Đề thi HSG cấp trường năm học 2010-2011

ĐỀ THI SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 9 Thời gian:120 phút ( không kể thời gian phát đề). Năm học: 2010-2011. Bài 1: ( 3 điểm) a) Chứng minh rằng: 4 2n+2 - 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên. b) Tính 9 8 .2 8 –(18 4 -1). (18 4 +1). Bài 2: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, biết : 2 4 3 1 x C x + = + Bài 3: (2 điểm) Rút gọn biểu thức A, biết A = 6 3 4 2 3. 1 3− + Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng DE, Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC. Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q. Chứng minh rằng: S BEC + S BDC = S BHKC. Bài 5:( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, độ dài cạnh BC = a , AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a/ sin sin sin a b c A B C = = b/ S ABC = 1 2 bc.sina ------Hết----- ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (3 đ) a) + với n = 0 ta có: 4 2.0+2 -1 =15 chia hết cho 15 + Giả sử(*) đúng với n = k (k thuộc N) nghĩa là : 4 2k+2 – 1chia hết cho 15 Ta phải chứng minh(*) đúng với n = k+1, nghĩa là 4 2k+2 – 1chia hết cho 15. Ta có:4 2(k+1) +2 -1 = 4 2 (4 2k+2 -1) + 15 Mà 4 2 (4 2k+2 -1) + 15 chia hết cho 15 . Vậy 4 2(k+1) +2 -1 chia hết cho 15 Vậy: 4 2n+2 - 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên. b) Ta có 9 8 .2 8 –(18 4 -1). (18 4 +1) = 18 8 –(18 8 -1) = 1 Bài 2:(2điểm)Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 ( 1) ( 4 4) 1 1 x+2 = -1+ 1 1 x x x x C x x x + − + + + + = = + + ≥ − + Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -1 khi x + 2 = 0↔ x = -2. Bài 3 : (2điểm) A= ( ) ( ) ( ) 6 3 3 3 6 3 4 2 3. 1 3 3 1 . 1 3 3 1 1 3 2− + = − + = − + = Bài 4 (1,5 điểm) Gọi I là trung điểm của ED Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC. Ta có: I I’ là đường trung bình của hình thang EE’D’D nên: EE’+ DD’=2 I I’ Vậy:S BEC + S BDC = 1 2 EE’.BC + 1 2 DD’.BC = 1 2 BC(EE’+ DD’) = BC. I I’(1) Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q. Ta có: BC. I I’ = S BPQC . Mặt khác ∆PIH = ∆QIK(c-g-c). Suy ra: S PIH = S QIK . Do đó: S BPQC = S BHKC .Từ (1),(2),(3) suy ra: S BEC + S BDC = S BHKC . Bài 5:(1,5 điểm) a/ Dựng đường cao AH, ta có: sinB = AH/AB; sinC = AH/AC → sinB/sinC=AH/AB:AH/AC = b/c → b/sinB = c/sinC (1). Chứng minh tương tự ta có: a/sinA = b/sinB(2) Từ (1),(2) suy ra: a/sinA = b/sinB = c/sinC b/ Kẻ CH vuông góc AB, ta có: CH = AC.sinA Mà S ABC = 1 2 AB.CH = 1 2 AB.AC.sinA Hay S ABC = 1 2 b.c.sinA h b c H A B C a b c H A B C P I' I D'E' K H D E A B C Q . ĐỀ THI SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 9 Thời gian:120 phút ( không kể thời gian phát đề) . Năm học: 2010-2011. Bài 1: ( 3 điểm)