D.an casio 2007-2008

Phòng GD Thọ Xuân Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs giải toán bằng máy tính CASio năm học 2007-2008 Đáp án chi tiết đề lẻ (Thời gian làm bài 150 phút ) (Thí sinh làm bài và ghi đáp số vào ngay sau phần đề bài theo chỉ dẫn, thí sinh chỉ đ- ợc sử dụng các loại máy tính Casio loại fx-570ES trở xuống ) Bài 1: (2 điểm) 1.(1đ) Tìm số d trong phép chia 85479867458668 cho 8547 2.(1đ) Tính chính xác giá trị A=221207 3 Giải: 2.Ta có đặt a=221; b=207 => A=(a.10 3 +b) 3 =a 3 .10 9 +3.10 6 .a 2 .b+3.10 3 .a.b 2 +b 3 Lập bảng dùng máy tính tính ta có: a 3 .10 9 = 1 0 7 9 3 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.10 6 .a 2 .b= 3 0 3 3 0 2 6 1 0 0 0 0 0 0 3.10 3 .a.b 2 = 2 8 4 0 8 8 8 7 0 0 0 b 3 = 8 8 6 9 7 4 3 A= 1 0 8 2 4 2 1 9 6 7 8 7 5 6 7 4 3 Vậy A= 10824219678756743 Bài 2: (2 điểm) 1.(1đ) Thực hiện phép chia 3 cho 17 ta đợc một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hãy xác định chữ số đứng thứ 2007 sau dấu phẩy. 2.(1đ) Cho B= 6,2435435435 là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ (435). Hãy viết B dới dạng phân số tối giản. Giải: 1.(1đ) Thực hiện phép chia 3 cho 17 ta đợc một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hãy xác định chữ số đứng thứ 2007 sau dấu phẩy. Ta có 3:17=0,176470588 Bấm 3-17. 0,176470588 =4.10 -9 Lấy 4:17= 0,235294117 =>3:17=0, 176470588235294117 Bấm tiếp 4-17.0, 235294117 =11.10 -9 Lấy 11:17=0,647058823 =>3:17=0, 176470588235294117647058823. Do đó 3:17=0,( 1764705882352941) (có chu kỳ là 16 CS) Vì 2007 mod 16 =7 nên CS cần tìm là CS thứ 7 trong chu kỳ là CS 5 ( Thử lại trên máy vi tinh chọn Calculator/View/Scientific cho kết quả 3:17=0,1764705882352941 1764705882352941) 2. Cho B= 6,2435435435 là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ (435). Hãy viết B dới dạng phân số tối giản. 1 6997 A=108242196787567 43 5 3330 20791 Ta có 6,2(435)=6,2+0,(435):10 Đặt A=0,(435) ta có 1000A=0,(435).1000 do đó 1000A=435,(435) Suy ra 1000A=435+0,(435) hay 1000A=435+A => 999A=435 =>A= 435:999 do đó B=6,2(435)=6,2+(435:999):10= 62 435 10 9990 + = 20791 3330 Bài 3: (2,5 điểm) Tính các giá trị sau ( tính chính xác đến 6 chữ số phần thập phân) 1.(1,5đ) C = 1 1 2+ + 32 1 + + 43 1 + + + 1 2007 2008+ 2.(1đ) D = 2 0 2 0 4 3 0 3 0 sin 35 tg 50 -cos 40 3 sin 35 :0,15cotg 55 4 Giải : C = 1 1 2+ + 32 1 + + .+ 1 2006 2007+ + 1 2007 2008+ = ( 2 1) ( 2 1)( 2 1) + + )23()23( )23( + + .+ ( 2007 2006) ( 2007 2006)( 2007 2006) + + ( 2008 2007) ( 2008 2007)( 2008 2007) + = 2 1 3 2 2007 2006 2008 2007 + + + + = 2008 1 43,810713 2. D = 2 0 2 0 4 3 0 3 0 sin 35 tg 50 -cos 40 3 sin 35 :0,15cotg 55 4 0,379408548 0,379409 Bài 4: (2,5 điểm) Cho đa thức P(x)=x 5 +6,734x 4 +4,325x 3 -8,623x 2 +7,462x+2,785 1.(1,5đ) Tìm số d của đa thức trên khi chia cho (x-5,12) 2. (1đ) Xác định hệ số của x 2 trong đa thức thơng của phép chia trên. Giải: 1. Số d của P(x) khi chia cho (x-5,12) chính là P(5,12) - Dùng máy tính thay vào tính ta có P(5.12)=8541,442115 Vậy số d là 8541,442115 2. Phân tích đa thức f(x) ra thừa số theo sơ đồ Horner : Chia đa thức f(x)= a 0 x 5 +a 1 x 4 +a 2 x 3 +a 3 x 2 +a 4 x + a 5 cho nhị thức (x-c) đợc thơng là một đa thức bậc 4. f(x)=a 0 x 5 +a 1 x 4 +a 2 x 3 +a 3 x 2 +a 4 x + a 5 =(x-c)( b 0 x 4 +b 1 x 3 +b 2 x 2 +b 3 x + b 4 )+r Do đó hệ số của x 2 trong đa thức thơng của phép chia trên là b 2 Ta có b 0 = a 0 ; b 1 =b 0 c+a 1 ; b 2 =b 1 c+a 2 . ; trong đó b 0 = a 0 =1; a 1 =6,734 ; a 2 =4,325 Thay số vào ta có : b 1 =1. 5,12 +6,734 =11,854 b 2 =11,854.5,12 +4,325=65,01748 Vậy hệ số của x 2 trong đa thức thơng là 65,01748 2 D 0,379409 C 43,810713 8541,442115 65,01748 Bài 5: (2 điểm) 1.(1đ) Biết 4 1 1 4 1 1 1 3 2 1 1 2 3 2 4 x x + = + + + + + + hãy tìm x viết dới dạng phân số. 2.(1đ) Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 81063; 68764 và 59728 cho a ta đ- ợc cùng một số d. Giải: 1.Ta có 1 4 1 3 1 2 2 + + + = 73 17 ; 1 1 1 2 1 3 4 + + + = 43 30 do đó ta có 4 73 43 17 30 x x + = suy ra 4 43 73 30 17 x x = => x= 1 1 4 : ( ) 43 73 30 17 = 30 17 4 : ( ) 43 73 = 12556 1459 . Vậy x= 12556 1459 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 81063; 68764 và 59728 cho a ta đợc cùng một số d. Giải: Vì các số 81063, 68764 và 59728 khi chia cho a ta đợc cùng một số d nên ta có các hiệu 81063 68764 ; 6876459728 đều chia hết cho a do đó các số 12299 và 9036 đều chia hết cho a, mà a là số tự nhiên lớn nhất nên a chính là ƯCLN(12299 , 9036)=251 Vậy a=251 Bài 6 : (2 điểm) Cho đa thức P(x)=x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d Biết P(1)=0; P(2)=3; P(3)=8; P(4)=15 Hãy tính P(100); P(1001) Giải: Đặt Q(x)=P(x)-(x 2 -1) nh vậy Q(x) là đa thức bặc 4. Ta có Q(1)=P(1)-(1 2 -1)=0-0=0 ; Q(2)=P(2)-(2 2 -1)=3-3=0 Q(3)=P(3)-(3 2 -1)=8-8=0 ; Q(4)=P(4)-(4 2 -1)=15-15=0 Do đó Q(x) có 4 nghiệm là 1, 2, 3, 4 => Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) Mà Q(x)=P(x)-(x 2 -1) => P(x)-(x 2 -1) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) => P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +(x 2 -1) Thay số vào ta có P(100)=99.98.97.96+100 2 -1=90355023 (1đ) P(1001)=1000.999.998.997+1001 2 -1=994010994000+1002001-1 =994011996000 (1đ) Bài 7: (2 điểm) Cho 4 điểm A, B, C, I sao cho I thuộc miền trong tam giác ABC và IA=3cm; IB=2cm; IC=5cm; AB=4cm; AC=6cm. 1.(1đ) Tính gần đúng (chính xác đến 3 chữ số phần thập phân) khoảng cách IH từ I đến AB. 3 x= 12556 1459 a=251 P(100)= P(1001)= 994011996000 IH 1,452 cm IH 1,452 cm 2.(1đ) Tính chính xác nhất (làm tròn theo độ, phút, giây) số đo góc BAC. Giải: 1. Ta có: ABI S =IH.AB:2 => IH= ABI S :AB.2 Mà ABI S = 4,5.0,5.2,5.1,5 2,90473751 => IH 2,90473751:4.2 1,452368755 1,452 (cm ) Đáp số: 1,452 cm 2.Từ I hạ IK vuông góc với AC. Tơng tự ta tính đợc IK= AIC S :AC.2 = 7.1.2.4 :AC.2 7,483314774:6.2 2,494438258 (cm) Mà ã BAC = ã HAI + ã IAK . Ta dễ ràng tính đợc các góc HAI và IAK nhờ vào hàm ngợc của hàm sin trên máy Casio, hàm sin các góc này sẽ tính đợc khi biết IH và IK. - Ta có sinA 1 =IH:IA 1,452368755:3 0.484122918 => ã HAI 28 0 5718,09 - Ta có sinA 2 =IK:IA 2,494438258:3 0.831479419 => ã IAK 56 0 153,64 => ã BAC 28 0 5718,09+56 0 153,64 85 0 1221.73 85 0 1222 Đáp số: 85 0 1222 Chú ý: Khi tính toán, để đợc kết quả chính xác nhất có thể thì đến cuối cùng mới nên làm tròn theo yêu cầu. Bài 8: (2 điểm) (Kết quả đợc làm tròn số đến đơn vị đồng) 1.(1đ) Một ngời gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với lãi xuất 0,65% một tháng. Hỏi sau 10 năm ngời đó có nhận đợc số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết rằng ngời đó không rút lãi ở tất cả các kỳ trớc đó. 2.(1đ) Một ngời khác, hàng tháng đều đặn gửi vào ngân hàng số tiền là 1 triệu đồng với lãi xuất là 0,63% một tháng. Hỏi sau đúng 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) ngời đó đi rút tiền cả gốc lẫn lãi về thì sẽ có số tiền là bao nhiêu? Biết rằng hàng tháng ngời đó không rút lãi ra. Giải: 1. Gọi số tiền ban đầu ngời đó gửi vào là a, lãi xuất hàng tháng là m% ta có: Sau 1 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a+a.m%=a(1+m%) Sau 2 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là: a(1+m%)+a(1+m%).m%=a(1+m%) 2 Tuơng tự ta có : Sau n tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a(1+m%) n Thay a=60000000; m=0,65 và n=10.12=120 4 ã BAC 85 0 1222 130558381đ 73097883đ Sau 10 năm ngời đó có số tiền ở ngân hàng là: 60000000.(1+0,0065) 120 130558381,4đ 130558381đ Đáp số: 130558381đ 2. Gọi số tiền hàng tháng ngời đó gửi vào là a, lãi xuất là m%/tháng ta có: Sau 1 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là : (a+a.m%)+a=a[(1+m%)+1]= (1 %) 1 a m+ [(1+m%) 2 -1]= % a m [(1+m%) 2 -1]= Sau 2 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là : % a m [(1+m%) 2 -1](1+m%)+a= % a m [(1+m%) 3 -1(1+m%)+m%]= % a m [(1+m%) 3 -1] . . . Tuơng nh vậy tự ta có : Sau k tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là : % a m [(1+m%) k -1](1+m%)+a= % a m [(1+m%) k+1 -1(1+m%)+m%]= % a m [(1+m%) k+1 -1] Sau n tháng ngời đó đi rút tiền về, ngời đó sẽ không gửi định kỳ nữa thì số tiền ngời đó rút về đợc là % a m [(1+m%) n+1 -1]-a. Thay a=1000000 đ; m=0,63 ; n=5.12= 60 Ta có số tiền ngời đó rút đợc về là: 1000000 0,0063 [(1+0,0063) 61 -1]-1000000 73097882,58đ 73097883đ Bài 9: (3 điểm) Cho U n = ( ) ( ) 3 5 3 5 2 5 n n + với n=0, 1, 2, 3, 4 1.(1đ) Tính các giá trị U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 U 0 =0 U 1 =1 U 2 =6 U 3 =32 U 4 =168 2.(1đ) Lập công thức truy hồi tính U n+2 theo U n+1 và U n . 3.(1đ) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n . Giải: 1. Thay n=0, 1, 2, 3, 4 ta đợc U 0 =0, U 1 =1 , U 2 =6 , U 3 =32 , U 4 =168 2. Cách 1: Dùng phơng pháp biến đổi: Ta có: đặt a= 3 5+ ; b= 3 5 , suy ra U n+1 = 1 1 2 5 n n a b + + ; U n = 2 5 n n a b và a+b=6; a.b=4 Ta có U n+2 = 2 2 2 5 n n a b + + = 2 2 1 ( ) 2 5 n n a b + + = 1 2 5 [(a+b)(a n+1 -b n+1 )-a n+1 .b+a.b n+1 ] = 1 2 5 [(a+b)(a n+1 -b n+1 )-a.b (a n -b n )]=(a+b) 1 1 2 5 n n a b + + -a.b 2 5 n n a b =6 U n+1 - 4 n Vậy công thức truy hồi là U n+2 =6 U n+1 - 4U n 5 U n+2 =6U n+1 -4U n Cách 2:Dùng phơng pháp quy nạp: Giả sử ta có công thức truy hồi tính U n+2 theo U n+1 và U n là U n+2 =aU n+1 +bU n +c Thay n=0, 1, 2, 3, 4 vào và áp dụng câu 1 ta có hệ PT sau: 2 1 0 3 2 1 4 3 2 U aU bU c U aU bU c U aU bU c = + + = + + = + + <=> 6 .1 .0 32 .6 .1 168 .32 .6 a b c a b c a b c = + + = + + = + + giải hệ ( bấm máy tính) ta đợc 6 4 0 a b c = = = Vậy công thức truy hồi là U n+2 =6 U n+1 - 4U n 3. Quy trình bấm phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n áp dụng câu 2. Ta có U n+2 =6 U n+1 -4U n Trên máy fx-500MS hoặc fx-570MS: 1 SHIFT STO A X 6 - 0 SHIFT STO B ( đợc U 2 =6) Sau đó lặp lại dãy phím: X 6 - 4 ALPHA A SHIFT STO A ( đợc U 3 =32) X 6 - 4 ALPHA B SHIFT STO B ( đợc U 4 =168) X 6 - 4 ALPHA A SHIFT STO A ( đợc U 5 =880) . Hoặc một quy trình khác: 0 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B (Khởi tạo giá trị U 0 =0, U 1 =1) Sau đó lặp lại dãy phím: 6 ALPHA B - 4 ALPHA A SHIFT STO A ( đợc U 2 =6) 6 ALPHA A - 4 ALPHA B SHIFT STO B ( đợc U 3 =32) 6 ALPHA B - 4 ALPHA A SHIFT STO A ( đợc U 4 =168) Chú ý: Các quy trình bấm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 6 . Phòng GD Thọ Xuân Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs giải toán bằng máy tính CASio năm học 2007-2008 Đáp án chi tiết đề lẻ (Thời gian làm bài 150. phần đề bài theo chỉ d n, thí sinh chỉ đ- ợc sử d ng các loại máy tính Casio loại fx-570ES trở xuống ) Bài 1: (2 điểm) 1.(1đ) Tìm số d trong phép chia 85479867458668