Thiết kế quy luật điều khiển cho hệ thống phi tuyến với tín hiệu vào có biên độ và độ dốc bị chặn

Bài báo phát triển một phương pháp thiết kế bộ điều khiển bằng phương pháp số cho hệ thống SISO gồm một khâu phi tuyến (có thể là khe hở, khâu chết hay ma sát) mà thông số chưa biết rõ ràng nối tiếp với một hệ tuyến tính dừng (có thể là hệ tuyến tính với tham số rải) sao cho sai số và tín hiệu ra bộ điều khiển luôn nằm trong những giới hạn cho phép cho trước với bất kỳ tín hiệu vào nào thỏa mãn điều kiện biên độ và độ dốc bị chặn. Phương pháp được xây dựng dựa trên nền tảng là Nguyên tắc phù hợp (Principle of Matching) và Phương pháp bất đẳng thức (Method of Inequalities).

THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 Thiết kế quy luật điều khiển cho hệ thống phi tuyến với tín hiệu vào có biên độ độ dốc bị chặn Controller design of feedback systems containing nonlinearity for inputs with bounded magnitude and slope Nguyễn Hoàng Hải1, Phan Văn Dương1, Vũ Tiến Mạnh2 Trường Đại học Hàng hải Việt Nam, hoanghai.ck@vimaru.edu.vn Trường Đại học Hải Phòng Tóm tắt Bài báo phát triển phương pháp thiết kế điều khiển phương pháp số cho hệ thống SISO gồm khâu phi tuyến (có thể khe hở, khâu chết hay ma sát) mà thông số chưa biết rõ ràng nối tiếp với hệ tuyến tính dừng (có thể hệ tuyến tính với tham số rải) cho sai số tín hiệu điều khiển nằm giới hạn cho phép cho trước với tín hiệu vào thỏa mãn điều kiện biên độ độ dốc bị chặn Phương pháp xây dựng dựa tảng Nguyên tắc phù hợp (Principle of Matching) Phương pháp bất đẳng thức (Method of Inequalities) Cụ thể, khâu phi tuyến thay khâu khuếch đại khâu nhiễu có biên độ bị chặn, qua đó, thu hệ tuyến tính phụ trợ Bằng định lý điểm cố định, chứng minh điều khiển làm cho hệ phụ trợ thỏa mãn yêu cầu điều khiển điều khiển làm cho hệ phi tuyến ban đầu thỏa mãn yêu cầu điều khiển Sau đó, yêu cầu điều khiển ban đầu thay hệ bất đẳng thức tương ứng với hệ tuyến tính phụ trợ giải phương pháp số Phương pháp đề xuất minh họa ví dụ cụ thể hàm truyền hệ hệ tuyến tính có trễ Từ khóa: Thiết kế điều khiển phương pháp số, hệ phi tuyến, khâu phi tuyến, phương pháp bất đẳng thức, nguyên tắc phù hợp Abstract This paper develops a design method for SISO nonlinear feedback systems that consist of an uncertain nonlinearity (possibly a backlash, a deadband or a friction) in cascade connection with a linear time-invariant system (possibly distributed-parameter) The main design objective is to keep the error and the controller output stay within prescribed bounds for all time and for all possible inputs whose magnitude and slope are bounded The design method is based on the principle of matching and the method of inequalities First, the nonlinearity is replaced by a gain and a bounded disturbance so that an auxiliary linear system is obtained Since the auxiliary system is linear, all the associated performance measures are computable by known methods The original design criteria are replaced with surrogate criteria that are in keeping with the method of inequalities Keywords: Numerical controller design, nonlinear systems, nonlinearity, method of Inequalities, principle of Matching Phần mở đầu Với phát triển máy tính cơng cụ tính tốn mạnh mẽ, xu hướng chung việc tìm lời giải cho tốn thiết kế điều khiển dịch chuyển dần từ việc tìm đáp số đẹp mặt giải tích trước sang việc tìm cách đưa tốn điều khiển dạng tìm lời giải phương pháp số sau dùng máy tính với giải thuật tìm kiếm để tìm đáp số Một phương pháp phương pháp bất đẳng thức đề xuất xây dựng Zakian [14-16] Trong phương pháp này, yêu cầu điều khiển đưa dạng hệ bất đẳng thức: HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 160 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 i (p)   i , i  1, 2, , n (1) Trong p vector tham số cần tìm điều khiển, i hàm thể đặc trưng hệ thống  i giá trị cho phép lớn i (p) Để tìm p từ (1) người ta dùng giải thuật tìm kiếm (xem [14 - 16]) Phương pháp bất đẳng thức nguyên tắc Phù hợp áp dụng vào thiết kế điều khiển cho hệ thống điều khiển trình SISO MIMO tuyến tính lý thuyết thực tế cho kết tốt Người đọc tham khảo [15] tài liệu tham khảo liệt kê [15] Trong hệ thống điều khiển trình, tượng khe hở (backlash), ma sát (mơ hình khâu phi tuyến liên quan thể hình 1, 3) tăng dần theo thời gian vận hành van khâu chấp hành hậu trình ăn mòn (xem [10], [12]) Theo [6], tượng khe hở xảy van tăng lên 10% dẫn đến việc sai số điều khiển tăng lên 50% Khi tượng khe hở, ma sát tăng lên đáng kể, người ta phải thay van Tuy nhiên việc thay van khơng thể thực khơng dừng tồn hệ thống Điều ảnh hưởng đến công việc sản xuất yếu tố kinh tế nhà máy Vì vậy, để hạn chế số lần thay van tăng thời gian sử dụng lần thay thế, yếu tố phi tuyến xuất van phải tính đến thiết kế điều khiển cho tồn hệ thống Có nhiều hướng thiết kế điều khiển để hạn chế ảnh hưởng khơng tốt tượng phi tuyến nói đến hệ thống Ví dụ, người ta thiết kế điều khiển thích nghi để nhận dạng bù sai lệch tượng khe hở, nhiên nhược điểm phương pháp điều khiển có cầu trúc phức tạp Một cách tiếp cận khác thiết kế điều khiển bền vững Ưu điểm phương pháp cấu trúc điều khiển đơn giản dễ thực Hình Khâu khe hở Hình Khâu chết Hình Khâu ma sát Hình Hệ thống phản hồi với khâu phi tuyến Bài báo phát triển phương pháp thiết kế điều khiển dựa phương pháp số cho hệ thống có mơ hình mơ tả hệ phương trình: u  gc  e   e  f  us * g p  f  (u )*g p  (2) Trong  khâu phi tuyến, gp, gc đáp ứng xung đối tượng điều khiển điều khiển, với hàm truyền tương ứng GP , Gc (s, p) Ở đây, p ký hiệu vector tham số HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 161 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 thiết kế điều khiển, biến mà phải xác định Như thường lệ, “ * “ ký hiệu tích chập: t ( g c * e)(t )   g c (t   )e( )d , t0 (3) Lưu ý lớp hệ tuyến tính biểu diễn dạng tích chập (3) rộng hệ tuyến tính mơ tả phân thức dạng M (s ) M (s), N (s) đa thức Vì N (s ) phương pháp trình bày áp dụng cho một lớp rộng hệ tuyến tính, bao gồm hệ tuyến tính có tham số rải Khâu phi tuyến mô tả dạng:  ( x)  Kx  n( x), | n( x) | h x (4) Trong K , h số biết Mơ hình (4) mơ hình tổng qt, dễ thấy khâu phi tuyến khe hở, ma sát mà ta nghiên cứu báo thỏa mãn (4) Trong thực tế, đặc biệt hệ thống điều khiển q trình, tín hiệu vào ln tín hiệu liên tục (tức có đạo hàm bậc bị chặn) có biên độ bị chặn Vì vậy, tín hiệu vào f giả thiết tín hiệu có biên độ độ dốc bị chặn, hay nói cách khác giả thiết tín hiệu f thuộc tập định nghĩa sau: f :    | ||f ||   M , || f ||  D (5) Trong M , D số cho trước Dễ thấy rằng, tập tập tập  , tập gồm tín hiệu có biên độ bị chặn Cũng cần nói thêm rằng, báo giới hạn tín hiệu vào tín hiệu thuộc tập định nghĩa (5), phương pháp thiết kế nêu báo áp dụng với nhiều lớp tín hiệu bị chặn khác Thảo luận ý nghĩa tập tín hiệu định nghĩa tập bị chặn khác, độc giả tìm thấy tài liệu tham khảo [14-15] tài liệu khác liệt kê Bài tốn điều khiển đặt báo xác định tham số điều khiển p (qua xác định điều khiển G(s, p) để: eˆ  Emax , uˆ  U max (6) Trong giá trị Emax , U max giá trị cho trước, dựa yêu cầu kỹ thuật yêu cầu chất lượng hệ thống Các giá trị eˆ, uˆ định nghĩa sau: eˆ sup || e || , f uˆ sup || u || f (7) Hiển nhiên eˆ, uˆ phụ thuộc vào p Chú ý rằng, yêu cầu điều khiển (6) tương đương với: | e(t , f ) | Emax , f  , t   | u (t , f ) | U max , f  , t      (8) Hay nói cách khác, tìm điều khiển G(s, p) để sai số e đầu điều khiển u nằm giới hạn cho phép  Emax ,  U max với đầu vào f  thời điểm t Yêu cầu điều khiển (6) thực chất phản ánh yêu cầu điều khiển thực tế, ví dụ yêu cầu điều khiểnsao cho sai số nhỏ 10% giá trị đặt tín hiệu điều khiển phải nhỏ giá trị cho phép Yêu cầu điều khiển (6) (hoặc (8)) liên hệ trực tiếp đến phương pháp thiết kế điều khiển dựa Phương pháp bất đẳng thức (Method of Inequalities) Nguyên tắc phù hợp (Principle of Matching) Zakian xây dựng phát triển Để hiểu rõ hơn, xin xem tài liệu [14 - 15] HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 162 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 Các nghiên cứu [1 - 3] [7 - 8] nghiên cứu toán liên quan đến vấn đề này, nhiên nghiên cứu với khâu phi tuyến riêng biệt, lời giải tổng quát cho vấn đề cụ thể báo Ngoài ra, nghiên cứu [7 - 8] sử dụng tiêu chuẩn hình học Popov để kiểm tra tính ổn định BIBO (bounded input - bounded output) hệ thống, tạo phức tạp thuật tốn tìm kiếm lời giải, dẫn đến thời gian tính tốn lâu Bài báo sử dụng tiêu chuẩn khác, xây dựng dựa nghiên cứu [6] để giảm thiểu phức tạp Cấu trúc báo sau Mục nêu giả thiết tốn, qua xây dựng định lý với chứng minh dựa vào định lý điểm cố định (Schauder’s fixed point theorem) Dựa vào định lý này, mục phát triển điều kiện đủ để yêu cầu điều khiển (6) thỏa mãn dạng hệ bất đẳng thức phù hợp với Phương pháp Bất đẳng thức giải thuật tốn tìm kiếm máy tính Mục xem xét điều kiện ổn đinh BIBO hệ thống (2) ổn định BIBO hệ liên quan trực tiếp đến việc tìm kiếm lời giải tốn phương pháp số Cuối cùng, mục phần thảo luận kết luận Xây dựng chứng minh định lý Trong mục này, định lý báo phát biểu chứng minh dựa định lý Schauder điểm bất động Giả thiết 1: Với tín hiệu vào f  , tồn cặp tín hiệu (e, u ) thỏa mãn (2), e :   u :   Tất điều kiện đầu t  Giả thiết 2: Khâu phi tuyến biểu diễn dạng (4) Từ giả thiết (và phương trình (4)) kết hợp với kỹ thuật sử dụng [11], [1 - 3] [7 - 8], tín hiệu u bị chặn khâu phi tuyến phân tích thành tổng khâu khuếch đại hệ số K nhiễu bị chặn d  u t   Ku  t   d , t  (9) Nếu ta thay khâu phi tuyến (9) từ hệ phi tuyến ban đầu (2), ta thu hệ, gọi hệ tuyến tính phụ hình 5, có dạng: u   g c  e   e  f  g p *[Ku   d ] (10) Trong f  , d  tập hợp định nghĩa sau:  {d  Kí hiệu  | ||d ||  h} (11) tập hợp hàm có dạng:    g a (t )   gi (t  ti ), g (t )   i 0  0,  t0 (12) t0 Trong  () ký hiệu hàm Dirac delta,  t0  t1  t2 ,   i 0 | gi |   ,  | g a | dt   Chú ý tập hợp tập hợp hàm đáp ứng xung hệ thống ổn định BIBO Xét hệ thống tuyến tính phụ (10) (và hình 6), ký hiệu g đáp ứng xung hàm truyền G(s) từ d đến u ' : Gp (s)Gc (s)[1  KGp (s)Gc (s)]1 (13) HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 163 G( s ) THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 Hình Hệ thống tuyến tính phụ hệ phi tuyến (2) Giả thiết 3: Với G(s) định nghĩa (13), đáp ứng xung g thỏa mãn g , g  Định lý 1: Giả sử hệ phi tuyến (2) thỏa mãn Giả thiết 1, 3, giả sử uˆ hữu hạn Yêu cầu điều khiển (6) thỏa mãn hệ tuyến tính phụ (10), điều kiện sau thỏa mãn: eˆ '  Emax , eˆ ' sup || e ' ||    sup || u ' ||  f  ,d  f  ,d uˆ '  U max , uˆ ' (14) Chứng minh: Chứng minh tương tự phương pháp sử dụng [11], [7-8] [1-3] Với hàm số x :   , với giá trị T  cố định, định nghĩa hàm chặt:  x(t ),   0, xT (t ) 0t T (15) t T Định nghĩa tập u e cho phép sau: x : x :   | || x ||  U max   | || x ||  Emax   Với tập cho trước X   , định nghĩa XT xT | x  X Bây xét hệ (2) giả thiết (14) Như vậy, e  u  Từ hệ thống (10), ta viết được: u g * d(u) g1 * f u   với f  (u) (16) Trong g, g1 đáp ứng xung tương ứng hệ thống có hàm truyền G(s ) G1(s) Gc (s)[1 KGp (s)Gc (s)] Từ (16), ta định nghĩa toán tử T : T T với giá trị T cho trước với f T Tập T tập đóng, bị chặn lồi không gian Banach (chi tiết xem [9]) Với kết chứng [7], theo giả thiết g, g nên g toán tử compact, theo tốn tử compact Áp dụng định lý điểm bất động, tồn u T cho u (u) Gọi e sai số tương ứng với u thì: u e Vì u f gc * e g p * [Ku d(u )] (17) hữu hạn nên (17) tương đương với: u e f gc * e g p * (u ) (18) Theo (18) theo Giả thiết 1, e u sai số đầu điều khiển hệ thống phi tuyến ban đầu (2) HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 164 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 Thiết lập hệ bất đẳng thức giải phương pháp số Theo định lý 1, cần tính giá trị eˆ ', uˆ ' Vì hệ (10) tuyến tính nên áp dụng tính chất xếp chồng, ta có: eˆ '  ef  ed   uˆ '  uf  ud  (19) Trong đó: ef ed uf ud sup{|| e ' || | f  , d  0}   sup{|| e ' || | f  0, d  }   sup{|| u ' || | f  , d  0}  sup{|| u ' || | f  0, d  }  (20) Các giá trị ef , uf tính nhờ phương pháp đề xuất [13] thông qua việc đưa toán toán quy hoạch tuyến tính hồn tồn tính cơng cụ tính tốn Chú ý rằng, để sử dụng phương pháp này, đáp ứng xung hệ phải tính Các giá trị ed , ud tính phương pháp số nhờ kết thông dụng hệ tuyến tính (ví dụ xem [5]):   ed  h  | ed ( , t ) | dt     h  | ud ( , t ) | dt    ud  (21) Trong ed ( , t), ud ( , t) giá trị e, u thời điểm t tín hiệu vào f d xung Dirac Từ điều trên, ta phát biểu định lý Định lý 2: Giả sử hệ phi tuyến (2) thỏa mãn Giả thiết 1, 3, giả sử uˆ hữu hạn Yêu cầu điều khiển (6) thỏa mãn hệ tuyến tính (10), điều kiện sau thỏa mãn: 1 (p)  Emax , 1 (p) ef  ed   2 (p)  U max , 2 (p) uf  ud  (22) Chứng minh: Từ Định lý (19 - 20), dễ dàng suy điều phải chứng minh Ý nghĩa Định lý 2, là, Định lý 1, giá trị eˆ, uˆ  khó để tính tốn máy tính, Định lý 2, giá trị thay giá trị 1 , 2 tính cơng cụ tính tốn hành Định lý đưa toán thiết kế dạng phù hợp với dạng phương pháp bất đẳng thức Vì vậy, ta tìm lời giải giải thuật tìm kiếm sẵn có, ví dụ MBP (Moving Bounderies Process) (xem [15]) Điều kiện ổn định BIBO Để giải hệ bất phương trình (22) phương pháp số, thuật tốn tìm kiếm phải xuất phát từ điểm ổn định (điểm ổn định định nghĩa điểm p mà tất giá trị ef , uf , ed , ud hữu hạn) Điểm ổn định giá trị p để hệ ổn định BIBO Bên cạnh đó, định lý yêu cầu giá trị uˆ phải hữu hạn Định lý sau đảm bảo điều kiện đủ để hệ ổn định BIBO Định lý 3: Xét hệ phi tuyến (2) thỏa mãn giả thiết 1, Ký hiệu gc hàm đáp ứng xung điều khiển Gc Giả thiết gc  Như vậy, hệ (2) ổn định BIBO HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 165 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 Chứng minh: Tham khảo tài liệu [1] [3], phương pháp chứng minh dựa vào định lý chứng minh [4] Như vậy, theo định lý 3, ta xác định điều khiển Gc (s, p) cho hàm truyền G(s) Gp (s)Gc (s)[1  KGp (s)Gc (s)]1 ổn định BIBO hệ phi tuyến (2) ổn định BIBO qua eˆ, uˆ hữu hạn Đối với hệ gọi RDDS (retarded delay diferrential systmes bao gồm rational systems) hệ ổn định BIBO nghiệm phương trình đăc trưng có phần thực âm Ký hiệu f (s ) phương trình đặc trưng G(s ) và: sup{Re(s ) : f (s ) 0} (23) Điều kiện để hệ (23) ổn định BIBO là: , 0< (24) Hiển nhiên phụ thuộc vào phương pháp bất đẳng thức (24) dùng để kiểm tra tính ổn định hệ phi tuyến (2) Ví dụ minh họa phương pháp Mục trình bày ví dụ thiết kế điều khiển cho đối tượng tuyến tính có trễ để minh họa cho hiệu phương pháp thiết kế trình bày phần trước Hàm truyền đối tượng là: GP ( s)  2e 0.2 s ( s  1)( s  2) (25) Các khâu phi tuyến có độ dốc giá trị  rõ, biết  nằm giới hạn từ đến 0.1 Yêu cầu điều khiển giữ cho sai số tín hiêu từ điều khiển nằm khoảng 0.1, 10 , với tín hiệu vào f  đó: M  1, D  0.1 (26) Theo đó, ta viết hệ bất đằng thức: 0 (p )  10 4   1 (p)  0.1  2 (p )  10  (27) Trong bất đẳng thức thứ tương ứng với điều kiện ổn định BIBO hệ, hai bất đằng thức phía ứng với yêu cầu điều khiển sai số đầu điều khiển nằm khoảng 0.1, 10 Để giải hệ (27), ví dụ này, dùng giải thuật tìm kiếm MBP (moving bounderies process) (xem [14-16]) Ngồi ra, sử dụng giải thuật khác nêu [15] Để tính giá trị 1 , 2 ứng với giá trị p , cần tính đáp ứng xung hệ (xem giải thích phần 3) Việc tính đáp ứng xung hệ có trễ thực sử dụng thuật tốn trình bày [17] Bộ điều khiển chọn có dạng: Gc (s, p) Với p [p1, p2 , p3 , p4 , p5 , p6 ]T p1 (s (s p6 )(s p2s p4s p3 ) p5 ) (28) tham số thiết kế cần tìm HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 166 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 Sau tìm kiếm, tìm giá trị p thỏa mãn: p [961.32,2.91,2.14,5.88, 840.56, 0.01]T (29) Và giá trị tương ứng là: 1.029, 0.098, 2.373 (30) Để kiểm tra lại điều khiển (28 - 29) thỏa mãn yêu cầu điều khiển hay khơng, tín hiệu thử (test input) f tạo ngẫu nhiên với biên độ độ dốc thỏa mãn (26) Việc thử tiến hành với khâu phi tuyến khe hở, khâu chết khâu ma sát có độ dốc  nằm khoảng (0, 0.1] Kết mơ thể hình cho thấy yêu cầu điều khiển sai số nằm giới hạn 0.1và tín hiệu nằm giới hạn 10 hồn tồn thỏa mãn Hình Kết mơ ví dụ mục 5, với khâu phi tuyến khác Kết luận Bài báo phát triển phương pháp thiết kế điều khiểnGc (s ) cho hệ thống (2) phương pháp số cho sai số e tín hiệu điều khiển u nằm giới hạn cho phép E max , U max với tín hiệu vào f Bằng cách sử dụng phương pháp thay phương trình (9), định lý cho phép thay tốn tìm điều khiển cho hệ phi tuyến (2) tốn tìm điều khiển chon hệ tuyến tính phụ (10) với hai đầu vào f d Định lý thay yêu cầu điều khiển hệ tuyến tính (10) hệ bất phương trình tìm lời giải phương pháp số với giải thuật hành Vì hàm truyền hệ tuyến tính G p (s ) mơ tả dạng tích chập, dạng tổng quát so với trường hợp hàm truyền có dạng phân thức mà tử số mẫu số đa thức, nên phương pháp áp dụng với hệ tuyến tính tham số rải (distributed HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 167 THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2016 parameters) Ngoài ra, phương pháp áp dụng với trường hợp khâu phi tuyến nằm đầu G p (s ) Tài liệu tham khảo [1] Nguyen, H H: Numerical Design of Feedback Systems with Backlash for Inputs Restricted in Magnitude and Slope MEng Thesis Chulalongkorn University Bangkok 2014 [2] Nguyen, H H.; Arunsawatwong, S.: Robust Controller Design for Feedback Systems with Uncertain Backlash and Plant Uncertainties Subject to Inputs Satisfying Bounding Conditions 19th IFAC World Congress, pp 1643 - 1548 Cape Town South Africa 2014 [3] Nguyen, H H.; Arunsawatwong, S.: Design of feedback systems with backlash for inputs restricted in magnitude and slope Proc Of SICE Annual Conferrence pp 229-234, Nagoya Japan 2013 [4] Barreiro, A.; Banos , A.: Input-output stability of systems with backlash Automatica vol 42, no 6, pp 1017-1024 2006 [5] Desoer, C A.; Vidyasagar, M.: Feedback systems: Input-Output Properties Academic Press London 1975 [6] Hagglund, T.: Automatic on-line estimation of backlash in control loops Journal of Process Control vol 17, pp 489-499 2007 [7] Mai, V S.: Design of Feedback Control Systems with a Sector-bounded Nonlinearity Using Zakian’s Framework MEng Thesis, Chulalongkorn University Bangkok 2010 [8] Mai, V.S.; Arunsawatwong, Abed, E H.: Design of nonlinear feedback systems with inputs and outputs satisfying bounding conditions Proc.of IEEE Multi-Conference on Systems and Control pp 2017-2022 Pacifico Yokohoma Japan 2010 [9] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and its Application Springer-Verlag New York 1986 [10] Nordin, M.; Gutman, P.-O.: Controlling mechanical systems with backlash - a survey Automatica vol 38, pp 1633-1649 2002 [11] Oldak, S.; Baril, C.; Gutman, P.-O.: Quantitative design of a class of nonlinear systems with parameter uncertainty International Journal of Robust Nonlinear Control vol 4, pp 101-117 1994 [12] Choudhury, M A A S.; Thornhill, N F.; Shah, S L.: Modelling valve stiction Control Engineering Practice, vol 13, pp 641-658 2005 [13] Silpsrikul, W.; Arunsawatwong, S.: Computation of peak output for inputs satisfying bounding conditions on magnitude ans slope Int J Contr vol 83, no pp 49-65 2010 [14] Zakian, V.: Perspectives of principle of matching and the method of inequalities Int J Contr vol 65, pp 147-175 1996 [15] Zakian, V.: Control Systems Design: A new Framework, Springer - Verlag London 2005 [16] Zakian, V.; Al-Naib, U.: Design of dynamical and control systems by the method of inequalities Proc Instn Elect Engrs vol 120, pp 1421-1427 1973 [17] Arunsawatwong, S.: Stability of Zakian I MN recursions for linear delay differential equation BIT vol 38, no.2, pp 219-233 1998 HỘI NGHỊ QUỐC TẾ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 2016 168 ... khâu phi tuyến khe hở, ma sát mà ta nghiên cứu báo thỏa mãn (4) Trong thực tế, đặc biệt hệ thống điều khiển q trình, tín hiệu vào ln tín hiệu liên tục (tức có đạo hàm bậc bị chặn) có biên độ bị chặn. .. tập gồm tín hiệu có biên độ bị chặn Cũng cần nói thêm rằng, báo giới hạn tín hiệu vào tín hiệu thuộc tập định nghĩa (5), phương pháp thiết kế nêu báo áp dụng với nhiều lớp tín hiệu bị chặn khác... dụng vào thiết kế điều khiển cho hệ thống điều khiển trình SISO MIMO tuyến tính lý thuyết thực tế cho kết tốt Người đọc tham khảo [15] tài liệu tham khảo liệt kê [15] Trong hệ thống điều khiển