Bai giang c2

Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 2.1 Tích phân đường loại 2.1.1 Khái niệm b ti-1 tn ti L t2 t1 a t0 Giả sử L đường cong khơng gian xác định phương trình     tham số r (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k , a  t  b f ( x, y, z ) hàm xác định L Chia cung L thành n cung nhỏ không dẫm lên điểm chia tương ứng với tham số a  t0  t1  t2   tn  b Gọi độ dài cung thứ i li (i=1,…,n) lấy cung thứ i điểm n M i ( xi , yi , zi ) lập tổng I n   f ( xi , yi , zi )li i 1 Khi n   cho max(li)  mà In dần tới giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia cung L cách chọn điểm M i giới hạn gọi tích phân đường loại hàm f ( x, y, z ) dọc theo cung L ký hiệu I   f  x, y, z  dl L Khi ta nói hàm f ( x, y, z ) khả tích cung L Chú ý:  Tích phân đường loại không phụ thuộc vào hướng cung lấy tích phân, tức  f  x, y, z  dl =  f  x, y, z  dl  AB  BA Trang 26 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường  Nếu L đường cong phẳng tích phân đường loại hàm f ( x, y ) dọc theo L ký hiệu  f  x, y  dl L  Ý nghĩa thực tế tích phân đường loại suy trực tiếp từ định nghĩa sau: Giả sử có dây vật chất hình dạng L có khối lượng f ( x, y, z ) phụ thuộc vào điểm M ( x, y, z ) I   f  x, y, z  dl khối lượng L dây vật chất  Nếu f ( x, y, z )   dl độ dài cung L L  Nếu hàm f ( x, y, z ) liên tục dọc theo cung trơn L tồn tích phân  f  x, y, z  dl L 2.1.2 Tính chất  , a, b  Tính chất 1: Nếu hàm f ( x, y, z ); g ( x, y, z ) khả tích cung AB số   af ( x, y, z )  bg ( x, y, z ) dl  a   AB  AB f ( x, y, z )dl  b  g ( x, y, z )dl  AB  C điểm  Tính chất 2: Nếu hàm f ( x, y, z ) khả tích AB cung  f ( x, y, z )dl   AB  f ( x, y, z ) dl   AC  f ( x, y, z ) dl  CB   Tính chất 3: Nếu f ( x, y, z )  khả tích AB  f ( x, y, z )dl   AB  f ( x, y, z ) khả tích  Tính chất 4: Nếu f ( x, y, z ) khả tích AB cung  f ( x, y, z )dl   AB  f ( x, y, z ) dl  AB  Tính chất 5: (Định lý giá trị trung bình)  có độ dài l , tồn điểm Nếu f ( x, y, z ) liên tục cung trơn AB  cho M ( x1 , y1 , z1 ) AB  f ( x, y, z ) dl  f  x1 , y1 , z1  l  AB 2.1.3 Cách tính Tích phân đường loại tính cách đưa tích phân xác định nhờ suy trực tiếp từ định nghĩa sau Trang 27 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường  f  x, y, z  dl  lim  f ( x , y , z ).l n  L i i i i  lim  n  i i   ri f ( xi , yi , zi ) ti ti Giới hạn cuối vế phải tích phân xác định b  a  d r (t ) f ( x(t ), y (t ), z (t )) dt dt b Vậy  f  x, y, z  dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )) L 2  x '(t )    y '(t )    z '(t )  dt a Đặc biệt L đường cong phẳng hàm f ( x, y ) xác định L cơng thức tính tích phân đường loại viết sau:  x  x(t ) , t   a, b  ta có  y  y (t )  Nếu cung L cho phương trình tham số  b  L f  x, y  dl   f ( x(t ), y (t ))  x '(t )    y '(t )  dt a  Nếu cung L cho phương trình tống quát y  y ( x), x   a, b  ta có b  L f  x, y  dl   f ( x, y ( x))   y '( x)  dx a  Nếu cung L cho hệ tọa độ cực với phương trình r  r ( ),    ,   ta có   L f  x, y  dl   f (r ( ) cos  , r ( ) sin  )  r '( )    r ( )   Ví dụ 2.1 Tính I   y dl L nhịp xiclơit L Giải Ta có phương trình tham số L y  x  a (t  sin t ) t  [0, 2 ]   y  a (1  cos t ) 2 t   x  t     y  t    4a sin 2 2 Vậy I  a O t 256 (1  cos t ) 2a sin dt  a 15 Trang 28 2a x d Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường Ví dụ 2.2 Tính I   ( x  y )dl L chu vi tam giác OAB với đỉnh L O(0,0), A(1,0), B(0,1) Giải y Ta có L  OA  AB  BO Trên OA : y  0,  x  1   ( x  y )dl   xdx  OA B A O x Trên OB : x  0,  y  1   ( x  y )dl  BO ( x  y )dl   ydy   OB Trên AB : y   x,  x  1   ( x  y ) dl    x  (1  x)   ( 1) dx   dx  AB 2 Vậy I   ( x  y )dl      L Ví dụ 2.3 Tính I    x  y  z dl , với L đường đinh ốc xác định phương L  x  2cos t  trình tham số L :  y  2sin t t  [0, 2 ] z  t  Giải 2 Ta có  x  t     y  t    z  t    4sin t  cos t   2   I   (4  t ) 5dt   4   Ví dụ 2.4 3    Tính I   xydl , với L giao tuyến mặt paraboloit eliptic L z   x  y mặt trụ paraboloit z  x nằm phần góc tọa độ thứ nối điểm A(0,1, 0) B(1, 0,1) Giải Trang 29 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường x  t  Tham số hóa đường cong L :  y   t   z  t 2 t  [0,1] t2 Ta có  x  t     y   t     z  t     4t  1 t 1  4t  4t 1 t2 1  4t  4t  2  I   t 1 t dt   t  4t  4t dt  1 t 0 2.2 Tích phân đường loại 2.2.1 Định nghĩa Giả sử L đường cong không gian xác định phương trình     tham số r (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k , a  t  b P( x, y, z ); Q( x, y, z ); R( x, y, z ) xác định L Chia cung L thành n cung nhỏ không dẫm lên điểm chia A0 , A1 , An tương ứng với tham số a  t0  t1  t2   tn  b   Gọi hình chiếu vector r i  Ai 1 Ai lên trục tọa độ xi , yi , zi Lấy cung thứ i điểm M i ( xi , yi , zi ) lập tổng tích phân n I n   P( xi , yi , zi )xi  Q( xi , yi , zi )yi  R( xi , yi , zi )zi i 1 Khi n   cho max(li)  mà In dần tới giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia cung L cách chọn điểm M i giới hạn gọi tích phân đường loại hai hàm P( x, y, z ); Q( x, y, z ); R( x, y, z ) dọc theo cung L ký hiệu I   P  x, y, z  dx  Q  x, y, z  dy  R  x, y, z  dz L Khi ta nói hàm P( x, y, z ); Q( x, y, z ); R( x, y, z ) khả tích cung L Chú ý:  Nếu đổi hướng tích phân đường loại hai đổi dấu, tức  Pdx  Qdy  Rdz    Pdx  Qdy  Rdz  AB   BA Nếu L đường cong phẳng kín, ta quy ước chọn chiều dương L chiều cho người dọc chiều thấy miền giới hạn L gần Trang 30 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường phía tay trái Ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương  Pdx  Qdy  Rdz L  Nếu hàm P( x, y, z ); Q( x, y, z ); R( x, y, z ) liên tục cung L trơn khúc tích phân đường loại hai chúng dọc theo cung L tồn  Ý nghĩa thực tiễn tích phân đường loại hai xét sau: Gọi  hàm vector F ( x, y, z ) lực tác dụng lên chất điểm chạy dọc theo cung L phụ thuộc vào vị trí chất điểm xác định     F ( x, y, z )  P ( x, y , z )i  Q ( x, y, z ) j  R ( x, y, z ) k Khi tích phân đường loại hai  công sinh lực F Pdx  Qdy  Rdz  L viết dạng vector    Pdx  Qdy  Rdz   Fd r L L 2.2.2 Tính chất Tích phân đường loại hai có tính chất tương tự tích phân đường loại 2.2.3 Cách tính Giả sử hàm P( x, y, z ); Q( x, y, z ); R( x, y, z ) liên tục cung trơn L xác định  x  x(t )  phương trình tham số  y  y (t ) , t   a, b  Khi ta có  z  z (t )  b  Pdx  Qdy  Rdz   P[ x(t ), y (t ), z (t )]x '( t )  Q[ x(t ), y (t ), z(t )] y '(t ) L a R[ x(t ), y (t ), z (t )]z '(t ) dt Đặc biệt L đường cong phẳng hàm P( x, y ); Q ( x, y ) xác định L cơng thức tính tích phân đường loại viết sau: Trang 31 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường  x  x(t ) , t   a, b  ta có  y  y (t )  Nếu cung L cho phương trình tham số  b  Pdx  Qdy    P( x(t ), y (t )) x '(t )  Q ( x(t ), y (t )) y '(t )dt L a  Nếu cung L cho phương trình tống quát y  y ( x), x   a, b  ta có b  Pdx  Qdy    P( x, y ( x))  Q ( x, y ( x)) y '( x)dx L a     Ví dụ 2.5 Tính cơng sinh lực F  ( y  x )i  xy j  (2 z  x)k dọc theo cung L có x  t  phương trình L :  y  t  z  t t  [0,1]  Giải Ta có cơng sinh lực F xác định W   ( y  x )dx  xydy  ( 2 z  x) dz    (t  t )  t.t 2t  ( 2t  t )3t  dt L   (2t  6t  3t ) dt  Ví dụ 2.6 Tính tích phân I  20 với O(0,0), A(1,1) nối theo hai  x dx  xydy  OA đường y a) Đoạn thẳng OA b) Theo đường Parabol y  x A O Giải a) Theo đoạn thẳng OA có phương trình y  x,  x  , ta có I   OA x dx  xydy   ( x  x )dx  b) Theo parabol có phương trình y  x ,  x  , ta có I   OA   x dx  xydy   x  x3 x dx  Trang 32 11 15 x Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường Ví dụ 2.7 Tính tích phân I   y dx  x dy , với L đường tròn đơn vị L Giải y x O  x  cos t , t  [0, 2 ] , ta có  y  sin t Phương trình tham số L :  2 I   y dx  x dy  L  [sin t ( sin t )  cos t cos t ]dt  0 2.2.4 Liên hệ hai loại tích phân đường Gọi  ,  ,  góc vectơ tiếp tuyến với cung L (hướng theo chiều lấy tích phân cung L) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Ta có cơng thức liên hệ hai loại tích phân đường sau:  Pdx  Qdy  Rdz   ( P cos   Q cos   R cos  )dl L L 2.2.5 Công thức Green Định lý: Nếu hàm P ( x, y ), Q( x, y ) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền kín D bao biên đường cong trơn L ta có cơng thức Green Trang 33 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường  Q P  L  Pdx  Qdy    x  y dxdy L D D tích phân dọc theo L lấy theo hướng dương Chú ý: Công thức Green dùng để tính diện tích miền phẳng, kín sau: SD  xdy  ydx L Ví dụ 2.8: Tính tích phân I    xy  x  y  dx   xy  x  y  dy với L đường elip L x2 y   , lấy theo hướng dương a2 b2 Giải Ta có P  xy  x  y  Py'  x  Q  xy  x  y  Qx'  y  Áp dụng công thức Green ta có I    xy  x  y  dx   xy  x  y  dy   ( y  x )dxdy L D x y2 D:   a b 0    2  x  ar cos  Đặt  ; J = abr; D→ D’:  0  r   y  ar sin  2 I 2  ab   b sin   a cos  d  r dr  d   br sin   ar cos   abrdr 0  ab   b cos   a sin   2 r Ví dụ 2.9: Tính tích phân I   L 0 xdy  ydx theo chiều dương trường hợp x2  y2 sau Trang 34 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường a L : ( x  2)  y  b L hình vng có đỉnh (1, 1); (1, 1); (1,  1); (1,  1) Giải a L : ( x  2)  y  y x O Ta có P   y P y2  x2 x Q y2  x2   ; Q    2 y x x2  y2 x2  y2 x2  y2 x2  y2     Áp dụng cơng thức Green ta có I  L  Q P  xdy  ydx dxdy      2 x y  x y L b L hình vng có đỉnh (1, 1); (1, 1); (1,  1); (1,  1) y B A -1 x O C D -1 Giải Vì hàm P   y , x  y2 Q x gián đoạn gốc tọa độ nên x  y2 không áp dụng công thức Green Ta có AB : y  1, x :  1  1  xdy  ydx dx   AB x  y 1 x   arctgx   Trang 35 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường 1 BC : x  1, y :  1  xdy  ydx dy  BC x  y   1 y   CD : y  1, x : 1   xdy  ydx dx  CD x  y  1 x   1 DA : x  1, y : 1   Vậy I   L xdy  ydx dy  DA x  y  1 y   xdy  ydx  2 x2  y2 Ví dụ 2.10 Tính diện tích miền giới hạn đường axtrơit  x  a cos t , t  [0,2 ]  y  a sin t L:  Giải dx  3a cos t sin tdt Ta có   dy  3a sin t cos tdt Áp dụng cơng thức tính diện tích ta có S xdy  ydx L S   2.3 2  a cos t  3a cost sin t   a sin t  3a cos 3 3a 2 2 2 3a 3 a  sin t cos t  dt  16  1  cos 4t  dt   t sin t  dt 2 0 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Qua ví dụ trên, ta thấy tích phân đường loại hai  Pdx  Qdy không  AB  Khi phụ thuộc hai điểm A, B mà phụ thuộc vào đường cong AB tích phân phụ thuộc vào điểm đầu cuối mà không phụ thuộc vào đường nối chúng? Định lý: Giả sử hai hàm P(x,y), Q(x,y) liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền đơn liên D Khi bốn mệnh đề sau tương đương P Q  ,  (x,y)  D y x Trang 36 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường  Pdx  Qdy  , L đường cong kín nằm D L  Pdx  Qdy không phụ thuộc vào dạng đường lấy tích phân mà phụ  AB  đường nằm D) thuộc vào điểm đầu A điểm cuối B ( AB Biểu thức Pdx+Qdy vi phân tồn phần hàm u(x,y) miền D, tức du = Pdx+Qdy Giả sử hàm P(x,y), Q(x,y) thỏa mãn định lý, tích phân  Pdx  Qdy  AB không phụ thuộc vào dạng đường cong mà phụ thuộc vào đầu A, B Ta có cách tính tích sau: Cách 1: y B y1 y0 O A C x0 x1 x ( x1 , y1 ) Giả sử A(x0, y0), B(x1, y1) Ta thường viết tích phân dạng I   Pdx  Qdy ( x0 , y0 ) Chọn C(x1, y0 ), ta thấy AC: y = y0  dy = 0, x  [x0, x1] CB: x = x1  dx = 0, y[y0, y1] Từ suy ( x1 , y1 )  x1 P ( x, y )dx  Q( x , y )dy  ( x0 , y0 ) y1  P( x, y )dx   Q( x , y)dy x0 y0 Cách 2: Tìm hàm u(x,y)  D cho du = Pdx+Qdy Khi  Pdx  Qdy  u(B)  u( A)  AB (1,2) Ví dụ 2.11 Tính tích phân I  ydx  xdy theo đường không cắt trục Oy x2 (2,1)  Giải Ta có Trang 37 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường y P   2 x y x Q Q    x x x P  P Q  y x Suy tích phân I khơng phụ thuộc đường Cách 1: Ta có (1,2) ydx  xdy   dx   dy    x x (2,1) Cách 2: Ta có 1,2  ydx  xdy y  y   d ( )  I      x x  x   2,1 Trong không gian Oxyz ta có định lý tương tự Định lý: Giả sử hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền đơn liên V khơng gian Oxyz Khi mệnh đề sau tương đương P Q R Q P R  ,  , ,  (x,y,z)  V  y x y z z x  Pdx  Qdy  Rdz  , L đường cong kín nằm V L  Pdx  Qdy  Rdz không phụ thuộc vào dạng đường lấy tích phân mà  AB  đường nằm phụ thuộc vào điểm đầu A điểm cuối B ( AB V) Biểu thức Pdx+Qdy+Rdz vi phân toàn phần hàm u(x,y,z) miền V, tức du  Pdx  Qdy  Rdz (6,1,1) Ví dụ 2.12 Tính tích phân I   zydx  xzdy  xydz (1,2,3) Giải Ta có P Q R Q P R   z,   x,  y y x y z z x Suy tích phân I không phụ thuộc đường Cách 1: Ta có Trang 38 Lê Thị Thanh Hải Chương 2: Tích phân đường ( ,1,1) 1  zydx  xzdy  xydz   6dx   18dy   6dz  30  18  12  (1, , 3) Cách 2: Ta có zydx  zxdy  xydz  d ( xyz )  I   xyz  (1, , 3)  xydx  x Ví dụ 2.13 Tính tích phân I   6,1,1 1,2,3  66    z dy  yzdz ( 0, , ) Giải Ta có P Q R Q P R   x,   2 z ,  0 y x y z z x Suy tích phân I khơng phụ thuộc đường (1, , 3) I  xydx  x   z dy  yzdz ( 0, , )   0dx   dy   zdz   z 0 Trang 39  16