ĐA tạp bất BIẾN và PHÉP BIẾN đổi đồ THỊ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Nguyễn Thị Ngọc Huyền ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Ngành : Tốn học Chương trình đào tạo chuẩn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2017 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS.Lê Huy Tiễn - người tận tình giúp đỡ bảo em suốt q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tình truyền thụ kiến thức, dạy bảo em suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ths.Lê Đức nhiên thành viên nhóm seminar hệ động lực trường KHTN có góp ý quý báu để em hoàn luận văn tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên khuyến khích em nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Nguyễn Thị Ngọc Huyền Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Ánh xạ co 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Hàm Lipschitz 1.2.2 Điểm cố định hyperbolic 1.2.3 Tự đẳng cấu hyperbolic không gian Banach 1.3 Phương trình vi phân 1.3.1 Bổ đề Gronwall 1.3.2 Họ tiến hóa 1.3.3 Nhị phân mũ ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ TRÌNH SAI PHÂN 2.1 Đa tạp bất biến 2.2 Định lý đa tạp bất biến phương trình sai phân 2.3 Ví dụ ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ TRÌNH VI PHÂN 3.1 Đa tạp bất biến 3.2 Định lý đa tạp bất biến phương trình vi phân 3.3 Ví dụ Kết luận 4 5 6 11 12 12 13 CỦA PHƯƠNG 14 14 17 24 CỦA PHƯƠNG 28 28 29 34 36 Tài liệu tham khảo 36 Lời nói đầu Để nghiên cứu tồn đa tạp bất biến phương trình sai phân phương trình vi phân có hai phương pháp Phương pháp Perron (đặc trưng giải tích) mà sau nhờ cải tiến nhà tốn học Xơ-viết gọi phương pháp Lyapunov-Perron gắn liền với phương pháp Lyapunov Phương pháp phép biến đổi đồ thị Hahamard (đặc trưng hình học) Mặc dù trải qua thời gian dài hình thành phát triển phương pháp nghiên cứu nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu toán tồn đa tạp bất biến ln mang lại tranh hình học tổng thể hệ phương trình vi phân, phương trình sai phân Đa số tài liệu nay, người ta phần lớn sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron Trong luận văn này, tác giả xét hệ ô-tô-nôm hữu hạn chiều sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị Hahamard chứng minh tồn đa tạp bất biến của: Phương trình sai phân xn+1 = Axn + φ(xn ) với giả thiết phổ A khơng giao hình cầu đơn vị (σ(A) ∩ S = ∅) nhiễu φ có hệ số Lipschitz nhỏ Phương trình vi phân x = Ax + f (x) với giả thiết σ(A) ∩ iR = ∅ nhiễu Lipschitz nhỏ Nội dung khóa luận dựa tài liệu [1] báo [3] Khóa luận gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dùng để nhắc lại xây dựng kiến thức áp dụng chương sau Cụ thể, phần đầu nhắc lại số kiến thức không gian Banach ánh xạ co khơng gian Banach Phần thứ hai chương trình bày kiến thức hàm Lipschitz, điểm cố định Hyperbolic tự đẳng cấu Hyperbolic Phần cuối gồm số kiến thức phương trình vi phân, bổ đề Gronwall’, họ tiến hóa, nhị phân mũ Chương Đa tạp bất biến phép biến đổi đồ thị phương trình sai phân Dựa vào tài liệu [1], tác giả đưa khái niệm đa tạp bất biến Sau đó, định lý đa tạp bất biến phương trình sai phân phát biểu chứng minh phương pháp phép biến đổi đồ thị Cuối số ví dụ minh họa MỤC LỤC Chương Đa tạp bất biến phép biến đổi đồ thị phương trình vi phân Chương có bố cục giống chương 2, khác chỗ ta xét với phương trình vi phân Chương chương phần khóa luận Tác giả mong nhận bảo, góp ý q thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Nguyễn Thị Ngọc Huyền Chương Kiến thức chuẩn bị Trong phần đầu khóa luận, chúng tơi trình bày lại khái niệm phương trình vi phân phương trình sai phân Một số khái niệm quan trọng điểm cố định hyperbolic, tự đẳng cấu hyperbolic; bổ để Gronwall, họ tiến hóa, nhị phân mũ Nhưng trước hết, ta nhắc lại số khái niệm, định lý không gian Banach ánh xạ co không gian Banach 1.1 Ánh xạ không gian Banach Trong chương này, nhắc lại số kiến thức không gian Banach, sau ta nêu định lý, tính chất ánh xạ co dùng để chứng minh định lý chương chương 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính định chuẩn) Gọi X khơng gian vectơ trường vô hướng K, số thực R hay số phức C Khi X gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn với x ∈ X có xác định số khơng âm ||x|| (gọi chuẩn x) thỏa mãn điều kiện sau: • x với x ∈ X, x = ⇔ x = 0; 0, • λx = |λ| x , • x+y x + y , với λ ∈ K với x ∈ X; với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 (Không gian đầy đủ) Không gian X đầy đủ dãy Cauchy X dãy hội tụ, tức {xn }∞ n=1 dãy Cauchy X tồn xo ∈ X mà xn → xo , (n → ∞) Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach) Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ) khơng gian đầy đủ (X, ) gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1.1 (Khơng gian Euclide n - chiều) Với số tự nhiên n, kí hiệu Kn ( K R C) tích n lần trường vô hướng K CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : x1 , x2 , , xn ∈ K} Ta xác định chuẩn K bởi: n ||x||2 = |x2i |, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Kn i=1 Trong Kn không gian định chuẩn với chuẩn Không gian gọi không gian Euclide n - chiều Ta chứng minh Kn không gian Banach, xem [3] trang 1.1.2 Ánh xạ co Ánh xạ co nguyên lý dùng để tồn điểm bất động tốn tử Phần nêu định lý, tính chất ánh xạ co dùng để chứng minh định lý chương chương Đầu tiên, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X khơng gian Banach Gọi B hình cầu đơn vị B = {x ∈ X : x 1}, ánh xạ f : B → B gọi ánh xạ co tồn số K ∈ (0, 1) cho : f (x) − f (y) K x − y , ∀x, y ∈ B Nhận xét 1.1.1 Nếu f ánh xạ co f liên tục X Định nghĩa 1.1.5 Cho f : X → X Điểm x ∈ X gọi điểm bất động hàm f f (x) = x Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co)Trong không gian Banach X f ánh xạ co tồn điểm bất động f (x) = x Cụ thể hơn, ta xét dãy x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), , xn = f (xn−1 ), xn hội tụ x Định lý 1.1.2 (Định lý ánh xạ ngược) Giả sử hàm f : Rn → Rn khả vi liên tục lân cận mở điểm xo ∈ Rn Df (xo ) khả nghịch Khi tồn tồn lân cận mở V chứa xo lân cận mở W chứa f (xo ) cho ánh xạ f : V → W khả nghịch có ánh xạ ngược f −1 : W → V khả vi với y ∈ W Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f gọi đồng phôi f song ánh ánh xạ ngược f −1 ánh xạ liên tục 1.2 Phương trình sai phân Trong phần này, ta xét phương trình sai phân xn+1 = Axn + φ(xn ) với xn ∈ Rn , ma trận Am×n σ(A) ∩ S = ∅ ( σ(A) phổ A S lhnhcuØnv), hàm nhiễu φ liên tục Lipschitz nhỏ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2.1 Hàm Lipschitz Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X Y không gian Metric, ánh xạ φ : X → Y gọi Lipschitz tồn số L > cho ||φ(x) − φ(y)|| Lipφ = inf{L : ||φ(x) − φ(y)|| φ L||x − y|| , ∀x, y ∈ X ; L||x − y||}, ∀x, y ∈ X gọi số Lipschitz Định lý 1.2.1 Định lý hàm ngược Lipschitz : Nếu A : E → E ma trận khả nghịch φ hàm Lipschitz với hệ số Lipschitz đủ bé A + φ khả nghịch thực (A + φ)−1 hàm Lipschitz 1.2.2 Điểm cố định hyperbolic Định nghĩa 1.2.2 (Điểm cố định hyperbolic) Cho U ∈ Rn , ánh xạ f : U → Rn , điểm xo ∈ U gọi điểm cố định hyperbolic f f (xo ) = xo giá trị riêng ma trận Df (xo ) khơng nằm đường tròn đơn vị, tức (σ(A) ∩ S = ∅) Khi đó, tổng khơng gian riêng suy rộng ứng với giá trị riêng nằm (ngoài) đường tròn đơn vị tương ứng gọi khơng gian ổn định (khơng ổn định) kí hiệu E s (E u ) 1.2.3 Tự đẳng cấu hyperbolic không gian Banach Cho E không gian Banach, E s E u hai không gian đóng E Ta nói E tổng trực tiếp E s E u , kí hiệu E = E s ⊕ E u v ∈ E có v = vs + vu với vs ∈ E s vu ∈ E u Chuẩn | | E gọi chuẩn hộp E = E s ⊕ E u |v| = max{|vs |, |vu |}, v ∈ E Định lý 1.2.2 Cho (E, |.|) không gian Banach, E = E s ⊕ E u Khi đó, tồn chuẩn hộp E = E s ⊕ E u tương đương với |.| Chứng minh Ta định nghĩa ||v|| = max{|vs |, vu |} Dễ thấy chuẩn hộp E = E s ⊕ E u Từ E s E u hai khơng gian đóng E, dẫn đến (E, ) không gian Banach CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ta có, |v| = |vs + vu | |vs | + |vu | 2||v|| Do đó, ánh xạ đồng id : (E, ) → (E, |.|) liên tục Theo định lý ánh xạ ngược không gian Banach, ánh xạ ngược id : (E, |.|) → (E, ) liên tục Khi đó, tồn C > cho ||v|| C|v|, ∀v ∈ E Xét ánh xạ tuyến tính A : E → E, A gọi tự đẳng cấu E A song ánh tuyến tính A A−1 liên tục Khi đó, A đồng phơi tuyến tính Định nghĩa 1.2.3 Một tự đẳng cấu A : E → E gọi hyperbolic có phân tích E = Es ⊕ Eu , A(E s ) = E s , A(E u ) = E u (tức A bất biến) cho, với số C < λ < |An v| Cλn |v| , ∀v ∈ E s , n (A|E s co với n đủ lớn), |A−n v| Cλn |v| , ∀v ∈ E u , n (A|E u giãn với n đủ lớn) Hình 1.1: Tự đẳng cấu hyperbolic CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.2.4 (Nón) Với r, γ > Kí hiệu E(r) = B(0, r) hình cầu đóng tâm 0, bán kính r Ta định nghĩa Cγ (E s ) = {v ∈ E |vu | u Cγ (E ) = {v ∈ E |vs | γ|vs |}, γ|vu |} tương ứng γ - nón E s E u Hình 1.2: Nón C1 (E u ) Định lý 1.2.3 Khơng gian ổn định E s biểu diễn sau E s = {v ∈ E = v∈E An v → 0, n → ∞} ∃r > cho |An v| n r, ∀n s = {v ∈ E ∃γ > cho A v ∈ Cγ (E ), ∀n 0} Tương tự với không gian không ổn định E u E u = {v ∈ E = {v ∈ E = {v ∈ E A−n v → 0, n → ∞} ∃r > cho |A−n v| −n ∃γ > cho A r, ∀n u 0} v ∈ Cγ (E ), ∀n 0} Đặc biệt, phân tích hyperbolic Tức E = Gs ⊕ Gu phân tích hyperbolic Gs = E s , Gu = E u Chứng minh định lý xem [1], trang 20 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN hợp này, Tz G mặt phẳng tiếp tuyến G z Chứng minh bổ đề đưa cuối chương Lấy v ∈ E u Ta chứng minh σ khả vi v Từ bổ đề suy tập hợp tiếp tuyến Tz gr(σ) = Tz G không gian tuyến tính Tz E khơng gian hữu hạn chiều E u Đặt g = A + φ : E → E Do Lip(σ) 1, x ∈ gr(σ) nên tiếp tuyến suy rộng Tx gr(σ) ∈ C (E u (z)) ⊂ Tx E Trong đó, Tx E = Gu (x) ⊕ Gs (x), x ∈ E phân tích hyperbolic Tg Chú ý dimGu (x) = dimE u Gu (x) đồ thị ánh xạ tuyến tính từ E u (x) vào E s (x) Đặc biệt, với tiếp tuyến suy rộng l ⊂ Tz G, G = gr(σ) bất biến theo g, ta có T g −n (l) ⊂ C (E u (g −n z)), ∀n Mệnh đề E s (x) E u (x) biến thiên liên tục x biến thiên Mệnh đề Cho Λ ⊂ N tập hyperbolic f với độ lệch < τ < < r ∞ Hàm φ : TΛ N (r) → TΛ N cho Lip2 φ < − τ, φ(0x ) = 0f x , ∀x ∈ Λ Khi với x ∈ Λ Wru (0x , T f + φ) = {v ∈ Tx N (r)||(T f + φ)−n | r, ∀n 0} = {v ∈ Tx N (r)|(T f + φ)−n ∈ Tf n x ∩ C (E u (f n x)), ∀n = {v ∈ Tx N (r)||(T f + φ)−n | (τ −1 − Lip2 φ)n |v| 0} Từ mệnh đề (Trường hợp r = ∞ T g = T A + T φ, T A + T φ tương ứng với T f + φ mệnh đề 2), ta có l ⊂ W u (0z , T g) Mà T g tuyến tính, W u (0z , T g) = Gu z Điều chứng minh Tz gr(σ) ⊂ Gu z Do Tz gr(σ) chiếu lên E u nên ta có Tz gr(σ) = Gu z Từ Bổ đề 1, ta có σ khả vi v grσ tiếp xúc với không gian không ổn định Gu (z) g z Từ Mệnh đề 1, Gu (z) biến thiên liên tục z biến thiên Do đó, σ C Chú ý, gốc tọa độ gr(σ) tiếp xúc với không gian ổn định Gu A + Dφ(0) 23 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 2.3 Ví dụ Ví dụ Xét phương trình xn+1 = Axn , với ma trận 1/2 A= (2.4) Sử dụng phương pháp phép biến đổi đồ thị ta thấy đa tạp phương trình xn+1 = Axn Từ (2.4) suy ra, Ass = Auu = 2 Theo định lý đa tạp bất biến, ta có T (σ) = (Ass (σ) + φs (Iu + σ))(Auu + φu (Iu + σ))−1 , đó, σ : E u → E s ; σ(x) = y Do đó, 1 T (σ) = σ = , 2 suy ra, ||T || = < Khi đó, T ánh xạ co Vì vậy, tồn đa tạp bất biến σ(x) = 0, ∀x Ta có, gr(σ) = {(x, σ(x)); ∀x ∈ Ox} = {(x, 0); ∀x ∈ Ox} = Ox = E u 24 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Hình 2.3: Phép biến đổi đồ thị phương trình xn+1 = Axn Ví dụ Xét phương trình xn+1 = Axn + φ(xn ) = (A + φ)xn , với A= σ(v) = v , φ xn yn 0 1/2 = (2.5) (σ(v))2 v4 = (2.6) Với gr(σ) = (v, σ(v)) , ta có xn xn +φ yn yn xn+1 = A Xét =A v +φ σ(v) (σ(v))2 (2.7) (A + φ)(gr(σ)) = (v1 , σ(v1 )) ⇔ 0 1/2 v v2 ⇒ + v v4 = v1 σ(v1 ) ⇔ 2v v + v4 =  v1 = 2v 0 1/2 v1 + σ(v1 ) (σ(v1 ))2 25 = (2.8) (2.9) 2 σ(v1 ) = v + v = v1 + v1 23 24 v v Do gr(σ1 ) = (v1 , σ(v1 )) = v1 , 13 + 14 2 Ta xét (A + φ)2 (gr(σ)) = (v2 , σ(v2 )) ⇔ (A + φ)(A + φ)(gr(σ)) = (A + φ)(v1 , σ(v1 )) = (v2 , σ(v2 )) ⇔ v1 σ(v1 ) v2 σ(v2 ) (2.10) CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ⇔ ⇒ 0 1/2 v1 v12 23 + v14 24 + v12 v14 + 23 24 = v2 σ(v2 ) (2.11)  v2 = 2v1 6 8 (2.12) σ(v2 ) = v1 + + v + v1 + v1 = v2 + + v + v2 + v2 24 25 26 26 28 26 29 210 212 216 v2 v26 1 v28 Do gr(σ2 ) = (v2 , σ(v2 )) = v2 , 26 + + 10 v24 + 12 + 16 2 2 Sử dụng Maple ta vẽ đồ thị hàm thấy đa tạp phương trình xn+1 = Axn + φ(xn ) Hình 2.4: Phép biến đổi đồ thị phương trình xn+1 = Axn + φ(xn ) Nhìn vào hình 2.4 ta thấy phép biến đổi đồ thị đẩy đường cong nghiệm đa tạp không ổn định E u 26 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chứng minh bổ đề mục 2.2 Chứng minh Chiều "chỉ nếu" hiển nhiên Ta chứng minh chiều "nếu" Giả sử Tz G không gian tuyến tính Tz E khơng gian hữu hạn chiều E u Chú ý, từ σ Lipschitz, có phép chiếu πu : Tz G → E u Khi đó, πu có giới hạn đến Tz G đẳng cấu tuyến tính vào E u Định nghĩa L = πs (πu |Tz G )−1 Nói cách khác, L : E u → E s ánh xạ tuyến tính nhất, cho gr(L) = Tz G Ta chứng minh σ khả vi v Dσ(v) = L Điều chứng minh σ(v + h) − σ(v) − Lh = 0, h→0 |h| lim = h ∈ E u Giả sử = h → cho σ(v + hn ) − σ(v) − Lhn = n→∞ |hn | lim (*) Từ E hữu hạn chiều, giả sử dãy đường cát tuyến ln xác định (v, σ(v)) (v + hn , σ(v + hn )) hội tụ đến đường tiếp tuyến suy rộng l∗ ∈ Tz G Phép chiếu xuống E u πu , có vecto e∗ ∈ E u cho hn lim = e∗ n→∞ |hn | Chú ý rằng, πu có giới hạn đến l∗ đẳng cấu tuyến tính vào span[e∗ ] e∗ L|[e∗ ] = πs (πu |l∗ )−1 Với (v + hn , σ(v + hn )) − (v, σ(v)) − (v, σ(v)) = (πu |ln )−1 (hn ), Khi đó, hn (v + hn , σ(v + hn )) − (v, σ(v)) − (v, σ(v)) = (πu |ln )−1 |hn | |hn | Lấy giới hạn, (v + hn , σ(v + hn )) − (v, σ(v)) − (v, σ(v)) = (πu |ln )−1 (e∗ ) n→∞ |hn | lim Chiếu lên Es , σ(v + hn ) − σ(v) hn = πs (πu |ln )−1 (e∗ ) = Le∗ = lim L , n→∞ n→∞ |hn | |hn | lim mâu thuẫn vơi (∗) Do σ(v + h) − σ(v) − Lh = 0, h→0 |h| lim Vậy σ khả vi v Dσ(v) = L 27 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương , ta xét phương trình x = Ax + f (x) với điều kiện σ(A) ∩ iR = ∅, {X(t, s)|t s} họ nghiệm mũ ma trận e(t−s)A nghiệm phương trình x = Ax Ta nói hàm x : R → X nghiệm phương trình x = Ax + f (x) X(t,s)x(s) = x(t) , ∀t s Đặt φ(t, s)x = X(t, s)x − e(t−s)A x, ∀t s, x ∈ Rn Trong chương ta giả sử tất họ tiến hóa {Z(t, s)|t Z(t,s)0 = ∀ Ta nói họ {Z(t, s)|t ||Z(t, s)x|| s} có tính chất s s} bị chặn M ew(t−s) ||x||, ∀t s, x ∈ Rn , w, M > Dưới ta sử dụng tất họ tiến hóa bị chặn 3.1 Đa tạp bất biến Định nghĩa 3.1.1 Một tập M ⊂ Rn gọi đa tạp bất biến không ổn định phương trình x = Ax + f (x) tồn phân tích Rn = W s ⊕ W u có ánh xạ Lipschitz liên tục g : W u → W s với số Lipschitz không phụ thuộc vào t cho M = {(x, g(x)) ∈ W s ⊕ W u |, x ∈ W u } X(t, s)(gr(g)) = gr(g), ∀t s Trong gr(g) = {(x, y) ∈ W s ⊕ W u |y = g(x)} kí hiệu đồ thị ánh xạ g 28 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.2 Định lý đa tạp bất biến phương trình vi phân Đây nội dung chương, phần ta chứng minh phi tuyến {Z(t, s)|t s} đóng vừa đủ để e(t−s)A , σ(A) ∩ iR = ∅ có đa tạp bất biến không ổn định Để chứng minh điều ta sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị Giả sử ma trận mũ e(t−s)A có phổ A khơng giao trục ảo tốn tử chiếu P(t), t ∈ R bị chặn nghĩa sup ||P (t)|| < ∞ t∈R Ta có ||x|| ||P (t)x|| + ||Q(t)x|| (2 sup ||P (t)|| + 1)||x||, t Trong Q(t) = I - P(t) Do ∀t ∈ R, x ∈ Rn ta có ||x|| max{||P (t)x||, ||Q(t)x||} (1 + sup ||P (t)||)||x|| t Dưới ta giả sử eµ(t−s) ||x − y||, ∀t ||φ(t, s)x − φ(t, s)y|| s; x, y ∈ Rn , µ > Đặt Oδ = {g : W u → W s |g(0) = 0, Lip(g) δ} Ta định nghĩa Oδ khoảng cách ∞ d(g, h) = sup ||g(x) − h(x)|| k k=1 ||x|| k Dễ thấy (Oδ , d) không gian Metric đầy đủ Bổ đề 3.2.1 Giả sử ma trận mũ e(t−s)A có σ(A) ∩ iR = ∅ phép chiếu P(t), t ∈ R giả sử ho > Khi đó, tồn δo > (phụ thuộc vào ho e(t−s)A ) cho với < δ < δo ánh xạ Q(t)e(t−s)A (gs (x), x) đồng phôi với x : Wsu → Wtu , ∀0 t − s ho Tương tự với δ < δ2o < δo e−µho /2 ánh xạ Q(t)e(t−s)A (gs (x), x) đồng phôi với x : Wsu → Wtu Chứng minh Xét bao hàm i : x → (gs (x), x) ánh xạ Q(t)e(t−s)A i Hiển nhiên, Q(t)e(t−s)A i đồng phôi tuyến tính từ Wsu vào Wtu Đặt Γgs = Γgs x = (gs (x), x) Áp dụng định lý hàm số nghịch đảo với ánh Lipschitz liên tục, ta đặt ψ(t, s)x = Q(t)e(t−s)A x − Q(t)e(t−s)A Γgs x Ta thấy Lip(ψ) δ δ K ||(Q(t)e(t−s)A i)−1 ||−1 , 29 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Q(t)e(t−s)A Γgs x đồng phơi Do δo = K δo < δo e−µho /2 Q(t)e(t−s)A Γgs x đồng phôi Tương tự, δ < Bổ đề 3.2.2 Theo giả thiết kí hiệu định lý trước, δ||Q(s)(x − y)|| ||P (s)(x − y)||, (1) δ ||Q(t)(X(t, s))x − X(t, s))y|| ||P (t)(X(t, s))x − X(t, s))y||, (2) δ = δKe−α(t−s) + eµ(t−s) < δ (1/K)eα(t−s) − eµ(t−s) (3) Chứng minh Đặt f = X(t, s), S = e(t−s)A , φ = φ(t, s) ; φ(t, s)x = X(t, s)x − e(t−s)A x, ∀t s, x ∈ Rn , f = S + φ Ta có ||Q(t)f (x) − Q(t)f (y)|| ||(Q(t)Sx − Q(t)Sy) + (φ(x) − φ(y))|| Do Q(t)e(t−s)A = Q(t)e(t−s)A Q(s), suy ||Q(t)Sx|| = ||Q(t)SQ(s)x|| Keα(t−s) ||Q(s)x||, Khi đó, ||Q(t)Sx|| α(t−s) e ||Q(s)x|| K tương tự, ta có α(t−s) e ||Q(s)y|| K Mà ||φ(t, s)x − φ(t, s)y|| eµ(t−s) ||x − y||, ∀t s; x, y ∈ Rn , µ > Do α(t−s) ||Q(t)f (x) − Q(t)f (y)|| e ||Q(s)(x − y)|| − eµ(t−s) ||x − y|| K Ta có Q(s) = I − P (s) nên I = Q(s) + P (s) Từ (1), suy ||Q(t)Sy|| eµ(t−s) ||x − y|| = eµ(t−s) (Q(s)||x − y|| + P (s)||x − y||) eµ(t−s) (Q(s)||x − y|| + δQ(s)||x − y||) Với δ đủ nhỏ δ < δo eµ(t−s) ||x − y|| eµ(t−s) (Q(s)||x − y||) Khi α(t−s) ||Q(t)f (x) − Q(t)f (y)|| e − eµ(t−s) ||Q(s)(x − y)||, K 30 (4) CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN tương tự ta có ||P (t)f (x) − P (t)f (y)|| = ||(P (t)Sx − P (t)Sy) + (φ(x) − φ(y))|| Ke−α(t−s) ||P (s)(x − y)|| + eµ(t−s) ||x − y|| δKe−α(t−s) ||Q(s)(x − y)|| + eµ(t−s) ||Q(S)(x − y)||, đó, ||P (t)f (x) − P (t)f (y)|| [δKe−α(t−s) + eµ(t−s) ]||Q(S)(x − y)|| (5) δKe−α(t−s) + eµ(t−s) ||Q(t)f (x) − 1/Keα(t−s) − eµ(t−s) Từ (4) (5), suy ||P (t)f (x) − P (t)f (y)|| Q(t)f (y)|| Từ mệnh đề 3.2.1 mệnh đề 3.2.2 ta thấy với ho > δ < δo /2 (δo e−µho )/2, định nghĩa S h : Oδ → Oδ với < h < ho Ta chọn k ∈ N cho Ke−αk = q < < ho = 2k Do đó, với δ < δo /2 = 1/(2K) < < min{ e−2µk δ(q −1 − q) −2µk , e } 2K 2(1 + δ) Ánh xạ S k : Oδ → Oδ xác đinh công thức gr((S k g)t ) = X(t, t − k)(gr(gt−k )), ∀g ∈ Oδ Bổ đề 3.2.3 Từ giả thiết {X(t, s), t xạ co Oδ s} e(t−s)A , với đủ nhỏ S k ánh Chứng minh Đặt f = X(t, t − k), S = eAk φ = X(t, t − k) − eAk Ta có ||P (t)f (x) − P (t)f (gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x)|| ||P (t)(φ(x) − φ(gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x))|| +||P (t)(S(x) − S(gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x))|| ||P (t)|| eµk ||x − (gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x)|| +||P (t)S(x − (gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x)|| = ||P (t)|| eµk ||P (t − k)x − gt−k (Q(t − k)x)|| +||P (t)S(P (t − k)x − gt−k (Q(t − k)x))|| (do Q(t − k) = I − P (t − k)) sup ||P (t)|| eµk ||P (t − k)x − gt−k (Q(t − k)x)|| t∈R +Ke−αk ||P (t − k)x − gt−k (Q(t − k)x)|| 31 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN = (q + sup ||P (t)|| eµk )||P (t − k)x − gt−k (Q(t − k)x)|| (q = Ke−αk ) (6) t∈R Chú ý (S k g)t (Q(t)Z(t, t − k)x) = P (t)f (gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x) Từ (6) mệnh đề 3.2.2 , ta có ||P (t)X(t, t − k)x − (S k g)t (Q(t)X(t, t − k)x)|| ||P (t)f (x) − (S k g)t (Q(t)X(t, t − k)(gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x))|| +||(S k g)t (Q(t)X(t, t − k)(gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x)) − (S k g)t (Q(t)X(t, t − k)x)|| ||P (t)f (x) − P (t)f (gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x)|| +||P (t)f (gt−k (Q(t − k)x) + Q(t − k)x) − (S k g)t (Q(t)X(t, t − k)x)|| (q + sup ||P (t)|| eµk + δ)||P (t − k)x − gt−k (Q(t − k)x)|| t∈R Trong q + sup ||P (t)|| eµk + δ = q < δ đủ nhỏ t∈R Giả sử h, g ∈ Oδ Ta có ||(S k h)t (Q(t)X(t, t − k)x) − (S k g)t (Q(t)X(t, t − k)x)|| q ||ht−k (Q(t)X(t, t − k)x) − gt−k (Q(t)X(t, t − k)x)|| Với x ∈ Rn t ∈ R Do ∀n ∈ N , ta có sup ||(S k h)t x − (S k g)t x|| q t∈R,||x|| n ||ht (x) − gt (x)|| sup t∈R,||x|| n Vậy S k ánh xạ co Định lý 3.2.4 Theo kết mệnh đề 3.2.2 mệnh đề 3.2.3 , tồn M = {(x, g(x)) ∈ W s ⊕ W u |, x ∈ W u } thỏa mãn điều kiện M gọi đa tạp bất biến khơng ổn định phương trình vi phân x = Ax + f (x) Chứng minh Ta chứng minh M = gr(gt ) bất biến , tức gr(gt ) = X(t, s)gr(gs ), ∀t Ta xét tác động S h Oδ , h 2k với δ s đủ nhỏ, công thức gr(gt ) = X(t, t − h)gr(gt−h ) Trong g = {gt |t ∈ R} ∈ Oδ Theo mệnh đề 3.2.2 , ta chọn δ đủ nhỏ cho δo sup δ < = δ1 (δo = Ke−2αk ) t−s 2k Khi S h : Oδ → Oδ Giả sử δ thỏa mãn < < min{ e−2µk δ(q −1 − q) −2µk , e } 2K 2(1 + δ) 32 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Với ξ ∈ [0, k), ta xét ánh xạ S k+ξ : Oδ → Oδ1 S h : Oθ → Oθ , δ θ δ1 Khi ta có S k+ξ = S ξ S k (: Oδ → Oδ1 ) = S k S ξ (: Oδ → Oδ1 ) Theo mệnh đề 3.2.3 ( S k ánh xạ co) nên S ξ S k g = S ξ g S ξ S k g = S k S ξ g = S ξ g Từ tính điểm bất động S k S ξ g = g , g điểm bất động S k : Oδ → Oδ Vậy gr(gt ) = X(t, s)gr(gs ), ∀t s 33 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.3 Ví dụ Xét phương trình x1 = x1 x2 = −x2 + x21 (I) (3.1) Giải phương trinh vi phân (I) ta x1 (t) x2 (t) = C1 e t x1 (0) x2 (0) ⇒ x0 = Do (3.2) 2t C e + C2 e−t = C1 C + C2 (3.3)  C1 = x10 (3.4) C2 = x20 − x210 Mà x1 (t) x2 (t) = X(t)x0 = x10 et 1 2t x10 e + (x20 − x210 )e−t 3 x10 et = ( e2t e−t − )x + e−t x20 3 10 (3.5) Xét X(t) : R2 → R2 x0 = x10 x20 → X(t)x0 = x10 et ( e2t e−t − )x + e−t x20 3 10 =f Hệ (I)   dx1 dx    dt =  = x1 x1 ⇔ (I) dt dx     dx2 = −x2 + x2  x1 = −x2 + x21 (∗) dt dx1 (3.6) (∗) ⇔ x2 x1 = −x2 + x21 (3.7) ⇔ x2 = − ⇒ x2 = Cho C = ta x2 = x2 + x1 x1 (3.8) x21 C + x1 (3.9) x21 Ta có 34 CHƯƠNG ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN X(t) = (x1 , Ta có f (x1 x2 ) = Mà x2 (x1 et ) = x21 ) x1 e t x2 e e − )x21 + e−t 3 −t 2t ( x21 e2t Vậy f bất biến Cho t → ∞, ta vẽ đồ thị Hình 3.1: 35 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm Chi tiết hóa phần chứng minh đa tạp bất biến phương trình sai phân sách GS.Lan Wen Chi tiết hóa chứng minh đa tạp bất biến phương trình vi phân báo thầy Nguyễn Văn Minh Xây dựng số ví dụ minh họa 36 Tài liệu tham khảo [1] Lan Wen, A short Introduction to Differentiable Dynamical Systems (2007), 17-49 [2] Luis Barreira and Claudia Valls, Ordinary Differential Equations: Qualitative Theory [3] Bernd Aubach and Nguyen Van Minh, Nonlinear semigroups and the existence and stability of solutions of semilinear nonautonomous evolution equations [4] Nguyễn Văn Kh, Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội (2006) 37 ... ĐA TẠP BẤT BIẾN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ TRÌNH SAI PHÂN 2.1 Đa tạp bất biến 2.2 Định lý đa tạp bất biến phương trình sai phân 2.3 Ví dụ ĐA TẠP BẤT... hóa, nhị phân mũ Chương Đa tạp bất biến phép biến đổi đồ thị phương trình sai phân Dựa vào tài liệu [1], tác giả đưa khái niệm đa tạp bất biến Sau đó, định lý đa tạp bất biến phương trình sai phân... lớn v = p 2.2 Định lý đa tạp bất biến phương trình sai phân Đây nội dung chương nói định lý đa tạp bất biến Mục đích phần phép biến đổi đồ thị ta chứng minh tồn đa tạp bất biến phương trình sai