Kỹ thuật phân tích giải thuật

Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 1 1. Mc tiêu 2. Kin thc c bn cn có  hc chng này 3. Tài liu tham kho có liên quan n chng 4. Ni dung: I.1 - S cn thit phi phân tích gii thut. I.2 - Thi gian thc hin ca gii thut. I.3 - T sut tng và  phc tp ca gii thut. I.4 - Cách tính  phc tp. I.5 - Phân tích các chng trình  quy. 5. Vn  nghiên cu ca trang k tip Trong chng này chúng ta s nghiên cu các vn  sau: · S cn thit phi phân tích các gii thut. · Thi gian thc hin ca chng trình. · T sut tng và  phc tp ca gii thut. · Tính thi gian thc hin ca chng trình. · Phân tích các chng trình  quy. I.1- S CN THIT PHI PHÂN TÍCH GII THUT Trong khi gii mt bài toán chúng ta có th có mt s gii thut khác nhau, vn  là cn phi ánh giá các gii thut ó  la chn mt gii thut tt (nht). Thông thng thì ta s cn c vào các tiêu chun sau: 1.- Gii thut úng n. 2.- Gii thut n gin. 3.- Gii thut thc hin nhanh. Vi yêu cu (1),  kim tra tính úng n ca gii thut chúng ta có th cài t gii thut ó và cho thc hin trên máy vi mt s b d liu mu ri ly kt qu thu c so sánh vi kt quã bit. Thc ra thì cách làm này không chc chn bi vì có th gii thut úng vi tt c các b d liu chúng ta ã th nhng li sai vi mt b d liu nào ó. V li cách làm này ch phát hin ra gii thut sai ch cha chng minh c là nó úng. Tính úng n ca gii thut cn phi c chng minh ng toán hc. Tt nhiên u này không n gin và do vy chúng ta s không  cp n ây. Khi chúng ta vit mt chng trình  s dng mt vài ln thì yêu cu (2) là quan trng nht. Chúng ta cn mt gii thut d vit chng trình  nhanh chóng có c kt qa , thi gian thc hin chng trình không c  cao vì dù sao thì chng trình ó cng ch s dng mt vài ln mà thôi. Tuy nhiên khi mt chng trình c s dng nhiu ln thì thì yêu cu tiït kim thi gian Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 2 thc hin chng trình li rt quan trng c bit i vi nhng chng trình mà khi thc hin cn d liu nhp ln do ó yêu cu (3) sc xem xét mt cách k càng. Ta gi nó là hiu qu thi gian thc hin ca gii thut. I.2- THI GIAN THC HIN CA GII THUT I.2.1- Thi gian thc hin chng trình. I.2.2- n vo thi gian thc hin. I.2.3- Thi gian thc hin trong trng hp xu nht. Mt phng pháp  xác nh hiu qu thi gian thc hin ca mt gii thut là lp trình nó và o ng thi gian thc hin ca hot ng trên mt máy tính xác nh i vi tp hp c chn lc các  liu vào. Thi gian thc hin không ch ph thuc vào gii thut mà còn ph thuc váo tp các ch th a máy tính, cht lng ca máy tính và k xo ca ngi lp trình. S thi hành cng có thu chnh  thc hin tt trên tp c bit các d liu vào c chn.  vt qua các tr ngi này, các nhà khoa hc máy tính ã chp nhn tính phc tp ca thi gian c tip cn nh mt so lng c n s thc thi ca gii thut. Thut ng tính hiu qu s cp n so lng này và c bit i i s phc tp thi gian trong trng hp xu nht. I.2.1- Thi gian thc hin chng trình. Thi gian thc hin mt chng trình là mt hàm ca kích thc d liu vào, ký hiu T(n) trong ó n là kích thc ( ln) ca d liu vào. Ví d 1-1: Chng trình tính tng ca n s có thi gian thc hin là T(n) = cn trong ó c là t hng s. Thi gian thc hin chng trình là mt hàm không âm, tc là T(n) ≥0 ∀n≥0. I.2.2- n vo thi gian thc hin. n v ca T(n) không phi là n vo thi gian bình thng nh gi, phút giây . mà thng c xác nh bi s các lnh c thc hin trong mt máy tính lý tng. Ví d 1-2: Khi ta nói thi gian thc hin ca mt chng trình là T(n) = cn thì có ngha là chng trình y cn cn ch th thc thi. I.2.3- Thi gian thc hin trong trng hp xu nht. Nói chung thì thi gian thc hin chng trình không ch ph thuc vào kích thc mà còn ph thuc vào tính cht ca d liu vào. Ngha là d liu vào có cùng kích thc nhng thi gian thc hin chng trình có th khác nhau. Chng hn chng trình sp xp dãy s nguyên tng dn, khi ta cho vào dãy có th t thì thi gian thc hin khác vi khi ta cho vào dãy cha có th t, hoc khi ta cho vào mt dãy ã có th t tng thì thi gian thc hin cng khác so vi khi ta cho vào mt dãy ã có th t gim. Vì vy thng ta coi T(n) là thi gian thc hin chng trình trong trng hp xu nht trên  liu vào có kích thóc n, tc là: T(n) là thi gian ln nht  thc hin chng trình i vi mi d liu vào có cùng kích thc n. I.3- T SUT TNG VÀ  PHC TP CA GII THUT Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 3 I.3.1- T sut tng I.3.2- Khái nim  phc tp ca gii thut I.3.1- T sut tng Ta nói rng hàm không âm T(n) có  sut tng (growth rate) f(n) nu tn ti các hng s c và n 0 sao cho T(n)  f(n) vi mi n  n 0 . Ta có th chng minh c rng “Cho mt hàm không âm T(n) bt k, ta luôn tìm c t sut tng f(n) ca nó”. Ví d 1-3: Gi s T(0) = 1, T(1) = 4 và tng quát T(n) = (n+1) 2 . t n 0 = 1 và c = 4 thì vi mi n  1 chúng ta d dàng chng minh rng T(n) = (n+1) 2  4n 2 vi mi n  1, tc là t sut tng ca T(n) là n 2 . Ví d 1-4: T sut tng ca hàm T(n) = 3n 3 + 2n 2 là n 3 . Thc vy, cho n 0 = 0 và c = 5 ta d dàng chng minh rng vi mi n  0 thì 3n 3 + 2n 2  5n 3 I.3.2- Khái nim  phc tp ca gii thut Gi s ta có hai gii thut P1 và P2 vi thi gian thc hin tng ng là T1(n) = 100n 2 (vi t sut tng là n 2 ) và T2(n) = 5n 3 (vi t sut tng là n 3 ). Gii thut nào s thc hin nhanh hn? Câu tr i ph thuc vào kích thc d liu vào. Vi n < 20 thì P2 s nhanh hn P1 (T2<T1), do h s ca 5n 3 nh hn h s ca 100n 2 (5<100). Nhng khi n > 20 thì ngc li do s m ca 100n 2 nh hn s m a 5n 3 (2<3). ây chúng ta ch nên quan tâm n trng hp n>20 vì khi n<20 thì thi gian thc hin ca c P1 và P2 u không ln và s khác bit gia T1 và T2 là không áng k Nh vy mt cách hp lý là ta xét t sut tng ca hàm thi gian thc hin chng trình thay vì xét chính bn thân thi gian thc hin. Cho mt hàm T(n), T(n) gi là có  phc tp f(n) nu tn ti các hng c, N 0 sao cho T(n)  cf(n) vi mi n  N 0 (tc là T(n) có t sut tng là f(n)) và kí hiu T(n) là O(f(n)) (c là “ô ca f(n)”) Ví d 1-5: T(n)= (n+1) 2 có t sut tng là n 2 nên T(n)= (n+1) 2 là O(n 2 ) Chú ý: O(c.f(n))=O(f(n)) vi c là hng s. c bit O(c)=O(1) Nói cách khác  phc tp tính toán ca gii thut là mt hàm chn trên ca hàm thi gian. Vì ng nhân t c trong hàm chn trên không có ý ngha nên ta có th b qua vì vy hàm th hin  phc p có các dng thng gp sau: log 2 n, n, nlog 2 n, n 2 , n 3 , 2 2 , n!, n n . Ba hàm cui cùng ta gi là dng hàm m, các hàm khác gi là hàm a thc. Mt gii thut mà thi gian thc hin có  phc tp là mt hàm a thc thì chp nhn c tc là có th cài t  thc hin, còn các gii thut có  phc tp hàm m thì phi tìm cách ci tin gii thut. Khi nói n  phc tp ca gii thut là ta mun nói n hiu qu ca thi gian thc hin ca chng trình nên ta có th xem vic xác nh thi gian thc hiên ca chng trình chính là xác nh  phc tp ca gii thut. I.4- CÁCH TÍNH  PHC TP I.4.1- Qui tc cng I.4.2- Qui tc nhân Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 4 I.4.3- Qui tc tng quát  phân tích mt chng trình I.4.4-  phc tp ca chng trình có gi chng trình con không  qui Cách tính  phc tp ca mt gii thut bt k là mt vn  không n gin. Tuy nhiên ta có th tuân theo mt s nguyên tc sau: I.4.1- Qui tc cng: Nu T1(n) và T2(n) là thi gian thc hin ca hai n chng trình P1 và P2; và T1(n)=O(f(n)), T2(n)=O(g(n) thì thi gian thc hin ca n hai chng trình ó i tip nhau là T(n)=O(max(f(n),g(n))) Ví d 1-6: Lnh gán x:=15 tn mt hng thi gian hay O(1) Lnh c d liu READ(x) tn mt hng thi gian hay O(1) Vy thi gian thc hin c hai lnh trên ni tip nhau là O(max(1,1))=O(1) I.4.2- Qui tc nhân: Nu T1(n) và T2(n) là thi gian thc hin ca hai n chng trình P1và P2 và T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n) thì thi gian thc hin ca n hai n chng trình ó ng nhau là T(n) = O(f(n).g(n)) I.4.3- Qui tc tng quát  phân tích mt chng trình: - Thi gian thc hin ca mi lnh gán, READ, WRITE là O(1) - Thi gian thc hin ca mt chui tun t các lnh c xác nh bng qui tc cng. Nh y thi gian này là thi gian thi hành mt lnh nào ó lâu nht trong chui lnh. - Thi gian thc hin cu trúc IF là thi gian ln nht thc hin lnh sau THEN hoc sau ELSE và thi gian kim tra u kin. Thng thi gian kim tra u kin là O(1). - Thi gian thc hin vòng lp là tng (trên tt c các ln lp) thi gian thc hin thân vòng p. Nu thi gian thc hin than vòng lp không i thì thi gian thc hin vòng lp là tích ca s ln p vi thi gian thc hin thân vòng lp. Ví d 1-7: Tính thi gian thc hin ca n chng trình procedure Bubble (var a: array[1 n] of integer); var i,j,temp: integer; begin {1} for i:=1 to n-1 do {2} for j:=n downto i+1 do {3} if a[j-1]>a[j] then begin { i ch a[i], a[j] } {4} temp:=a[j-1]; {5} a[j-1]:=a[j]; {6} a[j]:=temp; end; end; Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 5 C ba lnh i ch {4} {5} {6} tn O(1) thi gian, do ó lnh {3} tn O(1). Vòng lp {2} thc hin (n-i) ln, mi ln O(1) do ó vòng lp {2} tn O((n-i).1)=O(n-i). Vòng lp {1} lp (n-1) ln vy  phc tp ca gii thut là: I.4.4-  phc tp ca chng trình có gi chng trình con không  qui Nu chúng ta có mt chng trình vi các chng trình con không  quy,  tính thi gian thc hin ca chng trình, trc ht chúng ta tính thi gian thc hin ca các chng trình con không i các chng trình con khác. Sau ó chúng ta tính thi gian thc hin ca các chng trình con ch i các chng trình con mà thi gian thc hin ca chúng ã c tính. Chúng ta tip tc quá trình ánh giá thi gian thc hin ca mi chng trình con sau khi thi gian thc hin ca tt c các chng trình con mà nó gi ã c ánh giá. Cui cùng ta tính thi gian cho chng trình chính. Gi s ta cô mt h thng các chng trình gi theo s sau: Chng trình A gi hai chng trình con là B và C, chng trình B gi hai chng trình con là B1 và B2, chng trình B1 gi hai chng trình con là B11 và B12.  tính thi gian thc hin ca A, ta tính theo các bc sau: - Tính thi gian thc hin ca C, B2, B11 và B12. - Tính thi gian thc hin ca B1. - Tính thi gian thc hin ca B. - Tính thi gian thc hin ca A. Ví d 1-8: Ta có th vit li chng trình sp xp bubble nh sau: procedure Swap (var x, y: integer); var temp: integer; begin temp := x; x := y; y := temp; end; Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 6 procedure Bubble (var a: array[1 n] of integer); var i,j :integer; begin {1} for i:=1 to n-1 do {2} for j:=n downto i+1 do {3} if a[j-1]>a[j] then Swap(a[j-1], a[j]); end; Trong cách vit trên, chng trình Bubble gi chng trình con Swap, do ó  tính thi gian thc hin ca Bubble, trc ht ta cn tính thi gian thc hin ca Swap. D thy thi gian thc hin a Swap là O(1) vì nó ch bao gm 3 lnh gán. Trong Bubble, lnh {3} gi Swap nên ch tn O(1), lnh {2} thc hin n-i ln, mi ln tn O(1) nên tn O(n-i). Lnh {1} thc hin n-1 ln nên I.5- PHÂN TÍCH CÁC CHNG TRÌNH  QUY I.5.1- Thành lp phng trình  quy I.5.2- Gii phng trình  quy Vi các chng trình có gi các chng trình con  quy, ta không th áp dng cách tính nh a trình bày trong mc I.4.4 bi vì mt chng trình  quy s gi chính bn thân nó. Vi các chng trình  quy, trc ht ta cn thành lp các phng trình  quy, sau ó gii phng trình  quy, nghim ca phng trình  quy s là thi gian thc hin ca chng trình  quy. I.5.1- Thành lp phng trình  quy Phng trình  quy là mt phng trình biu din mi liên h gia T(n) và T(k), trong ó T(n) là thi gian thc hin chng trình vi kích thc d liu nhp là n, T(k) thi gian thc hin chng trình vi kích thc d liu nhp là k, vi k < n.  thành lp c phng trình  quy, ta phi cn c vào chng trình  quy. Ví d 1-9: Xét hàm tính giai tha vit bng gii thut  quy nh sau: function Giai_thua(n:integer): integer; begin if n=0 then Giai_thua :=1 else Giai_thua := n* Giai_thua(n-1); end; i T(n) là thi gian thc hin vic tính n giai tha, thì T(n-1) là thi gian thc hin vic tính n-1 giai tha. Trong trng hp n=0 thì chng trình ch thc hin mt lnh gán Giai_thua:=1, nên tn O(1), do ó ta có T(0) = C1. Trong trng hp n>0 chng trình phi gi  quy Giai_thua(n-1), vic i  quy này tn T(n-1), sau khi có kt qu ca vic gi  quy, chng trình phi nhân kt quó i n và gán cho Giai_thua. Thi gian  thc hin phép nhân và phép gán là mt hng C2. Vy ta có Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 7 ây là phng trình  quy  tính thi gian thc hin ca chng trình  quy Giai_thua. Ví d 1-10: Chúng ta xét th tc MergeSort mt cách phác tho nh sau: function MergeSort (L:List ; n:integer) : List; var L1,L2 : List; begin if n = 1 then return(L) else begin Chia L thành 2 na L1 và L2 , mi mt na có  dài n/2; return(Merge(MergeSort (L1 , n/2), MergeSort(L2, n/2))); end; end; Chng hn  sp xp danh sách L gm 8 phn t 7, 4, 8, 9, 3, 1, 6, 2 ta có mô hình minh ha a MergeSort nh sau: Hàm MergeSort nhn mt danh sách có  dài n và tr v mt danh sách ã c sp xp. Th c Merge nhn hai danh sách ã c sp L1 và L2 mi danh sách có  dài n/2, trn chúng li vi nhau c mt danh sách gm n phn t có th t. Gii thut chi tit ca Merge ta s bàn sau, chúng ta ch ý rng thi gian  Merge các danh sách có  dài n/2 là O(n). Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 8 Gi T(n) là thi gian thc hin MergeSort mt danh sách n phn t thì T(n/2) là thi gian thc hin MergeSort mt danh sách n/2 phn t , ta có th vit phng trình  quy nh sau: Trong ó c1 là thi gian phi tn khi L có  dài 1. Trong trng hp n > 1, thi gian ca MergeSort c chia làm hai phn. Phn gi  quy MergeSort mt danh sách có  dài n/2 là T(n/2) do ó ta có 2T(n/2). Phn th hai bao gm phép th n >1, chia danh sách L thành hai na bng nhau và Merge. Ba thao tác này ly thi gian không i i vi phép th hoc t l vi n i vi ngt và Merge. Nh vy hng c 2 c chn và c 2 n là thi gian tng  làm các vic ó ngoi tr gi  quy. I.5.2- Gii phng trình  quy Có ba phng pháp gii phng trình  quy: 1.- Phng pháp truy hi 2.- Phng pháp oán nghim. 3.- Li gii tng quát ca mt lp các phng trình  quy. Phng pháp truy hi Dùng  quy  thay th bt k T(m) vi m < n vào phía phi ca phng trình cho n khi tt  T(m) vi m > 1 c thay th bi biu thc ca các T(1). Vì T(1) luôn là hng nên chúng ta có công thc ca T(n) cha các s hng ch liên quan n n và các hng s. Gii phng trình. Ví d 1-10: Gii phng trình: Ta có: Gi s n = 2 k , quá trình suy rng s kt thúc khi i =k, khi ó ta có: T(n) = 2 k T(1) + kC 2 n Vì 2 k = n nên k = logn và vi T(1) =C 1 nên ta có Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 9 T(n) = C 1 n + C 2 nlogn Hay T(n) là O(nlogn). oán nghim Ta oán mt nghim f(n) và dùng chng minh quy np  chng t rng T(n)  f(n) vi mi n. Thông thng f(n) là mt trong các hàm quen thuc nh logn, n, nlogn, n 2 , n 3 , 2 n , n!, n n . ôi khi chúng ta choán dng ca f(n) trong ó có mt vài tham s cha xác nh (chng hn f(n) = an 2 vi a cha xác nh) và trong quá trình chng minh quy np ta s suy din ra giá tr thích p ca các tham s. Ví d 1-11: Gii phng trình  quy Gi s chúng ta oán f(n) = anlogn. Vi n = 1 ta thy rng cách oán nh vy không c bi vì anlog n có giá tr 0 không ph thuc vào giá tr ca a. Vì th ta th tip theo f(n) = anlogn + b. Vi n = 1 ta có, T(1) = C 1 và f(1) = b, mun T(1)  f(1) thì b  C 1 (*) Gi s rng T(k)  aklogk + b vi mi k < n (I.2).Ta s chng minh T(n)  anlogn + b Gi s n  2, t (I.1) ta có T(n) = 2T(n/2) + C 2 n Áp dng (I.2) vi k = n/2 < n ta có: T(n) = 2T(n/2) + C 2 n  2[an/2log(n/2) + b] + C 2 n T(n)  anlogn - an + 2b + C 2 n T(n)  (anlogn + b) + [b + (C 2 - a)n] . Nu ly a  C 2 + b (**) ta c T(n)  (anlogn + b) + [b +(C 2 - C 2 - b )n ] T(n)  (anlogn + b) + (1-n) b T(n)  an logn + b. Nu ta ly a và b sao cho c (*) và (**) u tho mãn thì T(n)  an logn + b vi mi n. D dàng ta có b = C 1 và a= C 1 +C 2 ta c T(n)  (C 1 + C 2 )nlogn + C 1 vi mi n. Collected by The_Wall (11/10/2005) Giáo trình môn Phân tích Gii Thut – I C CN TH Trang 10 Hay nói cách khác T(n) là O(nlogn). i gii tng quát cho mt lp các phng trình  quy  gii bài toán kích thc n, ta chia bài toán ã cho thành a bài toán con, mi bài tóan con có kích thc n/b. Gii các bài toán con này và tng hp kt qu li c kt qu ca bài toán ã cho. i các bài toán con chúng ta cng làm nh vy. K thut này s dn chúng ta n mt chng trình  quy. Gi thit rng mi bài toán con kích thc 1 ly mt n v thi gian và thi gian  chia bài toán kích thc n thành các bài toán con kích thc n/b và tng hp kt qu t các bài toán con  c li gii ca bài toán ban u là d(n). (Chng hn i vi thí d MergeSort, chúng ta có a = b = 2, và d(n) = C 2 n/C 1 . Xem C 1 là mt n v). Gi T(n) là thi gian  gii bài toán kích thc n thì ta có phng trình  quy: Ta s dng phng pháp truy hi  gii phng trình này Gi s n = b k ta c: T(n/b k ) = T(1) = 1. Thay vào trên vi i = k ta có: Hàm tin trin, nghim thun nht và nghim riêng Trong phng trình  quy (I.1) hàm thi gian d(n) c gi là hàm tin trin (driving function) Trong công thc (I.2), a k = n log b a c gi là nghim thun nht (homogeneous solutions). Nghim thun nht là nghim chính xác khi d(n) = 0 vi mi n. Nói mt cách khác, nghim thun nht biu din thi gian  gii tt c các bài toán con. [...]... to n do begin readln(x); Sum := Sum + x; end; b) Tính tích hai ma tr n vuông c p n C = A*B: for i := 1 to n do for j := 1 to n do begin c[i,j] := 0; for k := 1 to n do c[i,j] := c[i,j] + a[i,k] * b[k,j]; end; Bài 2: Gi i các ph ng trình quy sau v i T(1) = 1 và a) T(n) = 3T(n/2) + n b) T(n) = 3T(n/2) + n2 c) T(n) = 8T(n/2) + n3 Giáo trình môn Phân tích Gi i Thu t – I C C N TH Trang 13 Collected... pháp tìm ki m tu n t và tìm ki m nh phân V i m i ph hàm tìm và tính th i gian th c hi n c a hàm ó Bài 7: Tính th i gian th c hi n c a gi i thu t Bài 8: Xét a) Vi t m t hàm ng pháp hãy vi t m t quy gi i bài toán Tháp Hà n i v i n t ng? nh ngh a s t h p ch p k c a n nh sau: quy tính s t h p ch p k c a n Tính th i gian th c hi n c a gi i thu t nói trên Giáo trình môn Phân tích Gi i Thu t – I C C N TH ... khi d(n) = n Khi ó d(b) = b và logb(b ) = Vì th nghi m riêng là O(n ) và do v y T(n) là O(n ) 3.- N u a = d(b) thì công th c (I.5) không xác inh nên ta tính tr c ti p nghi m riêng: Giáo trình môn Phân tích Gi i Thu t – I C C N TH Trang 11 Collected by The_Wall (11/10/2005) Vì a= d(b) nên nghi m riêng là nlogbalogbn và nghi m này l n g p logbn l n nghi m thu n nh t Do ó T(n) = O(nlogbalogbn)... nh t khi U(1) = 1 là nlog3 = n1.59; vì U(1) = 1/2 nên nghi m thu n nh t là n1.59/2 là ) Vì a = 3 và b = 2 và b1.5 = 2.82 < a, nghi m riêng c ng là O(n1.59) và do ó U(n) = O(n1.59) Vì Giáo trình môn Phân tích Gi i Thu t – I C C N TH Trang 12 Collected by The_Wall (11/10/2005) T(n) = 2U(n) nên T(n) = O(n1.59) hay T(n) = O(nlog3) Ví d 1-15: Gi i ph ng trình quy sau : T(1) = 1 T(n) = 2T(n/2) +... T(n) c a (3) là O(n3) 3 Trong ph ng trình (2) chúng ta có d(b) = 4 = a nên T(n) = O(n2logn) Các hàm ti n tri n khác Ta xét hai tr ng h p d i d ng hai ví d , tr ng h p 1 là t ng quát hóa c a hàm b t k là tích a m t hàm nhân v i m t h ng l n h n ho c b ng 1 Tr ng h p th hai là hàm ti n tri n không ph i là m t hàm nhân Ví d 1-14: Gi i pg ng trình quy sau : T(1) = 1 T(n) = 3T(n/2) + 2n1.5 ây, 2n1.5 không . Tính thi gian thc hin ca chng trình. · Phân tích các chng trình  quy. I.1- S CN THIT PHI PHÂN TÍCH GII THUT Trong khi gii mt bài toán. tích các chng trình  quy. 5. Vn  nghiên cu ca trang k tip Trong chng này chúng ta s nghiên cu các vn  sau: · S cn thit phi phân tích