CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ I. Ví dụ.Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức : ( ) ( ) n n n 13+ 3 - 13- 3 U = 2 3 với n = 1, 2, 3, ……, k, … a) Tính U 1 , U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1 Hướng dẫn giải a) U 1 = 1 U 5 = 147884 U 2 = 26 U 6 = 2360280 U 3 = 510 U 7 = 36818536 U 4 = 8944 U 8 = 565475456 b) Đặt U n+1 = a.U n + b.U n-1 Theo kết quả tính được ở trên, ta có: 510 .26 .1 26a 510 8944 .510 .26 510a 26 8944 a b b a b b = + + = ⇔ = + + = Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta có công thức: U n+1 = 26U n – 166U n-1 c) Lập quy trình bấm phím trên máy CASIO 500MS: Ấn phím: 26 Shift STO A x 26 - 166 x 1 Shift STO B Lặp lại dãy phím x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B II.Bài tập Bài 1. Cho dãy số sắp thứ tự 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + biết: 1 2 3 1 2 3 1, 2, 3; 2 3 ( 4) n n n n u u u u u u u n − − − = = = = + + ≥ 1.1 Tính 4 5 6 7 , , , .u u u u 1.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của n u với 4n ≥ . 1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 20 22 25 28 , , , .u u u u 4 u = 5 u = 6 u = 7 u = Qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u n với 4n ≥ Bài 2.Cho dãy số sắp thứ tự 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + , biết 5 6 588 , 1084u u= = và 1 1 3 2 n n n u u u + − = − . Tính 1 2 25 , ,u u u . Bài 3: Cho 2 2 2 2 1 2 3 1 1 . . 2 3 4 n n u i n − = − + − + + ( 1i = nếu n lẻ, 1i = − nếu n chẵn, n là số nguyên 1n ≥ ). 3.1 Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị: 4 5 6 , ,u u u . 3.2 Tính giá trị gần đúng các giá trị: 20 25 30 , ,u u u . 3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của n u u 4 = -------------------- u 5 = -------------------- u 6 = ---------------------- u 20 ≈ u 25 ≈ u 30 ≈ Bài 4: Cho dãy số n u xác định bởi: + + + + = = = + 1 1 2 2 1 2 3 1; 2; 3 2 n n n n n u u u u u u u 4.1 Qui trình bấm phím để tính u n và S n : 4.2 Tính giá trị của 10 15 21 , ,u u u 4.3 Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số ( ) n u . Tính 10 15 20 , ,S S S . u 10 = u 15 = u 21 = S 10 = S 15 = S 20 = Bài 5 : Cho dãy số { } n u với n n n n u += cos 1 a) Hãy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho 2 1 ≥− uu m b) Với N = 1 000 000 điều nói trên còn đúng không ? c) Với các kết quả tính toán như trên , Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho ( khi ∞→ n ) Bài 6. Cho dãy số 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + biết: 1 2 3 1 2 3 1, 2, 3; 2 3 ( 4) n n n n u u u u u u u n − − − = = = = + + ≥ 20 u = 22 u = 25 u = 28 u = u 1 = u 2 = u 25 = , nếu n lẻ , nếu n chẵn Qui trình bấm phím: 6.1 Tính 4 5 6 7 , , , .u u u u 6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của n u với 4n ≥ . 6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 22 25 28 , , .u u u . Bài 7. Cho dãy số U 1 = 3 3 ; ( ) 3 3 1 − = nn UU , n là số tự nhiên và n 2≥ 7.1 Viết quy trình bấm phím để tính U n . 7.2 Tính 5 số hạng đầu tên của dãy số trên Quy trình bấm phím Kết quả 2) Cho ( ) n n S 1 .4321 −+−+−= . Tính S 2004 + S 2005 + S 2006 + S 2007 Quy trình bấm phím Kết quả Bài 8. Cho 1 dãy số 1110 10,10,2 −+ −=== nnn UUUUU , n = 1, 2, 3 . Hãy tính giá trị của số hạng 105 ,UU Bài 9. Cho ( ) ( ) 1 2 3 2 3 3 4 4 5 1 2 n n S n n = + + +×××+ × × × + + , n là số tự nhiên. a) Tính 10 S và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số. b) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của 15 S Bài 10. Cho dãy số a n được xác định như sau: 1 2 2 1 1 1 1, 2, 3 2 n n n a a a a a + + = = = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó. Bài 11. Cho dãy số u n được xác định như sau: 1 2 2 1 1, 2, 3 2 n n n u u u a a + + = = = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ 11.1 Qui trình bấm phím để tính u n 11.2 Tính giá trị của 6 12 15 , ,u u u Bài 12. Cho dãy số u n được xác định như sau: 1 2 2 1 1 2, 3, 3 2 n n n u u u a a + + = = − = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ 12.1 Qui trình bấm phím để tính u n, S n 12.2 Tính giá trị của 15 15 ,u S Bài 15. Cho 2 3 1 1 1 1 . 3 3 3 3 n n S = + + + + với * n∈ ¥ 15.1 Lập quy trình bấm phím để tính S n 15.2 Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S 15 Bài 16. Cho 2 0 1 2008, , ,0 1003 1 n n n a a n n a + = = ∈ ≤ ≤ + ¥ . Hãy tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị bé nhất của a n. Bài 17. Cho dãy số ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 n n n u + − − = với n = 1, 2, 3, … 17.1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . 17.2 Chứng minh rằng un+2 = 6u n+1 – 7u n 17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính u n+2 . ------------------------------------------- Bài 1. Cho dãy số ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 n n n u + − − = với n = 1, 2, 3, … 1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . 2 Chứng minh rằng un+2 = 6u n+1 – 7u n 3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính u n+2 . a Bi 2. Cho dóy s u n c xỏc nh nh sau: 1 2 2 1 1, 2, 3 2 n n n u u u a a + + = = = + vi mi , 3n n Ơ 1 Qui trỡnh bm phớm tớnh u n 2 Tớnh giỏ tr ca 6 12 15 , ,u u u Bi 3. Cho 1 dóy s 1110 10,10,2 + === nnn UUUUU , n = 1, 2, 3 . Hóy tớnh giỏ tr ca s hng 105 ,UU Bi 4. Cho dóy s u n c xỏc nh nh sau: 1 2 2 1 1 2, 3, 3 2 n n n u u u a a + + = = = + vi mi , 3n n Ơ 1 Qui trỡnh bm phớm tớnh u n, S n 2 Tớnh giỏ tr ca 15 15 ,u S Bi 5. Cho dóy s U 1 = 3 3 ; ( ) 3 3 1 = nn UU , n l s t nhiờn v n 2 1. Vit quy trỡnh bm phớm tớnh U n . 2. Tớnh 5 s hng u tờn ca dóy s trờn Bi 6: Cho dóy s n u xỏc nh bi: + + + + = = = + 1 1 2 2 1 2 3 1; 2; 3 2 n n n n n u u u u u u u 1 Qui trỡnh bm phớm tớnh u n v S n : 2 Tớnh giỏ tr ca 10 15 21 , ,u u u 3 Gi n S l tng ca n s hng u tiờn ca dóy s ( ) n u . Tớnh 10 15 20 , ,S S S . Bi 7.Cho dóy s sp th t 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + , bit 5 6 588 , 1084u u= = v 1 1 3 2 n n n u u u + = . Tớnh 1 2 25 , ,u u u . Bi 8.Cho dóy s vi s hng tng quỏt c cho bi cụng thc : ( ) ( ) n n n 13+ 3 - 13- 3 U = 2 3 vi n = 1, 2, 3, , k, a.Tớnh U 1 , U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b.Lp cụng thc truy hi tớnh U n+1 theo U n v U n-1 c.Lp quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh U n+1 theo U n v U n-1 Bài 9. Cho dãy u 1 =2 và u 2 = 20 , u n+1 = 2u n + u n - 1 ( n 2 ) a). Tớnh u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 . b). Viết quy trỡnh bấm phớm tớnh u n . c). Tớnh giá trị của u 22 , u 23 , u 24 , u 25 . Bài 10. Cho dãy số u n = ( ) ( ) 32 3232 nn + a). Tớnh 8 số hạng đầu tiên của dãy . b).Lập công thức truy hồi tính u n+2 theo u n+1 và u n . c). Lập quy trỡnh tớnh u n . Bài 11. Cho dãy số u 0 =2 , u 1 = 10 , 10u n - u n - 1 , n = 1, 2, a). Lập quy trình tớnh u n+1 b). Tớnh u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 . c). Tìm công thức tổng quát tính u n . Bài 12. Cho ( ) ( ) 52 5151 u nn n + = a). Tớnh u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . b). Tỡm công thức truy hồi tớnh u n+2 theo u n+1 và u n c). Viết quy trỡnh bấm phớm liên tục tớnh u n . , nu n l , nu n chn Bµi 13. Cho d·y sè ( ) ( ) .,3,2,1,0nvới 72 7575 Un nn = −−+ = a). Tính 5 sè h¹ng cđa d·y : U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . b). Chøng minh r»ng U n+2 = 10 U n+1 - 18U n c). LËp qui trình Ên phím liªn tơc tính U n+2 trªn m¸y tính CASIO fx 500 MS Bµi 14. Cho d·y sè .,3,2,1,0nvới,2 2 53 2 53 U nn n =− − + + = a). Tính 5 h¹ng cđa d·y sè : U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 b LËp c«ng thøc truy håi tÝnh U n+1 theo U n vµ U n - 1 . c). LËp qui trình Ên phím liªn tơc tính U n+1 trªn m¸y tính CASIO fx 500 MS Bµi 15. Cho d·y sè ( ) ( ) .,3,2,1nvới 22 2323 U nn n = −−+ = a). Tính 5 h¹ng cđa d·y sè : U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 . b). Chøng minh r»ng U n+2 = 6 U n+1 - 7U n c). LËp qui trình Ên phím liªn tơc tính U n+2 trªn m¸y tính CASIO fx 500 MS Bµi 16. Cho d·y sè ( ) ( ) .,3,2,1nvới 32 310310 U nn n = −−+ = a). Tính 4 h¹ng cđa d·y sè : U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . b). LËp c«ng thøc truy håi tÝnh U n+2 theo U n+1 vµ U n c). LËp qui trình Ên phím liªn tơc tính U n+2 theo U n+1 vµ U n råi tính U 5 , U 6 , U 7 , . . . . . U 16 . Bài 17 :Cho dãy số 1 2 , , ., n u u u , biết ( ) 1 2 3 1 2 3 4, 7, 5, 2 4 n n n n u u u u u u u n − − − = = = = − + ≥ a)Lập quy trình ấn phím ( ) 4n ≥ b)Tính 25 28 30 , ,u u u Bài 18. Cho ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 n n n u + − − = với n = 1; 2; 3; . a) Tính 0 1 2 3 4 , , , ,u u u u u b) Lập công thức truy hồi để tính 2n u + theo 1n u + và n u c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính 2n u + theo 1n u + và n u d) Tính từ u 10 đến u 15 ? Bài 19.Cho ( ) ( ) 4 11 4 11 2 11 + − − = n n n u với n = 0;1; 2; 3; . a) Tính 0 1 2 3 4 , , , ,u u u u u b) Viết công thức truy hồi để tính 2n u + theo 1n u + và n u c) Tính từ u 11 đến u 13 ? Bài 20: Cho dãy số 1 2 , , ., n u u u , biết ( ) 1 2 1 1 1, 2, 2003 2004 2,3, + − = = = + = K n n n u u u u u n . Tính tổng của 5 số hạng đầu của dãy số đó ? Ghi kết quả vào ô vuông : Bµi 21: Cho d·y sè: u 1 =21, u 2 =34 vµ u n+1 =u n +u n-1 a/ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh u n+1 ? b/¸p dơng tÝnh u 10 , u 15 , u 20 Bµi 22: Cho d·y sè : U n = 2 2 53 2 53 − − + + nn , víi n = 0, 1, 2, 3, … 1) TÝnh 5 sè h¹ng ®Çu cđa d·y sè U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 . 2) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 . 3) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+2 trên máy Casio . Bi 23: Cho dóy s c xỏc nh theo cụng thc: x 1 = 1; x n-1 = ) ( 2 1 1 n n x n x + + Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh x n : Tớnh x 50 Bài 24: Cho dóy s ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 n n n U + = vi n =1,2,,k,. 1. Chng minh rng: 1 1 2 n n n U U U + = + vi 1n 2. Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh 1n U + theo n U v 1n U vi 1 2 1, 2U U= = 3. Tớnh cỏc giỏ tr t 11 U n 20 U Bài 25.Cho dãy số U n thoả mãn U n+1 = 26U n 166U n-1 . Biết U 2 = 26; U 4 = 8944. a) Tính U 1 ; U 3 . Lập quy trình bấm phím tính U n+1 theo U n và U n-1 b) Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của dãy. Bài 26.Cho dóy s ( ) ( ) 72 7575 nn n U + = , vi n = 1, 2, 3, 4 . a) Tớnh: U 4 = ? ; b) Tớnh: nn n UU UU 1810 . 1 22 + + = ? Bi 27Cho dóy s U 1 , U 2 , U 3 , ,U n tho món U 1 = 1; U 2 = 3; U n+2 = U n+1 +U n a) Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh U n v tớnh U 20 , U 21 , U 22 b) Lp quy trỡnh bm phớm liờn tc tớnh S n v tớnh S 24 , S 25 , S 26 vi S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n c) Tỡm cụng thc tng quỏt tớnh U n theo n. Bài 28: Cho dãy số với số hạng tổng quát đợc cho bởi công thức U n = 32 )313()313( nn + với n = 1, 2, 3, a, Tính U 1 , U 2 , U 3 , U 4 ,U 5 , U 6 , U 7 ,U 8 ? b, Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1