Tổng hợp 14 chuyên đề luyện thi THPT trung tâm LTĐH diệu hiền

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN BÀI BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN I KIẾN THỨC CƠ BẢN Dạng 1: Tiếp tuyến với (C ) : y  f ( x) tiếp điểm M ( x0 , y0 )  (C ) có phương trình là: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Thường đề thi cho ba yếu tố x0 , y0 f '  x0  , ta cần tìm hai yếu tố cịn lại để thay vào công thức Chú ý: a/ f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 b/ Tiếp tuyến song song với đt y  kx  b f '  x0   k c/ Tiếp tuyến vng góc với đt y  kx  b f '  x0  k  1 hay f '  x0    k Dạng Tiếp tuyến với (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến qua (xuất phát từ, kẻ từ) điểm M ( xM , yM ) Bước Gọi d đường thẳng qua M có hệ số góc k  d : y  k ( x  xM )  yM  f ( x )  k ( x  xM )  yM Bước Điều kiện tiếp xúc d (C) :  (2)  f '( x)  k (1) Thế (2) vào (1) giải tìm x  x vào (2) tìm k  k vào pttt d xong Chú ý: Khi (2) vào (1) ta phương trình, số nghiệm phương trình số tiếp tuyến qua M II BÀI TẬP Bài Cho (C ) : y  x3  x2  3x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành 3/ Viết pt tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ CMR tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài Cho (C ) : y  x  x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(-1,-9) 3/ Viết phương trình đường thẳng qua N(2,9) tiếp xúc với (C) Bài Cho (C ) : y  x  x  2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A(0,1/2) 3/ Tìm trục tung điểm M cho từ M kẻ đến (C) tiếp tuyến vng góc đối xứng qua Oy Bài Cho (C ) : y  x  x  TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  y   Bài Cho (C ) : y  x  3x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm điểm (C) cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 3/ Tìm điểm đường thằng x  cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) Bài Cho (C ) : y  x  x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến với (C), có tiếp tuyến vng góc với 3/ Chứng minh (C) tồn vô số cặp điểm mà tiếp tuyến song song với Bài Cho (C ) : y  x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm TCĐ với trục hồnh 3/ Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua giao điểm đường tiệm cận Bài Cho (C ) : y  2x x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm M  (C ) biết tiếp tuyến với (C) M cắt Ox, Oy A, B SOAB  1/ 3/ Tìm điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) Bài Cho (C ) : y  3x  x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến với (C) điểm A(-2,5) 3/ Gọi M điểm (C), tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B Chứng minh M trung điểm AB Bài 10 Cho (C ) : y  x2 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi I gđiểm hai đường tiệm cận Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến với (C) M vng góc với IM 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A(-6,5) TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 Bài 11.Cho (C ) : y  x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Cho A(0,a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến với (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ A, B ∆OAB cân O Bài 12 Cho (C ) : y  x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tìm M  (C ) biết tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B a/ AB ngắn b/ chu vi tam giác IAB nhỏ 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) cho khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến lớn Bài 13 Cho (C ) : y  2x 1 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi M  (C ) I giao điểm hai đường tiệm cận, tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B Chứng minh diện tích ∆IAB khơng đổi (khơng phụ thuộc vào vị trí M (C)) Bài 14 Cho hàm số (C ) : y  x  x  x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm k để tồn hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k Gọi A, B hai tiếp điểm, viết phương trình đường thẳng AB 3/ Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 15 Cho (C ) : y  x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi M  (C ) I giao điểm hai đường tiệm cận, tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B Tìm tọa độ M cho diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ 3/ Tìm cặp điểm (C) mà tiếp tuyến song song với Bài 16 Cho (C ) : y  x  3x  12 x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M qua gốc tọa độ Bài 17 Cho (C ) : y  x 3 2x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 2/ Gọi A, B giao điểm (C) với trục tọa độ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với AB Bài 18 Cho hàm số y  x3   m  3 x  18mx  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m  2/ Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Bài 19 Cho hàm số y  x  (1  2m) x  (2  m) x  m  (1) (m tham số) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2/ Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y   góc  , biết cos   1/ 26 3/ Tìm m để đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ qua K  2,3 Bài 20 Cho hàm số y  3x  x3 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm đường thẳng (d): y   x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) 3/ Viết pt tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ CMR tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài 21 Cho hàm số y   x3  3x  (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Bài 22 Cho hàm số y  mx   m  1 x    3m  x  có đồ thị (Cm) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2/ Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x  y   Bài 23 Cho hàm số y  | x | 1  | x | 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Bài 24 Cho hàm số y  x  x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với Bài 25 Cho hàm số y  2x (C) x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 Bài 26 Cho hàm số y  x2 2x  (1) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Bài 27 Cho hàm số y  2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB 3/ Gọi M điểm (C) CMR tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận số Bài 28 Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C) x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Bài 29 Cho hàm số y  x x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Bài 30 Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị (C) x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Bài 31 Cho hàm số y  x3 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Cho điểm M  x0 , y0  thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB Bài 32 Cho  C  : y  x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ CMR tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 đổi Bài 33 Cho hàm số y  x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi I giao điểm đường tiệm cận,  tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến  Tìm giá trị lớn d Bài 34 Cho hàm số y  2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến Bài 35 Cho hàm số y  x 1 x 1 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) Bài 36 Cho hàm số y  2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2) Bài 37 Cho hàm số y  2x 1 1 x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ Bài 38 Cho hàm số y  2x  x2 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận  ngang A, B cho cơsin góc ABI Bài 39 Cho hàm số y  x  x  17 (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Tìm m để đường thẳng y  mx  tiếp xúc với đồ thị (C) Bài 40 Cho hàm số y  x 1 2x 1 (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) , với I giao tiệm cận TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 2/ Lập pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm tiệm cận đứng Ox Bài 41 Cho hàm số y  2 x  x  (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp qua điểm M  1, 13 Bài 42 Cho hàm số y  x4  2( x  1) (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Viết phương trình đường thẳng qua M  0,  tiếp xúc với (C) m 1 Bài 43 Cho hàm số y  x  x  3 (Cm) 1/ Khảo sát hàm số (Cm) m=2 2/ Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ –1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x-y = Bài 44 Cho hàm số: y   x  (2m  1) x  m  (Cm) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  2/ Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng d : y  2mx  m  Bài 45 Cho hàm số y  x  3mx  (m  1) x  (Cm) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (Cm) m  1 2/ Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm x  1 qua điểm A 1,  Bài 46 Cho  C  : y  x2 2x  1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ A, B đường trung trực AB qua gốc tọa độ Bài 47 Cho  Cm  : y  x3   m  1 x  6mx  3m  1/ 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (Cm) m  2/ Gọi d tiếp tuyến với (Cm) điểm có hồnh độ Tìm m để d cắt (Cm) điểm B khác A cho tam giác OAB cân O Bài 48 Cho  C  : y  x 1 Viết pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt đtc A, B AB  2 x2 Bài 49 Cho  C  : y  x  x  Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 Bài 50 Cho  C  : y  2x  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận A  3,1 Hãy viết pt tiếp x2 tuyến với (C) biết tt vng góc với IA Bài 51 Cho hàm số y   x 1 CMR với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hai 2x  điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 BÀI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Cho (C ) : y  f ( x) d : y  ax  b f ( x )  ax  b (*) - Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d : - d cắt (C) n điểm phân biệt  phương trình (*) có n nghiệm phân biệt - Nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm, cịn tung độ tính cách hồnh độ vào phương trình đường thẳng 2/ Đường thẳng d qua M có hệ số góc k có pt là: y  k  x  xM   yM a   3/ Phương trình ax  bx  c  có nghiệm phân biệt khác x0     ax0  bx0  c  4/ Định lý Viet: b c  x1  x2   , x1 x2  , | x1  x2 |  a a |a| 5/ Diện tích tam giác ABC: S ABC  xB  xA | D | với D  xC  xA yB  y A yC  y A 6/ Hai tiếp tuyến với (C) A B song song f '  x A   f '  xB  , vng góc f '  x A  f '  xB   1 II BÀI TẬP Bài 52 Cho (C ) : y  x  x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi d đường thẳng qua A(3,20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt Bài 53 Cho (C ) : y  2x 1 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm m để  : y   x  m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho b/ SOAB  a/ AB  14 13 Bài 54 Cho (Cm ) : y  x  x  (1  m) x  m 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho x12  x22  x32  Bài 55 Cho (C ) : y  2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 2/ Tìm m để  : y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho a/ tam giác OAB vuông O b/ hai tiếp tuyến với (C) A, B song song với Bài 56 Cho hàm số y  x  (3m  2) x  3m 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2/ Tìm m để đường thẳng  : y  1 cắt đths điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 57 Cho (Cm ) : y  x  mx  m 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm cách Bài 58 Cho (C ) : y  x  3x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm để  : y  m( x  3)  cắt (C) điểm phân biệt M(3,1), N, P cho hai tiếp tuyến với (C) N, P vng góc với Bài 59 Cho (C ) : y  x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt (C) hai điểm phân biệt A, B đồng thời a/ A, B thuộc nhánh (C) Bài 60 Cho (C ) : y  b/ A, B nằm nhánh khác x 1 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ CMR đường thẳng y   x  m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N Tìm m để MN ngắn Bài 61 Cho (Cm ) : y  x  2mx  (m  3) x  1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2/ Cho d : y  x  K (1,3) Tìm m để d cắt (Cm ) điểm phân biệt A(0,4), B, C đồng thời tam giác KBC có diện tích 10 Bài 62 Cho hàm số y  x3  3x  (1) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2/ Tìm m để đường thẳng d : y  mx  cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 2), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B C vng góc với Bài 63 Cho hàm số y  x3  x  (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi d đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với Bài 64 Cho hàm số y  3x  x3 (C) 10 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Dấu “=” (1) xảy ra, chẳng hạn x = y = z = 3 ii) Vì ( x + y + z)2 = x + y + z2 + 2( xy + yz + zx ) = + 2( xy + yz + zx ) ≥ ⇒ + 2t ≥ ⇒ t ≥ − (2) 2 ,y = ,z = 2 Dấu “=” (2) xảy ra, chẳng hạn x = − Do đó: − ≤ t ≤ (đpcm) Bài Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 , đặt t = x + y + z2 Chứng minh rằng: ≤ t ≤ Lời giải i) Do 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 ⇒ 3( x + y2 + z2 ) = 12 − ( xy + yz + zx ) ≤ 12 ⇒ 3( x + y + z2 ) ≤ 12 ⇒ 3t ≤ 12 ⇒ t ≤ Dấu “=” (1) xảy ra, chẳng hạn x = 2, y = z = ii) Vì 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 ⇒ xy + yz + zx = 12 − 3( x + y + z2 ) 2 Ta lại có: xy + yz + zx ≤ x + y + z 2 (2) (3) Từ (2) (3), suy ra: 12 − 3( x + y + z ) ≤ x + y + z ⇒ 12 − 3t ≤ t ⇒ t ≥ Dấu “=” (4) xảy x = y = z = Do đó: ≤ t ≤ (đpcm) (1) 2 2 (4) Bài Cho số thực x, y, z ∈  0;2 thỏa mãn điều kiện x + y + z = , đặt t = xy + yz + zx Chứng minh rằng: ≤ t ≤ Lời giải i) Do xy + yz + zx ≤ ( x + y + z)2 = ⇒ t ≤ 3 Dấu “=” (1) xảy x = y = z = (1) ii) Vì x, y, z ∈  0;2  ⇒ ( x − 2)( y − 2)( z − 2) ≤ ⇒ xyz − 2( xy + yz + zx ) + 4( x + y + z) − ≤ xyz + 4( x + y + z) − 12 − ≥ =2 ⇒t≥2 2 Dấu “=” (2) xảy ra, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = Do đó: ≤ t ≤ (đpcm) ⇒ xy + yz + zx ≥ (2) 29 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x , y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = , đặt t = x + y + z2 Chứng minh rằng: ≤ t < Lời giải i) Do ( x + y + z)2 ≤ 3( x + y + z2 ) ⇒ 3t ≥ ⇒ t ≥ Dấu “=” (1) xảy x = y = z = (1) ii) Vì x, y, z > ⇒ x + y + z2 < ( x + y + z)2 ⇒ t < Do đó: ≤ t < (đpcm) Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z2 = , đặt t = xy + yz + 2zx Chứng minh rằng: t ≥ −1 Lời giải Do ( x + y + z)2 = x + y + z2 + 2( xy + yz + zx ) = + 2( xy + yz + zx ) ≥ ⇒ xy + yz + zx ≥ − 1 x + z2 y2 ⇒ xy + yz + 2zx ≥ − + xz ≥ − − = −1 + ≥ −1 2 2 ,y = Dấu “=” (1) xảy ra, chẳng hạn x = z = Do đó: t ≥ −1 (đpcm) (1) 1 ≤ a, b, c ≤ Chứng minh : a3 + b3 + 5c ≤ 42 Bài Cho số thực a, b, c thoả  a b c + + =  Dấu đẳng thức xảy ? Lời giải Từ giả thiết ta có: ≤ a ≤ ⇒ ( a − 1)( a − 3) ≤ ⇒ a ≤ 4a − ⇒ a ≤ 13a − 12 Tương tự: ≤ b ≤ ⇒ ( b − 1)( b − 3) ≤ ⇒ b ≤ 4b − ⇒ b ≤ 13b − 12 ≤ c ≤ ⇒ ( c − 1)( c − ) ≤ ⇒ c ≤ 3a − ⇒ c ≤ 7c − 3 Từ a + b + 5c ≤ 13a − 12 + 13b − 12 + ( 7c − ) ≤ 13 ( a + b + 2c ) + 9c − 54 ≤ 13.6 + 9.2 − 54 = 42 (đpcm) Dấu xảy a = b = 1, c = 30 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào CÁC BÀI TOÁN “THỬ SỨC VỚI BẤT ĐẲNG THỨC” (Thời gian làm 60 phút) Bài (1 điểm) Cho số thực x , y, z thỏa mãn 8x + 8y + 8z = Chứng minh 4x 4y 4z + + ≥ x y z 3− 3− 3− Bài (1 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh 1 + b + c ≤ a b c a + 82 + 82 + + 82 + 82 + Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 13 x + 5y + 12 z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= xy 3yz zx + + x + y y + z 2z + x Bài (1 điểm) Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x y + y z3 + z2 x + ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 Bài (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a+b b+c c+a P= + + a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Bài (1 điểm) Cho số thực a, b, c thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức a3 + b3 + c + P= + + b + c2 + a2 + Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 1 + 3+ 3+ + + 2 x y z x − xy + y y − yz + z z − zx + x Bài (1 điểm) Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn x + y + z2 ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + + 2 ( x + 1) ( y + 2) ( z + 3)2 Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 4( x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P= 1 + + + x + yz + y + zx + z + xy Bài 10 (1 điểm) 31 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x3 y3 z3 + + x + yz y + zx z2 + xy Bài 11 (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z2 + xy = 3( x + y + z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 20 20 P = x + y+z+ + x+z y+2 32 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào ĐÁP ÁN Bài Cho số thực x , y, z thỏa mãn 8x + 8y + 8z = Chứng minh 4x 4y 4z + + ≥ x y z 3− 3− 3− Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đặt ẩn phụ a = x , b = y , c = z , chuyển toán sau: a, b, c > a2 b2 c2 Cho  CMR: + + ≥ 2 3 3− a 3− b 3−c a + b + c = + Đánh giá đại diện biểu thức, lưu ý đến giả thiết a3 + b3 + c3 = Đáp án 33 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh 1 + b + c ≤ a b c a + 82 + 82 + + 82 + 82 + Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy a = b = c = Định hướng: a b c + Đặt ẩn phụ x = 2 , y = 2 , z = 2 chuyển toán sau:  x , y, z > 1 CMR: Cho  + 3 + ≤1 3 x + y + y + z + z + x3 +  xyz = + Đánh giá đại diện biểu thức Đáp án 34 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 13 x + 5y + 12 z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= xy 3yz zx + + x + y y + z 2z + x Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = 10 Định hướng: + Đánh giá đại diện biểu thức, lưu ý giả thiết 13 x + 5y + 12 z = Đáp án 35 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x y + y z3 + z2 x + ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện biểu thức x y + x + , + Lưu ý đến bất đẳng thức ( x + y + z) ≥ ( xy + yz + zx ) Đáp án 36 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a+b b+c c+a + + P= a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Hướng dẫn giải Dự đốn điểm rơi: Khó dự đốn Định hướng: + Đặt ẩn phụ x = a + b + c, y = b + c + a, z = c + a + 16 b chuyển toán sau: Cho x, y, z > Tìm GTNN biểu thức: 1 y x z x P =  +  +  + 16  − 3 x y  15  x z + Đánh giá bất đẳng thức Cauchy Đáp án 37 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực a, b, c thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức a3 + b3 + c + P= + + b + c2 + a2 + Hướng dẫn giải Dự đốn điểm rơi: Khó dự đốn Định hướng: + Đánh giá đại diện, theo hướng khử mẫu Đáp án 38 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 1 + 3+ 3+ + + 2 x y z x − xy + y y − yz + z z − zx + x Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện 1 + Lưu ý đến bất đẳng thức + ≥ a b a+b Đáp án 39 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn x + y + z2 ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + + 2 ( x + 1) ( y + 2) ( z + 3)2 Hướng dẫn giải Dự đốn điểm rơi: Khó dự đoán Định hướng: 1 + Lưu ý đến bất đẳng thức + ≥ a b (a + b) Đáp án 40 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 4( x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P= 1 + + + x + yz + y + zx + z + xy Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện Đáp án 41 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài 10 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x3 y3 z3 + + x + yz y + zx z2 + xy Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện x3 −x x + yz Đáp án 42 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài 11 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z2 + xy = 3( x + y + z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 20 20 P = x + y+z+ + x+z y+2 Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = 1, y = 2, z = Định hướng: + Biến đổi biểu thức đánh giá Cauchy cho biểu thức + Lưu ý đến điểm rơi giả thiết Đáp án -Hết 43 ...  14n , 4/ Pn An2  72  6( An2  Pn ) , 5/ 11(5 An2  10 An1 )  12Cn43 , 6/ An3  Cn2  14Cnn 1 , 7/ C14n  C14n   2C14n 1 , 8/ Cnn83  An3 , 10/ Cn41  Cn31  9/ An3  Cnn  14n... biệt Bài 145 Cho (C ) : y  x  x 1/ Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số 2/ Biện luận theo k số nghiệm phương trình x (1  x )   k Bài 146 Cho (C ) : y  x  x  x 1/ Khảo sát biến thi? ?n vẽ... BÀI TẬP Bài 143 Cho (C ) : y  x  x  1/ Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số 2/ Biện luận số nghiệm phương trình x  3x  m3  3m Bài 144 Cho (C ) : y  x  3x  1/ Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ