SỞ GD&ĐT NGHỆ AN CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: Tốn Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (6,0 điểm) a Giải phương trình b Giải phương trình 4 cos x sin x x 1 x (x ) x x Câu (4,0 điểm) a Cho đa giác có 60 đỉnh Hỏi có tam giác có cạnh đường chéo đa giác đó? b Cho khai triển (x 1)n (x 1)2n a a1x a2x a 4n x 4n , với n số tự nhiên, n Tìm n biết a1, a2 , a lập thành cấp số cộng u Câu (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) thỏa mãn u u2 un n un , n , n Tìm cơng thức số hạng tổng qt un tính tổng S u1 u2 u2020 Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A(2; 5) H hình chiếu vng góc A lên cạnh BC Gọi I , J (2; 1) K (6;1) tâm đường nội tiếp tam giác ABC , ABH , ACH Chứng minh I trực tâm tam giác AJK tìm tọa độ đỉnh B,C Câu (4,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, cạnh AB a; O tâm tam giác BCD M điểm thuộc mặt phẳng (BCD ) Gọi H , K , L hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (ACD ),(ABD ),(ABC ) a Mặt phẳng (P ) qua trọng tâm G, cắt cạnh AB, AC , AD B ',C ', D ' Chứng minh AB AC AD AB ' AC ' AD ' b Chứng minh đường thẳng GM qua trọng tâm E tam giác HKL Câu (2,0 điểm) Cho x , y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x 2y y 2z z 2x Hết -Lưu ý Thí sinh khơng phép sử dụng máy tính bỏ túi Giám thị coi thi khơng giải thích thêm U U ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020 Điểm Câu Nội dung 1.a k (3 đ) Điều kiện: cos x 0, sin x x 0.5 PT sin x cos x sin x cos x 1.b (3 đ) sin 2x sin(x ) 2 k 2 x k 2; x , k 1 ĐK: x 0;1 0; x 1 x 0; x x x C1 (Bình phương): x Nếu x x 0.5 0.5 1 x Nếu 1 x PT vơ nghiệm x x 1 x 2x x x x (x x ) x x x x x 1.5 1 1 (Loai ), x (T/ m) 2 x C2 : (Đặt ẩn phụ chuyển HPT) ĐK PT có nghiệm x Đặt a x , b x a b x a b x 1 a (x ) x a b x x a b x 1 1 1 (x ) x x x x (Loai); x (Tm ) x x 2 a b C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm x BĐT ab , a, b 1 1 x 1 1x x 1 1x 1 x ; 1 x x 1(x ) (x 1) x VT x VP x x x 2 2 1 x x Phương trình tương đương với dấu xảy x ; x 1, x x 2.a (2 đ) C1 : Chọn đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA đường chéo , BC ln có ,CA đa giác cung AB đỉnh đa giác Giả sử x , y, z số đỉnh đa giác nằm cung 1 0.5 0.5 ,CA , BC , x , y, z ; x , y, z AB Bài tốn trở thành tìm số nghiệm ngun dương phương trình x y z 57 57 1 1 1 1 1 1 (có 56 dấu + ) x y 0.5 z Do vai trò đỉnh nên có 60.C 56 20C 56 0.5 tam giác thỏa mãn C2 : Số tam giác tạo thành C n3 Số tam giác có cạnh đa giác nC n14 Số tam giác có cạnh cạnh đa giác n n Số tam giác thỏa mãn C n3 nC n14 n C n24 2.b (2 đ) a1 C n1 ; a2 C n2 C 21n ; a C n3 0.5 a1, a2 , a cấp số công nên a1 a 2a2 0.5 C n1 C n3 2(C n2 C 21n ) n (2 đ) n(n 1) n(n 1)(n 2) 2n 0.5 n 9n 10 n 1(Loai ); n 10(Tm ) 0.5 (n 1)2 un 1 un n un 0.5 2 (n 1) un 1 (n 1).un un un n 1 u n n 1 0.5 n 1 n 2 u1 n 1 n n(n 1) 0.5 Tổng S u1 u2 u2020 20202.u2020 4.20202 8080 2020.2021 2021 0.5 Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác (2 đ) ABC trực tâm tam giác AJK HAC ABJ JBH HAK KAC ABC BAK KAC BAK ABJ 900 BAC 0.5 AK BJ Tương trự chứng minh CK AJ Do I trực tâm tam giác AJK AIJK 0 Gọi I (a; b) ta có KI AJ a 4(a 2) 2(b 5) I (4;1) 0(a 6) 6(b 1) b 1 Phương trình BI : x y Phương trình CI : y 0.5 0.25 đường thẳng chứa cạnh AB cạnh AC u '(t, k ) IAC 450 cos 450 | cos(u, u ') | | t 2k | 5(t k ) 3t k 0, t 3k IAB Với 3t k chọn t 1, k u '(1; 3) Với t 3k chọn t 3, k 1 u ' (3; 1) 0.5 Phương trình AB: 3x y Phương trình AC: x 3y 17 0; {B } BI AB B(1; 4) ; {C } CI AC C (14;1) 0.25 Một vecto phương đường thẳng AI u AI (1; 2) Gọi vecto phương 5.a Tính chất trọng tâm G tứ diện ABCD AO GO ; AO GA (2 đ) O trọng tâm tam giác BCD nên OB OC OD AB AC AD 3AO 0.5 0.5 AB AC AD AB ' AC ' AD ' 4AG AB ' AC ' AD ' Do với điểm A điểm B ',C , D ',G thuộc mặt phẳng (P) nên 0.5 AB AC AD AB ' AC ' AD ' 0.5 5.b Độ dài đường cao tam giác BCD a (2 đ) hTG Độ dài đường cao tứ diện ABCD a MM MH Tương tự hTD hTG hTD MM MM MK ML ; hTD hTG hTD hTG Mặt khác S BCD a2 S MBC S MCD S MBD a2 a(MM MM MM ) a Ta có MM MM MM hTG MM MM MM MM MM hTG MM 1 hTG MM MM MM GB GC GD GM hTG hTG hTG hTG 0.5 0.5 Do E trọng tâm tam giác HKL nên ta có 3ME MH MK ML (2 đ) MM MM MM GB GC GD GM hTG hTG hTG Giả sử y nằm x z z (x y )(y z ) 0.5 0.5 2 2 2 xyz z (x y )(y z ) ; P x y y z z x x y y z z x xyz z (x y )(y z ) 0.5 0.5 x 2y yz 2xyz y(x z )2 0.5 2(x y z ) 1 2y x z x z (2y )(x z )(x z ) 2.27 54 27 đạt x , y , z max P 27 3 0.5 Ghi chú: Học sinh giải cách khác, cho điểm tối đa ... 1 )2 un 1 un n un 0.5 2 (n 1) un 1 (n 1).un un un n 1 u n n 1 0.5 n 1 n 2 u1 n 1 n n(n 1) 0.5 Tổng S u1 u2 u2 020 20 2 02. u2 020 4 .20 2 02 8080 20 20 .20 21... n24 2. b (2 đ) a1 C n1 ; a2 C n2 C 21 n ; a C n3 0.5 a1, a2 , a cấp số công nên a1 a 2a2 0.5 C n1 C n3 2( C n2 C 21 n ) n (2 đ) n(n 1) n(n 1)(n 2) 2n ... ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 20 20 Điểm Câu Nội dung 1.a k (3 đ) Điều kiện: cos x 0, sin x x 0.5 PT sin x cos x sin x cos x 1.b (3 đ) sin 2x