Bai giang c1

Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Chương TÍCH PHÂN BỘI 1.1 Các mặt bậc hai tắc Cho hàm biến z  f ( x, y ) Đồ thị mặt cong không gian R3 xác định G ( f )   x, y, f ( x, y )  R /( x, y )  D f  Ví dụ 1.1 Đồ thị hàm z   x  y mặt phẳng qua điểm (1, 0, 0); (0,1, 0); (0, 0,1) z O y 1 x Ví dụ 1.2 Khảo sát đồ thị hàm z  x  y Nhận xét :  ( x, y)  R , z   Đồ thị đối xứng qua mặt x  0; y  cắt mặt theo parabol z  y2; z  x2  Đồ thị cắt mặt phẳng z  h  theo đường tròn x  y  h Như h thay đổi từ đến   , đường tròn vẽ nên đồ thị, gọi mặt paraboloit eliptic z y x O Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Ngồi khảo sát số mặt bậc hai có phương trình tổng quát Ax  By  Cz  2Dxy  Eyz  Fxz  Gx  Hy  Iz  K  có hệ số bậc hai khác không  Các trường hợp suy biến x   : tập trống x  y  z  : điểm gốc toạ độ (0,0,0) x  0; y  0; z  : mặt Oyz; Oxz; Oxy x  y  : đường thẳng giao mặt x  0; y   Các mặt bậc hai tắc z x2 y2 z 2    1: elipxoit a b c y x O x2 y2   z : paraboloit eliptic a2 b2 x2 y2   z : paraboloit hyperbolic (mặt yên ngựa) a b Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội x2 y2 z    : hyperboloit tầng a2 b2 c2 x2 y2 z    1 : hyperboloit hai tầng a2 b2 c2 x2 y2   : mặt trụ eliptic a2 b2 x2 y2   : mặt trụ hyperbolic a2 b2 Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội y  px : mặt trụ parabolic 1.2 x2 y2 z    : mặt nón bậc hai a2 b2 c2 Tích phân bội (Tích phân kép) 1.2.1 Bài tốn mở đầu: thể tích hình trụ cong z z  f ( x, y ) Ωi y O x Di D Xét hình trụ cong giới hạn mặt cong z  f ( x, y )  , giới hạn miền phẳng D mặt phẳng Oxy giới hạn xung quanh mặt trụ có Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội đường sinh song song với trục Oz có đường chuẩn biên D (hình vẽ trên) Vấn đề đặt tính thể tích V hình trụ cong trên? Chia miền D thành n mảnh D1 , D2 , Dn không dẫm lên với diện tích tương ứng S1 , S , S n Lấy điểm M i ( xi , y i ) thuộc Di , coi thể tích hình trụ cong  i gần thể tích hình trụ thẳng có đáy Di , chiều cao f ( xi , y i ) Khi n Vn   f ( x i , y i ) S i i 1 Khi n   cho max d ( Di )  lim Vn  V thể tích hình trụ cong cần tìm n 1.2.2 Định nghĩa Cho hàm f ( x, y ) xác định miền D đóng bị chặn mặt phẳng Oxy Chia D cách tuỳ ý thành n mảnh D1 , D2 , Dn khơng dẫm lên có diện tích tương ứng S1 , S , S n Gọi d ( Di ) khoảng cách lớn điểm thuộc Di M i ( xi , yi ) điểm thuộc Di n Lập tổng I n   f ( xi , y i )S i gọi tổng tích phân hàm f ( x, y ) ứng với i 1 phân hoạch D1 , D2 , Dn  Nếu n   cho max d ( Di )  mà I n  I hữu hạn không phụ thuộc cách chia miền D cách lấy điểm M i ( xi , y i ) I gọi tích phân kép n hàm f ( x, y ) lấy miền D Ta viết  f ( x, y )dS  lim  f ( xi , y i )S i D n  i 1 Nhận xét:  Vì giá trị tích phân kép khơng phụ thuộc cách chia miền D nên ta chia miền D theo đường thẳng song song với trục toạ độ Khi S i  dxi dyi hay dS  dx.dy  Tích phân kép hàm f ( x, y ) lấy miền D viết dạng  f ( x, y)dxdy D Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội  Ký hiệu biến tích phân khơng ảnh hưởng đến giá trị tích phân, nghĩa  f ( x, y)dxdy   f (u, v)dudv D D  Nếu f ( x, y ) liên tục miền đóng , bị chặn D có biên trơn khúc  f ( x, y)dxdy tồn ta nói f ( x, y ) khả tích D D  Giá trị tích phân  f ( x, y)dxdy thể tích hình trụ cong giới hạn D mặt mặt cong z  f ( x, y )  , mặt miền phẳng D mặt Oxy xung quanh mặt trụ có đường sinh song song Oz, đường chuẩn biên D  Nếu f ( x, y )   dxdy diện tích miền D D 1.2.3 Tính chất   f ( x, y )  g ( x, y )dxdy   f ( x, y)dxdy   g ( x, y )dxdy D D D  kf ( x, y )dxdy  k  f ( x, y )dxdy D D Nếu f ( x, y )  0, ( x, y )  D  f ( x, y)dxdy  D Nếu f ( x, y)  g ( x, y ), ( x, y )  D  f ( x, y)dxdy   g ( x, y)dxdy D  f ( x, y)dxdy   D D f ( x, y ) dxdy D Nếu D  D1  D2  f ( x, y)dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D1 D2 Nếu f ( x, y ) liên tục miền đóng, bị chặn liên thơng D tồn điểm ( x0 , y )  D cho  f ( x, y)dxdy  f ( x , y 0 ) S ( D) (định lý giá trị trung bình) D Nếu m  f ( x, y )  M mS ( D)   f ( x, y )dxdy  MS ( D ) D Nếu hàm f ( x, y ) lẻ theo biến x (hoặc y) miền D đối xứng qua trục Oy (hoặc Ox)  f ( x, y )dxdy  D Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội 10 Nếu hàm f ( x, y ) chẵn theo biến x (hoặc y) miền D chia thành miền không dẫm lên , đối xứng qua trục Oy (hoặc Ox)  f ( x, y)dxdy  2 f ( x, y )dxdy  2 f ( x, y )dxdy D D1 D2 1.2.4 Cách tính tích phân kép hệ toạ độ Decards  D miền đơn giản  TH1: D  ( x, y )  R : a  x  b; c  y  d  y d b  D d  f ( x, y)dxdy     f ( x, y )dy dx ac  d D c b       f ( x, y)dx dy ca  x O a b  TH2: D  ( x, y )  R : a  x  b; y1 ( x)  y  y ( x) y ( x) y  D b  y2 ( x)  f ( x, y ) dxdy     f ( x, y ) dy dx   a  y1 ( x )  D y1 ( x) O x a b  TH3: D  ( x, y )  R : x1 ( y )  x  x ( y ); y c  y  d  d  x2 ( y )  f ( x, y )dxdy     f ( x, y)dx  dy   c  x1 ( y )  d  D x1 ( y ) c O Trang D x2 ( y ) x Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội  D miền khơng đơn giản : Ta tìm cách chia D thành miền đơn giản n D1 , D2 , , Dn rời ta có  f ( x, y )dxdy    f ( x, y)dxdy i 1 Di D Ví dụ 1.3: Tính I   x ydxdy với D miền tam giác giới hạn đường D y y  0; y  x; x  Giải y=x D O x x=1 0  x  0  y  x Ta thấy D miền đơn giản  x 2 Suy I   x ydxdy   dx  x ydy   D 0 x4 dx  10 Ví dụ 1.4: Tính I   xydxdy với D miền giới hạn đường D y  x  4; y2  2x y Giải y2 = 2x D O x y=x-4 -2 Giao điểm đường xác định y   y2  y  2  y   y2   x y4 Ta thấy D miền đơn giản   2  y   Suy I   xydxdy   dy D 2 y 4  y2 xydx    y5    y  y  16 y  dy  90  2   Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Ví dụ 1.5: Tính I   sin ydxdy với D miền giới hạn đường D y  x; x  y; y x2 y y = 2x Giải 16 4y = x2 x = 2y D x O Ta thấy D miền không đơn giản nên ta đặt 0  x   D2 :  x x D  D1  D2 Do I   y   4 2x   dx  x2 ydy   dx x 0  x   D1 :  x  y  x  4  ydxdy   ydxdy   ydxdy D D1 D2  x2 x     x4  x  dx     0   16  dx    0  16   x2 ydy  Ví dụ 1.6 Tính I   ( x sin y  x)dxdy với D miền giới hạn đường D y y  x; x  1 Giải y2 = x D O x x=1 -1 Nhận thấy miền D chia thành miền đối xứng qua trục Ox hàm x sin y lẻ theo y nên  x sin ydxdy  D Trang Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội 1 Do I   ( x sin y  x)dxdy   dy  xdx   (1  y )dy  1 D y2 1 1.2.5 Phương pháp đổi biến tích phân kép  Công thức đổi biến tổng quát Xét miền Dxy Duv mặt phẳng R2 Giả sử tồn song ánh  x  x (u , v)  y  y (u , v) miền với hệ hàm khả vi liên tục  x D ( x, y ) u Nếu định thức Jacobi J   y D(u , v) u x v  0, (u, v)  Duv với y v hàm liên tục f : Dxy  R ta có công thức đổi biến sau:  f ( x, y )dxdy  D f  x(u, v), y (u, v)  Dxy Chú ý: J dudv uv D ( x, y )  D ( u , v) D (u , v) D( x, y) Ví dụ 1.7 Tính I   (2 x  y )dxdy với D miền giới hạn đường D  x  y  1; x  y   2 x  y  1; x  y  Giải x+y =2 v y 2x-y 2x-y v=3 x+y =1 Duv Dxy x O O Trang 10 v=1 u=1 u=2 u Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội  x  (u  v)   u  x y D ( x, y )  Đặt  J    D(u , v) v  x - y  y  (2u  v)  3 Suy I   (2 x  y )dxdy   du  vdv  3 D 1  Công thức đổi biến tọa độ cực cos   x  r cos  , ta có J  sin   y  r sin  Đặt  r sin   r Vậy công thức đổi biến r cos   f ( x, y )dxdy  D f  r cos  , r sin   r drd Dxy Ví dụ 1.8 Tính I   D r  x2  y  sin x  dxdy ; D :  x2  y  y  y Giải x -1 O Nhận thấy miền D đối xứng qua trục Oy hàm  x D sin x lẻ theo x nên x  y2 1 sin x dx dxdy  Vậy I   2  y 1 x  y2  D  x2  y   x  r cos  0  r  ta có , J r D:  D' :   y  r sin  0     y  Chuyển sang tọa độ cực   Suy I   D dx r    d  dr  ln 2 x  y 1 r 1 Ví dụ 1.9 Tính I    D x2 y x2 y với D :  1  dxdy a2 b2 a b2 Giải Trang 11 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội y b x O -a a -b Chuyển D: sang tọa độ  x  ar cos  , J  abr ,   y  br sin  cực ta có 0  r  x2 y    D' :  a b 0    2 Suy I    D x2 y  dxdy  a2 b2 2  d  abr 0  r dr   ab Ví dụ 1.10 Tính I   xdxdy với D : ( x  3)2  ( y  2)  D y Giải x O  x   r cos  0  r  , J  r ta có D : ( x  3)  ( y  2)   D ' :   y   r sin  0    2 Đặt  2 Suy I   d  r (3  r cos  )dr  3 0 1.2.6 Ứng dụng tích phân kép  Tính diện tích hình phẳng Từ định nghĩa tích phân kép ta có cơng thức tính diện tích miền phẳng D sau S ( D)   dxdy D Ví dụ 1.11 Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường ( x  1)  y  1; ( x  2)  y  4; y  x; y0 Trang 12 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội y Giải y=x x O  2cos   r  cos   x  r cos   , J  r ta có D  D ' :   y  r sin   0    Đặt  Suy diện tích miền D là:  S ( D)   dxdy   d D  4cos   1 rdr   3(1  cos 2 )d      2 2cos    Tính diện tích mặt cong Giả sử S mặt cong có phương trình z  f ( x, y ) hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền phẳng D Khi diện tích mặt cong S tính theo cơng thức 2  f   f  S         dxdy  x   y  D Ví dụ 1.12 Tính diện tích phần mặt paraboloit z  x  y nằm mặt trụ x2  y  z Giải y x O Gọi S phần mặt cong cần tính diện tích Hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy miền D : x  y  Trang 13 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Phương trình mặt cong S z  x  y   z x2  zy2    x  y  Vậy diện tích mặt cong S s  z x2  zy2 dxdy   x  y 1  4( x  y )dxdy  2 x  y 1 0  r  0    2 Chuyển sang tọa độ cực D  D ' :  2 s  d  r  4r dr  0  5 1    Tính thể tích hình trụ cong Xét hình trụ cong có mặt miền phẳng D thuộc mặt phẳng Oxy, mặt mặt cong z  f ( x, y ) , xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn biên miền D Khi thể tích hình trụ cong tính theo cơng thức sau: V   f ( x, y )dxdy D Ví dụ 1.13 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z  0; z  4; y  x ; y  Giải z y O x  1  x  Hình chiếu vật thể xuống mặt phẳng Oxy miền D :  x  y  1 Thể tích vật thể V   4dxdy   dx  4dy  D 1 x2 16 Trang 14 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Ví dụ 1.14 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z   x2  y ; z   x2  y z Giải y O x Hình chiếu vật thể xuống mặt phẳng Oxy hình chiếu giao tuyến mặt, tức  x  y   x2 y2   x2  y2  2 Thể tích vật thể V  1.3   x2  y  2  x  y   1    dxdy    x2  y 2  3  x  y  dxdy    x2  y 2 2  d  r   r  dr  3 0 Tích phân bội 1.3.1 Định nghĩa Cho hàm f ( x, y, z ) xác định miền đóng, bị chặn V không gian Oxyz Chia miền V thành n miền nhỏ V1 , V2 , , Vn khơng giao tích tương ứng V1 , V2 , , Vn Lấy điểm M i ( xi , yi , zi ) tùy ý thuộc miền Vi lập tổng tích phân n S n   f ( xi , yi , zi ) Vi i 1 Trang 15 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Nếu n   cho max d (Vi )  (đường kính miền Vi ) mà S n  S hữu hạn không phụ thuộc cách chia miền V cách chọn M i ( xi , yi , zi ) S gọi tích phân bội hàm f ( x, y, z ) miền V Kí hiệu  f(x, y,z)dV V Ta chia miền V theo mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ ΔV = Δx.Δy.Δz = dxdydz Từ ta có  f(x, y, z)dV   f(x, y, z)dxdydz V V 1.3.2 Tính chất  k.f(x, y,z)dxdydz  k. f(x, y,z)dxdydz V V   f(x, y,z)  g(x, y,z) dxdydz   f(x, y,z)dxdydz   g(x, y,z)dxdydz V V Nếu hàm f ( x, y, z )  0, ( x, y, z )  V V  f(x, y,z)dxdydz  V Nếu m  f ( x, y, z )  M , ( x, y, z )  V m.(V)   f(x, y,z)dxdydz  M.(V) V Nếu f ( x, y, z )  g ( x, y, z ), ( x, y, z ) V  f(x, y,z)dxdydz   g(x, y,z)dxdydz V V  f(x, y,z)dxdydz   V f(x, y,z) dxdydz V Nếu miền V chia thành miền V1 , V2 không dẫm lên  f(x, y,z)dxdydz   f(x, y,z)dxdydz   f(x, y,z)dxdydz V V1 V2 Nếu hàm f ( x, y, z ) liên tục miền V đóng, bị chặn liên thơng tồn  x0 , y0 , z0   V cho  f(x, y,z)dxdydz  f(x , y ,z 0 ).(V) (định lý giá trị V trung bình) Nếu hàm f ( x, y, z ) lẻ theo biến x (biến y, biến z) miền V đối xứng qua mặt Oyz (Oxz, Oxy)  f(x, y,z)dxdydz  V Trang 16 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội 10 Nếu hàm f ( x, y, z ) chẵn theo biến x (biến y, biến z) miền V chia thành miền V1 , V2 không dẫm lên , đối xứng qua mặt Oyz (Oxz, Oxy)  f(x, y, z)dxdydz  2 f(x, y,z)dxdydz  2 f(x, y,z)dxdydz V V1 V2 1.3.3 Cách tính tích phân bội toạ độ Decards z z = z2(x,y) V z = z1(x,y) y O x D Xét tích phân bội 3: I   f ( x, y, z )dxdydz với V miền giới hạn V mặt cong z  z1 ( x, y ) , giới hạn mặt cong z  z2 ( x, y ) giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn biên miền D (là hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy) Khi  V  z2 (x,y)  f(x, y,z)dxdydz   dxdy   f(x, y,z)dz   z (x,y)  D   Ví dụ 1.15 Tính I   xdxdydz với V miền xác định sau V x  0; z y  0; x  y  z  Giải y O D x Trang 17 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội  x2  y2   x  0, y  Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy D :    Suy I   xdxdydz   dxdy   xdz    x(4  x  y )dxdy  x2  y  V D D   0r 2   , J r     Chuyển sang tọa độ cực D  D ' :   2 Ta có I  2 cos  d  r (4  r )dr  0 128 15 Ví dụ 1.16 Tính I   zdxdydz với V miền giới hạn mặt V z  0; z  4; yx ; z y 1 Giải y O x  1  x  x  y  Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy D :  4  0  1 Suy I   zdxdydz   dxdy   zdz   8 dxdy   dx  dy   (1  x )dx  V D 1 D x2 1 32 Ví dụ 1.17 Tính I    x3  y  z  dxdydz với V cầu xác định V z x2  y2  z  R2 Giải y x O Trang 18 R Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Nhận xét thấy miền V đối xứng qua mặt phẳng tọa độ hàm x , y , z lẻ theo biến x, y , z nên I    x3  y  z  dxdydz  V 1.3.4 Phương pháp đổi biến tích phân bội  Cơng thức đổi biến tổng quát Giả sử miền Vuvw không gian O’uvw ánh xạ song ánh sang miền Vxyz  x  x (u , v, w)  không gian Oxy hệ hàm khả vi liên tục  y  y (u , v, w)  z  z (u , v, w)  x u D ( x, y, z ) y Nếu định thức Jacobi J = J   D(u , v, w) u z u x v y v z v x w y  0, (u , v, w)  Vuvw w z w ta có cơng thức đổi biến sau  f ( x, y, z )dxdydz   f ( x(u , v, w), y(u , v, w), z (u , v, w)) J dudvdw Vxyz Chú ý: Vuvw D( x, y, z )  D(u , v, w) D (u , v, w) D( x, y, z ) Ví dụ 1.18 Tính I   dxdydz với V miền elipxoit xác định V z x2 y z    R2 a2 b2 c2 c Giải b x O a a 0  x  au  2 2 Đặt  y  bv  V ' : u  v  w  R ; J  b  abc  z  cw 0 c  Trang 19 y Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Suy I   dxdydz   abcdudvdw V V' Hình chiếu V’ xuống mặt phẳng Ouv đường tròn D : u  v  R  R2  u  v2  w  R2  u  v2  R2 u  v2    2abc  R  u  v dudv dw Vậy I  abc  dudv     D D   R u v2   0r R 0    2 Chuyển sang tọa độ cực D  D ' :  2 R 2 Do I  2abc  d  r R  r dr   Rabc 0  Đổi biến tọa độ trụ z M y O x φ r M’ Xét điểm M ( x, y, z ) không gian Oxyz có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy M ' ( x, y, 0) Gọi (r ,  ) tọa độ cực M’ Khi M (r ,  , z ) gọi x  r cos   tọa độ trụ điểm M xác định y  r sin  có J  r  z  z  Cơng thức đổi biến tọa độ trụ  f ( x, y, z )dxdydz  f (r cos  , r sin  , z )rdrd dz Vxyz Vr z Ví dụ 1.19 Tính I   ( x  z )dxdydz với V miền giới hạn mặt V x  z  y; y2 Giải y Trang 20 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội x  r cos   Đặt z  r sin  ;  y  y   0  r   J  r , ta có V  V ': 0    2 r   y  2     r2  16 Suy I   ( x  z )dxdydz   d  r   dy  dr  2  r   dr  2  V 0  r2  2  2 2  Đổi biến tọa độ cầu z M Ө O x ρ y φ M’ Xét điểm M ( x, y, z ) không gian Oxyz có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy M ' ( x, y, 0) Gọi  : khoảng cách từ O đến M    : góc Ox OM '    : góc Oz OM x   cos  sin   Khi (  ,  , ) gọi tọa độ cầu điểm M y   sin  sin  có  z   cos   J   sin  Công thức đổi biến tọa độ cầu Trang 21 Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội  f ( x, y, z )dxdydz  f (  cos  sin  ,  sin  sin  ,  cos  )  Vxyz sin  d  d d V Ví dụ 1.20 Tính I   x  y  z dxdydz với V cầu x  y  z  z V Giải z 1/2 c y x x   cos  sin   Đặt  y   sin  sin  ;  z   cos   1/2 O J   sin  , từ phương trình mặt cầu x  y  z  z     cos     cos  0    cos   Ta có V  V ' : 0    2 Suy   0    2 I   x  y  z dxdydz  V   cos  d  sin  0 0  0 . d   d    2  sin  cos  d  10 Ví dụ 1.21 Tính I   zdxdydz với V V z  0; z   x  y miền giới hạn mặt z Giải O x Trang 22 y Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Cách 1: Dùng tọa độ cầu x   cos  sin   Đặt y   sin  sin  ;  z   cos   0     J   sin  , ta có V  V ' : 0    2   0     2 Suy I   zdxdydz   d  sin  cos  d    d   V 0  Cách 2: Dùng tọa độ trụ x  r cos   Đặt  y  r sin  ;  z  z  0  r   J  r , ta có V  V ' : 0    2  0  z   r  Suy I   zdxdydz   d  r   V 0  2 1 r    zdz  dr    Ví dụ 1.22 Tính I   zdxdydz với V miền giới hạn mặt V z  x2  y ; z   x2  y z Giải  O x Cách 1: Dùng tọa độ cầu x   cos  sin   Đặt  y   sin  sin  ;  z   cos   0     J   sin  , ta có V  V ' : 0    2   0    2 Suy I   zdxdydz  V  2   d  sin  cos  d    d   0 Trang 23 y Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội Cách 2: Dùng tọa độ trụ x  r cos   Đặt  y  r sin  ;  z  z  0  r   J  r , ta có V  V ' : 0    2  r  z   r  Suy I   zdxdydz   d   r   V 0  2 r    zdz  dr  2    r  r  dr   2  1.3.5 Ứng dụng tích phân bội Thể tích miền V khơng gian Oxyz tính cơng thức sau (V )   dxdydz V Ví dụ 1.23 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z  0; z   x  y z Giải y O x x  r cos   Chuyển sang tọa độ trụ y  r sin  ;  z  z  0  r   J  r , ta có V  V ' : 0    2 0  z   r   1 r   Suy (V )   dxdydz   d  r   dz  dr  2  r 1  r  dr    V 0  0  2 Ví dụ 1.24 Tính thể tích vật thể z  0; z  x  y ; x  y  Giải Trang 24 giới hạn mặt Lê Thị Thanh Hải Chương 1: Tích phân bội z 24 y x O x  r cos   Chuyển sang tọa độ trụ y  r sin  ;  z  z  0  r   J  r , ta có V  V ' : 0    2 0  z  r  2 r  Suy (V )   dxdydz   d  r   dz  dr  2  r 3dr 8   V 0  0  2 Trang 25