Số hyperfibonqcci và số hyperlucas

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM TUẤN NGHỊ SỐ HYPERFIBONACCI VÀ SỐ HYPERLUCAS Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2019 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: TS Ngô Văn Định Phản biện 1: TS Ngô Thị Ngoan Phản biện 2: TS Trần Nguyên An Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn Họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 14 tháng 12 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên - Thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên i Mục lục Mở đầu 1 Khái niệm số tính chất 1.1 Số Fibonacci số Lucas 1.2 Ma trận vô hạn Euler–Seidel 1.3 Số hyperfibonacci số hyperlucas 1.4 Một số đẳng thức 10 Tổng nghịch đảo tính lồi lôgarit 14 2.1 Tổng nghịch đảo số hyperfibonacci hyperlucas 14 2.2 Tính lồi lơgarit dãy số hyperfibonacci hyperlucas 16 2.3 Số hyperfibonacci suy rộng số hyperlucas suy rộng 17 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 Mở đầu Dãy số Fibonacci {Fn } dãy số Lucas {Ln } hai dãy số tiếng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tìm nhiều tính chất thú vị chúng Hai dãy số định nghĩa F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 , (n ≥ 2), L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1 + Ln−2 , (n ≥ 2) v Nm 2008, Dil v Mezăo [4] ó s dụng thuật tốn ma trận vơ hạn Euler– Seidel ma trận vô hạn đối xứng để nghiên cứu dãy số Trong đó, hai tác giả định nghĩa dãy số hyperfibonacci {Fn(r) } dãy số hyperlucas {Ln(r) } Cụ thể, hai dãy số định nghĩa n (r) Fn (r−1) = Fk (0) (r) , với Fn = Fn , F0 (r) = 0, F1 = 1, k=0 n (r) (r−1) Ln = Lk (0) (r) (r) , với Ln = Ln , L0 = 0, L1 = k=0 Đồng thời, hai tác giả chứng minh số tính chất hai loại dãy số dựa vào thuật toán liên quan đến ma trận vơ hạn Euler–Seidel Sau đó, loại dãy số thu hút quan tâm nghiên cứu số nhà toán học Năm 2010, Cao Zhao [2] cơng bố số kết tính chất dãy số hyperfibonacci dãy số hyperlucas Cụ thể, họ nghiên cứu thu số đẳng thức tổng (r) (r) (r) (r) (r) Fj1 Fj2 · · · Fjk j1 +j2 +···+jk =n (r) Lj1 Lj2 · · · Ljk j1 +j2 +···+jk =n Năm 2012, Liu Zhao [7] công bố số kết liên quan đến tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci nghịch đảo số hyperlucas Bên cạnh đó, họ công bố kết tương tự mở rộng dãy số Đặc biệt, tác giả   −1   ∞    = Fn −  (1) k=n Fk chứng minh   −1   ∞     = Ln − 1, (1) k=n Lk · ký hiệu hàm sàn (xem Định lý 2.1.2) Năm 2014, Zheng, Liu Zhao [9] công bố số kết tính chất lồi, lõm lơgarit dãy số hyperfibonacci, dãy số hyperlucas dãy số suy rộng chúng Đặc biệt, họ chứng minh rằng, với r ≥ 1, dãy (r) (1) (r) {Fn }n≥1 , {Ln }n≥3 {Ln }n≥0 (r ≥ 2) lõm gơgarit (xem Định lý 2.2.4) Mục đích luận văn trình bày lại cách hệ thống kết nói Nội dung luận văn chia thành hai chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày lại cách sơ lược dãy số Fibonacci dãy số Lucas, trình bày ma trận vô hạn đối xứng, ma trận vô hạn Euler–Seidel, sử dụng ma trận để chứng minh số đẳng thức liên quan đến số Fibonacci số Lucas Sau chúng tơi trình bày khái niệm số hyperfibonacci số hyperlucas, tính chất chúng số kết Cao Zhao Trong phần đầu chương 2, chúng tơi trình bày kết Liu Zhao tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci, số hyperlucas, số tổng vơ hạn có liên quan đến nghịch đảo Trong phần chương 2, trình bày số kết Zheng, Liu Zhao tính lồi, lõm lơgarit dãy số hyperfibonacci dãy số hyperlucas Phần cuối chương dành để trình bày dãy hyperfibonacci suy rộng dãy hyperlucas suy rộng số kết tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci tính lồi, lõm lơgarit dãy số mở rộng Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn người thân gia đình tất người bạn thân yêu thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho để tơi học tập, nghiên cứu thực luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Người viết luận văn Phạm Tuấn Nghị Chương Khái niệm số tính chất Mục đích chương trình bày lại khái niệm số tính chất dãy số hyperfibonacci dãy số hyperlucas Trước trình bày nội dung này, chúng tơi trình bày lại khái niệm số tính chất dãy số Fibonacci dãy số Lucas dựa vào thuật tốn liên quan đến ma trận vơ hạn đối xứng Các nội dung trình bày chương tham khảo từ báo xuất năm 2008 Dil v Mezăo [4] v bi bỏo xut bn nm 2010 Cao Zhao [2] Ngồi ra, chúng tơi trình bày số vấn đề ma trận vô hạn Euler–Seidel dựa theo tài liệu [5] Các nội dung ma trận vô hạn Euler–Seidel sử dụng để nghiên cứu tính chất số hyperfibonacci số hyperlucas 1.1 Số Fibonacci số Lucas Trong mục này, nhắc lại khái niệm số Fibonacci số Lucas Đồng thời chúng tơi trình bày thuật tốn ma trận vơ hạn đối xứng để sử dụng nghiên cứu số tính chất số Fibonacci số Lucas Trước tiên, ta nhắc lại cách sơ lược hai dãy số Đây hai dãy số tiếng có nhiều tính chất thú vị Có nhiều tài liệu viết hai dãy số Ở tham khảo từ sách [6] Koshy Các số Fibonacci Fn định nghĩa công thức truy hồi Fn = Fn−1 + Fn−2 , (n ≥ 2), với điều kiện ban đầu F0 = 0, F1 = Các số Lucas Ln có cơng thức truy hồi số Fibonacci, với điều kiện ban đầu L0 = 2; L1 = Các số Ln Fn kết nối với công thức Ln = Fn−1 + Fn+1 , (n ≥ 1) (1.1) √ 1+ Khi đó, số Fibonacci số Lucas có Ký hiệu α = cơng thức tổng quát Fn = αn − (−1)n α−n √ Ln = αn + (−1)n α−n (1.2) Dãy số Fibonacci có hàm sinh ∞ Fkn+r tn = n=0 Fr + (−1)r Fk−r t − Lk t + (−1)k t2 (1.3) Từ hàm sinh dãy số Fibonacci mối liên hệ (1.1), ta dễ dàng tìm hàm sinh dãy số Lucas sau: ∞ Lkn+r tn = n=0 Lr + (−1)r−1 Lk−r t − Lk t + (−1)k t2 (1.4) Tiếp theo, chúng tơi trình bày thuật tốn ma trận đối vô hạn đối xứng áp dụng vào dãy sô Fibonacci dãy số Lucas Nội dung tham khảo từ báo [4] Dil v Mezăo Cho trc hai dóy s thc ln lt ký hiệu (an ) (an ) Từ hai dãy số ban đầu này, định nghĩa ma trận vô hạn với phần tử an k thuộc dòng thứ k + 1, cột thứ n + xác định công thức truy hồi: a0n = an , an0 = an , (n ≥ 0), akn = akn−1 + ank−1 , (n ≥ 1, k ≥ 1) (1.5) Ma trận vô hạn xác định gọi ma trận vô hạn đối xứng xác định hai dãy số ban đầu (an ) (an ) Theo công thức truy hồi trên, ta mơ tả cách xác định ma trận sau:  ··· · ·  · · · · ·  · · · · ·  · · · · ak−1  n  ↓   · · · akn−1 → akn  · · · · ·   · · · · · ··· · · ···  · · ·   · · ·  · · ·     · · ·  · · ·   · · · ··· Mệnh đề sau cho ta thuật toán đối xứng xác định phần tử akn từ phần tử thuộc dòng phần tử thuộc cột Mệnh đề 1.1.1 Với n ≥ k ≥ 1, phần tử akn ma trận vô hạn đối xứng xác định công thức sau: k akn = i=1 n+k−i−1 i a0 + n−1 n j=1 n+k−j−1 aj k−1 (1.6) Nhận xét rằng, dòng, cột ma trận vô hạn đối xứng (akn ) định nghĩa dãy số Định lý sau cho ta công thức xác định hàm sinh dãy số thông qua hàm sinh hai dãy số ban đầu Ta ký hiệu k a(t) n a(t) hàm sinh dãy số tương ứng với dòng thứ k hàm sinh dãy số tương ứng cột thứ n Định lý 1.1.2 Cho (a0n ) (an0 ) hai dãy số ban đầu Khi đó, hàm sinh hàng thứ k cột thứ n ma trận vô hạn đối xứng ∞ k akn tn a(t) = n=1 ∞ n akn tk a(t) = k=1 = (1 − t)k = (1 − t)n t a(t) + 1−t t a(t) + 1−t k ar0 (1 − t)r (1.7) r=1 n a0j (1 − t)j (1.8) j=1 Bây giờ, áp dụng thuật tốn ma trận vơ hạn đối xứng trình bày để nghiên cứu số tính chất dãy số Fibonacci dãy số Lucas Bằng cách bắt đầu với hai dãy số khác từ số Fibonacci số Lucas, sử dụng thuật tốn ma trận vơ hạn đối xứng ta thu đẳng thức liên quan đến hai dãy số Xét hai dãy số ban đầu a0n = Fn−1 an0 = F2n−1 , n ≥ Trong trường hợp ta thu ma trận vô hạn sau:  F0 F1 F2 · · ·  ···   ···     F1 F2 F3 F4   F3 F4 F5 F6  F F F F   (1.9) ···   Ta xét ma trận vô hạn tương tự cho số Lucas cách thay Fn Ln Chúng ta chứng minh số đẳng thức phương pháp nêu Mệnh đề 1.1.3 Các đẳng thức sau đúng: n n F2n = Fi = Fn+2 − F2i−1 , i=1 i=1 n L2n − = (1.10) n Li = Ln+2 − L2i−1 , i=1 (1.11) i=0 Từ (1.3) ta có hàm sinh dòng thứ cột thứ ma trận (1.9) Mệnh đề sau cho ta hàm sinh dòng cột ma trận Để đơn giản hóa, ký hiệu k−1 i=0 n+k−i−2 n−1 n−1 F2i+1 i=0 n+k−i−2 k−1 Fi (1.12) An,k Bn,k Mệnh đề 1.1.4 Với hai dãy số ban đầu a0n = Fn−1 an0 = F2n−1 , (n ≥ 1), ta có ∞ k a(t) = An,k + Bn,k tn = t {F2k + tF2k−1 } − t − t2 (1.13) An,k + Bn,k tk = t (Fn+1 − tFn−1 ) t2 − 3t + (1.14) n=1 ∞ n a(t) = k=1 Bằng phương pháp tương tự ta xét với hai dãy số ban đầu dãy số Fibonacci với số chẵn dãy số Fibonacci với số lẻ Khi đó, ta có mệnh đề sau tương tự Mệnh đề 1.1.4 Mệnh đề 1.1.5 Với dãy số ban đầu a0n = F2n−1 an0 = F2n , n ≥ 1, có ∞ Cn,k + Ak,n tn = n=1 −t t +t−1 t t2 − t + (1 − t)k (t2 − 3t + 1) + F2k+1 + tF2k ∞ Cn,k + Ak,n tk = k=1 t t +t−1 2t t2 − t + − F2n − tF2n−1 (1 − t)n (t2 − 3t + 1) , k−1 Cn,k := n+k−i−2 F2i n−1 i=0 Lưu ý ta có mệnh đề tương tự mệnh đề 1.1.4 1.1.5 dãy số Lucas cách thay Fn Ln 1.2 Ma trận vô hạn Euler–Seidel Trong mục này, chúng tơi trình bày ma trận Euler–Seidel để sử dụng cho việc nghiên cứu tính chất số hyperfibonacci số hyperlucas Các nội dung tham khảo từ tài liệu [5] Định nghĩa 1.2.1 Cho trước dãy số a0 , a1 , a2 , Ta gọi ma trận Euler–Seidel liên kết với dãy (an ) ma trận vô hạn với phần tử thuộc dòng k + (k ≥ 0), cột [k] n + (n ≥ 0), ký hiệu an xác định [0] an = an [k] [k−1] an = an [k−1] + an+1 (n ≥ 0), (n ≥ 0, k ≥ 1) Mệnh đề sau cho ta công thức xác định phần tử a[k] n ma trận Euler– Seidel từ dãy số ban đầu, tức từ phần tử thuộc dòng 9 Mệnh đề 1.2.2 Với n k , ta có k [k] an = i=0 k [0] a i n+i Trường hợp đặc biệt, với n = 0, ta có phần tử thuộc cột thứ xác định qua phần thuộc dòng k [k] a0 = i=0 k [0] a i i (1.15) Mệnh đề sau cho ta công thức xác định phần tử a[k] n ma trận Euler–Seidel qua phần tử thuộc cột thứ Mệnh đề 1.2.3 Với n k , ta có n [k] an (−1)n−i = i=0 n [k+i] a i Trường hợp đặc biệt, với k = 0, ta có cơng thức xác định phần tử thuộc dòng thứ qua phần tử thuộc cột thứ sau: n [0] an (−1)n−i = i=0 n [i] a i (1.16) [n] Gọi a(t) a¯(t) hàm sinh dãy số {a[0] n } dãy số {a0 }, tức ∞ ∞ [0] an tn , a(t) = [n] a0 tn a(t) = n=0 n=0 Mệnh đề cho ta mối liên hệ hai hàm sinh Mệnh đề 1.2.4 Với ký hiệu trên, ta có a(t) = 1.3 t a 1−t 1−t a(t) = t a t+1 t+1 (1.17) Số hyperfibonacci số hyperlucas Trong mục này, trình bày khái niệm số hyperfibonacci số hyperlucas Đồng thời, chúng tơi trình bày hàm sinh dãy số 10 Định nghĩa 1.3.1 Các số hyperfibonacci, ký hiệu Fn(r) số hyperlucas, ký hiệu L(r) n , định nghĩa n (r−1) (r) Fk Fn = (0) (r) , với Fn = Fn , F0 (r) = 0, F1 = 1, (1.18) k=0 n (r) (r−1) Ln = Lk (0) (r) (r) , với Ln = Ln , L0 = 0, L1 = (1.19) k=0 Một số giá trị Fn(r) L(r) n là: (1) Fn : 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 159, 2583, (2) Fn : 0, 1, 3, 7, 14, 26, 46, 79, 133, 221, 364, 596, 972, 1581, 2567, 4163, 6746, (1) Ln : 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5577, (2) Ln : 2, 5, 11, 21, 38, 66, 112, 187, 309, 507, 828, 1348, 2190, 3553, 5759, 9329, Mệnh đề sau cho ta hàm sinh dãy số hyperfibonacci hàm sinh dãy số hyperlucas Mệnh đề 1.3.2 Hàm sinh dãy số hyperfibonacci hàm sinh dãy số hyperlucas xác định ∞ (r) t (1 − t − t2 ) (1 − t)r (r) 2−t (1 − t − t2 ) (1 − t)r Fn tn = n=0 ∞ Ln tn = n=0 1.4 Một số đẳng thức Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất số hyperfibonacci số hyperlucas dựa theo báo [2] Cao Zhao Trước tiên, từ Mệnh đề 1.1.3, ta có (1) Fn = Fn+2 − 1, (2) Fn = Fn+4 − n − n (n − k)Fk , = k=0 11 (1) Ln = Ln+2 − 1, (2) Ln = Fn + Fn+2 − 1, (2) Ln = (Fn+1 − 1) + 3Fn − n = Ln+3 − (n + 4) Đối với số Fibonacci số Lucas, tổng có dạng nghiên cứu tìm số tính chất chúng Fj1 Fj2 · · · Fjk , j1 +j2 +···+jk =n Lj1 Lj2 · · · Ljk j1 +j2 +···+jk =n Ví dụ như, ta có (n − 1)Ln + 2Fn−1 F j1 F j2 = j1 +j2 =n Lj1 Lj2 = (n + 1)Ln + 2Fn+1 j1 +j2 =n Bây giờ, trình bày số kết tổng tương ứng số hyperfibonacci số hyperlucas Ta ký hiệu (r) (r) (r) F j1 F j2 · · · F jk , An,k,r = (r) (r) j1 +j2 +···+jk =n (r) Lj1 Lj2 · · · Ljk Bn,k,r = j1 +j2 +···+jk =n Từ hết chương, ký hiệu [z n ] f (z) biểu thị hệ số z n f (z), đó, f (z) chuỗi lũy thừa ∞ fn z n f (z) = n=0 Nếu f (t) g(t) hai chuỗi lũy thừa ta có [tn ] (af (t) + bg(t)) = a [tn ] f (t) + b [tn ] g(t), (1.20) [tn ] tf (t) = tn−1 f (t), (1.21) n [tn ] f (t)g(t) = y k f (y) tn−k g(t) (1.22) k=0 Định lý 1.4.1 Cho k, n ≥ r ≥ số nguyên dương Với An,k,r Bn,k,r , ta có An,2,1 = n + − 2Fn+4 + (n + 1)Ln+4 − 2Fn+1 , (1.23) 12 Bn,2,1 = n + − 10Fn+4 − 2Fn+1 + (5n + 9)Ln+4 + 4Ln+6 , (1.24) n (r) (1.25) (r) (1.26) An,k,r Fj , An,k+1,r = j=0 n Bn,k,r Lj Bn,k+1,r = j=0 Nhận xét rằng, từ đẳng thức (1.23) (1.24), ta có đồng dư thức sau: An,2,1 ≡ n − 2Fn+4 + (n + 1)Ln+4 − 2Fn+1 (mod5) Bn,2,1 ≡ n − 10Fn+4 − 2Fn+1 + (5n + 9)Ln+4 + 4Ln+6 (mod9) Khi k r trở nên lớn, khó để ta tính toán An,k,r Bn,k,r Tuy nhiên, đưa giá trị tiệm cận chúng Trước tiên nhắc lại bổ đề hàm biến phức sử dụng chứng minh n n≥0 an t Bổ đề 1.4.2 ([8]) Giả sử f (t) = hàm giải tích với |t| < r với số hữu hạn điểm kỳ dị đại số đường tròn |t| = r Gọi α1 , α2 , · · · , αl điểm kỳ dị cấp ω , ω cấp cao điểm kỳ dị Khi đó, ta có l an = n ω−1 gk (αk ) αk−n + o r−n /ω! × (1.27) , k=1 gk (αk ) = lim (1 − (t/αk ))ω f (t) t→αk Định lý 1.4.3 Giả sử k r hai số nguyên dương cố định Với An,kp ,r Bn,kp ,r , n → ∞, ta có An,k,r = Bn,k,r nk−1 (k − 1)! nk−1 = (k − 1)! α α +1 2α2 − α α2 + k (1 + α)kr αn + o (αn ) (1.28) , k (1 + α)kr αn + o (αn ) (1.29) Định lý sau cho ta mở rộng tiệm cận số tổng khác Fn(r) (r) Ln 13 Định lý 1.4.4 Cho n số nguyên dương Khi n → ∞, ta có n n k k=0 (r) Fk n (r) (nk)Lk k=0 n n (r) (−1)k Fk k k=0 n n α(1 + α)r + o (2 − α)−n , (α2 + 1) (2 − α)n (1 + α)r = + o (2 − α)−n , n (2 − α) = −αn+1 (2 − α)r + o ((−α)n ) , α2 + (r) (−1)k Lk = (2 − α)r αn + o ((−α)n ) k k=0 = (1.30) (1.31) (1.32) (1.33) Định lý 1.4.5 Giả sử m r số nguyên dương cố định Khi n → ∞, ta có n (r) Fn−j j=0 n (r) Ln−j j=0 j+m−1 j j+m−1 j = αn+1 (1 + α)r+m + o (αn ) , α +1 = (1 + α)r+m αn + o (αn ) (1.34) (1.35) 14 Chương Tổng nghịch đảo tính lồi lơgarit Trong chương trước, biết khái niệm số hyperfibonacci số hyperlucas, đồng thời ta có số tính chất liên quan đến số Trong chương này, chúng tơi tiếp tục trình bày số kết liên quan đến hai loại số Cụ thể, chúng tơi trình bày lại số kết Liu Zhao [7] tổng nghịch đảo số hyperfibonacci số hyperlucas, sau chúng tơi trình bày tính lồi, lõm lơgarit dãy số dựa theo báo Zheng, Liu Zhao [9] Ngồi ra, chúng tơi trình bày số mở rộng cho vấn đề dãy số hyperfibonacci suy rộng hyperlucas suy rộng mục cuối 2.1 Tổng nghịch đảo số hyperfibonacci hyperlucas Tổng vô hạn nghịch đảo số Fibonacci số Lucas nghiên cứu Ohtsuka Nakamura (xem [1]) Họ chứng minh   −1   ∞   n chẵn n ≥ 2,   = Fn−2 , Fk Fn−2 − 1, n chẵn ≥ 1, k=n đó, · ký hiệu hàm sàn, tức r , với r ∈ R, số nguyên lớn mà nhỏ r Ở đây, nghiên cứu tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci nghịch đảo số hyperlucas, tức là, nghiên cứu 15 tổng dạng sau   ∞     , −1  (1) k=n Fk     ∞ (1) k=n    −1  Lk Trước tiên, sử dụng công thức tổng quát (1.2) số Fibonacci số Lucas, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.1.1 Các đẳng thức sau đúng: Fn+1 Fn+3 − Fn Fn+4 = 2(−1)n , (2.1) Ln+1 Ln+3 − Ln Ln+4 = 10(−1)n+1 , (2.2) Fn+2 − Fn+1 Fn+3 = (−1)n+1 , (2.3) L2n+2 − Ln+1 Ln+3 = 5(−1)n (2.4) Định lý sau cho ta tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci (1) Fn số hyperlucas L(1) n Định lý 2.1.2 Với n ≥ 4, ta có   ∞   k=n     ∞ (1) Fk (1) k=n Lk    = Fn − 1, (2.5)    = Ln − (2.6) −1  −1  Định lý cho ta tổng vơ hạn bình phương nghịch đảo số hyperfibonacci Fn(1) số hyperlucas L(1) n Định lý 2.1.3 Ta có      ∞    =   k=n      ∞ k=n (1) Fk (1) (1) (1) Fn−1 Fn + Fn−1 − n số chẵn n ≥ 2, (1) (1) (1) |Fn−1 Fn + Fn−1 n số lẻ n ≥ 1,     (1) (1) (1) = Ln−1 Ln + Ln−1 − 1,  (1) Lk n số lẻ n > (2.7) (2.8) 16 Định lý cho ta số đẳng thức có liên quan đến nghịch đảo số hyperfibonacci nghịch đảo số hyperlucas Định lý 2.1.4 Cho m số nguyên dương Khi đó, đẳng thức sau ∞ Ln+2m+2 = F2m 4m , (1) (1) (1) n=1 Fn Fn+4m k=1 Fk ∞ 4m Fn+2m+2 1 = , (1) (1) (1) 5F2m L L L n n=1 n=1 k n+4m ∞ 4m+2 Fn+2m+3 1 = , (1) (1) (1) L2m+1 F n=1 Fn Fn+4m+2 k=1 k ∞ 4m+2 Ln+2m+3 1 = (1) (1) (1) L2m+1 L n=1 Ln Ln+4m+2 k=1 k 2.2 (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) Tính lồi lôgarit dãy số hyperfibonacci hyperlucas Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết Zheng, Liu Zhao [9] tính lồi, lõm lôgarit dãy số hyperfibonacci hyperlucas Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm tính lồi, lõm lôgarit dãy số Định nghĩa 2.2.1 Cho {an }n≥0 dãy số thực dương Nếu với j ≥ 1, a2j ≥ aj−1 aj+1 (tương ứng aj−1 aj+1 ≥ a2j ) dãy số {an }n≥0 gọi lõm lôgarit (tương ứng lồi lôgarit), viết tắt log -lõm (tương ứng log -lồi) Định nghĩa 2.2.2 Cho {an }n≥0 dãy số thực dương Chúng ta nói {an }n≥0 cân lơgarit hay viết tắt log -cân {an }n≥0 log-lồi an { }n≥0 log-lõm n! Nhận xét dãy số {an }n≥0 log-lồi (tương ứng log-lõm) dãy thương {an+1 /an }n≥0 không giảm (tương ứng không tăng) Đương nhiên, chuỗi thương số chuỗi cân log không tăng nhanh Do đó, dãy thương dãy log-cân khơng tăng nhanh Đối với dãy Fibonacci {Fn } dãy Lucas {Ln }, tính log-lõm (log-lồi) chúng có liên quan đến tính chẵn lẻ n Cụ thể, dãy {F2n+1 } {L2n } log-lồi dãy {F2n } 17 {L2n+1 } log-lõm Ta nghiên cứu tính log-lồi tính log-lõm dãy số hyperfibonacci hyperlucas Trước tiên, ta có bổ đề sau tính log-lõm tích chập hai dãy log-lõm Ta sử dụng bổ đề chứng minh định lý sau Bổ đề 2.2.3 ([3]) Nếu hai dãy {xn } {yn } log -lõm tích chập n xk yn−k , n = 0, 1, 2, log-lõm chúng zn = k=0 (r) Định lý 2.2.4 Với r ≥ 1, dãy {Fn(r) }n≥1 , {L(1) n }n≥3 {Ln }n≥0 (r ≥ 2) log -lõm Định lý 2.2.5 Các dãy số {n!Fn(1) }n≥1 {n!L(1) n }n≥3 log -cân 2.3 Số hyperfibonacci suy rộng số hyperlucas suy rộng Trong mục cuối này, chúng tơi trình bày mở rộng dãy hyperfibonacci hyperlucas từ việc mở rộng dãy Fibonacci Lucas Trong đó, chúng tơi trình bày lại kết Liu Zhao [7] tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci suy rộng, đồng thời, chúng tơi trình bày lại kết Zheng, Liu Zhao [9] tính lồi lơgarit dãy suy rộng Gọi {Un }n≥0 {Vn }n≥0 dãy Fibonacci suy rộng Lucas suy rộng với công thức tổng quát Un Vn Un = τ n − (−1)n τ −n √ , Vn = τ n + (−1)n τ −n , = p2 + 4, τ = (p + √ (2.13) )/2, p ≥ Rõ ràng {Un }n≥0 {Vn }n≥0 thỏa mãn công thức truy hồi Wn+1 = pWn + Wn−1 (n ≥ 1), với U0 = 0, U1 = 1, V0 = 2, V1 = p (2.14) Với số nguyên dương r, số hyperfibonacci suy rộng Un(r) số hyperlucas suy rộng Vn(r) định nghĩa n (r) Un n (r−1) Uk , = k=0 (r) Vn (r−1) = Vk k=0 , 18 Un(0) = Un Vn(0) = Vn Bằng tính tốn, ta kiểm tra (1) Un = Un + Un+1 − p (2.15) Sử dụng công thức tổng quát Un , ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.3.1 Với {Un }, đẳng thức sau đúng: Un+1 − Un Un+2 = (−1)n Định lý 2.3.2 Khi n ≥ 2, ta có   ∞   k=n (1) Uk    = Un − (2.16) −1  (2.17) Bây xét tính lồi, lõm lơgarit dãy {Un(r) } {Vn(r) } Định lý 2.3.3 Với r ≥ p ≥ 1, dãy {Un[r] }n≥1 {Vn[1] }n≥3 log - lõm Định lý 2.3.4 Với p ≥ 1, dãy {n!Un(1) }n≥5 {n!Vn(1) }n≥5 log -cân 19 Kết luận Dựa theo tài liệu tham khảo, luận văn trình bày số vấn đề sau: Giới thiệu ma trận vô hạn đối xứng, ma trận vô hạn Euler–Seidel công thức hàm sinh cho ma trận Sử dụng tính chất ma trận vô hạn đối xứng, ma trận Euler–Seidel để nghiên cứu số tính chất số Fibonacci số Lucas Trình bày khái niệm số hyperfibonacci, số hyperlucas số đẳng thức liên quan đến số Trình bày số tính chất tổng vơ hạn nghịch đảo số hyperfibonacci, số hyperlucas số đẳng thức có liên quan đến nghịch đảo số Trình bày số kết tính lồi, lõm lôgarit dãy số hyperfibonacci dãy hyperlucas Giới thiệu khái niệm dãy số hyperfibonacci suy rộng dãy số hyperlucas suy rộng Đồng thời trình bày số tính chất dãy suy rộng này, đặc biệt tính lồi, lõm lơgarit 20 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] , Nguyễn Thị Thúy Hằng (2018), Về tổng nghịch đảo số Fibonacci, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tiếng nước [2] N.N Cao and F.Z Zhao (2010), “Some properties of hyperfibonacci and hyperlucas numbers”, Journal of Integer Sequences, Vol 13 Article 10.8.8 [3] H Davenport and G Pólya (1949), “On the product of two power series”, Canad J Math 1, p.1–5 [4] A Dil and I Mezăo (2008), A symmetric algorithm for hyperharmonic and Fibonacci numbers”, Appl Math Comput 206, p 942–951 [5] D Dumont (1981), “Matrices d’Euler–Seidel”, Seminaire Lotharingien de Combinatorie, B05s [6] T Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with application, John Wiley and Sons [7] R Liu and F.Z Zhao (2012), “On the sums of reciprocal hyperfibonacci numbers and hyperlucas numbers”, Journal of Integer Sequences, Vol 15 Article 12.4.5 [8] G Szegăo (1959), Orthogonal polynomials, 2nd Edition, American Mathematical Society, New York 21 [9] L.N Zheng, R Liu and F.Z Zhao (2014), “On the log-concavity of the hyperfibonacci numbers and the hyperlucas numbers ”, Journal of Integer Sequences, Vol 17, Article 14.1.4  ... chất số Fibonacci số Lucas Trình bày khái niệm số hyperfibonacci, số hyperlucas số đẳng thức liên quan đến số Trình bày số tính chất tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci, số hyperlucas số đẳng... (1.17) Số hyperfibonacci số hyperlucas Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm số hyperfibonacci số hyperlucas Đồng thời, chúng tơi trình bày hàm sinh dãy số 10 Định nghĩa 1.3.1 Các số hyperfibonacci,... niệm số hyperfibonacci số hyperlucas, tính chất chúng số kết Cao Zhao Trong phần đầu chương 2, chúng tơi trình bày kết Liu Zhao tổng vô hạn nghịch đảo số hyperfibonacci, số hyperlucas, số tổng