Phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG DƯƠNG THÀNH HUÂN * LUẬN ÁN TIẾN SĨ * MÃ SỐ 9520101 * NĂM 2019 Dương Thành Huân PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG KẾT CẤU VỎ THOẢI FGM HAI ĐỘ CONG TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ Hà Nội - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Dương Thành Huân PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG KẾT CẤU VỎ THOẢI FGM HAI ĐỘ CONG TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Hữu Quốc PGS TS Trần Minh Tú Hà Nội - Năm 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tên là: Dương Thành Huân Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày Luận án trung thực, đáng tin cậy không trùng lặp với nghiên cứu khác tiến hành Hà Nội, ngày 04 tháng năm 2019 Người cam đoan NCS Dương Thành Huân ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Trần Hữu Quốc PGS.TS Trần Minh Tú tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn tập thể thầy cô - Bộ môn Sức bền Vật liệu - Trường Đại học Xây dựng quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian nghiên cứu Bộ môn Tác giả xin cảm ơn tập thể thầy cô giáo, cán Khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Xây dựng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt trình thực luận án Tác giả trân trọng cảm ơn GS.TSKH Đào Huy Bích, nhà khoa học, thầy giáo bạn đồng nghiệp Seminar Cơ học vật rắn biến dạng đóng góp nhiều ý kiến quý báu có giá trị cho nội dung đề tài luận án Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp Bộ môn Cơ học kỹ thuật, Khoa Cơ – Điện, Học viện Nông nghiệp Việt Nam quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy nhà trường, học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn bạn bè, đồng nghiệp tận tình giúp đỡ động viên suốt trình tác giả học tập, nghiên cứu làm luận án Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình ln tạo điều kiện, chia sẻ khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả: NCS Dương Thành Huân iii MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU vii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ix DANH MỤC BẢNG BIỂU xi DANH MỤC HÌNH VẼ xii MỞ ĐẦU 1 Lý lựa chọn đề tài Mục đích, nội dung nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Cơ sở khoa học đề tài Phương pháp nghiên cứu Những đóng góp CHƯƠNG TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG ĐỀ TÀI LUẬN ÁN 1.1 Vật liệu có tính biến thiên ứng dụng 1.2 Tính chất học vật liệu FGM 1.3 Các quy luật truyền nhiệt 10 1.3.1 Truyền nhiệt tuyến tính 10 1.3.2 Truyền nhiệt phi tuyến 10 1.3.3 Truyền nhiệt dạng đa thức 11 1.4 Tổng quan nghiên cứu ứng xử tĩnh động kết cấu tấm/vỏ FGM môi trường nhiệt giới 12 1.4.1 Phân tích ứng suất mơi trường nhiệt 12 iv 1.4.2 Phân tích dao động kết cấu tấm, vỏ FGM mơi trường nhiệt 15 1.5 Các nghiên cứu ứng xử học kết cấu FGM môi trường nhiệt Việt Nam 18 1.6 Kết luận 19 CHƯƠNG PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ THOẢI FGM HAI ĐỘ CONG TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT BẰNG TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 21 2.1 Mở đầu 21 2.2 Mơ hình tốn vỏ FGM hai độ cong 21 2.3 Các giả thiết 22 2.4 Phân tích tĩnh vỏ thoải FGM hai độ cong 23 2.4.1 Trường chuyển vị 23 2.4.2 Các thành phần biến dạng 24 2.4.3 Các thành phần ứng suất 25 2.4.4 Các thành phần nội lực 25 2.4.5 Hệ phương trình cân 27 2.4.6 Lời giải giải tích 29 2.5 Phân tích động vỏ thoải FGM hai độ cong mơi trường nhiệt độ 34 2.5.1 Phân tích dao động tự 38 2.5.2 Phân tích dao động cưỡng 39 2.6 Vật liệu FGM môi trường nhiệt độ 40 2.7 Xây dựng chương trình tính – Phương pháp Giải tích 42 CHƯƠNG PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 47 3.1 Mở đầu 47 3.2 Mơ hình tốn vỏ FGM 47 3.3 Lựa chọn loại phần tử 48 3.4 Phần tử 3D suy biến 49 v 3.4.1 Các hệ tọa độ 49 3.4.2 Hàm dạng phần tử 50 3.5 Mơ hình phần tử hữu hạn vỏ FGM sử dụng phần tử 3D suy biến 50 3.5.1 Xác định hệ tọa độ nút 50 3.5.2 Trường chuyển vị 53 3.5.3 Trường biến dạng 54 3.5.4 Các thành phần ứng suất 59 3.5.5 Phân tích tĩnh vỏ FGM 59 3.5.6 Phân tích động vỏ FGM 61 3.6 Xây dựng chương trình tính – Phương pháp PTHH 64 CHƯƠNG KẾT QUẢ SỐ 68 4.1 Mở đầu 68 4.2 Ví dụ kiểm chứng 70 4.2.1 Ví dụ KC1 - Độ võng vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng học 71 4.2.2 Ví dụ KC2 – Độ võng vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ 73 4.2.3 Ví dụ KC3 - Tần số dao động riêng vỏ FGM hai độ cong 74 4.2.4 Ví dụ KC4 - Tần số dao động riêng FGM 75 4.2.5 Ví dụ KC5 - Đáp ứng chuyển vị FGM 76 4.3 Bài toán tĩnh 78 4.3.1 Ví dụ 4.1 - Ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích p 78 4.3.2 Ví dụ 4.2 - Ảnh hưởng tỷ số a/h 83 4.3.3 Ví dụ 4.3 - Ảnh hưởng quy luật truyền nhiệt theo chiều dày vỏ 86 4.3.4 Ví dụ 4.4 - Ảnh hưởng điều kiện biên 88 4.4 Bài toán dao động tự 90 4.4.1 Ví dụ 4.5 - Ví dụ so sánh tính tốn theo hai cách tiếp tận 90 4.4.2 Ví dụ 4.6 - Ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích p 93 4.4.3 Ví dụ 4.7 - Ảnh hưởng quy luật truyền nhiệt theo chiều dày vỏ 96 vi 4.4.4 Ví dụ 4.8 - Ảnh hưởng điều kiện biên 100 4.4.5 Ví dụ 4.9 - Ảnh hưởng tỷ số a/h 103 4.4.6 Ví dụ 4.10 - Ảnh hưởng nhiệt độ 106 4.4.7 Ví dụ 4.11 – Dạng dao động riêng 109 4.5 Bài toán dao động cưỡng 112 4.5.1 Ví dụ 4.12 - Vỏ FGM chịu tải trọng xung 112 4.5.2 Ví dụ 4.13 - Vỏ FGM chịu tải trọng điều hòa 122 KẾT LUẬN 137 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN 139 TÀI LIỆU THAM KHẢO 140 vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Nội dung ký hiệu a, b Kích thước cạnh hình chiếu vỏ theo phương x, y Chiều dày vỏ h E , Ec , Em Mô đun đàn hồi hiệu dụng vật liệu FGM, gốm, kim loại  , c, m Hệ số Poisson vật liệu FGM, gốm, kim loại  , c ,  m Khối lượng riêng vật liệu p Chỉ số tỷ lệ thể tích vật liệu (tham số vật liệu) qzt  x, y  , qzd  x, y  up Chuyển vị tổng vỏ chịu tải trọng học nhiệt độ ut Chuyển vị vỏ chịu tải trọng nhiệt độ tải trọng tĩnh gây ud Chuyển vị tăng thêm vỏ dao động (tự cưỡng tác dụng tải trọng động) u tt , vtt , wtt Chuyển vị theo phương x, y, z Biến phân đại lượng  Ut ; Wt Thế biến dạng đàn hồi; Thế ngoại lực tĩnh U0 ; Ud Thế biến dạng đàn hồi ứng suất ban đầu; Thế biến dạng đàn hồi vỏ chịu tải trọng động  Kini    F  ; F t ch Tải trọng phân bố tĩnh, động tác dụng lên mặt vỏ d ch Ma trận độ cứng ứng suất ban đầu gây nên ( t ) Véc tơ tải trọng học tĩnh, tải trọng động bên tác dụng nd nd , M mn N mn Các thành phần lực màng mô men nhiệt độ gây ue  ; u Véc tơ thành phần chuyển vị nút phần tử; Véc tơ thành phần chuyển vị kết cấu viii   ,   Véc tơ thành phần biến dạng tải trọng tĩnh, động gây   ,   Véc tơ thành phần ứng suất tải trọng tĩnh, động gây  xx0 ,  yy0 ,  xy0 Các thành phần ứng suất ban đầu nhiệt độ gây 0 N xx , N yy , N xy Các thành phần lực màng nhiệt độ gây t d t d  D ' Ma trận độ cứng vật liệu hệ tọa độ phần tử  ' Véc tơ thành phần ứng suất hệ tọa độ phần tử  ' ; nd   B Véc tơ thành phần biến dạng tải trọng học, nhiệt độ hệ tọa độ phần tử Ma trận tính biến dạng  Ke  ,  K     K eg  ;  K g      M e  ; M  [C] Ma trận độ cứng phần tử; Ma trận độ cứng kết cấu Ma trận độ cứng hình học phần tử; Ma trận độ cứng hình học kết cấu Ma trận khối lượng phần tử; Ma trận khối lượng kết cấu Ma trận cản F  ; F  Véc tơ lực nút phần tử tải trọng học tĩnh, tải trọng nhiệt độ tác dụng phần tử F  ; F  Véc tơ tải trọng học tĩnh, tải trọng nhiệt độ tác dụng kết cấu ch e nd e ch nd Pe  Ue Véc tơ lực nút phần tử tải trọng động gây nên Thế biến dạng đàn hồi phần tử U ed ; U e0 Thế biến dạng đàn hồi tăng thêm; Thế biến dạng đàn hồi ứng suất ban đầu We ; Te Công ngoại lực phần tử; Động phần tử T  Ma trận chuyển đổi hệ tọa độ J  Ma trận Jacobian phép biến đổi Dap ung vong (m) Phương pháp thực hiện: PTHH Dap ung vong (m) 133 Hình 4.27.a Hình 4.27.b Dap ung vong (m) 134 Hình 4.27.c Phương pháp thực hiện: PTHH Hình 4.27 Hiện tượng cộng hưởng tượng phách conoid (CON) xảy với ba tần số dao động riêng (Điều kiện biên SSSS) Hình 4.28.a 135 Hình 4.28.b Hình 4.28.c Hình 4.28 Hiện tượng cộng hưởng tượng phách vỏ conoid (CON) xảy với ba tần số dao động riêng (Điều kiện biên CCCC) Nhận xét: Đáp ứng động vỏ conoid (CON) thể cho thấy tượng cộng hưởng tượng phách xảy tần số dao động lực cưỡng xấp xỉ so với tần số dao động riêng vỏ 136 Như vậy, chương này, thông qua việc sử dụng chương trình tính xây dựng, luận án thực ví dụ số sau:  Khảo sát biến thiên độ võng thành phần ứng suất theo phương chiều dày vỏ  Đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học, nhiệt độ điều kiện biên đến độ võng, thành phần ứng suất cho số vỏ FGM chịu tải trọng học phân bố môi trường nhiệt độ;  Đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học, nhiệt độ điều kiện biên đến tần số dao động riêng vỏ FGM  Khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học, nhiệt độ, tỉ lệ cản, tỉ số tần số lực cưỡng bức/tần số dao động riêng (Ω/ω) đến đáp ứng độ võng theo thời gian vỏ FGM chịu tải trọng xung tải trọng điều hòa  Từ khảo sát số, luận án có nhận xét kết luận hữu ích 137 KẾT LUẬN Từ nội dung nghiên cứu trình bày chương, rút đóng góp luận án sau: 1) Đã thiết lập lời giải giải tích phân tích tĩnh, dao động riêng dao động cưỡng vỏ thoải FGM hai độ cong môi trường nhiệt độ với số loại điều kiện biên thơng dụng Khi xét tốn động, vỏ coi có ứng suất ban đầu nhiệt độ gây 2) Vận dụng có hiệu phần tử 3D suy biến để xây dựng mơ hình thuật tốn phần tử hữu hạn cho vỏ có hình dạng mơ tả hàm tốn học, mở rộng đối tượng nghiên cứu, khảo sát 3) Đã viết chương trình tính Matlab để khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu; kích thước hình học; điều kiện biên; quy luật truyền nhiệt theo chiều dày; tỉ lệ cản; tỉ số tần số lực cưỡng bức/tần số dao động riêng (tỉ số Ω/ω) đến: độ võng, thành phần ứng suất, tần số dao động riêng đáp ứng chuyển vị theo thời gian vỏ thoải FGM hai độ cong môi trường nhiệt độ Từ rút số kết luận có ý nghĩa khoa học kỹ thuật giúp ích cho người thiết kế lựa chọn thông số kết cấu phù hợp với thực tế Các kết luận án kết tác giả công bố 08 báo, 01 báo tạp chí quốc tế thuộc danh mục Scopus (Q3); 01 tạp chí Cơ học Việt Nam; 01 tạp chí Khoa học Công nghệ (Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) 05 báo lại cơng bố Tạp chí, kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên ngành uy tín nước 138 * Kiến nghị nghiên cứu tiếp theo: 1) Nghiên cứu phi tuyến tốn phân tích tĩnh, ổn định dao động kết cấu vỏ FGM dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, bậc cao 2) Nghiên cứu vỏ FGM có gân gia cường chịu tải cơ, tải nhiệt - nhiệt đồng thời dựa lý thuyết biến dạng cắt 3) Phân tích toán tĩnh, ổn định dao động riêng vỏ FGM hình dạng hình học phức tạp với điều kiện biên khác nhau, làm việc môi trường có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ 139 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, and Nguyen Van Long (2014), Vibration analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate theories, Proceedings of the 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation - ICEMA3, University of Engineering and Technology – Vietnam National University, ISBN: 978-604-913-367-1, trang 580-587 Trần Minh Tú, Trần Hữu Quốc, Dương Thành Huân (2015), Phân tích tĩnh động Panel trụ làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), Tuyển tập cơng trình Hội nghị Khoa học tồn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XII, Thành phố Đà Nẵng, ISBN: 978-604-82-2028-0, Tập 2, trang 1506-1513 Trần Hữu Quốc, Dương Thành Huân, Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân (2017), Phân tích Panel trụ FGM chịu uốn có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ - Lời giải giải tích Lời giải số, Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, ISSN: 1859-2996, Tập 11 số 2, trang 38 – 46 Duong Thanh Huan, Tran Minh Tu and Tran Huu Quoc (2017), Analytical solutions for bending, buckling and vibration analysis of functionally graded cylindrical panel, Vietnam Journal of Science and Technology 55(5): p 587-597, DOI: 10.15625/2525-2518/55/5/8843 Duong Thanh Huan, Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu and Le Minh Lu (2017), Free vibration analysis of functionally graded doubly-curved shallow shells including thermal effect, Vietnam Journal of Agricultural Sciences, Vol 15, No 10: p 1410-1422, ISSN: 1859-0004 Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu (2018), Dynamic behavior analysis of FGM doubly curved panels considering temperature dependency of material properties, Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV, Trường Đại học Trần Đại Nghĩa, Thành phố Hồ Chí Minh (Đã chấp nhận đăng) Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu (2018), Free vibration analysis of functionally graded doubly curved shell panels resting on elastic foundation in thermal environment, International Journal of Advanced Structural Engineering, 10(3): p 275-283, DOI: 10.1007/s40091-018-0197-x Duong Thanh Huan, Tran Huu Quoc and Tran Minh Tu (2018), Free vibration analysis of functionally graded shell panels with various geometric shapes in thermal environment, Vietnam Journal of Mechanics, 40(3): p 199-215, DOI: https://doi.org/10.15625/0866-7136/10776 140 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] [2] [3] [4] [5] Trần Ngọc Cảnh, Phạm Tiến Đạt, Nguyễn Văn Hưng (2014) Tính tốn Panel trụ composite lớp chịu tác dụng sóng xung kích nhiệt độ Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc (Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học), Tập (Cơ học vật rắn biến dạng): pp 37 Nguyễn Thái Chung, Hoàng Xuân Lượng, Trương Thị Hương Huyền (2014) Nghiên cứu dao động ổn định vỏ trụ thoải composite có lớp áp điện Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc (Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học), Tập (Cơ học vật rắn biến dạng): pp 55 Nguyễn Thái Chung, Lê Hải Châu (2016) Phân tích động lực học vỏ thoải composite áp điện có gân gia cường Hội nghị Khoa học toàn quốc "Vật liệu Kết cấu Composite: Cơ học, Công nghệ Ứng dụng", Tập 1: pp 41 Hoàng Xuân Lượng, Nguyễn Thái Chung, Trương Thị Hương Huyền (2012) Phân tích động lực vỏ trụ thoải composite áp điện có xét đến yếu tố phi tuyến hình học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 9, Tập (Cơ học vật rắn biến dạng - Phần I): pp 692 Hoàng Văn Tùng (2011) Ổn định đàn hồi vỏ composite có tính biến đổi Luận án Tiến sĩ Cơ học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] Ahmad S., Irons B.M., and Zienkiewicz O (1970) Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2(3): pp 419-451 Akbarzadeh A., Abbasi M., and Eslami M (2012) Coupled thermoelasticity of functionally graded plates based on the third-order shear deformation theory Thin-Walled Structures, 53: pp 141-155 Alashti R.A and Khorsand M (2011) Three-dimensional thermo-elastic analysis of a functionally graded cylindrical shell with piezoelectric layers by differential quadrature method International Journal of Pressure Vessels and Piping, 88(5-7): pp 167-180 Alibeigloo A (2011) Thermoelastic solution for static deformations of functionally graded cylindrical shell bonded to thin piezoelectric layers Composite Structures, 93(2): pp 961-972 Alibeigloo A (2016) Thermo elasticity solution of sandwich circular plate with functionally graded core using generalized differential quadrature method Composite Structures, 136: pp 229-240 Anh V.T.T., Bich D.H., and Duc N.D (2015) Nonlinear stability analysis of thin FGM annular spherical shells on elastic foundations under external pressure and thermal loads European Journal of Mechanics-A/Solids, 50: pp 28-38 Apalak M.K and Gunes R (2005) Thermal residual stress analysis of Ni–Al2O3, Ni–TiO2, and Ti–SiC functionally graded composite plates subjected to various thermal fields Journal of Thermoplastic Composite Materials, 18(2): pp 119-152 141 [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] Attia A., Tounsi A., Bedia E.A., and Mahmoud S (2015) Free vibration analysis of functionally graded plates with temperature-dependent properties using various four variable refined plate theories Steel and composite structures, 18(1): pp 187-212 Bahtui A and Eslami M (2007) Coupled thermoelasticity of functionally graded cylindrical shells Mechanics Research Communications, 34(1): pp 1-18 Benachour A., Tahar H.D., Atmane H.A., Tounsi A., and Ahmed M.S (2011) A four variable refined plate theory for free vibrations of functionally graded plates with arbitrary gradient Composites Part B: Engineering, 42(6): pp 1386-1394 Bhandari M and Purohit K (2015) Response of functionally graded material plate under thermomechanical load subjected to various boundary conditions International Journal of Metals, 2015 Bich D.H and Van Tung H (2011) Non-linear axisymmetric response of functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure including temperature effects International Journal of Non-Linear Mechanics, 46(9): pp 1195-1204 Bich D.H and Van Dung D (2012) Nonlinear static and dynamic buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including temperature effects Composite Structures, 94(9): pp 2952-2960 Bich D.H., Ninh D.G., and Thinh T.I (2016) Non-linear buckling analysis of FGM toroidal shell segments filled inside by an elastic medium under external pressure loads including temperature effects Composites Part B: Engineering, 87: pp 75-91 Bouderba B., Houari M.S.A., and Tounsi A (2013) Thermomechanical bending response of FGM thick plates resting on Winkler-Pasternak elastic foundations Steel and Composite Structures, 14(1): pp 85-104 Brischetto S., Leetsch R., Carrera E., Wallmersperger T., and Kröplin B (2008) Thermo-mechanical bending of functionally graded plates Journal of Thermal Stresses, 31(3): pp 286-308 Bui T.Q., Van Do T., Ton L.H.T., Doan D.H., Tanaka S., Pham D.T., Nguyen-Van T.-A., Yu T., and Hirose S (2016) On the high temperature mechanical behaviors analysis of heated functionally graded plates using FEM and a new third-order shear deformation plate theory Composites Part B: Engineering, 92: pp 218-241 Chakraverty S and Pradhan K (2014) Free vibration of exponential functionally graded rectangular plates in thermal environment with general boundary conditions Aerospace Science and Technology, 36: pp 132-156 Chung Y.-L and Chang H.-X (2008) Mechanical behavior of rectangular plates with functionally graded coefficient of thermal expansion subjected to thermal loading Journal of Thermal Stresses, 31(4): pp 368-388 Cinefra M., Carrera E., Brischetto S., and Belouettar S (2010) Thermo-mechanical analysis of functionally graded shells Journal of Thermal Stresses, 33(10): pp 942-963 Dai H.-L and Dai T (2014) Analysis for the thermoelastic bending of a functionally graded material cylindrical shell Meccanica, 49(5): pp 1069-1081 Duc N.D and Tung H (2010) Mechanical and thermal postbuckling of sheardeformable FGM plates with temperature-dependent properties Mechanics of Composite Materials, 46(5): pp 461-476 Duc N.D and Van Tung H (2010) Nonlinear response of pressure-loaded functionally graded cylindrical panels with temperature effects Composite Structures, 92(7): pp 1664-1672 142 [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] Duc N.D and Van Tung H (2011) Mechanical and thermal postbuckling of higher order shear deformable functionally graded plates on elastic foundations Composite Structures, 93(11): pp 2874-2881 Duc N.D and Quan T.Q (2012) Nonlinear stability analysis of double-curved shallow FGM panels on elastic foundations in thermal environments Mechanics of Composite Materials, 48(4): pp 435-448 Duc N.D and Quan T.Q (2013) Nonlinear postbuckling of imperfect eccentrically stiffened P-FGM double curved thin shallow shells on elastic foundations in thermal environments Composite Structures, 106: pp 590-600 Duc N.D and Cong P.H (2013) Nonlinear postbuckling of symmetric S-FGM plates resting on elastic foundations using higher order shear deformation plate theory in thermal environments Composite Structures, 100: pp 566-574 Duc N.D and Cong P.H (2014) Nonlinear postbuckling of an eccentrically stiffened thin FGM plate resting on elastic foundations in thermal environments Thin-Walled Structures, 75: pp 103-112 Duc N.D., Thang P.T., Dao N.T., and Van Tac H (2015) Nonlinear buckling of higher deformable S-FGM thick circular cylindrical shells with metal–ceramic– metal layers surrounded on elastic foundations in thermal environment Composite Structures, 121: pp 134-141 Duc N.D and Quan T.Q (2015) Nonlinear dynamic analysis of imperfect functionally graded material double curved thin shallow shells with temperaturedependent properties on elastic foundation Journal of Vibration and Control, 21(7): pp 1340-1362 Duc N.D (2016) Nonlinear thermal dynamic analysis of eccentrically stiffened SFGM circular cylindrical shells surrounded on elastic foundations using the Reddy's third-order shear deformation shell theory European Journal of Mechanics-A/Solids, 58: pp 10-30 Duc N.D., Bich D.H., and Cong P.H (2016) Nonlinear thermal dynamic response of shear deformable FGM plates on elastic foundations Journal of Thermal Stresses, 39(3): pp 278-297 Dung D and Vuong P (2016) Nonlinear analysis on dynamic buckling of eccentrically stiffened functionally graded material toroidal shell segment surrounded by elastic foundations in thermal environment and under time-dependent torsional loads Applied Mathematics and Mechanics, 37(7): pp 835-860 Dung D and Dong D (2017) Nonlinear thermo-mechanical stability of eccentrically stiffened functionally graded material sandwich doubly curved shallow shells with general sigmoid law and power law according to third-order shear deformation theory Applied Mathematics and Mechanics, 38(2): pp 191-216 Fahsi B., Kaci A., and Tounsi A (2012) A four variable refined plate theory for nonlinear cylindrical bending analysis of functionally graded plates under thermomechanical loadings Journal of mechanical science and technology, 26(12): pp 4073-4079 Fangnian C and Zhiuwen D (2001) The asymptotic behavior of solution for the nonlinear heat-conduction equation and its application Acta Mathematica Scientia, 21(4): pp 561-571 143 [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] Fazzolari F.A (2015) Natural frequencies and critical temperatures of functionally graded sandwich plates subjected to uniform and non-uniform temperature distributions Composite Structures, 121: pp 197-210 Ferreira M and Yanagihara J (2001) Unsteady heat conduction in 3D elliptical cylinders International communications in heat and mass transfer, 28(7): pp 963-972 Gibson L.J., Ashby M., Karam G., Wegst U., and Shercliff H (1995) The mechanical properties of natural materials II Microstructures for mechanical efficiency in Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences The Royal Society, pp 141-162 Haddadpour H., Mahmoudkhani S., and Navazi H (2007) Free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells including thermal effects Thin-walled structures, 45(6): pp 591-599 He X., Ng T., Sivashanker S., and Liew K (2001) Active control of FGM plates with integrated piezoelectric sensors and actuators International journal of solids and structures, 38(9): pp 1641-1655 Houari M.S.A., Tounsi A., and Bég O.A (2013) Thermoelastic bending analysis of functionally graded sandwich plates using a new higher order shear and normal deformation theory International Journal of Mechanical Sciences, 76: pp 102-111 Huang X.-L and Shen H.-S (2006) Vibration and dynamic response of functionally graded plates with piezoelectric actuators in thermal environments Journal of Sound and Vibration, 289(1): pp 25-53 Javaheri R and Eslami M (2002) Thermal buckling of functionally graded plates based on higher order theory Journal of thermal stresses, 25(7): pp 603-625 Jiang H.-J and Dai H.-L (2015) Analytical solutions for three-dimensional steady and transient heat conduction problems of a double-layer plate with a local heat source International Journal of Heat and Mass Transfer, 89: pp 652-666 Jin Z.-H (2002) An asymptotic solution of temperature field in a strip a functionally graded material International communications in heat and mass transfer, 29(7): pp 887-895 Jooybar N., Malekzadeh P., Fiouz A., and Vaghefi M (2016) Thermal effect on free vibration of functionally graded truncated conical shell panels Thin-Walled Structures, 103: pp 45-61 Kadoli R and Ganesan N (2006) Buckling and free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells subjected to a temperature-specified boundary condition Journal of Sound and Vibration, 289(3): pp 450-480 Kandasamy R., Dimitri R., and Tornabene F (2016) Numerical study on the free vibration and thermal buckling behavior of moderately thick functionally graded structures in thermal environments Composite Structures, 157: pp 207-221 Kar V.R and Panda S.K (2015) Thermoelastic analysis of functionally graded doubly curved shell panels using nonlinear finite element method Composite Structures, 129: pp 202-212 Kiani Y., Shakeri M., and Eslami M (2012) Thermoelastic free vibration and dynamic behaviour of an FGM doubly curved panel via the analytical hybrid Laplace–Fourier transformation Acta Mechanica, 223(6): pp 1199-1218 Kim Y.-W (2005) Temperature dependent vibration analysis of functionally graded rectangular plates Journal of Sound and Vibration, 284(3): pp 531-549 144 [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] Li Q., Iu V., and Kou K (2009) Three-dimensional vibration analysis of functionally graded material plates in thermal environment Journal of Sound and Vibration, 324(3-5): pp 733-750 Li Q and Iu V.P (2011) Three-dimensional free vibration of functionally graded material plates on different boundary conditions Mechanics of Advanced Materials and Structures, 18(8): pp 597-601 Liew K., He X., Ng T., and Sivashanker S (2001) Active control of FGM plates subjected to a temperature gradient: modelling via finite element method based on FSDT International Journal for Numerical Methods in Engineering, 52(11): pp 1253-1271 Liew K., Kitipornchai S., Zhang X., and Lim C (2003) Analysis of the thermal stress behaviour of functionally graded hollow circular cylinders International Journal of Solids and Structures, 40(10): pp 2355-2380 Lim T.-C (2015) Thermal stresses in auxetic plates and shells Mechanics of Advanced Materials and Structures, 22(3): pp 205-212 Liu W.-x (2013) Analysis of steady heat conduction for 3D axisymmetric functionally graded circular plate Journal of Central South University, 20(6): pp 1616-1622 Malekzadeh P and Beni A.A (2010) Free vibration of functionally graded arbitrary straight-sided quadrilateral plates in thermal environment Composite Structures, 92(11): pp 2758-2767 Malekzadeh P and Heydarpour Y (2012) Free vibration analysis of rotating functionally graded cylindrical shells in thermal environment Composite Structures, 94(9): pp 2971-2981 Malekzadeh P., Fiouz A., and Sobhrouyan M (2012) Three-dimensional free vibration of functionally graded truncated conical shells subjected to thermal environment International Journal of Pressure Vessels and Piping, 89: pp 210-221 Mantari J and Granados E (2015) Thermoelastic behavior of advanced composite sandwich plates by using a new unknown quasi-3D hybrid type HSDT Composite Structures, 126: pp 132-144 Matsunaga H (2009) Stress analysis of functionally graded plates subjected to thermal and mechanical loadings Composite Structures, 87(4): pp 344-357 Meziane M.A.A., Abdelaziz H.H., and Tounsi A (2014) An efficient and simple refined theory for buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates under various boundary conditions Journal of Sandwich Structures & Materials, 16(3): pp 293-318 Moosaie A and Panahi-Kalus H (2017) Thermal stresses in an incompressible FGM spherical shell with temperature-dependent material properties Thin-Walled Structures, 120: pp 215-224 Ninh D.G and Bich D.H (2016) Nonlinear buckling of eccentrically stiffened functionally graded toroidal shell segments under torsional load surrounded by elastic foundation in thermal environment Mechanics Research Communications, 72: pp 1-15 Noda N (1999) Thermal stresses in functionally graded materials Journal of Thermal Stresses, 22(4-5): pp 477-512 145 [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] Noda N., Ootao Y., and Tanigawa Y (2012) Transient thermoelastic analysis for a functionally graded circular disk with piecewise power law Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 50(3): pp 831-839 Ootao Y and Tanigawa Y (2005) Three-dimensional solution for transient thermal stresses of functionally graded rectangular plate due to nonuniform heat supply International Journal of Mechanical Sciences, 47(11): pp 1769-1788 Ootao Y and Tanigawa Y (2006) Transient thermoelastic analysis for a functionally graded hollow cylinder Journal of Thermal Stresses, 29(11): pp 1031-1046 Ootao Y and Tanigawa Y (2007) Transient thermoelastic problem of a functionally graded cylindrical panel due to nonuniform heat supply Journal of Thermal Stresses, 30(5): pp 441-457 Pandey S and Pradyumna S (2015) Free vibration of functionally graded sandwich plates in thermal environment using a layerwise theory European Journal of Mechanics-A/Solids, 51: pp 55-66 Park J.-S and Kim J.-H (2006) Thermal postbuckling and vibration analyses of functionally graded plates Journal of Sound and Vibration, 289(1): pp 77-93 Pradyumna S and Bandyopadhyay J (2010) Free vibration and buckling of functionally graded shell panels in thermal environments International Journal of Structural Stability and Dynamics, 10(05): pp 1031-1053 Praveen G and Reddy J (1998) Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates International Journal of Solids and Structures, 35(33): pp 4457-4476 Praveen G., Chin C., and Reddy J (1999) Thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal cylinder Journal of Engineering Mechanics, 125(11): pp 1259-1267 Qian L and Batra R (2005) Three-dimensional transient heat conduction in a functionally graded thick plate with a higher-order plate theory and a meshless local Petrov-Galerkin method Computational Mechanics, 35(3): pp 214-226 Reddy J and Chin C (1998) Thermomechanical analysis of functionally graded cylinders and plates Journal of thermal Stresses, 21(6): pp 593-626 Reddy J (2000) Analysis of functionally graded plates International Journal for numerical methods in engineering, 47(1-3): pp 663-684 Reddy J (2000) Analysis of functionally graded plates International Journal for numerical methods in engineering, 47(1‐3): pp 663-684 Reddy J and Cheng Z.-Q (2001) Three-dimensional solutions of smart functionally graded plates Journal of Applied Mechanics, 68(2): pp 234-241 Reddy J and Cheng Z.-Q (2001) Three-dimensional thermomechanical deformations of functionally graded rectangular plates European Journal of Mechanics-A/Solids, 20(5): pp 841-855 Reddy J.N (2004) Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis CRC press Sadowski T., Birsan M., and Pietras D (2015) Multilayered and FGM structural elements under mechanical and thermal loads Part I: Comparison of finite elements and analytical models Archives of civil and mechanical engineering, 15(4): pp 1180-1192 Shao Z and Wang T (2006) Three-dimensional solutions for the stress fields in functionally graded cylindrical panel with finite length and subjected to 146 [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] thermal/mechanical loads International Journal of Solids and Structures, 43(13): pp 3856-3874 Shen H.-S (2004) Thermal postbuckling behavior of functionally graded cylindrical shells with temperature-dependent properties International Journal of Solids and Structures, 41(7): pp 1961-1974 Shen H.-S and Wang Z.-X (2012) Assessment of Voigt and Mori–Tanaka models for vibration analysis of functionally graded plates Composite Structures, 94(7): pp 2197-2208 Shen H.-S., Chen X., Guo L., Wu L., and Huang X.-L (2015) Nonlinear vibration of FGM doubly curved panels resting on elastic foundations in thermal environments Aerospace Science and Technology, 47: pp 434-446 Shen H.-S (2016) Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells CRC press Sheng G and Wang X (2008) Thermal vibration, buckling and dynamic stability of functionally graded cylindrical shells embedded in an elastic medium Journal of Reinforced Plastics and Composites, 27(2): pp 117-134 Sheng G and Wang X (2008) Thermomechanical vibration analysis of a functionally graded shell with flowing fluid European Journal of MechanicsA/Solids, 27(6): pp 1075-1087 Sobhy M (2016) An accurate shear deformation theory for vibration and buckling of FGM sandwich plates in hygrothermal environment International Journal of Mechanical Sciences, 110: pp 62-77 Strutt J.W and Rayleigh B (1945) The theory of sound Dover Sundararajan N., Prakash T., and Ganapathi M (2005) Nonlinear free flexural vibrations of functionally graded rectangular and skew plates under thermal environments Finite Elements in Analysis and Design, 42(2): pp 152-168 Swaminathan K and Sangeetha D (2015) Thermo-elastic analysis of FGM plates based on higher order refined computational model Int J Res Eng Technol, 4: pp 1-6 Swaminathan K and Sangeetha D (2017) Thermal analysis of FGM plates–A critical review of various modeling techniques and solution methods Composite Structures, 160: pp 43-60 Taczała M., Buczkowski R., and Kleiber M (2016) Nonlinear free vibration of pre-and post-buckled FGM plates on two-parameter foundation in the thermal environment Composite Structures, 137: pp 85-92 Tanigawa Y.O., Yoshinobu (1999) Three-dimensional transient thermal stresses of functionally graded rectangular plate due to partial heating Journal of Thermal Stresses, 22(1): pp 35-55 Touloukian Y.S (1966), Thermophysical properties of high temperature solid materials, Thermophysical and Electronic Properties Information Analysis Center Lafayette In Tounsi A., Houari M.S.A., and Benyoucef S (2013) A refined trigonometric shear deformation theory for thermoelastic bending of functionally graded sandwich plates Aerospace science and technology, 24(1): pp 209-220 Van Dung D (2015) Nonlinear torsional buckling and postbuckling of eccentrically stiffened FGM cylindrical shells in thermal environment Composites Part B: Engineering, 69: pp 378-388 147 [107] Van Tung H and Duc N.D (2010) Nonlinear analysis of stability for functionally graded plates under mechanical and thermal loads Composite Structures, 92(5): pp 1184-1191 [108] Van Tung H and Duc N.D (2014) Nonlinear response of shear deformable FGM curved panels resting on elastic foundations and subjected to mechanical and thermal loading conditions Applied Mathematical Modelling, 38(11): pp 2848-2866 [109] Vel S.S and Batra R (2002) Exact solution for thermoelastic deformations of functionally graded thick rectangular plates AIAA journal, 40(7): pp 1421-1433 [110] Wang Y., Liu D., Wang Q., and Zhou J (2016) Asymptotic analysis of thermoelastic response in functionally graded thin plate subjected to a transient thermal shock Composite Structures, 139: pp 233-242 [111] Wattanasakulpong N., Prusty G.B., and Kelly D.W (2013) Free and forced vibration analysis using improved third-order shear deformation theory for functionally graded plates under high temperature loading Journal of Sandwich Structures & Materials, 15(5): pp 583-606 [112] Wattanasakulpong N and Chaikittiratana A (2015) An analytical investigation on free vibration of FGM doubly curved shallow shells with stiffeners under thermal environment Aerospace Science and Technology, 40: pp 181-190 [113] Woo J and Meguid S (2001) Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells International Journal of Solids and structures, 38(42-43): pp 7409-7421 [114] Yang J and Shen H.-S (2001) Dynamic response of initially stressed functionally graded rectangular thin plates Composite Structures, 54(4): pp 497-508 [115] Yang J and Shen H.-S (2002) Vibration characteristics and transient response of shear-deformable functionally graded plates in thermal environments Journal of Sound and Vibration, 255(3): pp 579-602 [116] Yanga J and Shen H.-S (2003) Non-linear analysis of functionally graded plates under transverse and in-plane loads International Journal of Non-Linear Mechanics, 38(4): pp 467-482 [117] Zenkour A and Alghamdi N (2010) Bending analysis of functionally graded sandwich plates under the effect of mechanical and thermal loads Mechanics of Advanced Materials and Structures, 17(6): pp 419-432 [118] Zenkour A (2010) Hygro-thermo-mechanical effects on FGM plates resting on elastic foundations Composite Structures, 93(1): pp 234-238 [119] Zenkour A (2013) Hygrothermal analysis of exponentially graded rectangular plates J Mech Mater Struct, 7(7): pp 687-700 [120] Zenkour A (2013) Hygrothermal analysis of exponentially graded rectangular plates Journal of Mechanics of Materials and Structures, 7(7): pp 687-700 [121] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M (2009) Free vibration analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method Journal of sound and Vibration, 319(3): pp 918-939 [122] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M (2009) Thermoelastic and vibration analysis of functionally graded cylindrical shells International Journal of Mechanical Sciences, 51(9-10): pp 694-707 [123] Zidi M., Tounsi A., Houari M.S.A., and Bég O.A (2014) Bending analysis of FGM plates under hygro-thermo-mechanical loading using a four variable refined plate theory Aerospace Science and Technology, 34: pp 24-34 ... KC1 - Độ võng vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng học 71 4.2.2 Ví dụ KC2 – Độ võng vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ 73 4.2.3 Ví dụ KC3 - Tần số dao động riêng vỏ FGM hai độ cong 74 4.2.4... võng w vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng học 72 Bảng 4.4 Độ võng không thứ nguyên w vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ 73 Bảng 4.5 Tần số dao động riêng không thứ nguyên 1 vỏ FGM hai độ cong bốn... Mở đầu 21 2.2 Mơ hình tốn vỏ FGM hai độ cong 21 2.3 Các giả thiết 22 2.4 Phân tích tĩnh vỏ thoải FGM hai độ cong 23 2.4.1 Trường chuyển vị