chia hết

Bài 18: Tìm số lớn nhất trong các số có 3 chữ số mà khi chia cho 75 có dạng: N = 75 × q + q Bài làm: N = 75 × q + q = 75 × q + 1 × q = 76 × q Nếu N lớn nhất là 999 thì q lớn nhất là: 999 : 76 = 13 (dư 11) Do đó, q lớn nhất là bằng 13. Vậy N lớn nhất phải tìm là: 76 × 13 = 988 ( hoặc 75 × 13 + 13 = 988) Bài 19: Chứng minh nếu abc M 37 thì bca và cab đều chia hết cho 37. Bài làm: P = abc = (a.10 2 + b.10 + c) M 37 ⇒ 10.P = (a.10 3 + b.10 2 + c.10 ) M 37 = b.10 2 + c.10 + a + 999a = bca + 999a M 37 Vì 999a = 37.27a M 37 mà 10.P M 37 Tương tự ta cũng chứng minh được cab M 37 Bài 20: Chứng minh rằng một số tự nhiên được viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8. Bài làm: - Ta có các số 44 M 8, 444 M 8. - Giả sử số tự nhiên A được viết bởi n chữ số 4 (n > 3). ⇒ A = 444…… 4 = 4……400 + 444 n chữ số 4 = 1000A 1 + 444 (A 1 là số tạo bởi n – 3 chữ số 4) ⇒ A = 8.125 A 1 + 444 Vì: 8.125 A 1 M 8 ⇒ A M 8 444 M 8 Bài 21: Chứng minh một số được ghi bởi 6 chữ số khác nhau (VD: 777777) thì M 37037. Bài giải: Giả sử A = aaaaaa trong đó a = 1,9 A = a.10 5 + a.10 4 + a.10 3 + a.10 2 + a.10 + a = a(10 5 + 10 4 + 10 3 + 10 2 + 10 + 1) = a.111111 = 3a.37037 ⇒ A M 37037 ⇒ bca M 37 Bài 22: chứng minh tổng 11ab cd+ M thì 11abcd M . Bài giải: 00 100abcd ab cd ab cd= + = + = 99 ab ab cd+ + Vì: 11ab cd+ M ⇒ 11abcd M 99 11abM Bài23: Chứng minh nếu n là số lẻ thì T = n 2 + 4n + 5 M 8. Bài giải: n lẻ thì n = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 ⇒ T = n 2 + 4n + 5 = 4k 2 + 4k + 1 + 4(2k + 1) + 5 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2 M 8 M 8 M 8 ⇒ T M 8 Bài 24:Chứng minh nếu 2a + 3b + c M 7 thì abc M 7. Bài giải: Ta có: abc = a.100 + b.10 + c 7(14a + b) + 2a + 3b + c M 7 M 7 ⇒ abc M 7 Bài 25: Chứng minh T = 2 3 4 5 5 6 7 8 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 13+ + + + + + + + + M Bài giải: 2 3 4 5 6 7 8 9 (3 3 3 ) (3 3 3 ) (3 3 3 )T = + + + + + + + + = 2 4 2 7 2 3(1 3 3 ) 3 (1 3 3 ) 3 (1 3 3 )+ + + + + + + + = 13.3 + 13.3 4 + 13.3 7 M 13 M 13 M 13 ⇒ T M 13 Bài 26 : B = 2002 2001 – 2001 2000 có chia hết cho 2 không ? Bài giải : 2002 2001 = 2002.2002 2000 M 2 Ta chứng minh tích của 2 s00s lẻ là 1 số lẻ. Giả sử 2 số lẻ là a 1 = 2k + 1 (k, m ∈ N) a 2 = 2m + 1 ⇔ a 1 . a 2 = (2k + 1)(2m + 1) = 2k(2m + 1) + 2m + 1 M 2 M 2 M 2 ⇒ a 1 . a 2 M 2 ⇒ a 1 . a 2 là số lẻ ⇒ 2001 2000 M 2 ⇒ B M 2 Bài 27: Điền vào dấu * chữ số thích hợp * * * × 9 1 2 3 * Bài giải: 123a là số M 9 ⇒ 1 + 2 + 3 + a = 6 + a M 9 Vì a = 0,9 ⇒ a = 3 ⇒* * * × 9 = 1233 ⇒ * * * = 1233 M 9 = 137 Bài 28: Chứng minh một số có 27 chữ số toàn bằng 1 là 1 số chia hết cho 27. Bài giải: C 1 : Giả sử m = 11…1 ; n = 11…1 27 chữ số 1 9 chữ số 1 Thực hiện phân các chữ số của m thành 3 nhóm, mỗi nhóm co 9 chữ số 1. m = 11 .… . 1 11 .…. .1 11… 1 9 chữ số 1 9 chữ số 1 9 chữ số 1 Ta sẽ đặt phép tính chia m cho n 11 .… . 1 11 .…. .1 11… 1 11 … 1 11…… 1 100… 0 100… 01 00.…….0 11………1 11………1 8 chữ số 0 8 chữ số 0 00………0 11…… 1 Vậy m : n = 100… 0 100… 01 = p là 1 số chia hết cho 3 8 chữ số 0 8 chữ số 0 Ta có m = np n = 11… .1 M 9 9 chữ số 1 Và p M 3 ⇒ m M 27 C 2 : m = 11 .… . 1 11 .…. .1 11… 1 9 chữ số 1 9 chữ số 1 9 chữ số 1 m = 11 .… . 1 00 .… 0 + 11 .… . 1 00 .… 0 + 11……1 9 chữ số 1 18 chữ số 0 9 chữ số 1 9 chữ số 0 9 chữ số 1 = 11…….1 × 10 18 + 11…….1 × 10 9 + 11……1 9 chữ số 1 9 chữ số 1 9 chữ số 1 = 11……1 × (10 18 + 10 9 + 1) 9 chữ số 1 Đặt n = 11…….1 ; p = 10 18 + 10 9 + 1 9 chữ số 1 ⇒ n M 9 , p M 3 ⇒ m = np M 27 Bài 29: a: Chứng minh 10 5 + 35 chia hết cho 9 và 5. b: Chứng minh 10 5 + 98 chia hết cho 9 và 2. Bài giải: a: 10 5 + 35 = 100000 + 35 = 100035 M 5 Vì 1 + 0 + 0 + 0 + 3 + 5 = 9 M 9 ⇒ đpcm b: 10 5 + 98 = 100000 + 98 = 100098 M 2 Vì 1 + 0 + 0 + 0 + 9 + 8 = 18 M 9 ⇒ đpcm Bài 30: p là số nguyên tố lớn hơn 3, p + 2 cũng là số nguyên tố Chứng minh p + 1 M 6. Bài giải: p là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ p là số lẻ ⇒ p + 1 M 2 (1) ⇒ p có dạng p = 3k + 1 P = 3k + 2 +) p = 3k + 1 ⇒ p + 2 = 3(k + 1) M 3 p + 2 > 3 ⇒ p + 2 là hợp số +) p = 3k + 2 ⇒ p + 1 = 3k + 3 M 3 (2) Từ (1) và (2) ⇒ p + 1 M 2.3 ⇒ 6 Bài 31: Chứng minh ∀ n ∈ N* ta có: A = 11 .1211 1 là hợp số. n n Bài giải: A = 11 .1211 1 n n = 11 1100 .0 + 11 .1 n +1 n n + 1 = 11 .1 . 10 n + 11 1 = 11 .1.(10 n + 1) n + 1 n + 1 n + 1 ⇒ A là hợp số. Bài 32: Cho d = UCLN(a,b). CMR: a d và b d nguyên tố cùng nhau. Bài giải: Ta có : d = UCLN(a,b) = UCLN( , a b d d ) ⇒ d = d. UCLN( , a b d d ) ⇒ UCLN( , a b d d ) = 1 ⇒ a d và b d nguyên tố cùng nhau Bài 33 : CMR : nếu m, n ∈ N thỏa mãn 3m – 2n = 1 thì m, n nguyên tố cùng nhau. Bài giải : Giả sử d = UCLN(m, n), với d ≥ 1 thì ⇒ Vì d ≥ 1 (theo gt) mà 1 M d ⇒ d = 1 ⇒ m và n nguyên tố cùng nhau. Bài 34: Cho số tự nhiên có 3 chữ số abc là bội chung của các số có 2 chữ số ab , bc và ac ( các chữ số khác nhau chỉ cùng một chữ số).CMR: a) abc là bội của bc m M d n M d 3m M d 2n M d ⇒ 3m – 2n = 1 M d b) abc là bội của 11 Bài giải: a) Ta có abc = 0 10ab c ab c+ = + abc M ab ⇒ 10 ab + c M ab ⇒ c = 0 (vì ab là số có hai chữ số) abc M . M 3 ⇒ m = np M 27 Bài 29: a: Chứng minh 10 5 + 35 chia hết cho 9 và 5. b: Chứng minh 10 5 + 98 chia hết cho 9 và 2. Bài giải: a: 10 5 + 35 = 100000 + 35. 20: Chứng minh rằng một số tự nhiên được viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8. Bài làm: - Ta có các số 44 M 8, 444 M 8. - Giả sử số tự nhiên