Seminar3-Semidaisodinhluong-4
lý thuyết tập semi-đại số định lượngNội dung:1. Diagram của tập semi-đại số.2. Số thành phần liên thông của tập semi-đại số.3. Volume của tập semi-đại số.4. Định lý Sard định lượng.Tài liệu.[1] J.Milnor, On the Betti numbers of real varieties, Proc.AMS 152, 1964, 275-280, Springer-Verlag (1998).[2] Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Francoise Roy, Real Algebraic Geom-etry, Springer-Verlag (1998).[3] Lou van den Dries, , Tame Topology and O-minimal Structures, Springer-Verlag (1998)[4] Michel Coste, An Introduction to Semialgebraic Geometry, Università DiPisa Dipartimento Di Mathematica - Italy (2000).[5] Robert M.Hardt, Some Analytic Bounds For Subanalytic Sets, Progress inMath., No.27, Birkh¨auser, 1983, 259-27.[6] Yosef Yomdin, Metric properties of semialgebraic sets and mappings andtheir applications in smooth analysis, .[7] Yosef Yomdin and Georges Comte, Tame Geometry With Application InSmooth Analysis, Universite De Nice - Sophia Antipolis (2005)[8] Yosef Yomdin, Some quantitative results in singularity theory, ANNALESPOLONICI MATHEMATICI 87, 177-299 (2005)1 Diagram của tập semi-đại số.Cho A ⊂ Rnlà tập semi-đại số, có dạng A = ∪pi=1Ai, với Ai= ∩jij=1Aij, và Aijcó dạng:{(x1, . . . , xn) ∈ Rn: pij(x1, . . . , xn) > 0},{(x1, . . . , xn) ∈ Rn: pij(x1, . . . , xn) ≥ 0},pijlà các đa thức bậc dij.Định nghĩa 1.1. Tập hợp các dữ liệu: (n, p, j1, . . . , jp, (dij)i=1, .,p; j=1, .,ji) đượcgọi là diagram của tập A, ký hiệu D(A).79 Định nghĩa 1.2. Cho diagram bất kỳ D = (n, p, j1, . . . , jp, (dij)i=1, .,p; j=1, .,ji),ta định nghĩaB0(D) =12pi=1di(di− 1)n−1, với di=jij=1dij.Cho A là một tập semi-đại số, ta định nghĩaB0(A) = inf{B0(D) : D là diagram biểu diễn A}Định lý 1.1. (Tarski-Seidenberg) Cho A ⊂ Rnlà tập semi-đại số. Khi đó, tậpπ(A), với π : Rn→ Rmlà phép chiếu chính tắc, là semi-đại số, và diagramcủa π(A) chỉ phụ thuộc vào diagram của A.Chứng minh.1. Ta chỉ cần chứng minh định lý trong trường hợp π : Rn+1→ Rn.2. Bởi mệnh đề [2] Ch.2 Pro.2.1.8 đủ để chứng minh định lý trong trường hợpA là tập semi-đại số dạng:{(y, x) ∈ Rn× R|fi(y, x) = 0, i = 1, . . . , l, gj(y, x) > 0, j = l + 1, . . . , m}3. Bởi hệ quả của nguyên lý Tarski-seidenberg [2] Ch.1 Coro.1.4.7, tồn tại mộttổ hợp boolean các phương trình và bất phương trình đa thức B(Y ) biến Yvới hệ số trong R sao cho với mỗi y ∈ Rn, hệf1(y, X) = · · · = fl(y, X) = 0g1(y, X)) > 0· · ·gm(y, X)) > 0có một nghiệm x trong R khi và chỉ khi B(y) thỏa mãn. Hơn nữa, tập cácy ∈ Rnthỏa B(y) là semi-đại số.Do đó, π(A) = {y ∈ Rn, B(y) thỏa mãn và fi(y, x) = 0, i = 1, · · · , l, gj(y, x) >0, j = 1, · · · , m}, fi, gj∈ R[y]} là tập semi-đại số, và có lược đồ phụ thuộc vàolược đồ của A.Định lý 1.2. Cho A ⊂ Rnlà tập semi-đại số. Khi đó, các tập A,◦A, ∂A, mỗithành phần liên thông của A là các tập semi-đại số, và diagram của mỗi tậpphụ thuộc vào diagram của A.Chứng minh.Ta cóA = {x ∈ Rn: ∀t ∈ R ∃y ∈ A( y − x 2< t2hoặc t = 0)}.80 có thể viết lại làA = Rn\π2[Rn+1\π1({(x, y, t) ∈ R2n+1: y ∈ A( y − x 2< t2hoặc t = 0)})]Trong đó π1: R2n+1→ Rn+1là phép chiếu được định nghĩa bởi π1(x, y, t) =(x, t) và π2: Rn+1→ Rnlà phép chiếu được định nghĩa bởi π2(x, t) = x.áp dụng định lý 1.1 và tập semi-đại số đóng đối với phép lấy phần bù thì Alà semi-đại số và D(A) chỉ phụ thuộc vào D(A).Từ đó dễ dàng ta thấy◦A= Rn\ Rn\ A.∂A = A ∩ Rn\ A.cũng semi-đại số và lược đồ của mỗi tập chỉ phụ thuộc vào D(A).Định lý 1.3. Cho A là một tập semi-đại số. Khi đó, bất kỳ 2 điểm x, y thuộcmột thành phần liên thông của A đều có thể nối trong A bởi một đường congsemi-đại số S, với diagram D(S) chỉ phụ thuộc vào D(A).Chứng minh. Theo bổ đề chọn đường cong, ∀x, y thuộc cùng một thành phầnliên thông, tồn tại một hàm semi-đại số liên tục ϕ : [0; 1] → A, ϕ(0) =x, ϕ(1) = y và S = ϕ([0; 1]) ⊂ A. Khi đó D(S) chỉ phụ thuộc vào D(A).Định lý 1.4. Cho f : Rn→ Rmlà một ánh xạ đa thức bậc d, và A là tập semi-đại số trong Rn. Giả sử B là một tập con semi-đại số trong f (A) ⊂ Rm. Khiđó, tồn tại một tập semi-đại số C ⊂ A, với dimC = dimB, để cho f(C) = B,và lược đồ D(C) chỉ phụ thuộc vào D(A), D(B), n, m và d.Chứng minh. Với mọi y ∈ B, f−1(y) ∩ A là semi-đại số trong Rn. Lấy x(y) làđiểm lớn nhất trong f−1(y) ∩ A theo thứ tự tự điển thuận trong Rn. Khi đórõ ràng C ⊂ A là tập các điểm {x(y), y ∈ B} là semi-đại số, lược đồ của nóchỉ phụ thuộc vào D(A), D(B), n, m và d và f|C: C → B là song ánh.Mệnh đề 1.1. (Xem [6], [7]) Cho A ⊂ Rnlà một tập semi-đại số. Khi đó,tất cả các số Betti bi(A), i = 1, . . . , n, đều bị chặn bởi hằng số Bi(D) chỉ phụthuộc vào diagram D(A). Đặc biệt, Số thành phần liên thông của A bị chặnbởi B0(D).2 Số thành phần liên thông của tập semi-đạisố.Định lý 2.1. Cho A ⊂ Rnlà tập semi-đại số, khi đó, chặn trên của số thànhphần liên thông của A,B0(A), bị chặn bởiB0(A).81 Chứng minh.1. Ta cần chứng minh số thành phần liên thông của A =qj=1{pj> (≥)0}, degpj= djnhiều nhất là12d(d − 1)n−1, d =qj=1dj.2. Ta có thể giả sử A chỉ được định nghĩa bởi các bất phương trình ≥, vàdo vậy A là đóng. Trong mỗi thành phần liên thông Aicủa A, ta chọn mộtđiểm xi, do số thành phần liên thông của A là hữu hạn nên số các xilà hữuhạn. (Định lý Lojasiewicz)Nếu một bất phương trình định nghĩa A có dạng pj> 0, ta đặt mini(pj(xi)) =δ > 0. Do vậy, nếu ta thay thế pj> 0 trong định nghĩa A bởi pj−δ2≥ 0, tanhận được một tập mới A⊂ A. Và khi đó, mỗi thành phần liên thông của Ađều nằm trong một thành phần liên thông của A, và tất cả các điểm xivẫnnằm trong A, cho nênB0(A) ≥B0(A).3. Ta có thể giả sử rằng mỗi thành phần liên thông của A có một phần trongkhác trống. Thực vậy, A =qj=1{pj≥ 0} là đóng, do đó, khoảng cách ngắnnhất giữa các thành phần liên thông Aicủa A (xét bên trong quả cầu B chứatất cả các thành phần liên thông bị chặn của A) là ρ > 0. Giả sử U làρ3-lâncận mở của A, đặt ξ = maxx∈B\Umin1≤j≤qpj(x). Vì hàm liên tục min1≤j≤qpjđạt giá trị max của nó trên tập compact B\U, nên ta nhận được ξ < 0. Địnhnghĩa A=qj=1{pj−12ξ ≥ 0}, ta có A ⊂ A⊂ U, vì ξ <ξ2< 0. Với ρ đãchọn ta cũng cóB0(A) =B0(U) ≤B0(A).Như vậy, mọi thành phần liên thông của Ađều chứa một thành phần liênthông có phần trong khác trống của A, thật vậy, nếu ngược lại, có thể tìmmột dãy điểm xntrong Amà có giới hạn x ∈ A sao cho pj(xn) <12ξ, ∀j ∈{1, . . . , q}, mâu thuẩn, vì A=qj=1{pj−12ξ ≥ 0}. Như vậy, ta kết luận rằngsố chặn trên của số thành phần liên thông của Amà có một phần trong kháctrống là lớn hơn B0(A). Mà diagram của A và Alà như nhau, do đó để chứngminh định lý ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp A chỉ có các thành phầnliên thông với phần trong khác trống.4. Thật vậy, ta có thể giả sử rằng A =qj=1{pj≥ 0}, với mỗi thành phầnbị chặn của A có một phần trong khác trống. Đặt p =qj=1pj, deg(p) =qj=1deg(dj) = d.Mọi thành phần liên thông bị chặn của A đều chứa ít nhất một thành phầncủaqj=1{pj> 0}, bởi vì một thành phần củaqj=1{pj= 0} không có mộtphần trong khác trống. Do vậy, mọi thành phần liên thông bị chặn của A đềuchứa ít nhất một thành phần của {p > 0} và cuối cùng:B0(A) ≤B0({p > 0}).Thành phần của {p > 0} là mở, do vậy, ảnh qua p của một thành phần82 là một khoảng không tầm thường có dạng (0, C) hoặc (0, C], C ∈ R+∪ {∞}.Theo định lý Sard, giả sử η > 0 là một giá trị chính quy đủ nhỏ của p sao chotrong mỗi thành phần bị chặn của {p > 0} có ít nhất một thành phần Zicủasiêu mặt chính quy Z = {p = η}.Xét một dạng tuyến tính trên Rn(giả sử = x1: tuyến tính theo biếnx1). Ta có thể giả sử tất cả các điểm tới hạn của trên Z là không suy biến,và trên mỗi Zicó ít nhất hai điểm tới hạn của - là minimum và maximum.Nhưng các điểm tới hạn của trên Z được định nghĩa bởi hệ phương trình:p − η = 0 bậc d∂p∂x2= 0 bậc d − 1∂p∂x3= 0 bậc d − 1 ∂p∂xn= 0 bậc d − 1Theo định lý Bezout, số các điểm tới hạn của trên Z nhiều nhất là d(d−1)n−1,và do vậy,B0(A) ≤B0(Z) ≤12d(d − 1)n−1. Hệ quả 2.1. Cho A ⊂ Rnlà một tập semi-đại số với diagramD(A) = (n, p, j1, . . . , jp, (dij)i=1, .,p; j=1, .,ji).Khi đó:(i) Số thành phần liên thông của giao A với bất kỳ quả cầu Brtrong Rnbịchặn bởi12pi=1(di+ 2)(di+ 1)n−1, với di=jij=1dij,(ii) Số chặn trên của số thành phần liên thông của A∩P, với P là một -phẳngcủa Rn, bị chặn bởi12pi=1(di+ 2)(di+ 1)−1,(iii) Đặc biệt, số thành phần liên thông của A∩P cũng bị chặn bởi12pi=1(di+2)(di+ 1)−1.Chứng minh.(i) Ta thêm vào tập các bất đẳng thức định nghĩa A bất đẳng thứcr2−ni=1x2i≥ 0 (bậc 2).(ii) Ta thay thế n − biến trong các phương trình bởi biến còn lại.(iii) Chặn12pi=1(di+ 2)(di+ 1)−1không phụ thuộc vào bán kính của quảcầu, mà chỉ phụ thuộc vào bậc đa thức, do vậy nó cũng chính là chặn trên chosố thành phần liên thông của chính A ∩ P. 83 3 Volume của tập semi-đại số.Ký hiệu Lklà độ đo Legesque chiều k trên đa tạp trơn k-chiều của Rn.Mệnh đề 3.1. (Xem [6]) Giả sử Y là một đa tạp trơn k-chiều trong Rn, saocho tất cả các không gian con affine (n-k)-chiều của Rngiao với Y nhiều nhấtp điểm. Khi đó, cho bất kỳ Bnr⊂ Rn, ta cóLk(Y ∩ Bnr) ≤ Q(n)prk,ở đây, Q(n) chỉ phụ thuộc vào n.Định lý 3.1. Giả sử A ⊂ Rnlà một tập semi-đại số chiều k. Khi đó, cho bấtkỳ Bnr⊂ Rn,Lk(A ∩ Bnr) ≤ crk,ở đây hằng số c chỉ phụ thuộc vào D(A).Chứng minh.Mọi không gian con affine chiều (n-k) P ⊂ Rngiao với A chỉ gồm các điểmcô lập. Mặt khác, D(A ∩ P ) phụ thuộc vào D(A), và theo mệnh đề 1.2, số cácđiểm của A ∩ P bị chặn bởi B0(D(A ∩ P )).Với c = Q(n)B0(D(A∩P )), áp dụng mệnh đề 3.1 ta nhận được điều cần chứngminh. Định lý 3.2. Giả sử A ⊂ Rnlà một tập semi-đại số, Bnr⊂ Rnlà quả cầubán kính r. Khi đó, bất kỳ 2 điểm x, y cùng thuộc thành phần liên thông củaA ∩ Bnr, đều có thể nối với nhau trong A ∩ Bnrbởi một đường cong có độ dàiKr, ở đây K chỉ phụ thuộc vào D(A).Chứng minh. (Xem chứng minh tương tự trong [7, 4.12])Từ A∩Bnrlà một tập semi-đại số có diagram chỉ phụ thuộc vào D(A), theo địnhlý 1.1, có một đường cong semi-đại số S nối x và y, và D(S) phụ thuộc D(A).Theo định lý 3.1, chiều dài của S không vượt quá c(D(S))r = Kr. Định lý 3.3. (Xem [7]) Cho bất kỳ một tập semi-đại số compact A, luôn tồntại một hằng số K và α > 0, để cho mọi x, y cùng thuộc một thành phần liênthông của A đều có thể nối trong A bởi một đường cong có độ dài ≤ Kx−yα.Nêu ví dụ về đường cong bậc 2 trong mặt phẳng. Cho bất kỳ một đườngcong, số mũ α trong định lý trên là 1.84 4 Định lý Sard định lượng.Giả sử f : Rn→ R là một ánh xạ đa thức bậc d. Cho γ ≥ 0, ta định nghĩa:Σ(f, γ) = {x : grad f(x) ≤ γ} : là tập các điểm γ− tới hạn của f.Σ(f, γ, r) = Σ(f, γ) ∩ Bnr,∆(f, γ, r) = f(Σ(f, γ, r)).Định lý 4.1. (Định lý Sard định lượng trên các hàm đa thức) Tập ∆(f, γ, r)có thể được phủ bởi N(d, n) khoảng có chiều dài γr, với N(d, n) chỉ phụ thuộcvào d và n.Chứng minh. (Xem chứng minh tương tự trong [7], định lý 1.8 )Ta ký hiệu Σilà các thành phần liên thông của Σ(f, γ, r), và đặt ∆i= f(Σi).Trong mỗi Σi, cố định xivà giả sử y là một điểm khác trong Σi. Theo định lý3.2, tồn tại một đường cong S có độ dài < Kr nối xivà y trong Σi. Do vậy,|∆i| = |f(y)−f(xi)| = |Sgrad f.dS| ≤Sgrad fdS ≤ length(S).γ ≤ Krγ.(Do chuẩn của gradf (x) không vượt quá γ với x ∈ Σ)Do y là một điểm tùy ý của Σi, do đó ∆iđược chứa trong một khoảng nàođó có độ dài 2Krγ, và do vậy ∆icó thể được phủ bởi K= 2K + 1 khoảngcó độ dài γr. Nhưng theo mệnh đề 1.2, số thành phần liên thông của Σikhông vượt quá hằng số B0(D(Σi)). Như vậy, ∆ = ∪∆icó thể được phủ bởiN = B0(D(Σi))(2k + 1) khoảng có độ dài γr. Tất cả các hằng số trên đều phụthuộc vào D(Σ(f, γ, r)), và do đó N chỉ phụ thuộc vào n và d. Chú ý 4.1. Nếu γ = 0 thì số các giá trị tới hạn của f (i.e các giá trị của f tạigrad f = 0) không vượt quá (d − 1)n.Giả sử g : Bnr→ R là một hàm thuộc lớp Ck, và giả sử p là đa thức Taylorthứ (k-1) của g tại tâm của Bnr. Ta có,|g − p| ≤ Rk(g)dg − dp ≤1rRk(g),với Rk(g) = maxdkgrklà số hạng của phần dư trong công thức Taylor. Dovậy, tập các điểm tới hạn của g chứa trong Σ(p, γ, r), với γ =1rRk, và tập cácgiá trị tới hạn của g chứa trong Rk-lân cận của ∆(p, γ, r). áp dụng định lý 4.1,ta nhận được:Định lý 4.2. Tập các giá trị tới hạn của g có thể được phủ bởi N1(n, k) khoảngcó độ dài Rk(g), với N1(n, k) = 3N(n, k − 1) chỉ phụ thuộc vào n và k.85 Cho A ⊂ R, ε > 0, M(ε, A) là số nhỏ nhất các khoảng có chiều dài ε phủA. Ta có thể mở rộng định lý 4.1 cho ánh xạ đa thức:Định lý 4.3. Giả sử f : Rn→ R là một đa thức bậc d. Khi đó, ε > 0,M(ε, ∆(f, γ, r)) ≤ A1(n, d) + A2(n, d).γ.rε.Bằng việc thay thế ε = γr, ta nhận được định lý 4.1 với N = A1+ A2.Định lý 4.4 sau đây được xây dựng từ định lý 4.1 kết hợp với việc xấp xỉf bởi các đa thức Taylor địa phương của nó trên một lưới thích hợp. (TheoY.Yomdin trong [6], việc chứng minh định lý 4.4 là không đơn giản)Định lý 4.4. (Định lý Sard định lượng trên không gian Ck(Rn, R) - Xem [6])Giả sử f : Rn→ R là một hàm thuộc lớp Ck. Khi đó, ∀γ ≥ 0, ∀ε > Rk(f), tập(f, γ, r) có thể được phủ bởiC1(n, k) + C2(n, k)γ(r/ε)khoảng có chiều dài ε, và nếu ε ≤ Rk(f) thì nó có thể được phủ bởiC3(n, k)Rk(f)εn/k+ C4(n, k)γrεRk(f)ε(n−1)/kkhoảng. Đặc biệt, cho γ = 0, thì tập (f, 0, r) các giá trị tới hạn của f có thểđược phủ bởiC1(n, k) + C3(n, k)Rk(f)εn/kkhoảng có độ dài ε.Hệ quả 4.1. Giả sử rằng tính trơn k lớn hơn n. Khi đó, với γ đủ nhỏ, độ đocủa tập các giá trị γ-tới hạn của f thỏameasure(∆(f, γ, r)) ≤ cγ(k−n)/(k−1).ở đây c là một hằng số chỉ phụ thuộc vào k, n, r và Rk(f). Đặc biệt, độ đocủa ∆(f, γ, r) tiến về 0 khi γ → 0.Chứng minh.Từ giả sử γ là một số đủ nhỏ, và ε sẽ được chọn sau theo bậc của γk/(k−1), tadùng bất đẳng thức thứ hai trong định lý 4.4 với ε ≤ Rk(f):C3(n, k)Rk(f)εn/k+ C4(n, k)γrεRk(f)ε(n−1)/k=86 C3(n, k)Rk(f)n/k1εn/k+ C4(n, k)rRk(f)n−1/kγ1ε1ε(n−1)/kđặtC = max{C3(n, k)Rk(f)n/k, C4(n, k)rRk(f)n−1/k}khi đó, ta thấy rằng tập ∆(f, γ, r) có thể được phủ bởiC1εn/k+ γ1ε(n+k−1)/kkhoảng có chiều dài ε.Đặt ε0= γk/(k−1). Khi đó, tập ∆(f, γ, r) có thể được phủ bởiC1γn/(k−1)+1γ−11γ(n+k−1)/(k−1)= 2C1γn/(k−1)khỏa có chiều dài ε0.Đặt c = 2C, khi đó, độ đo của ∆(f, γ, r) không vượt quá cε01γn/(k−1)=cγ(k−n)/(k−1). Hệ quả tiếp theo sau đây chính là định lý Morse-Sard thông thường.Hệ quả 4.2. Cho k > n, độ đo của tập ∆(f, 0, r) là 0.Phan PhiếnĐà Lạt, tháng 5/200887