Đề thi OLYPIC lớp 7 (hay)

Phòng giáo dục Đức thọ Trờng THCS Hoàng Xuân Hãn *********************** Đề thi chọn học sinh dự thi olimpic năm học 2006- 2007 Môn: Toán 7 ( Thời gian: 90 phút) Đề ra: Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và 1 1 1 1 90a b b c c a + + = + + + Tính: S = a b c b c c a a b + + + + + . Câu2: Tìm 3 phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng 83 15 120 , tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5 ; 7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với: 1 1 1 ; ; 4 5 6 . Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x 2 + 3y 2 = 77. Câu4: Tìm x biết rằng: 2 2 3 2x x x + = . Câu5: Cho tam giác ABC có 120A < .Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE a) Chứng minh: BMD = 60 0 b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD. c) Chứng minh: AMC = BMC. d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120) sao cho: NIP = PIQ = QIN. Đáp án và biểu điểm Toán 7 năm học: 2006 2007 Câu1: 3 điểm Từ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 (b + c); b = 2007 (a + c); c = 2007 (b + a)(1đ) =>S = 2007 ( ) 2007 ( ) 2007 ( )b c a c a b b c a c a b + + + + + + + + (0,5 điểm) = 1 1 1 1 2007 3 2007. 3 90b c a c a b + + = ữ + + + (1 điểm) = 223 193 3 3 19 10 10 10 = = (0,5 điểm) Câu2: 4 điểm Gọi các phân số cần tìm là: ; ; ;( ; ; ; ; ; ; ; ; 0) a c e a b c d e f Z b d f b d f ( 0,5 đ) Tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5; 7; 11 nên ta có a:c:e = 5:7:11 hay: 5 7 11 a c e = = (0,5đ) Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với 1 1 1 ; ; 4 5 6 => mẫu số tỉ lệ thuận với 4; 5; 6 => 4 5 6 b d f = = (0,5đ) Đặt: 5 7 11 a c e = = = k; 4 5 6 b d f = = = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p;f = 6p(0,5đ) => 5 7 11 75 84 110 269 4 5 6 60 60 a c e k k k k k k k b d f p p p p p + + + + = + + = = (1 điểm) Mà 83 1883 15 120 120 a c e b d f + + = = => 269. 1883 7 60. 120 2 k k p p = = (0,5 đ) => 5.7 35 4.2 8 a b = = ; 7.7 49 5.2 10 c d = = ; 11.7 77 6.2 12 e f = = (0,5 điểm) Câu3: 2 điểm Từ 2x 2 + 3y 2 = 77 => 2 0 3 77y => 2 0 25y kết hợp với 2x 2 là số chẵn =>3y 2 là số lẻ => y 2 là số lẻ => y 2 { 1; 9; 25 } ( 1 đ) + Với y 2 = 1 => 2x 2 = 77 3 = 74 x 2 = 37 (KTM) + Với y 2 = 9 => 2x 2 = 77 27 = 50 x 2 = 25 x =5 hoặc x = -5 + Với y 2 = 25 => 2x 2 = 77 75 = 2 x 2 = 1 x = 1 hoặc x = -1 (0,5 đ) Vậy ta có các trờng hợp sau: 0,5 đ (nếu thiếu 1 trờng hợp trừ 0,25 đ) x 1 -1 1 -1 5 -5 5 -5 y 5 5 -5 -5 3 3 -3 -3 Câu4: 4 điểm 2 2 3 2x x x + = (1) + Với 3 2 x thì: (1) 2 x + 2x +3 x = -2 0x = -7 ( KTM) + Với 3 2 2 x < thì (1) 2 x 2x 3 x = -2 - 4x = - 1 x = 1 4 (TM) + Với x > 2 thì (1) x - 2 2x 3 x = -2 - 2x = 3 x = 3 2 (KTM) Vậy x = 1 4 Bài5:7 điểm a) Ta có: ADC = ABE (c-g-c) => ADC =ABE Gọi F là giao điểm của AB và CD. Xét ADFvàBMF Có D B= ; AFD = BFM ( đối đỉnh) ( 1 đ) => BMF =FAD => BMF = 60=>BMC =120 b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP =>BMP là tam giác đều => BP = BM; MBP =60 Kết hợp với ABD =60 => MBA = PBD => PBD = MBA (c-g-c) => AM = DP AM + MB = DP + PM = DM (2 điểm) c) Từ: PBD = MBA => AMB = DPB, mà: BPD = 120=>BMA =120 => AMC =120 =>AMC = BMC (1 điểm) d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán nh sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB. Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I. Thì I là điểm thỏa mãn: NIP = PIQ = QIN => Điểm I là điểm cần dựng (1 điểm) . => 2x 2 = 77 3 = 74 x 2 = 37 (KTM) + Với y 2 = 9 => 2x 2 = 77 27 = 50 x 2 = 25 x =5 hoặc x = -5 + Với y 2 = 25 => 2x 2 = 77 75 = 2 x 2 =. 7 60. 120 2 k k p p = = (0,5 đ) => 5 .7 35 4.2 8 a b = = ; 7. 7 49 5.2 10 c d = = ; 11 .7 77 6.2 12 e f = = (0,5 điểm) Câu3: 2 điểm Từ 2x 2 + 3y 2 = 77