Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS cung cấp đến các bạn bài tập đa thức, chứng minh biểu thức có điều kiện, giá trị biểu thức có điều kiện... giúp các em học sinh ôn luyện và nâng cao kiến thức môn Toán cấp THCS. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.
1 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Chủ đề 1a BỔ SUNG BÀI TẬP ĐA THỨC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (Phần chứng minh biểu thức có điều kiện) Bài tập tính giá trị biểu thức đại số có hai loại : Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện ràng buộc biến số Tính giá trị biểu thức giá trị biến số lại bị dàng buộc nhiều điều kiện Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện VD1 1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 2) Cho biểu thức x3 x(1 x ) x3 : x x A = x2 x x Tính giá trị A biết x = 2007 Tính giá trị biểu thức có điều kiện VD 1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc với abc a b c Tính giá trị biểu thức B = 1 1 1 b c a 2) Cho a + b + c = với a2+ b2+ c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: C = a4+b4+ c4 Bài tập: Bài Cho x+y = Tính giá trị biểu thức A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + Bài Cho a3+b3+c3= 3abc Tính giá trị biểu thức a b c B = 1 1 b c a Bài Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1 Tính giá trị biểu thức 𝐴 = 𝑥 √ (1+𝑦 )(1+𝑧 ) 1+𝑥 + 𝑦 √ (1+𝑧 )(1+𝑥 ) 1+𝑦 + 𝑧 √ (1+𝑥 )(1+𝑦 ) 1+𝑧 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài Tính giá trị biểu thức x 5 y 1 M= x x 5 biết 𝑥 + 9𝑦 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| Bài Cho x, y, z thỏa mãn x y z 2 x y z x3 y z x4 y5 z 1/ Tính giá trị biểu thức Q= 2/ Tính giá trị biểu thức A = a + b + c3 Bài Cho 3 𝑥 = √20 + 14√2 + √20 − 14√2 Tính giá trị biểu thức 𝑃 = 𝑥 − 6𝑥 + 2020 Bài Cho a+b=ab Tính giá trị biểu thức A = ( a3+ b3− a3b3 ) + 27a6b6 Bài Tính giá trị biểu thức A = 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 Bài Cho a, b thỏa mãn = 19 Tính giá trị biểu thức B = ( a2 + b2 )3 {𝑎3 − 3𝑎𝑏 𝑏 − 3𝑎 𝑏 = 98 Bài 10 Cho 3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 { với xy 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 Tính giá trị biểu thức x xy C 2 x y |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài 11 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức 𝐷 = với a + b + c 𝑎2 +𝑏2 +𝑐 (𝑎+𝑏+𝑐)2 Bài 12 Cho b2 c2 a x 2bc , Tính giá trị biểu thức a b c y b c a2 Bài 13 Cho a b c 2 Tính giá trị biểu thức a b c 14 Bài 14 Cho Q = x + y +xy E = a + b4 + c x y a 2 Tính giá trị biểu thức M = x3 + y3 theo a , b x y b Bài 15 Cho 13 a x y x z 169 27 x z z y x y z Tính giá trị biểu thức 2a3 12a 17a E a2 Bài 16 x y z 0 a b c Cho a b c Tính giá trị biểu thức 2 x y z a b2 c N= x y z Bài 17 1/ Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = Tính giá trị biểu thức |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧 2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) = 𝟏𝟗𝟔𝟐 Tính giá trị biểu thức K= x+y Bài 18 Cho 𝑥+𝑦+𝑧 =𝑎 2 2 {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏 𝑥 1 𝑦 𝑧 + + =𝑐 Tính giá trị biểu thức M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c Bài 19 Cho số dương x, y, z thỏa mãn 𝑦2 𝑥 + 𝑥𝑦 + = 25 𝑦2 + 𝑧2 = { 𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥 = 16 Tính giá trị biểu thức N = xy + 2yz + 3zx Bài 20 Cho số dương a, b, c phân biệt cho phương trình x2 + a.x + = x2 + bx + c = có nghiệm chung Đồng thời phương trình x2 + x + a = x2 + cx + b = có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức P = a+b+c Hướng dẫn giải: Bài Cho x+y = Tính giá trị biểu thức A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + Giải: Bài khơng tính trực tiếp x, y nên cần biến đổi A dạng có x+y thay x+y=3 vào A = 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥𝑦 – 4𝑥 – 4𝑦 + = (𝑥 + 𝑦)2 − 4(𝑥 + 𝑦) + = − 12 + = −2 Bài Cho a3+b3+c3= 3abc Tính giá trị biểu thức a b c B = 1 1 b c a Giải |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Ta có B = a b b c a c abc Từ giả thiết ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = Vậy ta a + b + c = a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = * Với a + b + c = , ta được: a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b abc Khi đó, B = = -1 abc * Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = Vậy a = b = c 2b.2c.2a Khi B = bca = Bài Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1 Tính giá trị biểu thức 𝐴 = 𝑥 √ (1+𝑦 )(1+𝑧 ) 1+𝑥 + 𝑦 √ (1+𝑧 )(1+𝑥 ) 1+𝑦 + 𝑧 √ (1+𝑥 )(1+𝑦 ) 1+𝑧 Ta thấy xy+yz+zx=1 nên thay vào biểu thức sau, ta + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z ) + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z ) + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z ) Thay vào A rút gọn, ta 𝐴 = 𝑥 √ (1+𝑦 )(1+𝑧 ) 1+𝑥 + 𝑦 √ (1+𝑧 )(1+𝑥 ) 1+𝑦 + 𝑧 √ (1+𝑥 )(1+𝑦 ) 1+𝑧 Ta có : 𝑥 √ (1+𝑦 )(1+𝑧 ) 1+𝑥 = 𝑥 √ (𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧)(𝑥+𝑧)(𝑦+𝑧) (𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧) = 𝑥 √(𝑦 + 𝑧)2 = 𝑥 |𝑦 + 𝑧| = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 (vì y>0 ; z>0 nên y+z>0) Tương tự biểu thức lại yz+yx ; zx+yz |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Do A=𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 2.1 = Bài Tính giá trị biểu thức x 5 y 1 M= x x 5 biết 𝑥 + 9𝑦 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| Ta cần giải phương trình 𝑥 + 9𝑦 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| để tìm nghiệm x, y 𝑥 + 9𝑦 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| => 𝑥 + 9𝑦 − 6𝑥𝑦 + |𝑥 − 3| = (𝑥 − 3𝑦)2 + |𝑥 − 3| = 0=> x=3y x=3=>y=1 Thay x=3, y=1 vào M ta M=− Bài Cho x, y, z thỏa mãn x y z 2 x y z x3 y z 1/ Tính giá trị biểu thức Q= x4 y5 z Ta cần giải hệ phương trình cho để tìm x, y, z Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+ y3+ z3 = Vì ( x + y)( y + z)( z + x) = Nên x = - y , y = - z , z = - x Nếu x = - y x+ y = từ x + y + z = ta có z = nên z2 = x2+ y2 = suy x = y = Q = 04+ 05 + 16 = Hoàn toàn tương tự với trường hợp lại ta Q = Tóm lại Q=1 2/ Tính giá trị biểu thức A = a + b2 + c3 Giải: 13 = ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) Mà a3 + b3 + c3 = nên ta có ( a + b)( b + c)( c + a) = Vậy a + b = b + c = c + a = Nếu a + b = thay vào (1) ta có c = c2 = thay vào (2) ta a = b = A =1 Nếu b + c = thay vào (1) ta có a = a2 = thay vào (2) ta b = c = A =1 Nếu a + c = thay vào (1) ta có b = 1 b2 = thay vào (2) ta a = c = A = |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Vậy A=1 Bài Cho 3 𝑥 = √20 + 14√2 + √20 − 14√2 Tính giá trị biểu thức 𝑃 = 𝑥 − 6𝑥 + 2020 Ta có: Lập phương hai vế x, ta 3 𝑥 = ( √20 + 14√2 + √20 − 14√2) = 20 + 14√2 + 20 − 14√2 + 3𝑥 √202 − 142 = 6𝑥 + 40 Vậy 𝑥 = 6𝑥 + 40 => 𝑥 − 6𝑥 = 40 Thay vào P ta được: 𝑃 = 𝑥 − 6𝑥 + 2020 = 40 + 2020 = 2060 Bài Cho a+b=ab Tính giá trị biểu thức A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6 Giải: Ta có: a + b = ab ( a + b)3 = a3b3 a3 + b3 + 3ab( a + b) = a3b3 a3 + b3 – a3b3 = – 3ab( a + b) = – 3ab.ab (a3 + b3 – a3b3)3 = – 27a6b6 (a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 = Vậy D = Bài Tính giá trị biểu thức A = Giải: Đặt a 2 1 a 1 a A 1 a 1 a Sau đó, thay a 2 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 ta có 1 a 1 a 2a ta a2 a A = |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài Cho a, b thỏa mãn = 19 {𝑎3 − 3𝑎𝑏 𝑏 − 3𝑎 𝑏 = 98 Giải: Tính giá trị biểu thức B = ( a2 + b2 )3 Ta có : 192 = a6 – 6a4b2 + 9a2b4 vµ 982 = b6 – 6a2b4 + 9a4b2 192 + 982 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = ( a2 + b2)3 Vậy B = 192 + 982 = 9965 Bài 10 Cho 3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 { với xy 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 Tính giá trị biểu thức x xy C 2 x y Giải 3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 Từ { 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 cộng hai vế lại, ta 5𝑥 = 10𝑧 => 𝑥 = 2𝑧 Thay x=2z vào, ta tìm y=3z Thay x=2z; y=3z vào C, ta C=− 3 13 với a + b + c Bài 11 Cho a + b + c = 3abc Tính giá trị biểu thức 𝐷 = 𝑎2 +𝑏2 +𝑐 (𝑎+𝑏+𝑐)2 Giải: ( a + b )3+ c3−3ab( a + b ) – 3abc = ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = Do a + b + c (gt) => a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = Ta có: a2+ b2+ c2−ab – bc – ca = 2a2+ 2b2+ 2c2− 2ab – 2bc – 2ca = ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = Vậy a = b = c 𝐷= 𝑎2 +𝑏2 +𝑐 (𝑎+𝑏+𝑐)2 = 𝑎2 +𝑎2 +𝑎2 (𝑎+𝑎+𝑎)2 = 3𝑎2 9𝑎2 = |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài 12 Cho b2 c2 a x 2bc , Tính giá trị biểu thức a b c y b c a2 Q = x + y +xy theo a, b, c Giải: Ta có: Q=𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦(𝑥 + 1) Ta có 𝑥 + = 𝑏2 +𝑐 −𝑎2 2𝑏𝑐 +1= 𝑎2 −(𝑏−𝑐)2 2𝑏𝑐 Thay vào Q, ta 𝑄 = 𝑏−𝑐 𝑏 Bài 13 Cho a b c 2 Tính giá trị biểu thức E = a4 + b4 + c4 a b c 14 Giải Ta có 142 = ( a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) => a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Ta lại có: 02 = a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca) => ab + bc + ca = – 49 = ( ab + bc + ca )2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + ( ab2c + a2bc + abc2) 49 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) Vậy: a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49 Do đó, a4 + b4 + c4 = 196 – 2.49 = 196 – 98 = 98 Bài 14 Cho x y a 2 Tính giá trị biểu thức M = x3 + y3 theo a , b x y b Giải : Ta có a3 = ( x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = M + 3axy Vậy: M = a3 – 3axy Ta lại có a2 = ( x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = b + 2xy xy = 3𝑎𝑏 − 𝑎3 𝑀= 𝑎2 −𝑏 Bài 15 Cho 13 a x y x z 169 27 x z z y x y z |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Thay vào M ta có 10 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 2a3 12a 17a E a2 Tính giá trị biểu thức 2a3 12a 17a Ta có E = 2a2 – 8a + a2 a2 Giải : Ta có x y a2 x y a2 x y 2 169 x z 169 x z 27 27 z y x y z x z x y x z x y 27 27 x z x y x z x y x z 2 x y 2 169 27 x z x z x y 2 196 x y Vậy a = ± 14 Thay vào biểu thức, tính P Bài 16 x y z 0 a b c Cho a b c Tính giá trị biểu thức 2 x y z a b2 c N= x y z x y z bcx acy abz Giải: Từ giả thiết, ta có 02 = Vậy bcx + acy + abz abc a b c =0 Lại có 2 a b c a b2 c ab bc ca a b2 c abz bcx acy = 2 2 2 xyz x y z x y z xy yz xz x y z bcx + acy + abz = nên N = Bài 17 1/ Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = Tính giá trị biểu thức 𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧 Giải: 10 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 11 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Ta có √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥 (16 − 4𝑧 − 4𝑦 + 𝑦𝑧) = √𝑥 [𝑦𝑧 − 4(𝑦 + 𝑧 − 4)] (1) mà theo giả thiết 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = => 𝑦 + 𝑧 = − 𝑥 − √𝑥𝑦𝑧 (2) Thay (2) vào (1), ta được: √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥(𝑦𝑧 + 4√𝑥𝑦𝑧 + 4𝑥)=√𝑥(√𝑦𝑧 + 2√𝑥)2 = √𝑥 (√𝑥𝑦 + 2√𝑥) = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧 Tương tự: √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) = 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧 √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) = 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 Do đó: 𝐻 = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 − √𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧) = 4.2 = 2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) = 𝟏𝟗𝟔𝟐 Tính giá trị biểu thức K= x+y Bài 18 Cho 𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑎 (1) 2 2 { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏 (2) 𝑥 1 𝑦 𝑧 + + =𝑐 (3) M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c Tính giá trị biểu thức Giải: Bình phương hai vế (1), ta (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑎2 => 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 𝑎2 , thay (2) vào ta được: 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑎2 −𝑏2 (4) 1 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 Từ (3) cho ta: + + = 𝑐 => Từ (4) (5) suy 𝑎2 −𝑏2 = 𝑐 => 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑐 𝑥𝑦𝑧 (5) = 𝑐𝑥𝑦𝑧 => 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎2 −𝑏2 2𝑐 Như ta có: 11 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = { 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎2 −𝑏2 𝑎2 −𝑏2 2𝑐 Ta có: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥 2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 ) + 3𝑥 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3[(𝑥 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 ) + (𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 ) + (𝑦 𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 )] + 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3[𝑥𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)] + 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧) + 3𝑥𝑦𝑧 𝑎3 − 𝑎2 −𝑏2 𝑐 𝑎 + 3(𝑎2 −𝑏2 ) 2𝑐 Từ tìm kết Bài 19 Cho số dương x, y, z thỏa mãn 𝑦2 𝑥 + 𝑥𝑦 + = 25 𝑦2 + 𝑧2 = { 𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥 = 16 Tính giá trị biểu thức N = xy + 2yz + 3zx Bài 20 Cho số dương a, b, c phân biệt cho phương trình x2 + a.x + = x2 + bx + c = có nghiệm chung Đồng thời phương trình x2 + x + a = x2 + cx + b = có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức P = a+b+c 12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung ... thức P = a+b+c 12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung... thỏa mãn: