Thay Loi seminar3-2.
độ đo, chiều hausdorff và metric entropyĐể mở rộng độ đo Lebesgue cho các tập ‘α - chiều’ của Rnvới α ≤ n, năm1918 Hausdorff đã đưa ra khái niệm độ đo α - chiều, và số chiều Hausdorff (cóthể không nguyên) cho các tập trong không gian Rn.Một cách tiếp cận khác về độ đo (chẳng hạn theo hướng xấp xỉ) là khái niệmentropy hay metric entropy được Kolmogorov đưa ra vào 1930.Bài này tóm tắt một số kết quả cơ bản của độ đo và số chiều Hausdorff và liênhệ nó với metric entropy.Nội dung.1. Độ đo Hausdorff.2. Chiều Hausdorff.3. Các ví dụ.4. Entropy và chiều entropy.Tham khảo.Falconer K.J, Fractal Geometry, Wiley (2003)Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)Kolmogorov A.N, Tihomirov V.M, -entropy and -capacity of sets in fuctionalspace, Amer. Math. Soc. Transl. 17 (1961), 277-364.Simon L, Lectures on geometric measure theory, Proc. Centre Math. Anal.Austral. Nat. Univ. 3 (1983)1. Độ đo Hausdorff.Cho A là tập con trong Rnvà α ≥ 0.Với mỗi > 0, họ các - phủ A được ký hiệu làC(, A) = {(Ui)i∈N: A ⊂i∈NUivà diam (Ui) ≤ }ĐặtHα(A) = c(α) inf{idiam (Ui)α: (Ui)i∈N∈ C(, A)}trong đó c(α) =Γ(12)α2αΓ(α2+ 1). Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,có đường kính là 1.60 Khi giảm về 0, thì họ phủ C(, A) tăng, nên inf của vế phải giảm. Từ đó cóthể định nghĩa độ đo Hausdorff chiều α của A làHα(A) = lim→0Hα(A)Mệnh đề. Hαlà một độ đo trên Rnmà mọi tập Borel là Hα- đo được.Chứng minh: Rõ ràng Hα(∅) = 0, và nếu (Ai) là họ đếm được các tập concủa Rnthì Hα(iAi) ≤iHα(Ai). Theo tiêu chuẩn Caratheodory, để chứngminh các tập Borel là Hα- đo được, ta cần chứng minh(C) Hα(A ∪ B) = Hα(A) + Hα(B), khi d(A, B) > 0Dễ thấy Hα(A ∪ B) = Hα(A) + Hα(B), khi d(A, B) > 2. Cho → 0, ta cótiêu chuẩn (C). Mệnh đề. Độ đo Hausdorff chiều n trùng với độ đo Lebesgue Lntrong Rn.Cụ thểHn(A) = Hn(A)= Ln(A) với mọi A ⊂ Rnvà > 0Chứng minh: (A. Sard 1943).Ln(A) ≤ Hn(A): Nếu A ⊂ ∪iUi, thì Ln(A) ≤iLn(Ui) ≤ic(n)(diam Ui)n.Vậy Ln(A) ≤ Hn(A), ∀ > 0. Suy ra Ln(A) ≤ Hn(A)Ln(A) ≥ Hn(A): Với mọi > 0, δ > 0, tồn tại họ hình cầu (Bi) ∈ C(, A) saochoiLn(Bi) =ic(n)(diam Bi)n≤ Ln(A) + δVậy Hn(A) ≤ Ln(A) + δ. Suy ra Hn(A) ≤ Ln(A) và Hn(A) ≤ Ln(A). Định lý (Area Formular). Cho f : Rm→ Rnlà ánh xạ Lipschitz với m ≤ m.Gọi Jmf(x) =det(tDf(x)Df(x)). Khi đó(i) Nếu A là tập Lm- đo được, thìAJmf(x)dLmx =RnH0(f−1(y) ∩ A)dHmy(ii) Nếu u là hàm Lm- khả tích, thìRmu(x)Jmf(x)dLmx =Rnx∈f−1(y)u(x)Hmy61 Chứng minh: Xem trong Federer hay Simon. Nhận xét. Khi f|Alà đơn ánh, thì công thức trên choAJmf(x)dLmx = Hm(f(A))Vậy H0(A) là số điểm của A, H1(A) là độ dài đường cong trơn A, H2(A) làdiện tích mặt cong trơn A. Tổng quát, nếu A là đa tạp con m chiều trong Rn,thì Hm(A) chính là thể tích m- chiều (sinh bởi metric Rieman cảm sinh từ Rnlên A) của A.Một số tính chất của độ đo Hausdorff.(i) Cho f : A → Rnlà ánh xạ H¨older, i.e. tồn tại L, p > 0 sao chof(x) − f (y) ≤ Lx − yp(x, y ∈ A)Khi đó Hα/p(f(A)) ≤c(α/p)c(α)Lα/pHα(A).Đặc biệt, khi f là ánh xạ Lipschitz, i.e. p = 1, thì Hα(f(A)) ≤ LαHα(A).(ii) Khi S là phép đồng dạng tỉ số λ > 0, thì Hα(S(A)) = λαHα(A)(iii) Độ đo Hausdorff là bất biến qua phép đẳng cự, và vì vậy qua phép tịnhtiến.Chứng minh: Nếu (Ui) là một họ - phủ A, thì từ tính chất H¨older ta códiam f(A ∩ Ui) ≤ Ldiam (A ∩ Ui)p. Vậy họ (f(A ∩ Ui)) là một Lp- phủ f(A).Vậyidiam (f(A ∩ Ui))α/p≤ Lα/pidiam (Ui)α.Suy ra Hα/pLp(f(A)) ≤c(α/p)c(α)Lα/pHα(A). Cho → 0, ta có (i).Để chứng minh (ii), áp dụng (i) cho S và S−1, ta cóλαHα(A) ≤ Hα(S(A)) ≤ λαHα(A)Do phép đẳng cự là Lipschitz với L = 1 và song ánh nên (iii) suy từ (i) Độ đo Hausdorff cầu. Nếu trong định nghĩa trên, ta thay họ phủ bất kỳbởi họ phủ là hình cầuC(, A) = {(Bi)i∈N: A ⊂i∈NBivà Bilà hình cầu có bán kính ≤ }thì với các xây dựng tương tự ta có độ đo Hausdorff cầu chiều α, ký hiệu Sα.Do mỗi họ các cầu - phủ A là - phủ A, và mọi -phủ A đều chứa trong một62 họ các cầu 2-phủ A, nên ta cóHα≤ Sα≤ 2αHαFederer (1969) đã chứng minh khi m ∈ N và A ⊂ Rnlà (Hm, m) rectifiable,thì Sm(A) = Hm(A).2. Chiều Hausdorff.Cố định A ⊂ Rn. Nếu 0 ≤ r < s, thì với mọi 0 < < 1 và (Ui)i∈N∈ C(, A),ta cóidiam (Ui)s=idiam (Ui)r+(s−r)≤ s−ridiam (Ui)rCho → 0, ta thấy nếu Hr(A) = ∞, thì Hs(A) = 0; nếu Hs(A) = 0, thìHr(A) = ∞. Từ đó định nghĩa số chiều Hausdorff của A:dimHA = inf{α : Hα(A) = 0} = sup{α : Hα(A) = ∞}Ta cóHα(A) =∞ nếu 0 ≤ α < dimHA0 nếu α > dimHAKhi α = dimHA, Hα(A) có thể 0 hay ∞.Nhận xét. Do bất đẳng thức Hα≤ Sα≤ 2αHα, nên số chiều Hausdorff và sốchiều Hausdorff cầu (với định nghĩa tương tự) là trùng nhau.Mệnh đề. Chiều Hausdorff thoả các tính chất sau:(i) Nếu A ⊂ B, thì dimHA ≤ dimHB.(ii) dimH∞i=0Ai= sup0≤i≤∞dimHAi(iii) Nếu A là đa tạp m chiều, thì dimHA. = m.Chứng minh: (i) là rõ ràng.Do (i) ta có dimH∪iAi≥ dimHAi. Mặt khác, nếu s > dimH(Ai) với mọi i, thìHs(Ai) = 0, vậy Hs(∪iAi) = 0, từ đó có bất đẳng thức ngược lại. Ta có (ii).(iii) suy từ Area Formular. Mệnh đề.(i) Nếu f : A → Rnthoả điều kiện H¨older: f(x) − f(y) ≤ Lx − yp,thì dimHf(A) ≤1pdimHA.Đặc biệt, nếu f là ánh xạ Lipschitz, thì dimHf(A) ≤ dimHA.(ii) Nếu f : A → Rmlà bi-Lipschitz, i.e. tồn tại L1, L2> 0 sao choL1x − y ≤ f(x) − f(y) ≤ L2x − y (x, y ∈ A)63 thì dimHf(A) = dimHA (Tính bất biến qua biến đổi bi-Lipschitz)Chứng minh: Nếu s > dimHA, thì theo tính chất của độ đo Hausdorff, ta cóHs/p(f(A)) ≤ Ls/pHs(A) = 0. Suy ra dimHf(A) ≤ s/p với mọi s > dimHA.Vậy ta có (i). Từ (i) , với p = 1 và f song ánh, suy ra (ii). Nhận xét. Chiều Hausdorff phụ thuộc vào metric, không bất biến qua đồngphôi (xem các ví dụ trong Falconer).3. Các ví dụ.Ví dụ 1. Do H0({a}) = 0, nên số chiều Hausdorff của tập đếm được là 0và độ đo Hausdorff chiều α > 0 là 0.Ví dụ 2. Cho A là đĩa phẳng, bán kính đơn vị trong R3. Khi đó H1(A) =độ dài(A) = 0, 0 < H2(A) = (4/π)× diện tích(A) < ∞, và H3(A) = thểtích(A) = 0. Vậy dimHA = 1, và Hs(A) = ∞ nếu s < 2, Hs(A) = 0 nếu s > 2.Ví dụ 3. Một tập A ⊂ Rncó dimHA < 1 là hoàn toàn gián đoạn, i.e.hai điểm khác nhau của A thuộc vào hai thành phần liên thông khác nhau.Chứng minh: Cho x, y ∈ A khác nhau. Xét f : Rn→ R, f(z) = |z − x|. Do|f(z)−f(w)| ≤ |z−w|, nên theo tính chất Lipschitz dimHf(A) ≤ dimHA < 1.Vậy f(A) là tập trong R có độ đo Hausdorff 1- chiều bằng không, vậy có phầnbù là trù mật. Chọn r ∈ f(A) và 0 < r < f(y). Khi đó x ∈ {z ∈ A : |z−x| < r}còn y ∈ {z ∈ A : |z − x| > r}, vậy x, y thuộc hai thành phần liên thông khácnhau của A. Ví dụ 4. Cho A ⊂ [0, 1] là tập Cantor (bỏ đi một phần ba giữa). Khi đós = dimHA =ln 2ln 3và12≤ Hs(A) ≤ 1.Tính toán heuristic: Phân A thành một phần trái AL= A ∩ [0,13] và phầnphải AR= A ∩ [13, 1]. Cả hai phần là đồng dạng với A tỉ lệ13, và A = AL∪ ARlà hợp rời. Vậy với mọi α ≥ 0Hα(A) = Hα(AL) + Hα(AR) = (13)αHα(A) + (13)αHα(A)Giả sử tại s = dimHA, ta có 0 < Hs(A) < ∞ (giả thiết này là khá lớn!). Vớiα = s, chia cho Hs(A) ở đẳng thức trên, ta có 1 = 2(13)s. Vậy s =ln 2ln 3.Tính chính xác: A∞k=0Ek, trong đó Eklà các đoạn xây dựng tập Cantor Aở bước k: E0= [0, 1], Eklập từ Ek−1bằng cách bỏ đi một phần ba phần giửamỗi đoạn của Ek−1. Vậy Ekchứa đúng 2kđoạn có độ dài 3−k.64 Lấy các đoạn của Eknhư là một 3−k-phủ của A, ta có Hs3−k(A) ≤ 2k3−ks= 1nếu s =ln 2ln 3. Cho k → ∞ ta có Hs(A) ≤ 1.Để chứng minh Hs(A) ≥12, ta chứng minh(∗)i|Ui|s≥12= 3−svới mọi (Ui) phủ A. Do tính copact của A, ta chỉ cần chứng minh bất đẳngthức với (Ui) là họ hữu hạn và mỗi Uilà đoạn. Với mỗi i gọi k, là số nguyên:3−(k+1)≤ |Ui| < 3−k. Khi đó Uigiao với nhiều nhất là một đoạn trong Ek, vìkhoảng cách giưa các đoạn đó ≥ 3−k. Nếu j ≥ k, thì theo cách xây dựng Uigiao với nhiều nhất 2j−k= 2j3−sk ≤ 2j3s|Ui|sđoạn trong Ej. Chọn j đủ lớnsao cho 3−(j+1)≤ |Ui| với mọi i. Do (Ui) giao với mọi 2jđoạn cơ sở có độ dài3−j, đếm số đoạn cho ta 2j≤2j3s|Ui|s. Từ đó suy ra (∗) Nhận xét. Có các ví dụ chứng tỏ với mọi α ∈ [0, n], đều tồn tại A ⊂ Rncó số chiều Hausdorff là α (xem các ví dụ trong Falconer).4. Entropy và chiều entropy.Một cách tiếp cận khác về độ đo (chẳng hạn theo hướng xấp xỉ) người tamuốn ‘đo ở mức độ ’, nghĩa là đo một tập mà không để ý đến những phầnbất thường có kích thước bé hơn , rồi xét xem độ đo này biến thiên thế nàokhi → 0. Nếu độ đo ở mức của tập A có xấp xỉ M(, A) ∼ c1s, thì cóthể nói A có ‘chiều s’, và c xem như độ đo s-chiều của A. Lấy logarithm ta cólog M(, A) ∼ s log1+ log c và s = lim→0log M(, A)log(1/)Công thức trên gợi ý cho tính toán hay thực nghiệm, vì s có thể ước lượngnhư là âm của đạo hàm của đồ thị log M(, A) theo log .Một trong những cách ước lượng và số chiều như vậy là khái niệm entropy haymetric entropy được Kolmogorov đưa ra vào 1930.Định nghĩa. Với A là tập con của Rnvà > 0, ký hiệu M(, A) là mincủa số hình cầu đóng bán kính ≤ , phủ A.log2(M(, A)) gọi là -entropy của A, nó phản ánh lượng thông tin cần thiếtđể ghi nhớ A bằng số với độ chính xác (Kolmogorov và Tihomirov 1961).Mệnh đề. Cho > 0. Khi đó(i) Nếu A ⊂ B, thì M(, A) ≤ M(, B).65 (ii) M(, A ∪ B) ≤ M (, A) + M(, B), và dấu bằng xảy ra khi d(A, B) > 2.(iii) Nếu 0 < 2≤ 2, thì M(1, A) ≥ M(2, A).(iv) M(, A) = M(, A).(v) Nếu f : A → Rnthoả điều kiện H¨older: f (x) − f(y) ≤ Lx − yp, thìM(Lp, f(A)) ≤ M(, A).Đặc biệt, khi f là ánh xạ Lipschitz, i.e. p = 1, thì M(L, (f(A)) ≤ M(, A).Chứng minh: Dễ dàng suy từ định nghĩa. Chiều entropy. Để xét tốc độ tăng của M(, A) khi → 0, người ta sosánh với 1/. Số chiều entropy của A, được ký hiệu và định nghĩa làdimeA = lim sup→0log(M(, A))log(1/)= inf{δ : M(, A) ≤ (1/)δ, khi đủ bé }Các định nghĩa tương tự. Có thể thay định nghĩa M(, A) là:(1) min của số tập bán kính ≤ phủ A.(2) min của số hộp bán kính ≤ phủ A.(3) số hộp của -lưới giao với A.(4) max của số hình cầu rời nhau có tâm thuộc A bán kính .Danh sách trên có thể kéo dài thêm, tùy theo mục đích và sự thuận lợi trongthực hành. Dễ thấy tuy giá trị M(, A) có thể khác nhau tùy theo cách chọnđịnh nghĩa, nhưng chúng có chung số chiều lim sup→0log(M(, A))log(1/)Tính chất của chiều entropy.(i) Nếu A ⊂ B, thì dimeA ≤ dimeB.(ii) dimeA ∪ B = max(dimeA, dimeB)(iii) Nếu A là đa tạp m chiều, thì dimHA. = m.(iv) Chiều entropy là bất biến qua biến đổi bi-Lipschitz.(v) dimHA ≤ dimeAChứng minh: (i) (ii) (ii) (iv) được chứng minh tương tự như chiều Hausdorff.Nếu A có thể phủ bởi M(, A) hình cầu bán kính , thì theo định nghĩaHα(A) ≤ M(, A)(2)α. Nếu 1 < Hα(A) = lim→0Hα(A), thì log M(, A) +α log > 0 khi đủ bé. Vậy α ≤ lim sup→0log(M(, A))log(1/). Suy ra (v). Nhận xét. Chiều entropy có những ưu và khuyết điểm. Xét các ví dụ sau:(1) Chiều entropy không có tính ổn định đếm được: Nếu A trù mật trongRn, thì dimeA = dime¯A = n.66 (2) Cho A = {0, 1,12,13, · · · }. Khi đó dimHA = 0, nhưng dimeA =12.Chứng minh: Cho 0 < <12và gọi k là số nguyên: 1/k(k+1) ≤ 2 < 1/k(k−1).Nếu diam U ≤ 2, thì U chỉ có thể phủ nhiều nhất một điểm của {1,12, · · · ,1k},vì 1(k − 1) − 1/k = 1/(k − 1)k > 2. Vậy số khoảng có đường kính 2 phủ Aít nhất là k, i.e. M(, A) ≥ k. Suy ralog(M(, A))log(1/)≥log klog k(k + 1). Cho → 0(vậy k → ∞) ta có dimeA ≥12.Mặt khác, k + 1 khoảng độ dài 2 phủ [0, 1/k] còn k − 1 điểm còn lại của Acó thể phủ bởi k − 1 khoảng khác. Vậy M(, A) ≤ 2k. Suy ralog(M(, A))log(1/)≤log 2klog k(k − 1). Suy ra dimeA ≤12. Tạ Lê LợiĐà lạt tháng 3 năm 200867 . ánh nên (iii) suy từ (i) Độ đo Hausdorff cầu. Nếu trong định nghĩa trên, ta thay họ phủ bất kỳbởi họ phủ là hình cầuC(, A) = {(Bi)i∈N: A ⊂i∈NBivà Bilà. A))log(1/)= inf{δ : M(, A) ≤ (1/)δ, khi đủ bé }Các định nghĩa tương tự. Có thể thay định nghĩa M(, A) là:(1) min của số tập bán kính ≤ phủ A.(2) min của