Giao trinh xử lý số tín hiệu

Trong môn học Xử lý số tín hiệu, những nội dung chính được đề cập bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong xử lý số tín hiệu như biến đổi Z, biến đổi Fourier, biến đổi DFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR và cấu trúc bộ lọc. Giáo trình Xử lý số tín hiệu được biên soạn cho đối tượng là sinh viên cao đẳng các ngành Công nghệ kỹ thuật điện, điện tử; công nghệ viễn thông, công nghệ thông tin, công nghệ tự động,… với chủ trương ngắn gọn, nhiều ví dụ, dễ hiểu. Giáo trình được chia thành 5 chương: Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số liên tục. Chương 4: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số rời rạc Chương 5: Thiết kế bộ lọc FIR

BỘ CÔNG THƯƠNG  TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP  Chủ biên: ThS Mạc Văn Biên Thành viên: ThS Phan Quang Thưởng GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU (Giáo trình lưu hành nội bộ)   BẮC GIANG, NĂM 2018     LỜI NÓI ĐẦU Xử  lý  số  tín  hiệu  (DSP:  Digital  Signal  Processing)  nghĩa  là  xử  lý  tín  hiệu  bằng con đường số và là  mơn học đề cập đến các phép xử lý các  dãy  số để có  được  các  thơng  tin  cần  thiết  như  phân tích,  tổng  hợp  mã  hố,  biến  đổi  tín  hiệu  sang dạng mới phù hợp với hệ thống. Đây là ngành khoa học đang phát triển rất  mạnh và được áp dụng rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như: Thơng tin liên lạc,  phát thanh, truyền hình, điều khiển, đo lường, … So với xử lý tín hiệu tương tự,  xử lý tín hiệu số có nhiều ưu điểm như:  - Độ chính xác cao, sao chép trung thực, tin cậy.  - Tính bền vững: khơng chịu ảnh hưởng nhiều của nhiệt độ hay thời gian  - Linh hoạt và mềm dẻo: thay đổi phần mềm có thể thay đổi các tính năng phần  cứng.  -  Thời  gian  thiết  kế  nhanh,  các  chip  DSP  ngày  càng  hồn  thiện  và  có  độ  tích   hợp cao.  Trong  mơn  học  Xử  lý  số  tín  hiệu,  những  nội  dung  chính  được  đề  cập  bao  gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong  xử  lý  số  tín  hiệu  như  biến  đổi  Z,  biến  đổi  Fourier,  biến  đổi  DFT,  các  phương  pháp tổng hợp bộ lọc FIR và cấu trúc bộ lọc. Giáo trình Xử lý số tín hiệu được  biên  soạn  cho  đối  tượng  là  sinh  viên  cao  đẳng  các  ngành  Công  nghệ  kỹ  thuật  điện, điện tử; công nghệ viễn thông, công nghệ thông tin, công nghệ tự động,…  với  chủ  trương  ngắn  gọn,  nhiều  ví  dụ,  dễ  hiểu.  Giáo  trình  được  chia  thành  5  chương:  Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc  Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z  Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số liên tục.  Chương 4: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số rời rạc     Chương 5: Thiết kế bộ lọc FIR     Mặc dù đã rất cố gắng và giáo trình đã được sử dụng để giảng dạy nhiều năm  tại trường Cao đẳng Kỹ thuật Cơng nghiệp nhưng ở lần biên soạn đầu tiên, chắc    chắn khơng tránh khỏi các sơ sót, nhầm lẫn. Chúng tơi rất mong bạn đọc thơng  cảm và đóng góp các ý kiến cho tác giả trong q trình học tập, trao đổi để lần tái  bản sau được hồn thiện hơn.  Giáo  trình  được  Hiệu  trưởng  phê  duyệt  làm  tài  liệu  chính  thức  dùng   cho giảng dạy, học tập mơn học Xử lý số tín hiệu ở trường Cao đẳng Kỹ thuật  Cơng nghiệp  Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:  - Mạc Văn Biên, Phan Quang Thưởng - Giảng viên khoa Điện tử - Tin học,  Cao Đẳng Kỹ thuật Cơng nghiệp, số 202 Trần Ngun Hãn, TP. Bắc Giang, Bắc  Giang.  -  Văn phòng  khoa  Điện  tử  -  Tin  học,  tầng  5,  tòa  nhà  đa  năng,  số  202  Trần  Nguyên Hãn, TP. Bắc Giang, Bắc Giang.  - Thư viện Cao Đẳng Kỹ thuật Công nghiệp, số 202 Trần Nguyên Hãn, TP.  Bắc Giang, Bắc Giang.    TÁC GIẢ      MỤC LỤC   Lời nói đầu 3  Chương TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC   1.1 Các định nghĩa hệ thống xử lý tín hiệu 9  1.1.1. Khái niệm về tín hiệu  9  1.1.2. Phân loại tín hiệu  10  1.1.3. Các hệ thống xử lý tín hiệu  12  1.2 Tín hiệu rời rạc 13  1.2.1. Các cách biểu diễn tín hiệu rời rạc  13  1.2.2. Các dãy số cơ bản  15  1.2.3. Một số định nghĩa  20  1.3 Các hệ thống tuyến tính bất biến 24 1.3.1. Các hệ thống tuyến tính  24  1.3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến  26  1.3.3. Các hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả  36  1.3.4. Các hệ thống tuyến tính bất biến và ổn định  40  1.4 Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số 42  1.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính  42  1.4.2. Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng  44  1.4.3. Các hệ thống khơng đệ quy và đệ quy  50  1.4.4. Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến  55  CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1  Chương BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 Biến đổi Z 2.1.1. Mở đầu    59    63  63  2.1.2. Biến đổi Z hai phía và biến đổi Z một phía  64  2.1.3. Sự tồn tại của biến đổi Z  67  2.2 Biến đổi Z ngược (IZT - Inverse Z Transisform) 2.2.1. Cực và không  71  2.2.2. Biến đổi Z ngược (IZT)  73  2.3 Các tính chất biến đổi Z 81  2.3.1. Tính chất tuyến tính  81  2.3.2. Tính chất trễ  82  2.3.3. Tính chất nhân với dãy hàm mũ  83  2.3.4. Tính chất đạo hàm của biến đổi Z  84  2.3.5. Tính chất tích chập của hai dãy  84  2.3.6. Dãy liên hợp phức  86    2.3.7. Định lý giá trị đầu  87  2.3.8. Tích của hai dãy  88  2.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc miền Z 88  2.4.1. Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc  88  2.4.2. Phân tích hệ thống trong miền Z  91  2.4.3. Giải phương trình sai phân dùng biến đổi Z một phía  95  2.4.4. Sự ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến    96  CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2  CHƯƠNG BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc   71  100    104  3.1.1. Đặt vấn đề    104  3.1.2. Định nghĩa biến đổi Fourier(FT)    104  3.1.3. Sự tồn tại của biến đổi Fourier  107  3.1.4.Biến đổi Fourier ngược (IFT: Inverse Fourier Transform)  107  108  3.2 Các tính chất FT 3.2.1.Tính chất tuyến tính  108  3.2.2. Tính chất trễ  109  3.2.3. Vi phân trong  miền tần số    109  3.2.4. Trễ tần số:  109  3.2.5. Tích chập của hai dãy  110  3.2.6. Tích của hai dãy:  110  3.3 So sánh biến đổi Fourier biến đổi Z 110  3.3.1. So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z  110  3.3.2. Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục  111  111  3.4 Các lọc số lý tưởng 3.4.1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng  111  3.4.2. Bộ lọc thông cao lý tưởng  114  3.4.3. Bộ lọc thông dải lý tưởng    115  3.4.4. Bộ lọc chắn dải lý tưởng  117  3.4.5. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế  118  CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3  Chương BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 Biến đổi Fourier rời rạc với tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N 119    122  4.1.1. Đặt vấn đề    122  4.1.2. Các định nghĩa  123  4.1.3. Các tính chất cơ bản của DFT với dãy tuần hồn có chu kỳ N  128  4.2 Biến đổi Fourier rời rạc với dãy khơng tuần hồn có chiều dài hữu hạn 131    4.2.1. Tổng quan    131  4.2.2. Các định nghĩa  133  4.2.3. Các tính chất cơ bản của DFT đối với các dãy có chiều dài  hữu hạn  CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4  Chương TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN 134  140    142  5.1 Tổng quan 5.1.1. Đặt vấn đề  142  5.1.2. Các tính chất bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR)  142  5.1.3. Các bước tổng hợp bộ lọc số FIR    143  5.2 Các đặc trưng lọc FIR pha tuyến tính 143  5.2.1.Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha)  143  5.2.2. Bộ lọc pha FIR tuyến tính  144  5.3 Đáp ứng tần số lọc FIR pha tuyến tính 150  5.3.1. Trường hợp đáp ứng xung đối xứng, N lẻ (bộ lọc FIR loại 1)  150  5.3.2. Trường hợp đáp ứng xung đối xứng, N chẵn (bộ lọc FIR loại 2)    152  5.3.3.Trường hợp đáp ứng xung phản đối xứng, N lẻ (bộ lọc FIR loại 3)  154  5.3.4. Trường hợp đáp ứng xung phản đối xứng, N chẵn (bộ lọc FIR  loại 4)  157  5.4 Phương pháp tổng hợp lọc số FIR pha tuyến tính 5.4.1. Giới thiệu chung  5.4.2. Phương pháp cửa sổ  159  159    159  CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 5  169  PHỤ LỤC    172  TÀI LIỆU THAM KHẢO  176      Chương TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU 1.1.1 Khái niệm tín hiệu Về mặt vật lý: Tín hiệu là dạng biểu diễn vật lý của thơng tin.  Ví dụ:   - Các tín hiệu âm thanh nghe thấy là do sự nén giãn áp suất  khơng khí đưa  đến tai chúng ta: Tín hiệu còi xe, tín hiệu âm thanh phát ra từ loa truyền thanh    - Các tín hiệu ánh sáng nhìn thấy là do sóng ánh sáng truyền tải thơng tin về  màu sắc, hình khối đến mắt chúng ta: Ánh sáng mặt trời, mặt trăng, tín hiệu đèn  xanh, đèn đỏ, đèn vàng    Về mặt tốn học: Tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến  số độc lập.  Ví dụ: Ta có tín hiệu âm thanh được biểu diễn như sau:    Hình 1.1 Biểu diễn tín hiệu âm Trong đó: x(t) là hàm một biến số độc lập và biến số này phụ thuộc vào thời  gian  t.  Vì  là  hàm  một  biến  nên  ta  gọi  tín  hiệu  này  là  tín  hiệu  có  tính  chất  một  chiều.  Trong xử lý số ta chỉ xét ảnh tĩnh; Một điểm ảnh đặc trưng bởi một cường độ  sáng phụ thuộc vào hai biến số x và y: ia(x,y), x và y biểu diễn hệ tọa độ trong  mặt phẳng ảnh, như vậy ia(x,y) có tính chất hai chiều và được biểu diễn như sau:      Hình 1.2 Biểu diễn tín hiệu hình ảnh Trong xử lý số tín hiệu chúng ta chỉ tập chung nghiên cứu đối với các tín hiệu  là hàm của một biến độc lập, cụ thể ở chương này chúng ta đề cập đến vấn đề biểu  diễn tín hiệu và hệ thống trong miền biến số độc lập n (trong miền thời gian rời rạc  – miền n).  1.1.2 Phân loại tín hiệu Các tín hiệu trên thực tế được chia thành hai nhóm lớn là tín hiệu liên tục và  tín hiệu rời rạc và được thể hiện trên hình sau:    Tín hiệu      Tín hiệu liên tục  Tín hiệu   tương tự  Tín hiệu rời rạc  Tín hiệu lượng   tử hóa  Tín hiệu   lấy mẫu  Tín hiệu   số  Hình 1.3 Phân loại tín hiệu a) Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của sự biểu diễn tốn học  của một tín hiệu là liên tục, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục.  Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu liên tục thì từ liên tục ở đây được hiểu   là  liên  tục  theo  biến  số.  Giả  sử  biến  số  là  thời  gian  thì  tín  hiệu  liên  tục  theo  thời gian.    10 1, wR  n  N   0,  n  N 1 n  0, N 1 (5.19)     Đồ thị cửa sổ chữ nhật được biểu diễn như hình 5.18    Hình 5.18 Như vậy ta thấy rằng cửa sổ chữ nhật chính là dãy chữ nhật rectN  (n), cửa sổ  này sẽ dùng để hạn chế chiều dài của h(n) lý tưởng có pha tuyến tính. Khi đó ta  có:  h d  n   h(n ).w R  n  N   Tức là:   h( n), hd  n    0,  n  N 1 n   0, N  1 (5.20)   Trong miền tần số:   WR (e j )=FT  w R  n  N     w n R n  e  jn  N e  jn n  N sin N 1  j  e  jN   e   e  j sin   Vậy:  N ; A R (e )=  sin sin j      N 1   vµ: WR (e j )=A R (e j ).e j    vì  A R (e j ) có dạng   nên biến đổi tiếp  A R (e j )  ta được:    162 N N sin sin  2 N N N A R (e j )=  N   sin sin  2   2 (5.21)   A R (e j ) được biểu diễn như hình 5.19    Hình 5.19 WR (e j )  được biểu diễn như hình 5.20    Hình 5.20 Nhận xét: Đối với cửa sổ chữ nhật thì: j - WR (e )  gọi là cửa sổ phổ.  4 - R  - Bề rộng của đỉnh trung tâm: R    N -  R - Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm:    R  20lg WR (e js ) WR (e j0 ) (dB)  13dB   s là tần số giữa đỉnh thứ cấp đầu tiên của cửa sổ phổ  WR (e j )     163 Ví dụ 5.9: Hãy thiết kế bộ lọc số thơng thấp FIR pha tuyến tính dùng phương   pháp cửa sổ chữ nhật:  c  ; N    Bài giải:  Với bộ lọc thơng thấp pha 0  ()   có:  h(n)  c sin c n  và tâm đối xứng   c n tại  n    Bộ  lọc  số  thơng thấp  FIR có  pha tuyến  tính  ()   dịch chuyển h(n) sang phải  N 1  ,  do  vậy  ta  phải  N 1  mẫu:  N 1   sin c  n   N 1     và tâm đối xứng tại  n    h(n)  c N 1    c  n     Thay  c   ; sin N   ta được:  h(n)    n  3    n 3   Thực  hiện  nhân  h(n)  với  cửa  sổ  chữ  nhật  với  N  để  thu  được  hd(n)  như  hình 5.21:    Hình 5.21 Xác định hd(n) ví dụ   164 hd(n) đối xứng tại n =3 nên có các giá trị như sau:   hd  6 3 h d 1   h d  5 h d  0    h d  4  h d  3  hd  2    Hàm truyền đạt của bộ lọc:  H d  Z    h d  n  Z  n   n 0 Hay:    y(n)   1  3 4 6  Z  Z  Z  Z   3   3 1 1 x(n)  x(n  2)  x(n  3)  x(n  4)  x(n  6)   3   3 Kết quả được sơ đồ bộ lọc FIR có pha tuyến tính như hình 5.22    Hình 5.22 Bộ lọc FIR pha tuyến tính cho ví dụ 5.9 5.4.2.2 Cửa sổ tam giác (hay cửa sổ BARTLERT) Định nghĩa: Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:   165 w T  n N 2n   N 1 ,  2n   2  , N 1   0,   0n N 1 N 1  n  N 1 n   0, N  1 (5.22)   Đồ thị của cửa sổ tam giác với N = 9 như hình 5.23.  w T  n 9  n  4,  n    2 ,  0,   0n4 4n8   n   0,8 Trong miền tần số:  WT  n  N  rect N 1 (n)  rect N 1 (n  1)   N 1 2  WR  n  N1 (n)  WR  n  1 N1   N 1 2 WT  e j   N WR  e j  N 1 e j WT  e j  N 1   N 1 2 WT  e j  N 1 mà:    WT  e j    166 N   N 1      1    sin   N 1 1     j      e    sin           N 1        sin   N 1 1     j 2     e    N 1 sin         (5.21)   WT  e j   AT  e j  e j    N N Vậy:     N 1        sin         A T  e j   N   N 1  sin         N 1       2 (5.22)     Ví dụ 5.10: Hãy thiết kế bộ lọc số thơng cao FIR pha tuyến tính dùng phương   pháp cửa sổ tam giác:  c  ; N    Bài giải:  Với bộ lọc thơng cao pha 0  ()   có:  h(n)  (n)  c sin c n  và tâm đối   c n xứng tại  n    Bộ  lọc  số  thơng  cao  FIR  có  pha  tuyến  tính  ()   dịch chuyển h(n) sang phải  N 1  ,  do  vậy  ta  phải  N 1  mẫu:  N 1   sin c  n   N 1 N   c    h(n)    n    và tâm đối xứng tại  n     N 1      c  n     Thay  c   ; sin N   ta được:  h(n)    n  3    n  3    n 3   Sau đó thực hiện nhân h(n) với cửa sổ tam giác với  N  để thu được hd(n)  như hình 5.24:    167   Hình 5.24 Xác định hd(n) ví dụ 5.10 Hàm truyền đạt của bộ lọc:  H d  Z    h d  n  Z  n   n 0 Hay:    y(n)   2 3 4 Z  Z  Z   3 3 2 x(n  2)  x(n  3)  x(n  4)   3 3 Kết quả được sơ đồ bộ lọc FIR có pha tuyến tính như hình 5.25    Hình 5.25 Bộ lọc FIR pha tuyến tính cho ví dụ 5.10   168   CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 5.1: Cho bộ lọc FIR loại 1 với N=9 có đáp ứng xung h(n) được xác định:  h  0  1, h 1  2, h    3, h  3  4, h      Tìm α và vẽ đáp ứng xung h(n)?  Bài 5.2: Cho bộ lọc FIR loại 2 với N=8 có đáp ứng xung h(n) được xác định:   h  0  1, h 1  2, h  2  3, h  3    Tìm α và vẽ đáp ứng xung h(n)?  Bài 5.3: Cho bộ lọc FIR loại 3 với N=9 có đáp ứng xung h(n) được xác định:  h  0  1, h 1  2, h  2  3, h  3    Tìm α và vẽ đáp ứng xung h(n)?  Bài 5.4: Cho bộ lọc FIR loại 4 với N=8 có đáp ứng xung h(n) được xác định:  h  0  1, h 1  2, h  2  3, h  3    Tìm α và vẽ đáp ứng xung h(n)?  Bài 5.5: Hãy  thiết  kế  bộ  lọc  số  FIR  thông  cao  pha tuyến  tính, dùng  cửa  sổ   Barlett với:  N  9, c    Bài 5.6:  Hãy  thiết  kế  bộ  lọc  số  FIR  thơng  cao  pha tuyến  tính, dùng  cửa  sổ   chữ nhật với:  N  9, c    Bài 5.7: Hãy thiết kế bộ lọc số FIR thơng dải pha tuyến tính, dùng cửa sổ chữ    nhật với:  N  9, c1  , c2    Bài 5.8: Hãy thiết kế bộ lọc số FIR chắn dải pha tuyến tính, dùng cửa sổ tam    giác Barlett với:  N  9, c1  , c2    Bài 5.9: Chất lượng cửa sổ sẽ tốt khi nào:    169 a) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω hẹp và tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất  trên biên độ đỉnh trung tâm:    20 lg W (e js ) W (e j0 )  phải nhỏ.   b) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω lớn và tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất  trên biên độ đỉnh trung tâm:    20 lg W (e js ) W (e j0 )  phải nhỏ.  c) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω lớn và tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất  trên biên độ đỉnh trung tâm:    20 lg W (e js ) W (e j0 )  lớn.  d) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω hẹp và tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất  trên biên độ đỉnh trung tâm:    20 lg W (e js ) W (e j0 )  lớn.  Bài 5.10:  Khi thiết kế bộ lọc số FIR pha tuyến tính thực chất là chúng ta xác  định:  a) Các hệ số của bộ lọc   b) Loại cấu trúc bộ lọc  c) Chiều dài của bộ lọc   d) Đặc tính pha của bộ lọc  Bài 5.11: Khi thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ, nếu bộ lọc chưa  đáp ứng được các chỉ tiêu kỹ thuật thì ta phải:  a) Thay đổi loại cửa sổ   b) Tăng chiều dài của cửa sổ  c) Dùng cả phương pháp a) và b)  d) Thay cấu trúc bộ lọc  Bài 5.12: Khi thiết kế, nếu ta tăng chiều dài N của cửa sổ, ta thấy:  a) Độ gợn sóng ở cả dải thơng và dải chắn tăng theo.  b) Độ gợn sóng ở cả dải thơng và dải chắn giảm đi.  c) Tần số giới hạn dải thơng ωp và tần số giới hạn chắnωs gần nhau hơn.    170 d) Tần số giới hạn dải thơng ωp và tần số giới hạn chắnωs xa nhau hơn.  Bài 5.13: Hãy chứng minh biểu thức sau:  N21  N 1  j j  H(e )   a(n) cos  n  e  n 0    là đáp ứng tần số của bộ lọc FIR loại 1 Bài 5.14: Hãy chứng minh biểu thức sau:   N2        j N21 j  H(e )   b(n) cos   n    e    n 0       là đáp ứng tần số của bộ lọc FIR loại 2 Bài 5.15: Hãy chứng minh biểu thức sau:   N21   j    N 1    j  H(e )   c( n ) sin  n  e  2     n 0    là đáp ứng tần số của bộ lọc FIR loại 3 Bài 5.16: Hãy chứng minh biểu thức sau:   N2    N 1        j    j    H(e )   d( n ) sin   n    e  n0       là đáp ứng tần số của bộ lọc FIR loại 4   171 PHỤ LỤC Các cơng thức tính tổng thường dùng n S  1  n  k 0 n2 S    n  n1  n1 n S  k   n  1 n k 0 n S   k2   2n  1 n  1 n k 0 n2 S k k  n1 n  n  1 n1  n1  1  2  S   xk  x  k 0  S   xk  k 0 1 x  S  xk  k  n 1 n S   xk  k 0 n2 x n 1 1 x  x n 1 1 x  S héi tô nÕu x