàm số f ( x) K có dạng F ( x) + C , với C số Định lí Mọi hàm số f ( x) liên tục K có ngun hàm K 1.2 Tính chất Tính chất f ( x) d x = f ( x) + C Tính chất k f ( x) d x = k f ( x) d x ( k số khác 0) Tính chất f ( x) ± g ( x) d x = 2.1 f ( x) d x ± g ( x) d x PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số Định lí Nếu f ( u) d u = F ( u) + C u = u( x) hàm số có đạo hàm liên tục f ( u( x)) u ( x) d x = F ( u( x)) + C 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần Định lí Nếu hai hàm số u = u( x) v = v( x) có đạo hàm liên tục K u ( x) · v ( x) d x = u ( x) v( x) − u ( x)v( x) d x Nhận xét Vì v ( x) d x = dv, u ( x) d x = du nên đẳng thức viết dạng Để tính nguyên hàm u dv = uv − v d u f ( x) d x phần ta làm sau: Bước 1: Chọn u, v cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v ( x) d x) Sau tính v = dv d u = u · d x https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Bước 2: Thay vào cơng thức (∗) tính v tích phân v d u dễ tính Chương - Giải tích 12 v d u Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm u dv Ta thường gặp dạng sau Dạng 1: I =    u = P ( x) sin x d x Với dạng này, ta đặt P ( x) sin x cos x   dv = cos x d x Dạng 2: I = P ( x) eax+b d x, P ( x) đa thức Với dạng này, ta đặt Dạng 3: I = P ( x) ln ( mx + n) d x, P ( x) đa thức Với dạng này, ta đặt 2.3 u = P ( x) dv = eax+b d x u = ln ( mx + n) dv = P ( x) d x    u = sin x sin x x cos x e d x Với dạng ta đặt cos x  d x = e x d x Dạng 4: I = Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm sơ cấp dx = C du = C dx = x + C du = u + C xα d x = uα d u = d x = ln | x| + C x d u = ln | u| + C u ex d x = e e x + C eu d u = eu + C ax dx = au du = cos x d x = sin x + C cos u d u = sin u + C sin x d x = − cos x + C sin u d u = − cos u + C 10 11 2.4 Nguyên hàm hàm hợp u = u( x) xα+1 +C α+1 ax +C ln a d x = tan x + C cos2 x d x = − cot x + C sin2 x dx = x+C x 10 11 uα+1 +C α+1 au +C ln a d u = tan u + C cos2 u d u = − cot u + C sin2 u du = u+C u Bảng nguyên hàm mở rộng (ax + b)α d x = eax+b d x = (ax + b)α+1 + C (α = −1) a α+1 10 ax+b e +C a sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a Th.s Nguyễn Chín Em 11 12 1 d x = ln |ax + b| + C ax + b a cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a 1 d x = tan(ax + b) + C a cos (ax + b) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 d x = − cot(ax + b) + C a sin (ax + b) cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a dx a+x = ln +C a−x a2 − x2 a x dx = arcsin =C | a| a2 − x2 b ln(ax + b)d x = x + ln(ax + b) − x + C a eax (a cos bx) + b sin bx +C eax cos bxd x = a2 + b 13 14 15 16 17 18 tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a x dx = arctan +C a a2 + x2 a dx = ln x + x2 + a2 + C x2 + a2 dx x = arccos +C a x x2 − a2 a x x a2 − x2 a2 + arcsin + C a2 − x2 d x = 2 a ax e (a sin bx) − b cos bx +C eax sin bxd x = a2 + b CÁC DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP 3.1 Tính ngun hàm bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP Tích đa thức lũy thừa −−−−−−−−−→ khai triển PP Tích hàm mũ −−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ PP Chứa −−−−−−−−−→ chuyển lũy thừa PP Tích lượng giác bậc sin cosin −−−−−−−−−→ Sử dụng cơng thức tích thành tổng • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] • cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] • sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] Bậc chẵn sin cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x = Nguyên hàm hàm số hữu tỷ I = 1 1 − cos 2a, cos2 x = + cos 2a 2 2 P ( x) d x, với P ( x), Q ( x) đa thức Q ( x) PP • Nếu bậc tử số P ( x) ≥ bậc mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Chia đa thức PP • Nếu bậc tử số P ( x) < bậc mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số, sử dụng đồng thức đưa dạng tổng phân số (PP che) Ȋ Ȋ A Bx + C = + , với ∆ = b2 − 4ac ( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c B D A C = + + + ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2 Nhận xét Nếu mẫu khơng phân tích thành tích tìm hiểu phần đổi biến 3.1.1 Bài tập vận dụng Ví dụ Tính nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + x = Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 ĐS: x3 + x2 +C x2 x2 + x d x = x3 + + C Lời giải: Ta có F ( x) = Bài Tìm ngun hàm F ( x) hàm số f ( x) (giả sử điều kiện xác định), biết f ( x) = x3 − x2 − x + = ĐS: x − x − x2 + x + C ✍ Lời giải x3 − x2 − x + d x = x4 − x3 − x2 + x + C Ta có F ( x) = f ( x) = x5 − 12 x3 + x2 − = ĐS: x6 − x4 + x3 − x + C ✍ Lời giải x5 − 12 x3 + x2 − d x = x6 − x4 + x3 − x + C Ta có F ( x) = f ( x) = ( x2 − x)( x + 1) 3 ĐS: F ( x) = x4 − x3 − x2 + C ✍ Lời giải Ta có F ( x) = ( x2 − x)( x + 1)d x = f ( x) = ( x − 1)( x2 + 2) ( x3 − x2 − x)d x = x4 − x3 − x2 + C ĐS: F ( x) = x4 − x3 + x2 − x + C ✍ Lời giải Ta có F ( x) = ( x − 1)( x2 + 2)d x = f ( x) = x( x2 + 1)2 1 ( x3 − x2 + x − 2)d x = x4 − x3 + x2 − x + C ĐS: F ( x) = ( x2 + 1)3 + C ✍ Lời giải x( x2 + 1)2 d x = Ta có F ( x) = f ( x) = (3 − x)3 ( x2 + 1)2 d( x2 + 1) = ( x + 1)3 + C ĐS: F ( x) = − (3 − x)4 + C ✍ Lời giải Ta có F ( x) = (3 − x)3 d x = − f ( x) = (2 x + 1)5 (3 − x)3 d(3 − x) = − (3 − x)4 + C ĐS: F ( x) = (2 x + 1)6 + C 12 ✍ Lời giải Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em (2 x + 1)5 d x = (2 x + 1)5 d(2 x + 1) = (2 x + 1)6 + C 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ f ( x) = (2 x − 10)2018 Chương - Giải tích 12 ĐS: F ( x) = (2 x − 10)2019 + C 4038 ✍ Lời giải Ta có F ( x) = (2 x − 10)2018 d x = f ( x) = (3 − x)2019 (2 x − 10)2018 d(2 x − 10) = (2 x − 10)2019 + C 4038 ĐS: F ( x) = − (3 − x)2020 + C 8080 ✍ Lời giải Ta có F ( x) = (3 − x)2019 d x = − 10 f ( x) = (2 x2 − 1)2 (3 − x)2019 d(3 − x) = − (3 − x)2020 + C 8080 ĐS: F ( x) = x5 − x3 + x + C ✍ Lời giải Ta có F ( x) = 11 f ( x) = ( x2 + 1)3 (2 x2 − 1)2 d x = 4 x4 − x2 + d x = x5 − x3 + x + C ĐS: F ( x) = x7 + x5 + x3 + x + C ✍ Lời giải Ta có F ( x) = ( x2 + 1)3 d x = x6 + x4 + x2 + d x = x7 + x5 + x3 + x + C Ví dụ Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x3 − x + thỏa mãn F (1) = ĐS: F ( x) = x4 − x2 + x − Lời giải: Ta có F ( x) = f ( x)d x = x3 − x + d x = x4 − x2 + x + C Vì F (1) = ⇔ − + + C = ⇔ C = −1 Suy F ( x) = x4 − x2 + x − Bài Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = − x3 + x2 − x thỏa mãn F (1) = ĐS: F ( x) = − x4 + x3 − x2 + 4 ✍ Lời giải x4 + x3 − x2 + C x4 Vì F (1) = nên C = Suy F ( x) = − + x3 − x2 + 4 Ta có F ( x) = f ( x) d x = − x3 + x2 − x d x = − Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x3 − x2 + thỏa mãn F (−2) = ĐS: F ( x) = x4 x3 37 − +x− 3 ✍ Lời giải x4 x3 − + x + C 37 x4 x3 37 Vì F (−2) = nên C = − Suy F ( x) = − +x− 3 Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) d x = x3 − x2 + d x = https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = −5 x4 + x2 − thỏa mãn F (3) = Tính F (−3) ĐS: F (−3) = 451 ✍ Lời giải Ta có F ( x) = f ( x) d x = −5 x4 + x2 − d x = − x5 + Vì F (3) = nên C = 226 Suy F ( x) = − x5 + Do F (−3) = 451 4 x3 − 6x + C x3 − x + 226 Hàm số f ( x) = x3 + x2 + có nguyên hàm F ( x) thỏa F (2) = 14 Tính F (−2) ĐS: F (−2) = −10 ✍ Lời giải Ta có F ( x) = f ( x) d x = x3 + x2 + d x = x4 x4 + x3 + x + C Vì F (2) = 14 nên C = −2 Suy F ( x) = + x3 + x − Do F (−2) = −10 Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = ĐS: F ( x) = − (1 − x)10 +1 10 ✍ Lời giải (1 − x)10 Ta có F ( x) = f ( x) d x = (1 − x) d x = − + C 10 (1 − x)10 Vì 10F (2) = nên C = Suy F ( x) = − + 10 Hàm số f ( x) = (2 x + 1)3 có nguyên hàm F ( x) thỏa F = Tính F 2 ĐS: F = 34 ✍ Lời giải (2 x + 1)4 + C (2 x + 1)4 Vì F = nên C = Suy F ( x) = + 2 Do F = 34 Ta có F ( x) = f ( x) d x = (2 x + 1)3 d x = Hàm số f ( x) = (1 − x)5 có nguyên hàm F ( x) thỏa F − = Tính F (1) 3 71 ĐS: F = 12 ✍ Lời giải (1 − x)6 + C 12 (1 − x)6 = nên C = Suy F ( x) = − + 12 71 = 12 Ta có F ( x) = Vì F − Do F Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) d x = (1 − x)5 d x = − https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = (2 x − 3)2 thỏa F (0) = Tính giá trị biểu thức P = log2 [3F (1) − 2F (2)] ĐS: P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = ✍ Lời giải (2 x − 3)3 + C 29 (2 x − 3)3 29 13 Vì F (0) = nên C = Suy F ( x) = + ⇒ F (1) = ; F (2) = 6 Do P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = Ta có F ( x) = f ( x) d x = (2 x − 3)2 d x = Gọi F1 ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x( x + 2)2 thỏa F1 (0) = F2 ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x3 + x2 + thỏa F2 (0) = −2 Tìm nghiệm phương trình F1 ( x) = F2 ( x) ĐS: 1; ✍ Lời giải Ta có F1 ( x) = f ( x) d x = x( x + 2)2 d x = x3 + x2 + x d x = x4 x3 + + x2 + C x4 x3 + + x2 + (1) x4 x3 + + 5x + C Tương tự F2 ( x) = f ( x) d x = x3 + x2 + d x = x4 x3 Vì F2 (0) = −2 nên C = −2 Suy F2 ( x) = + + 5x − (2) Vì F1 (0) = nên C = Suy F1 ( x) =  Từ (1) (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔ x2 + = x − ⇔ x2 − x + = ⇔   10 x=1 x= Gọi F1 ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 1)( x + 2) thỏa F1 (0) = F2 ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + x − thỏa F2 (0) = Biết phương trình F1 ( x) = F2 ( x) có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1 + x2 17 ĐS: 16 ✍ Lời giải Ta có F1 ( x) = f ( x) d x = x2 + x + d x = ( x + 1)( x + 2) d x = x3 x3 + − 2x + C x3 x3 + − 2x (1) x3 x2 Tương tự F2 ( x) = f ( x) d x = x2 + x2 − d x = + − 2x + C x3 x2 Vì F2 (0) = nên C = Suy F2 ( x) = + − x (2)  x=0 x2 x2 + 2x = − x ⇔ x2 + x = ⇔  Từ (1) (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔ 2 x = −4 Vì F1 (0) = nên C = Suy F1 ( x) = Khi 20 + 2−4 = 17 16 x Ví dụ Tìm ngun hàm F ( x) hàm số f ( x) (giả sử điều kiện xác định) f ( x) = x2 −3 x+ ⇒ F ( x) = f ( x) d x = Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình sau Đặt y g( x) = f ( x) − ( x + 1) Mệnh đề sau đúng? A g(−1) > g(−3) > g(3) C g(3) > g(−3) > g(1) B g(−3) > g(3) > g(1) D g(1) > g(3) > g(−3) x −3 O −2 ✍ Lời giải Ta có g ( x) = f ( x) − 2( x + 1) y ⇒ g ( x ) = ⇔ f ( x ) = x + Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = x + cắt đồ thị y = f ( x) điểm A (−3; −2), B(1; 2), C (3; 4) Suy g (−3) = g (1) = g (3) = g( x) có bảng biến thiên sau: x −3 O −2 x −∞ −3 − f ( x) +∞ + +∞ − + +∞ f (1) f ( x) f (−3) f (3) Từ suy g(1) số lớn ba số g(−3), g(1), g(3) (1) Từ đồ thị hàm số ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x), y = x + x = −3, x = lớn diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x), y = x + x = 1, x = Do [ f ( x) − ( x + 1)] d x > −3 [( x + 1) − f ( x)] d x ⇔ g ( x) d x > − −3 g ( x) d x Suy g(1) − g(−3) > g(1) − g(3) ⇔ g(3) > g(−3) (2) Từ (1) (2), ta có g(1) > g(3) > g(−3) Chọn đáp án D Câu Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy 13 t + t (m/s), t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ 100 30 trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm luật v( t) = 10 giây so với A có gia tốc a (m/s2 ) (a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 15 (m/s) Th.s Nguyễn Chín Em B (m/s) C 42 (m/s) 810 D 25 (m/s) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 ✍ Lời giải Ta có vB ( t) = a d t = at + C Do vB (0) = nên C = ⇒ vB ( t) = at Quãng đường chất điểm A 25 giây 25 SA = 13 13 t + t dt = t + t 100 30 300 60 25 = 375 Quãng đường chất điểm B 15 giây 15 SB = Ta có 375 225a = ⇔a= 2 at d t = at2 15 = 225a Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB (15) = · 15 = 25 (m/s) Chọn đáp án D Câu Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx − g( x) = dx2 + ex + y (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A 253 12 B 125 12 C 253 48 D 125 48 −3 −1 O x ✍ Lời giải Do (C ) : y = f ( x) (C ) : y = g( x) cắt điểm phân biệt có hồnh độ −3; −1; nên f ( x) − g( x) = A ( x + 3)( x + 1)( x − 2) 3 Do f (0) − g(0) = − nên −6 A = − ⇒ A = − 2 1 Từ f ( x) − g( x) = ( x + 3)( x + 1)( x − 2) = ( x + x2 − x − 6) 4 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm −1 S= ( x + x2 − x − 6) d x + −3 253 ( x + x2 − x − 6) d x = 48 −1 Chọn đáp án C Câu Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , A , B1 , B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/m2 phần cịn lại 100.000 đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền B2 N M đây, biết A A = 8m, B1 B2 = 6m tứ giác MNPQ hình chữ nhật A1 có MQ = m? A2 Q P B1 A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 811 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Chọn hệ trục tọa độ Ox y cho trục hoành trùng với trục lớn, trục y tung trùng với trục bé biển quảng cáo B2 Khi đó, đường viền biển quảng cáo có phương trình dạng x2 y2 elip sau (E ) : + = a b  A1 A2 = N M A1  2 a = A2  a = x O x2 + Theo giả thiết ta có ⇔ ⇔ ⇒ (E ) : B B = 2 b =  b = 16 Q P y2 =1⇒ y=± 16 − x2   M = d ∩ (E ) 3 với d : y = ⇒ M −2 3; N 3; Ta có: MQ = ⇒  N = d ∩ (E ) 2 B1 Do Elip nhận trục Ox O y làm trục đối xứng nên diện tích phần tơ màu gấp diện tích hình phẳng giới hạn y = 16 − x2 đường thẳng x = 3, trục tung, trục hoành, S = 4 3 16 − x2 d x = 16 − x2 d x π Đặt x = sin t, d x = cos t d t Và với x = ⇒ t = 0; với x = ⇒ t = π π 2 S=3 16 − 16 sin t · · cos t d t = 48 π cos t d t = 24 (1 + cos t) d t = (24 t + 12 sin t) π = 8π + m2 Số tiền để sơn theo yêu cầu toán T = 100.000 × 4π − + 200.000 × 8π + ≈ 7.322.000 đồng Chọn đáp án A Câu g( x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt ba điểm có hồnh Cho hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx − y độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D −3 −1 O x ✍ Lời giải Do (C ) : y = f ( x) (C ) : y = g( x) cắt điểm phân biệt có hồnh độ −3; −1 nên f ( x) − g( x) = A ( x + 3)( x + 1)( x − 1) 3 2 Từ giả thiết ta có f (0) − g(0) = − nên −3 A = − ⇔ A = 1 3 ⇒ f ( x) − g( x) = ( x + 3)( x + 1)( x − 1) = x3 + x2 − x − 2 2 Diện tích hình phẳng cần tìm Th.s Nguyễn Chín Em 812 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ −1 S= [ f ( x) − g( x)] d x + −3 −1 = Chương - Giải tích 12 [ g( x) − f ( x)] d x −1 3 x + x − x− dx − 2 2 −3 3 x + x − x− d x = − (−2) = 2 2 −1 Chọn đáp án C Câu 3 Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx + g ( x) = dx2 + ex − y (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g ( x) cắt ba điểm có hồnh độ −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 253 A 48 125 C 48 125 B 24 253 D 24 ✍ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ax3 + bx2 + cx + −2 x O 3 = dx2 + ex − ⇔ ax3 + ( b − d ) x2 + ( c − e) x + = 4 Đặt h( x) = ax3 + (b − d ) x2 + ( c − e) x + Dựa vào đồ thị ta có h( x) = có ba nghiệm x = −2; x = 1; x = Khi ta có hệ       − 8a + 4( b − d ) − 2( c − e) = − a=           ⇔ b−d =− a + ( b − d ) + ( c − e) = −   2           27a + 9( b − d ) + 3( c − e) = − c − e = − Khi diện tích hình phẳng cần tính S = | f ( x) − g( x)| d x = −2 = 3 x − x − x + dx + 4 3 x − x − x + dx 4 −2 63 253 + = 16 48 Chọn đáp án A Câu Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A , A , B1 , B2 hình B2 vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/ m2 phần cịn lại 100.000 đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A A = 8m, B1 B2 = 6m tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MQ = 3m ? A 7.322.000 đồng C 5.526.000 đồng ✍ Lời giải N M A1 A2 Q B 7.213.000 đồng D 5.782.000 đồng P B1 x2 y2 + = a2  b    A1 A2 = 2 a =  a = Theo giả thiết ta có ⇔ ⇔ B B = 2 b =  a = Giả sử phương trình elip (E ) : Th.s Nguyễn Chín Em 813 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 x y2 16 − x2 + =1⇒ y=± 16 Diện tích elip  (E ) S (E) = πab = 12π ( m2 )  M = d ∩ (E ) 3 Ta có: MQ = ⇒ với d : y = ⇒ M (−2 3; ) N (2 3; )  N = d ∩ (E ) 2 Suy (E ) : Khi đó, diện tích phần khơng tơ màu S = ( 16 − x2 )d x = 4π − 3( m2 ) Diện tích phần tơ màu S = S(E) − S = 8π + Số tiền để sơn theo u cầu tốn T = 100.000 × (4π − 3) + 200.000 × (8π + 3) ≈ 7.322.000 đồng Chọn đáp án A g( x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt điểm có hồnh độ −3, −1, (tham khảo hình vẽ) Hình Câu Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx − phẳng giới hạn hai đồ thị cho (miền gạch chéo) có diện tích B A y C D −3 ✍ Lời giải −1 O Từ giả thiết ta có f ( x) − g( x) = ax3 + bx2 + cx − − dx2 − ex − x (1) 2 Do −3, −1, nghiệm (1) ⇒ f ( x) − g( x) = a( x + 3)( x + 1)( x − 1) ⇒ −3a = − ⇔ a = Ta có diện tích hình phẳng (H ) giới hạn hai đồ thị S (H ) = | f ( x ) − g ( x )| d x = −3 |( x + 3)( x − 1)( x + 1)| d x = −3 Vậy diện tích cần tích Chọn đáp án B Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên.Đặt y h( x) = f ( x) − x Mệnh đề đúng? A h(4) = h(−2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(−2) D h(2) > h(−2) > h(4) −2 x −2 ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em O 814 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Ta có h( x) = f ( x) − x2 nên h ( x) = f ( x) − x y Dựa vào hình vẽ bên tính chất tích phân ta thấy h(2) − h(−2) = 2 h ( x) d x = −2 f ( x) − x d x > nên h(2) > h(−2) −2 Tương tự ta có h(4) > h(−2), h(2) > h(4), từ chọn phương án C −2 O x −2 Chọn đáp án C Câu 10 Biết đường parabol (P ) : y2 = x chia đường tròn (C ) : x2 + y2 = thành y hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ bên) Khi S2 − S1 = aπ − b b với a, b, c nguyên dương phân số tối giản Tính S = a + b + c c c A S = 13 B S = 14 C S = 15 D S = 16 S1 S2 O x ✍ Lời giải Đường trịn (C ) có tâm O (0; 0), bán diện tích S = 8π  kính R =  Xét giao điểm (P ) (C ) Suy S1 =  y2 = x  x2 + y2 = 2 2x dx + ⇒ − x2 d x = x ≥  x2 + x = ⇔ x = 4 + 2π ⇒ S = S − S = 6π − 3    a =  Vậy ⇒ S2 − S1 = 4π − ⇒ b =     c = Chọn đáp án C Câu 11 Trong mặt phẳng, cho đường elip (E ) có độ dài trục lớn A A = 10, độ dài trục nhỏ BB = 6, đường trịn tâm có B đường kính BB (như hình vẽ bên dưới) Tính thể tích V khối trịn xoay có cách cho miền hình hình phẳng giới hạn đường elip trịn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh trục A A A V = 36π B V = 60π C V = 24π D V = 20π A A O B ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 815 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Xét hình phẳng hệ tọa độ Ox y, nhận làm gốc y tọa độ tọa độ điểm A (5; 0), A (−5; 0), B B(0; 3), B (0; −3) Ta có phương trình elip đường tròn (E ) : x y2 + = (C ) : x2 + y2 = 25 A Thể tích vật thể tròn xoay sinh V = π 1− A −5 O x2 d x − π · 33 = 24π 25 B −5 x −3 Chọn đáp án C Câu 12 Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng m2 Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị) A 8142232 đồng C 4821322 đồng 6cm O B 4821232 đồng D 8412322 đồng ✍ Lời giải Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O x2 + y2 = 36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y = 36 − x2 = f ( x) Diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y = f ( x) hai đường thẳng x = −3; x = ⇒ S = 36 − x2 d x −3 π π 6 Đặt x = sin t ⇒ d x = cos t d t Đổi cận: x = −3 ⇒ t = − ; x = ⇒ t = π π ⇒S=2 36 cos t d t = 36 π −6 (cos t + 1) d t = 18 (sin t + t) π −6 π − π = 18 + 12π Do số tiền cần dùng 70000 · S ≈ 4821322 đồng Chọn đáp án C Câu 13 Cho hình (H ) giới hạn trục hồnh, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A (2; 4), hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình (H ) quay quanh trục Ox A 16π 15 B 32π C 2π D y 22π O x ✍ Lời giải Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A (2; 4) nên có phương trình y = x2 Tiếp tuyến Parabol A (2; 4) có phương trình y = 4( x − 2) + = x − Th.s Nguyễn Chín Em 816 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm 2 ( x2 )2 d x − π V =π  x5 (4 x − 4)2 d x = π  2 ( x2 − x + 1) d x = π − 16  32 16 16π − = 15 Chọn đáp án A Câu 14 Cho hai đường tròn (O ; 5) (O ; 3) cắt hai điểm A , B cho AB đường kính đường trịn A (O2 ; 3) Gọi (D ) hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình (D ) vẽ) Quay (D ) quanh trục O1 O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành 68π B V = 40π D V = A V = 36π C V = 14π O1 C O2 B ✍ Lời giải Chọn hệ tọa độ Ox y với O2 ≡ O , O2 C ≡ Ox, O2 A ≡ O y Cạnh O1 O2 = O1 A2 − O A2 = 52 − 32 y = ⇒ (O1 ) : ( x + 4) + y = 25 A Phương trình đường trịn (O2 ) : x2 + y2 = (D ) O1 O2 C x B Kí hiệu (H1 ) hình phẳng giới hạn đường y = 25 − ( x + 4)2 , trục Ox, x = 0, x = Kí hiệu (H2 ) hình phẳng giới hạn đường y = − x2 , trục Ox, x = 0, x = Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình (H2 ) xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình (H1 ) xung quanh trục Ox Ta có V2 = · π r = π · 33 = 18π 3 1 Lại có V1 = π y dx = π ( x + 4)3 [25 − ( x + 4) ] d x = π 25 x − = 14π 14π 40π Do V = V2 − V1 = 18π − = 3 Chọn đáp án D Câu 15 Th.s Nguyễn Chín Em 817 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Cho (H ) hình phẳng giới hạn Parabol y = x2 − nửa đường tròn có phương trình y = − x2 Diện tích (H ) 3π − A (với − 2 ) (phần tơ đậm hình vẽ) x 3π + 10 B y C 3π + 3π + 10 D − O x −1 ✍ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 − = − x2 ⇔ x = ±1 1 − x2 − x2 + Diện tích hình phẳng cần tính S = dx = −1 1 − x2 d x − −1 2 x3 −x =− 3 −1 −1 π π Đặt x = sin t t ∈ − ; suy − x2 = 2 π π Khi x = −1 ⇒ t = − ; x = ⇒ t = 4 (2 x2 − 1) d x −1 (2 x2 − 1) d x = Ta có π 2 − x2 d x = Suy −1 Vậy S = − π +1+ π cos t d t = π − 3π + 10 = π cos t; d x = d sin t = (1 + cos t) d t = t + sin t π π − = cos t d t π + Chọn đáp án D Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x; y = x đường x = 1; x = −1 xác định công thức A S = (3 x − x3 ) d x (3 x − x3 ) d x D S = −1 ( x3 − x) d x (3 x − x ) d x + −1 1 C S = B S = (3 x − x ) d x ( x − x) d x + −1 −1 ✍ Lời giải Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x; y = x đường x = 1; x = −1 S= |( x − x) − (2 x)| d x = −1 Bảng xét dấu x3 − x | x3 − x| d x −1 x + x − 3x Do dựa vào bảng ta có: S = −1 −1 − (3 x − x3 ) d x ( x − x) d x + Chọn đáp án A Câu 17 Th.s Nguyễn Chín Em 818 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1m2 rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng nghìn) 2m 1,5 m A 6.620.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.417.000 đồng 5m ✍ Lời giải Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y Trong A (−2, 5; 1, 5), B(2, 5; 1, 5), C (0; 2) Giả sử đường cong phía Parabol có dạng y = ax2 + bx + c, với a; b; c ∈ R C A B Do Parabol qua điểm A (−2, 5; 1, 5), B(2, 5; 1, 5), C (0; 2) nên ta có hệ phương trình      a = − a ( − , 5) + b ( − , 5) + c = ,       25 ⇔ b=0 a(2, 5) + b(2, 5) + c = 1,       c =   c = 2 Khi phương trình Parabol y = − x2 + 25 −3 −2 O x −1 Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − 2 x + 2, trục 25 hoành hai đường thẳng x = −2, 5; x = 2, 2,5 Ta có S = − 2 x3 x + dx = − + 2x 25 25 −2,5 2,5 −2,5 = 55 Vậy ông An phải trả số tiền để làm cửa sắt S × 700000 = 55 × 700000 ≈ 6.417.000 (đồng) Chọn đáp án D Câu 18 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên Đặt g( x) = y f ( x) − ( x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g(−3) > g(3) > g(1) B g(1) > g(−3) > g(3) C g(3) > g(−3) > g(1) −3 D g(1) > g(3) > g(−3) O x −2 Th.s Nguyễn Chín Em 819 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 ✍ Lời giải - Ta có g ( x) = f ( x) − ( x + 1) - Từ g(3) − g(1) = f ( x) − ( x + 1) d x < suy g(3) < g(1) g ( x) d x = 1 - Tương tự g(3) − g(−3) = f ( x) − ( x + 1) d x > suy g(−3) < g(3) g ( x) d x = −3 −3 Chọn đáp án D Câu 19 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) hình bên Đặt g( x) = y f ( x) + ( x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g(1) < g(3) < g(−3) −3 B g(1) < g(−3) < g(3) C g(3) = g(−3) < g(1) x O −2 D g(3) = g(−3) > g(1) −4 ✍ Lời giải g ( x) = f ( x) + 2( x + 1) Từ đồ thị ta có g ( x) = có nghiệm −3; 1; có g(1) < g(3), g(−3) Mặt khác từ đồ thị ta có y − g ( x) d x > −3 − g ( x) d x −3 1 Suy g(3) < g(−3) Vậy ta có g(1) < g(3) < g(−3) x O −2 −4 Chọn đáp án A Câu 20 g( x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) cắt ba điểm có hồnh Cho hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx − y độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D −3 −1 O x ✍ Lời giải Do (C ) : y = f ( x) (C ) : y = g( x) cắt điểm phân biệt có hồnh độ −3; −1 nên f ( x) − g( x) = A ( x + 3)( x + 1)( x − 1) 3 2 Từ giả thiết ta có f (0) − g(0) = − nên −3 A = − ⇔ A = 1 3 ⇒ f ( x) − g( x) = ( x + 3)( x + 1)( x − 1) = x3 + x2 − x − 2 2 Th.s Nguyễn Chín Em 820 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Diện tích hình phẳng cần tìm −1 S= [ f ( x) − g( x)] d x + −3 −1 = [ g( x) − f ( x)] d x −1 3 x + x − x− dx − 2 2 3 x + x − x− d x = − (−2) = 2 2 −1 −3 Chọn đáp án C Câu 21 3 g ( x) = dx2 + ex − 4 (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f ( x) y = g ( x) cắt Cho hai hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx + y ba điểm có hồnh độ −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 253 A 48 125 C 48 125 B 24 253 D 24 ✍ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ax3 + bx2 + cx + −2 O x 3 = dx2 + ex − ⇔ ax3 + ( b − d ) x2 + ( c − e) x + = 4 Đặt h( x) = ax3 + (b − d ) x2 + ( c − e) x + Dựa vào đồ thị ta có h( x) = có ba nghiệm x = −2; x = 1; x = Khi ta có hệ       − a + 4( b − d ) − 2( c − e ) = − a =           ⇔ b−d =− a + ( b − d ) + ( c − e) = −   2           27a + 9( b − d ) + 3( c − e) = − c − e = − Khi diện tích hình phẳng cần tính S = | f ( x) − g( x)| d x = −2 = 3 x − x − x + dx + 4 −2 3 x − x − x + dx 4 63 253 + = 16 48 Chọn đáp án A Câu 22 Cho hai nửa đường trịn hình vẽ bên dưới, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích 32π góc BAC = 30◦ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình ( H ) (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh đường thẳng AB C D A Th.s Nguyễn Chín Em (H) O 821 B https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A 279π B ✍ Lời giải Đặt AB = 2R Ta πR 2 Chương - Giải tích 12 620π C 784π D 325π = 32π ⇒ R = 64 ⇒ R = Xét hệ trục tọa độ Ox y với gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn lớn, A (−8; 0), B(8; 0) Phương trình đường trịn lớn (C1 ) : x2 + y2 = 64 Phương trình đường trịn nhỏ (C2 ) : ( x + 4)2 + y2 = 16 Đường thẳng AC qua điểm A (−8; 0), hệ số góc k = tan 30◦ = 3 có phương trình y = ( x + 8) 3 Tọa độ điểm C 4; , D −2; Thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục AB phần tam giác cong ABC  V1 = π  ( x + 8)2 d x + −8  (64 − x2 ) d x = 896π Thể tích khối trịn xoay quay xung quanh trục AB phần tam giác cong AOD  −2 V2 = π  ( x + 8)2 d x + −8  (16 − ( x + 4)2 ) d x = 112π −2 Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm V = V1 − V2 = 896π 112π 784π − = 3 Chọn đáp án C Câu 23 Ơng Nam có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ m2 Hỏi ông cm Nam cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng C 7.128.000 đồng ✍ Lời giải B 7.653.000 đồng D 7.826.000 đồng x2 y2 + = 1, với a > b > a2 b Từ giả thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = 2b = 10⇒ b = 5 (E )  y = − 64 − y x2 y2  + =1⇒ Vậy phương trình elip 64 25 y= 64 − y2 (E ) Khi diện tích dải vườn giới hạn đường (E ), (E ), x = −4, x = diện tích dải vườn Giả sử elip có phương trình S = 64 − x2 d x = 64 − x2 d x −4 Khi số tiền T = 80 π + · 100000 = 7652891, 82 7.653.000 Chọn đáp án B Câu 24 Th.s Nguyễn Chín Em 822 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 12 Cho hàm số y = f ( x) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r , m, n, p, q, y r ∈ R Biết hàm số y = f ( x) có đồ hình vẽ bên Tập nghiệm y = f (x) phương trình f ( x) = 16m + n + p + q + r có tất phần tử? A B C −1 O D x ✍ Lời giải Từ đồ thị ta thấy phương trình f ( x) = có ba nghiệm phân biệt x = −1, x = x = Ta có bảng biến thiên x −∞ f ( x) −1 + − 0 f (−1) +∞ + − f (4) f ( x) f (1) −∞ −∞ Phương trình f ( x) = 16m + 8n + p + q + r ⇔ f ( x) = f (2) (1) Mặt khác, gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x), trục hoành hai đường thẳng x = −1, x = ta có S = f ( x) d x = f (1) − f (−1); −1 Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x), trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = 4 ta có S2 = − f ( x) d x = f (1) − f (4) Mà S1 < S2 nên f (1) − f (−1) < f (1) − f (4) hay f (−1) > f (4) (2) Từ (1), (2) dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x) = 16m + 8n + p + q + r có nghiệm phân biệt Chọn đáp án A Câu 25 y Cho hàm số y = f ( x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình ( A ), (B) π cos x · f (5 sin x − 1) d x Tích tích phân A I = − B I = C I = (A) D I = −2 −1 O x (B) ✍ Lời giải Theo đề f ( x ) d x = 3, −1 Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) d x = −7 823 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π cos x · f (5 sin x − 1) d x = π Chương - Giải tích 12 f (5 sin x − 1)d(5 sin x − 1) =  1 f ( t) d t = −1 −1 f ( x) d x +  f ( x) d x = − Chọn đáp án A 4.1 D 11 C 21 A ĐÁP ÁN D 12 C 22 C Th.s Nguyễn Chín Em C 13 A 23 B A 14 D 24 A C 15 D 25 A A 16 A 824 A 17 D B 18 D C 19 A 10 C 20 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... cos(ax + b) + C a Th.s Nguyễn Chín Em 11 12 1 d x = ln |ax + b| + C ax + b a cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a 1 d x = tan(ax + b) + C a cos (ax + b) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/... Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải... (2 x + 1)6 + C 12 ✍ Lời giải Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em (2 x + 1)5 d x = (2 x + 1)5 d(2 x + 1) = (2 x + 1)6 + C 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/