Chu Thanh Dũng - Đề thi Đại học các năm về Đại số tổhợp - Số phức ĐỀ THI ĐẠI HỌC VỀ TOÁN ĐẠI SỐ TỔHỢP - SỐ PHỨC Năm 2002 A. Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC + ++ + = + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n = 7, x = 4 B. Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n , tìm n. ĐS: n = 8 D. Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 2 4 2 243 n n n n n n C C C C+ + + + = . ĐS: n = 5 Năm 2003 A. Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n , (n nguyên dương, x >0, ( k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 B. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + + , ( k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: 1 23 11 + − ++ n nn D. Với n là số nguyên dương, gọi a 3n − 3 là hệ số của x 3n − 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n − 3 = 26n. ĐS: n = 5 Năm 2004 A. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x 2 (1 − x)] 8 . ĐS: 238 B. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi( khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Hiền tài là nguyên khí quốc gia! Rèn đức rèn tài! 1 Chu Thanh Dũng - Đề thi Đại học các năm về Đại số tổhợp - Số phức D. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1 + x x với x > 0. ĐS: 35 Năm 2005 A. Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n n n nnnn CnCCCC , ( k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: n = 1002 B. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 3 nữ? D. Tính giá trị biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: 4 3 = M Năm 2006 A. Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x + 7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC , (n nguyên dương và k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 B. Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. ĐS: k = 9 Năm 2007 A. Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + + + + = + , ( k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). B. Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Newton của (2 + x) n , biết: 3 n C n 0 − 3 n − 1 C n 1 + 3 n − 2 C n 2 − 3 n − 3 C n 3 + … + (−1) n C n n = 2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 D. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của x(1 − 2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 . ĐS: 3320 Hiền tài là nguyên khí quốc gia! Rèn đức rèn tài! 2 Chu Thanh Dũng - Đề thi Đại học các năm về Đại số tổhợp - Số phức Năm 2008 A. Cho khai triển (1 + 2x) n = a 0 + a 1 x + … + a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a 0 , a 1 , …a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n . ĐS: a 8 =126720 B. Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 = + + + + ++ (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). D. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ − n nnn CCC . ( k n C là số tổhợp chập k của n phần tử). ĐS: n = 6 Năm 2009 A. Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 1 zzA += . ĐS: A = 20 B. Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 102 =+− iz và 25. = zz . ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5 D. Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện: ( ) 243 =−− iz . ĐS: (x − 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 Năm 2010 A. Tìm phần ảo của số phức z biết, ( ) ( ) 2 2 1 2 .z i i= + − B. Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn: ( ) 1z i i z− = + D. Tìm số phức Z thoả mãn: 2Z = và 2 z là số thuần ảo. Hiền tài là nguyên khí quốc gia! Rèn đức rèn tài! 3 . Chu Thanh Dũng - Đề thi Đại học các năm về Đại số tổ hợp - Số phức ĐỀ THI ĐẠI HỌC VỀ TO N ĐẠI SỐ TỔ HỢP - SỐ PHỨC Năm 2002 A. Cho khai. tài! 1 Chu Thanh Dũng - Đề thi Đại học các năm về Đại số tổ hợp - Số phức D. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1