Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƢU THỊ PHƢỢNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LƢU THỊ PHƢỢNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết Vật lý Toán Mã số : 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn HÀ NỘI, 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình Tác giả luận văn Lƣu Thị Phƣợng i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, nỗ lực cố gắng thân, nhận quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện từ gia đình, thầy bạn bè Xin lưu vào trang luận văn tri ân lời cảm ơn chân thành Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng tới thầy, GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn, người trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Thầy tận tình hướng dẫn tạo cho tơi điều kiện tốt để học tập nghiên cứu khoa học Đặc biệt xin cảm ơn bạn Phạm Công Huy, bạn trực tiếp hướng dẫn phần tính tốn luận văn kiểm tra lại kết tính tốn Tơi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đaị học Quốc Gia Hà Nội, thầy phòng sau đại học,…những người trực tiếp giảng dạy, truyền đạt kiến thức vật lý xác nhận thủ tục hành suốt q trình học tập Cuối tơi xin cảm ơn bố mẹ, chồng em trai nhắc nhở động viên tạo điều kiện tốt để tơi học tập Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lƣu Thị Phƣợng ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH SÁCH HÌNH VẼ iv LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1.Cấu trúc vùng lượng 1.2.Phương trình Dirac 1.3.Giả spinor Chirality 12 1.4 Truyền dẫn ballistic 14 1.4.1.Chui ngầm Klein 14 1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử 17 1.5 Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường 19 1.6 Một số cấu trúc nano graphene 22 1.7 Ứng dụng Graphene 22 CHƢƠNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚP 27 2.1 Cấu trúc tinh thể 27 2.2.Cấu trúc vùng lượng 28 2.3 Sự khác biệt graphene đơn lớp graphene hai lớp 32 CHƢƠNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 38 3.1 Siêu mạng bán dẫn 38 3.2 Phương pháp T-ma trận 40 3.3 Siêu mạng Graphene hai lớp 43 3.4.Cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp 47 3.4.1 Mơ hình điện dạng Kronig- Penney 47 3.4.2 Kết thảo luận: 50 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1 Các vecto sở vùng Brillouin Graphene Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán (b) chế truyền dẫn ballistic 14 Hình 1.3 Mơ hình chui ngầm Klein 15 Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp đường màu xanh ứng với bán dẫn thơng thường có vùng cấm 16 Hình 1.5 Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L Đường liền nét biểu diễn độ dẫn theo công thức (1.4.43) , điểm hình tròn hình vng số liệu thực nghiệm tương ứng nhóm Miao( 2007) nhóm Danneau (2008) 19 Hình 1.6 Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b) graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp nhiệt độ T= 4K, B=14 T 21 Hình 2.1 : Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp Graphene hai lớp 27 Hình 2.2 : Cấu trúc vùng lượng graphene đơn lớp 33 Hình 2.3 (a) Cấu trúc vùng lượng graphene hai lớp 34 Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng lượng Graphene hai lớp khơng đối xứng 34 Hình 2.4.Sự xuất khe vùng có điện trường ngồi lớp kép graphene 36 Hình 3.1.Mơ hình điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp 44 Hình 3.2 Hệ thức tán sắc với siêu mạng khác cho ta thấy mối liên hệ E với kx, ky 46 Hình 3.3.Mơ hình siêu mạng điện 47 Hình 3.4 Cấu trúc vùng siêu mạng điện Graphene không gian 3D với: 48 Hình 3.5 Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào khác nhau:   (đường chấm gạch),   (đường liền đỏ),   18 (đường gạch xanh)50 iv LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn luận văn Công nghệ bán dẫn đại với transistor truyền thống phát triển mạnh mẽ nửa cuối kỷ 20 Bằng chứng cho phát triển định luật Moore với tăng theo hàm mũ mật độ transistor chip điện tử silicon Tuy nhiên, mật độ transistor đạt đến giới hạn mà nguyên lý hoạt động transistor cổ điển khơng nữa, vấn đề mà nhà vật lý cơng nghệ lo ngại tiếp tục giảm kích thước „bóng bán dẫn‟ Carbon, nguyên tố sống, với tính chất độc đáo kỳ vọng vật liệu sở cho công nghệ tương lai Nhiều người tin rằng, carbon thay silic, cơng nghệ bán dẫn truyền thống thay công nghệ nano dựa nguyên tắc hoàn toàn Các cấu trúc nano nguyên tố carbon cầu Fullerenes C60 (Fullerenes carbon ball C60 ), ống nano carbon (carbon nanotube), dải nano carbon ( carbon nanoribbon ), nghiên cứu sôi lĩnh vực vật lý nano, thập kỷ qua Mà, Graphene xem sở cấu thành cấu trúc Graphene có nhiều tính chất đặc biệt so với vật liệu thông thường Thứ nhất, lượng thấp electron biểu hạt tương đối tính khơng khối lượng, vận tốc khoảng 1/300 lần vận tốc ánh sáng Hàm sóng electron có cấu trúc spinor hai thành phần hướng spinor có liên quan đến hướng xung lượng nguyên nhân tính chirality Thứ hai, khả truyền dẫn đặc biệt tốt Graphene Độ linh động electron Graphene ( tiêu chí để xác định vật liệu dẫn điện tốt) đạt tới 𝟏𝟎𝟓 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔 cao hẳn so với độ linh động electron silicon ( cỡ 𝟏𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔) hay GaAs( cỡ 𝟖𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔) Ngoài ra, graphene vật liệu dẫn cực mỏng, suốt, bền mặt học, dẫn nhiệt tốt Do đó, Graphene kỳ vọng thay cho vật liệu bán dẫn thông thường nhiều ứng dụng, từ sản xuất vi xử lý tốc độ cao đến cảm biến sinh học Việc nghiên cứu ứng dụng graphene bắt đầu nghiên cứu tính chất electron cấu trúc khác Graphene : carbon nanoribbon, quantum dot, p-n junction, hay siêu mạng Thông thường người ta chế tạo siêu mạng cách điều chỉnh gian cầm electron công nghệ tương tự công nghệ hút bám nguyên tử bề mặt Graphene Ngày cơng nghệ đại sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để quan sát cấu trúc bề mặt vật rắn với độ phân giải lên tới cấp độ nguyên tử, người ta đặt vào điều chỉnh tạp chất hợp lý để tạo cấu trúc siêu mạng ý muốn, với độ xác cực cao Bên cạnh đó, có phương pháp đơn giản làm tạo điện áp địa phương ( tức đặt vào điện áp không đổi với chu kỳ tuần hồn đó), electron tuần hoàn siêu mạng Ngoài ra, phương pháp độc đáo sử dụng, ban đầu người ta tạo lớp chất có hình dạng siêu mạng muốn tạo thành Sau đó, người ta cấy lên bề mặt lớp graphene cách tạo siêu mạng graphene Ngày nay, người ta sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để điều chỉnh tạp chất graphene đặt lên lớp chất tạo đạt cấu trúc siêu mạng mong muốn Với công nghệ này, người ta tạo siêu mạng graphene có chu kỳ nhỏ 5nm Mơ hình siêu mạng phổ biến hay quan tâm mơ hình Kronig- Penney ( tức mơ hình gồm bờ vng góc xếp tuần hồn theo phương đó) Với mơ hình KronigPenny cho siêu mạng điện Bai Zhang [6] khảo sát phụ thuộc hệ số truyền qua vào góc tới lượng tới hạt, đồng thời tính độ dẫn hệ Nhóm Abedbour tính độ dẫn hệ siêu mạng trật tự graphene Nhóm Park với mơ hình Kronig- Penney vận tốc nhóm có tính dị hướng cao tính chirality Trong vận tốc nhóm theo phương tuần hồn khơng đổi( vận tốc Fermi), vận tốc nhóm xét theo phương vng góc với nhỏ vận tốc Fermi Với siêu mạng graphene sử dụng có dạng hàm sin, Brey Fertig [10] tính chirality dẫn tới điều đặc biệt xuất trạng thái lượng khơng phương trình Dirac, xuất thêm nhiều điểm Dirac nằm đối xứng qua điểm Dirac theo phương xung lượng ngang Ngồi siêu mạng tạo thành bờ từ Siêu mạng từ graphene cấu thành cách áp sắt từ lên bề mặt graphene theo phương định tạo thành tuần hoàn Trong luận văn sử dụng phương pháp Transfer (T) matrix quen thuộc, chúng tơi bước đầu tìm hiểu cấu trúc lượng siêu mạng graphene hai lớp ( bilayer graphene) với tĩnh điện tuần hồn dạng Kronig- Penney Vì chọn tên luận văn: “Cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp” Mục tiêu luận văn Tìm hiểu tính chất vật lý graphenevà bước đầu học cách tính tốn cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp Phƣơng pháp nghiên cứu luận văn Luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết bloch kết hợp với phương pháp T-ma trận Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu luận văn -Đối tượng nghiên cứu : Graphene hai lớp tác dụng tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig- Penney - Phạm vi nghiên cứu : Cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương: Chương 1: Tổng quan tính chất điện tử Graphene đơn lớp Chương 2: Cấu trúc vùng lượng Graphene hai lớp Chương 3: Trình bày kết thảo luận cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene lớp với điện dạng Kronig - Penney CHƢƠNG TỔNG QUAN CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE ĐƠN LỚP Để làm rõ tính chất đặc biệt graphene giới thiệu phần mở đầu, đồng thời làm sở cho tính tốn giải thích tượng vật lý siêu mạng graphene trình bày phần tiếp theo, xin giới thiệu vài đặc trưng graphene cấu trúc vùng lượng tính chất điện tử 1.1 Cấu trúc vùng lƣợng Cấu trúc vùng lượng Graphene tính tốn phương pháp gần liên kết mạnh so sánh kết nhận với phương pháp ab- initio Hàm sóng electron gần liên kết mạnh viết dạng: 𝛹𝑗 𝑘, 𝑟 = 𝑀 𝑚 =1 𝛹𝑗 ,𝑚 𝑘 𝜙𝑚 (𝑘, 𝑟)(1.1.1) 𝛹𝑗 ,𝑚 hệ số khai triển Có M dãy lượng khác lượng trạng thái điện tử E dãy thứ j tính : 𝐸𝑗 𝑘 = 𝛹𝑗 𝐻 𝛹𝑗 / 𝛹𝑗 𝛹𝑗 Dưới dạng đơn giản nhất, lượng 𝐸𝑗 với hệ số khai triển 𝛹𝑗 tạo thành : 𝐻𝛹𝑗 = 𝐸𝑗 𝑆𝛹𝑗 Trong đó: 𝛹𝑗 vecto cột, 𝛹𝑗𝑇 = (𝛹𝑗 , 𝛹𝑗 , … , 𝛹𝑗𝑀 ) (1.1.2) Ma trận tích phân chuyển đổi H ma trận tích phân chéo S MxM với nhân tố xác định sau : 𝐻𝑚 𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝐻 𝜙𝑚′ 𝑆𝑚𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝜙𝑚′ (1.1.3) Dãy lượng 𝐸𝑗 xác định phương trình giá trị riêng suy rộng (1.1.2) cách giải phương trình : 𝑑𝑒𝑡 𝐻 − 𝐸𝑗 𝑆 = (1.1.4) Ở „det‟ gọi định thức ma trận Các yếu tố ma trận tính trực định nghĩa : 𝐻𝐴𝐴 = 𝑁 𝑁 𝑖=1 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) 𝐻 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) (1.1.5) Cột trái lượng với kx,ky cho a=b=0 nm t= 390 meV Dòng lượng tiếp tục phụ thuộc vào dòng nhỏ thấp chiếu theo mặt tinh thể (kx,ky) Cột (a) kx lien tục (đường cong màu đỏ tía) kx=π/l đường cong xanh gạch ngang (b) ky lien tục (đường cong màu đỏ liền) k y=0.2 nm (đường cong gạch xanh) Chỉ nửa vùng Brillouin nhìn rõ Cột phủ DOS cho siêu mạng tương ứng Đối với siêu mạng không lệch (1) ta trình bày DOS chỗ màu đỏ cho siêu mạng với hàm giống Graphene đơn lớp Đường cong liền cho thấy DOS LỚP với xuất điện siêu mạng 3.4 Cấu trúc vùng lƣợng siêu mạng Graphene hai lớp 3.4.1 Mơ hình điện dạng Kronig- Penney Mơ hình nghiên cứu đơn lớp Graphene tĩnh điện tuần hoàn với dạng Kronig – Penney mơ tả Hình 3.3 Ma trận truyền qua hệ tính cách nhân ma trận truyền qua bờ theo thứ tự từ phải sang trái Mơ hình biểu diễn Hình 3.3 sau chọn gốc tọa độ Hình 3.3 Mơ hình siêu mạng điện (a) Giản đồ minh họa phổ giả hạt miền khác (b) Mô hình tĩnh điện dạng Kronig- Penney 47 Ma trận qua tồn hệ tính theo cơng thức: T  T2 RT1RT0T1LT2 L  e ik1d T1R    Với   eik1d T0  eik1d   (3.4.10)    A1T0 A ik1d  e  Ta thu hệ thức tán sắc: cos(k x d )  cos(k w d w ) cos(kb db )  sin(k w d w ) sin(kb db ) ( w   b )  (k w2  kb2 )d 2k w k b d (3.4.11) Trong : k w(b )  d 1 (   w(b ) )  (k y d ) + d  d w  db độ rộng chu kỳ tuần hoàn + k y thành phần vector sóng theo phương y +  lượng tới đơn vị  F / d ,  w(b)  Vw(b) /( F / d ) Hệ thức (3.2) cho thấy mối liên hệ E-k phụ thuộc vào thay đổi tham số vecto sóng k,độ lớn đặt vào  Trong trường hợp ⏀𝑤 = −⏀𝑏 = −⏀thu kết trình bày hình vẽ: Hình 3.4 Cấu trúc vùng siêu mạng điện Graphene không gian 3D với (a) db  d w ,   và( e) ( db / d w  3,   8) : xuất điểm Dirac giống Graphene tinh khiết (b) (d b  d w ,   8) (d) ( db / d w  1.5,   8) : xuất hai điểm Dirac phụ nằm đối xứng hai bên điểm Dirac theo phương k y 48 Mối liên hệ E  k y biểu diễn (c) (f): tham số (a), (b), (d), (e) Số điểm Dirac thay đổi theo qui luật 1,3,5,…,2N+1 Với N= Ф 2𝜋 phụ thuộc vào  𝑑 tỉ số 𝑏 𝑑𝑤 Hành vi điện tử lân cận điểm Dirac khảo sát rõ vận tốc nhóm.Hệ thức tán sắc viết dạng 𝑓 𝐸, 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 = ,từ vận tốc nhóm theo phương k tính cơng thức : 𝑣𝑘 = 𝑣𝑥 cos 𝜃 + 𝑣𝑦 sin 𝜃 Trong đó: 𝑣𝑥 = − 𝜕𝑓 𝜕 𝑘𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝐸 vận tốc thành phần theo phương x 𝑣𝑦 = − 𝜕𝑓 𝜕 𝑘𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝐸 vận tốc thành phần theo phương y Một kết thú vị vận tốc nhóm lân cận điểm Dirac siêu mạng điện bất đẳng hướng mạnh (𝑣𝑥 ≠ 𝑣𝑦 ) Vận tốc nhóm đạt giá trị cực đại =𝑣𝑓 góc tới 00 , 1800 , 3600 ,cực tiểu góc tới 900 , 2700 Sự bất đẳng hướng phụ thuộc vào độ lớn điện đặt vàoễ=18 (đường gạch xanh) thăng giáng vận tốc nhóm mạnh so với ễ=4 (đường chấm gạch ) Các kết biểu diễn hình 3.4 độ lớn điện tính đơn vị 𝑣𝑓  𝑑 49 Hình 3.5 Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào khác nhau:   (đường chấm gạch),   (đường liền đỏ),   18 (đường gạch xanh) 3.4.2 Kết thảo lun *) Tính cấu trúc vùng l-ợng siêu m¹ng Graphene Năng lượng E trạng thái điện tử trị riêng hàm Hamilton H:  V1  t   V1   t V2    0   0  0   V2  Trong đó: : tốn tử mô men xung lượng : mô men xung lượng  F  106 m / s : vận tốc Fermi V1 ,V2 : điện lớp t : mô tả liên kết lớp 50 (3.4.12) Hàm sóng grapheme gần liên kết mạnh viết dạng:  A     B       B'   '   A (3.4.13) Từ (3.4.2.1), (3.4.2.2) giải phương trình Schrodinger 𝐻𝛹 = 𝐸𝛹 Nhân hàng phương trình (3.4.2.1)với cột (3.4.2.2) ta phương trình sau: *) Phương trình 1: Thay 𝜋 = 𝜈𝐹 (𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦 ),𝑝𝑥,𝑦 = −𝑖ℏ𝜕𝑥,𝑦 ta có: 𝜈𝐹 𝜋 𝐵 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 + 𝑡⊥ 𝐵′ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = 𝐸 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 𝜋𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ (3.4.14) 𝜕 𝜕 𝑖𝑘𝑥 𝑖𝑘 𝑦 +𝑖 𝑒 𝑒 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = −𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 Từ ta suy được: −𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝜈𝐹 𝐵 + 𝑡⊥ 𝐵′ = 𝐸 𝐴(3.4.2.4) *) Phương trình : 𝜈𝐹 𝜋 + 𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = 𝐸 𝐵 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 Trong đó: 𝜋 + 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ 𝜕 𝜕 𝑖𝑘𝑥 𝑖𝑘 𝑦 −𝑖 𝑒 𝑒 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 =−𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 Từ ta suy được: −𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝜈𝐹 𝐴 = 𝐸 𝐵 (3.4.2.5) Phương trình Từ phương trình (3.4.2.5) ta rút 𝐵 = 𝐴 ℏ 𝜈𝐹 𝑖𝑘 −𝑖.𝑖.𝑘 𝑦 𝐸 Thay (3.2.4.5) vào phương trình (3.4.2.3) ta có: ℏ 𝜈𝐹 −𝑖 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 (−𝑖) 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 + 𝑡⊥ 𝐵′ = 𝐸 𝐴 𝐸 51 (3.4.15) → 𝐴 ℏ.𝜈 𝐹 𝑘 +𝑘 𝑦2 𝐸 − 𝐸 + 𝑡⊥ 𝐵′ = (3.4.16) *) Phương trình : 𝑡⊥ 𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 + 𝜈𝐹 𝜋 + 𝐴′ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = 𝐸 𝐵′ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 𝜋 + 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 → 𝑡⊥ 𝐴 − 𝑖ℏ 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝜈𝐹 𝐴′ = 𝐸 𝐵′ (3.4.17) *) Phương trình 4: 𝜈𝐹 𝜋 𝐵′ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = 𝐸 𝐴′ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 ′ 𝜋 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 →−𝑖ℏ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝜈𝐹 𝐵′ = 𝐸 𝐴′ Từ phương trình ta rút 𝐴′ = 𝐵 ′ ℏ 𝜈𝐹 (3.4.18) −𝑖 𝑖𝑘 +𝑖.𝑖.𝑘 𝑦 𝐸 Thay vào phương trình → 𝑡⊥ 𝐴 + ℏ 𝜈𝐹 → 𝐴 𝑡⊥ + 𝐵′ −𝑖 𝑖𝑘 −𝑖.𝑖.𝑘 𝑦 −𝑖 𝑖𝑘 +𝑖.𝑖.𝑘 𝑦 𝐸 ℏ.𝜈 𝐹 𝑘 +𝑘 𝑦2 𝐸 −𝐸 =0 (3.2.4.6) (3.2.4.9) viết gộp lại thành 𝑡⊥ 𝑋 Với 𝑋 = ℏ.𝜈 𝐹 𝑘 +𝑘 𝑦2 𝐸 𝑋 𝐴 = 𝑡⊥ 𝐵′ −𝐸 Phương trình có nghiệm khơng tầm thường 𝑑𝑒𝑡 𝑡⊥ 𝑋 𝑋 =0 𝑡⊥ ↔ 𝑋 − 𝑡⊥ =  𝑋 = 𝑡⊥ →𝐸 + 𝐸 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝑘 + 𝑘𝑦2 = 52 𝐵′ = 𝐸 𝐵′ (3.4.19) 𝚫= 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝑘 + 𝑘𝑦2 −𝑡⊥ ± 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝐸= 𝑘 + 𝑘𝑦2  𝑋 = −𝑡⊥ →𝐸 − 𝐸 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝚫= 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 2 𝑘 + 𝑘𝑦2 = 𝑘 + 𝑘𝑦2 𝑡⊥ ± 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝐸= 𝑘 + 𝑘𝑦2 Với cách giải tương tự phần tơi vừa trình bày Giờ ta tìm mối liên hệ E với k, ky Từ hàm Hamilton  V1  t   V1   t V2    0   0  0   V2   A      B  𝑖𝑘𝑥 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 Hàm sóng   𝑒 𝑒  B'     '   A  (3.4.20) (3.4.21) Từ hàm Hamilton phương trình (1) với hàm sóng phương trình (2) ta thu phương trình : 𝐻𝛹 = 𝐸𝛹 (3.4.22) Giải phương trình (3.4.12) ta thu mối liên hệ E với k, ky Với giả thiết sau: 𝑉1 = 𝑉2 = 𝛹𝐴 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 𝛹𝐵 = 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 𝛹𝐵′ = 𝐵′𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 𝛹𝐴′ = 𝐴′𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘 𝑦 𝑦 Từ (3.4.11) và(3.4.12) ta hệ phương trình sau : 53  ) 𝑉1 𝐴 − 𝑖ђ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑦 𝐵 ѵ𝐹 + 𝑡⏊ 𝐵′ = 𝐸 𝐴(3.2.4.13)  ) Ѵ𝐹 −𝑖ђ 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑦 𝐴 + 𝑉1 𝐵 = 𝐸 𝐵  ) 𝑡⏊ 𝐴 + 𝑉1 𝐵′ + ѵ𝐹 −𝑖ђ 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑘𝑦 𝑦 (3.4.23) 𝐴′ = 𝐸 𝐵 ′ (3.4.15)  ) − 𝑖ђ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑦 𝐵′ ѵ𝐹 + 𝑉2 = Từ ph-ơng trình (3.4.14) (3.4.16) ta suy đ-ợc: = ( − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑦) 𝐴 𝐸−𝑉 Thay (3.4.14) vµo (3.4.13), ta có: 𝑉1 𝐴 − 𝑖ђ 𝑖𝑘 + 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑦 −𝑖ђ ѵ2𝐹 𝑖𝑘 − 𝑖 𝑖 𝑘𝑦 𝑦 𝐴 + 𝑡⏊ 𝐵′ = 𝐸 𝐴 𝐸−𝑉 𝐴 𝑘 + 𝑘𝑦2 + 𝑡⏊ 𝐵′ = 𝐸 𝐴 𝐸−𝑉 𝑉1 𝐴 + ђѵ𝐹 ђѵ𝐹 𝐴 𝐸−𝑉 𝐴 + 𝑡⏊ 𝐵′ = 𝐸 𝐴 𝐸−𝑉 𝑘 + 𝑘𝑦2 (ђѵ𝐹 )2 𝑘 + 𝑘𝑦2 − 𝐸 − 𝑉 + 𝑡⏊ 𝐵′ = (3.4.24) Thay (3.4.12) vào (3.4.16) , suy ra: A  i (ik  i.i.k y y).vF B E V Thay (3.4.12) vào (3.4.15): t1 A  v2 B  v[  i (ik  i.i.k y y )](-i )(ik+i.i.K y y ).vF B  E.B E V  t1 A  V2 B  B.( vF ) (k  k y2 ) E V  E  B 2   k  ky  t1 A  B  vF    E  V    (**) E V   (3.4.25) Ta viết gộp: y X  x   A  0   t1   B 0 54  với X  vF   k  k y2  E V  (E V ) Phương trình có nghiệm khơng tầm thường khi: t det  X X 0 t1   X  t12  *) X  t1   E  V   ( E  V )t1   vF   k  k y2   2   t12   vF   k  k y2  t1  t12   vF   k  k y2  E V  *) X  t1  E  V    E  V  t1   k  k y2   E  V  t1  t12   vF   k  k y  2 Nhìn vào kết tính tốn ta thấy mối quan hệ E,kx, ky Nhờ vào mối liên hệ vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc E theo kx, ky 55 KẾT LUẬN Trong luận văn nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày tổng quan ngắn gọn tính chất điện tử Graphene đơn lớp, dạng cấu trúc khác Graphene ứng dụng Graphene So sánh khác Graphene đơn lớp hai lớp Graphene hai lớp độ rộng vùng cấm thay đổi Điều làm cho Graphene hai lớp trở thành vật liệu hữu ích chế tạo transistor hay cảm biến phân tử Ta so sánh số điểm graphene đơn lớp (single-layer) với graphene hai lớp ( bi-layer graphene ) sau: 1) Cấu trúc tinh thể : Single-layer : đơn giản có lớp hình lục giác, xem lồng vào mạng tam giác Bi-layer: gồm single-layer xếp chồng lên nhau, lưu ý lớp lệch lớp giống hệt (một lớp quay góc 60 tịnh tiến) 2) Cấu trúc vùng lượng: Điểm chung vật liệu là bán kim (tức bán dẫn khơng có vùng cấm) vùng dẫn vùng hóa trị tiếp túc điểm gọi điểm Dirac Cả có tính chất đối xứng band-structure: vùng dẫn vùng hóa trị đối xứng với qua đường E = Single-layer: Hệ thức tán sắc tuyến tính kiểu E =+- hbar * vF * sqrt(kx^2+ ky^2) Bi-layer: Hệ thức tán sắc parabolic kiểu E =+- (hbar^2)/(2*m) (kx^2+ ky^2) Một điểm đặc biệt Bi-layer tạo gap cách đặt vào điện lớp graphene Tìm hiểu siêu mạng : siêu mạng bán dẫn, lớp, hai lớp với loại điện từ khác 56 Học cách tính tốn cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene sử dụng phương pháp tight- binding kết hợp phương pháp ab-initio Hình 3.4 Cấu trúc vùng siêu mạng điện Graphene không gian 3D với (a) db  d w ,   và( e) ( db / d w  3,   8) : xuất điểm Dirac giống Graphene tinh khiết (b) (d b  d w ,   8) (d) ( db / d w  1.5,   8) : xuất hai điểm Dirac phụ nằm đối xứng hai bên điểm Dirac theo phương k y - Cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp trường hợp chưa có điện trường ngoài, Graphene bán kim loại Ta thu hai trường hợp:  𝑋 = 𝑡⊥ →𝐸 + 𝐸 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝚫= 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 2 𝑘 + 𝑘𝑦2 = 𝑘 + 𝑘𝑦2 −𝑡⊥ ± 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝐸= 𝑘 + 𝑘𝑦2  𝑋 = −𝑡⊥ →𝐸 − 𝐸 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝚫= 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 2 𝑘 + 𝑘𝑦2 = 𝑘 + 𝑘𝑦2 𝑡⊥ ± 𝑡⊥ − ℏ 𝜈𝐹 𝐸= 57 𝑘 + 𝑘𝑦2 Từ biểu thức ta rú cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp bao gồm vùng, vùng tiếp xúc mức Fecmi, hai vùng không tiếp xúc mức Fecmi Kết nhận phù hợp với tác giả khác Điều tạo sở để tiếp tục nghiên cứu sau 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Lê Tuấn (2011), Lý thuyết bán dẫn đại , Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật lý bán dẫn thấp chiều, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội Nguyễn Hải Châu (2008), “Trạng thái giả liên kết graphene”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Văn Hùng (2009), Lý thuyết chất rắn, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội Lê Văn Qui (2012), “Dirac Fermion siêu mạng từ graphene với dạng Kronig- Penney”, Luận văn thạc sỹ khoa học Vật Lý, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Tài liệu tiếng anh Bai J., Zhong X., Jiang S., Huang Y and Duan X (2010), “Graphene nanomesh”, Nature Nanotechnology, 5, pp 190–194 C Huy Pham, T Thuong Nguyen, and V Lien Nguyen (2014), “Electronic band structure of magnetic bilayer graphene superlattices”, Journal of applied physics, 116, 123707 Castro Neto A H., Guinea F., Peres N M R., Novoselov K S and Geim A K (2009), “The electronic properties of graphene”, Rev Mod Phys 10 81, pp 109 E McCann and Mikito Koshino (2013), “The electronic properties of bilayer graphene”, Rep Prog Phys 76 056503 11 E McCann, D.S.L Abergel, and V.I Fal‟ko (2007), “The low energy electronic band structure of bilayer graphene”, Eur Phys J Special Topics 148, 91-103 12 E McCann and Mikito Koshino (2013), “ The electric properties of bilayer graphene”, Rep Prog Phys 76 056503 13 Datta S (1995), Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK 59 14 Do V N., Nguyen V H., Dollfus D and Bournel A (2008), “Electronic transport and spin-polarization effects of relativisticlike particles in mesoscopic graphene structures”, J Appl Phys., 104, pp 063708 15 Do V N and Dollfus P (2009), “Effects of charged impurities and lattice defects on transport properties of nanoscale graphene structures”, J Appl Phys., 106, pp 023719 16 Do V N and Pham T H (2010), “Graphene and its one-dimensional patterns: from basic properties towards applications”, Adv Nat Sci.: Nanosci Nanotechnol., 1, pp 033001 17 Evaldsson M., Zozoulenko I V., Xu H and Heinzel T (2008), “Edgedisorder-induced Anderson localization and conduction gap in graphene nanoribbons”, Physics Review B, 78, pp 161407 18 Han M Y., Ozyilmaz B., Zhang Y and Kim P (2007), “Energy BandGap Engineering of Graphene Nanoribbons”, Phys Rev Lett., 98, pp 206805 19 Iijima S (1991), “Helical microtubules of graphitic carbon”, Nature, 354, pp 56 20 Katsnelson M I., Novoselov K S and Geim A K (2006), “Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene”, Nat Phys., 2, pp 620 21 Kroto H W., Heath J R., O‟Brien S C., Curl R F and Smalley R E (1985), “C60: Buckminsterfullerene”, Nature, 318, pp 162–163 22 Liang X et al (2010), “Formation graphene nanomeshes with of bandgap and subbands in sub-10 nm ribbon width fabricated via nanoimprint lithography”, Nano Lett., 10, pp 2454 23 Liu W., Wang Z F., Shi Q W., Yang J and Liu F (2009), “Bandgap scaling of graphene nanohole superlattices”, Phys Rev B, 80, pp 233405 24 Mazzamuto F et al (2011), “Enhanced thermoelectric properties in graphene nanoribbons by resonant tunneling of electrons”, Phys Rev B, 83, pp 235426 60 25 Mucciolo E R., Neto A H C and Lewenkopf C H (2009), “Conductance quantization and transport gaps in disordered graphene nanoribbons”, Phys Rev B, 79, pp 075407 26 Nguyen V H., Mazzamuto F., Saint-Martin J., Bournel A and Dollfus P (2011), “Giant effect of negative differential conductance in graphene nanoribbon p-n hetero-junctions”, Appl Phys Lett., 99, pp 042105 27 Nguyen V H (2010), Electronic transport and spin polarization effects in graphene nanostructures, Ph.D thesis, Université Paris Sud 28 Nguyen V H., Mazzamuto F., Saint-Martin J., Bournel A and Dollfus P (2012), “Graphene nanomesh-based devices exhibiting a strong negative differential conductance effect”, Nanotechnology, 23, pp 065201 29 Novoselov K S et al (2005), “Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene”, Nature, 438, pp 197 61 ... đơn lớp Graphene hai lớp 27 Hình 2.2 : Cấu trúc vùng lượng graphene đơn lớp 33 Hình 2.3 (a) Cấu trúc vùng lượng graphene hai lớp 34 Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng lượng Graphene hai lớp. .. CỦA GRAPHENEHAI LỚP 27 2.1 Cấu trúc tinh thể 27 2.2 .Cấu trúc vùng lượng 28 2.3 Sự khác biệt graphene đơn lớp graphene hai lớp 32 CHƢƠNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU... tìm hiểu cấu trúc lượng siêu mạng graphene hai lớp ( bilayer graphene) với tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig- Penney Vì tơi chọn tên luận văn: Cấu trúc vùng lượng siêu mạng Graphene hai lớp Mục