Bài báo trình bày kết quả khảo sát của chúng tôi trong việc sử dụng các hàm phi tuyến trong thuật toán phân tích phần tử song song thích nghi cho tenxơ bậc 3 có kích thước một chiều tăng theo thời gian. Các thuật toán này cũng được áp dụng trong bài toán khôi phục tín hiệu điện não đồ được biểu diễn bằng tenxơ bậc 3.
SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN TRONG THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH PHẦN TỬ SONG SONG THÍCH NGHI CHO TEN-XƠ BẬC VÀ ÁP DỤNG XỬ LÝ TÍN HIỆU ĐIỆN NÃO ĐỒ KHƠNG ĐẦY ĐỦ TRƯƠNG MINH CHÍNH Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo trình bày kết khảo sát việc sử dụng hàm phi tuyến thuật tốn phân tích phần tử song song thích nghi cho ten-xơ bậc có kích thước chiều tăng theo thời gian Các thuật toán áp dụng tốn khơi phục tín hiệu điện não đồ biểu diễn ten-xơ bậc Kết mô cho thấy chất lượng tương đương thuật tốn phân tích phần tử song song thích nghi sử dụng hàm phi tuyến khác Bên cạnh, sử dụng thuật tốn phân tích phần tử song song thích nghi để khơi phục tín hiệu điện não đồ ứng dụng cần thời gian khơi phục ngắn Từ khóa: Hàm phi tuyến, phân tích phần tử song song thích nghi, điện não đồ GIỚI THIỆU Phân tích ten-xơ (TD: Tensor Decomposition), bao gồm phân tích phần tử song song (CP: Canonical Polyadic) phân tích Tucker, cơng cụ hữu ích cho phân tích tính tốn liệu cấu trúc ten-xơ (hay mảng nhiều nhiều) TD thực biến đổi phép tính cấu trúc ten-xơ phép tính đối tượng thông dụng véc-tơ ma trận Trong thời gian gần đây, CP nghiên cứu áp dụng nhiều lĩnh vực vật lý, hóa học, xử lý tín hiệu, v v [8] Các thuật tốn phân tích CP đề xuất thực chế độ khối (batch) chế độ thích nghi (adaptive) [2, 10, 12] Các thuật toán hoạt động chế độ khối cần đầu vào tất liệu ten-xơ, thuật tốn có độ xác cao, nhiên độ phức tạp thuật tốn cao thời gian tính tốn dài, khơng phù hợp với ứng dụng trực tuyến ứng dụng có ràng buộc thời gian xử lý Đối lập với thuật toán xử lý khối, thuật tốn thích nghi xử lý liệu thu thời điểm thông tin lưu trữ từ liệu q khứ, có thời gian xử lý độ phức tạp thuật toán thấp hơn, phù hợp cho ứng dụng tính tốn nhanh Điện não đồ bề mặt (EEG: Electroencephalography) kỹ thuật không xâm lấn ứng dụng rộng rãi giao tiếp - điều khiển y học cho mục đích chẩn đốn điều Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr 50-63 Ngày nhận bài: 29/3/2019; Hoàn thành phản biện: 05/4/2019; Ngày nhận đăng: 08/4/2019 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN 51 trị tổn thương não [13, 15] Tín hiệu EEG phản ánh hoạt động điện não thu hệ thống điện cực đặt da đầu người đo, sau lấy mẫu để xử lý hệ thống số Tín hiệu EEG đơn kênh (tín hiệu thu từ điện cực) mẫu thời gian tín hiệu, liệu véc-tơ Dữ liệu cho tín hiệu EEG đa kênh (tín hiệu thu đồng thời từ nhiều điện cực) ma trận với hai chiều không gian (các điện cực) thời gian Để có đặc trưng miền tần số, tín hiệu EEG thường thực biến đổi thời gian - tần số phép biến đổi thơng dụng Fourier hay sóng (wavelet), liệu EEG trở thành chiều với chiều không gian (hay kênh), thời gian tần số Tùy theo mục đích lưu trữ xử lý, tín hiệu EEG có số chiều lớn Như vậy, nhu cầu xử lý, số chiều tín hiệu EEG tăng lên cấu trúc phù hợp để biểu diễn tín hiệu EEG ten-xơ [5, 6, 14] Mặt khác, xử lý tín hiệu EEG đối mặt với vấn đề mát liệu, có vài điện cực tiếp xúc khơng tốt, tín hiệu từ điện cực không thu được, khơng tin tưởng q trình xử lý nên bị loại bỏ Đã có nghiên cứu phân tích CP cho liệu không đầy đủ [2, 9] Trong [2], Acar cộng đề xuất thuật toán phân tích CP tối ưu trọng số (CP-WOPT: CP - Weighted OPTimization) thực phân tích CP cho ten-xơ khơng đầy đủ áp dụng cho trích xuất thơng tin từ liệu EEG khơng đầy đủ Thuật tốn CP-WOPT có hiệu suất cao, nhiên thuật tốn có nhược điểm thời gian xử lý dài Trong [9], Linh-Trung cộng đề xuất thuật toán ước lượng khơng gian phi tuyến tính (NL-PETRELS) cho liệu khơng đầy đủ Thuật tốn NL-PETRELS cải tiến thuật toán ước lượng song song sử dụng đệ quy bình phương tối thiểu (PETRELS: Parallel Estimation and Tracking by REcursive Least Squares) đề xuất [4] Trên sở thuật tốn ước lượng khơng gian phi tuyến tính NL-PETRELS, tác giả [9] đề xuất thuật tốn phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc có kích thước hai chiều cố định kích thước chiều tăng theo thời gian Việc xây dựng thuật tốn phân tích CP thích nghi thiết lập ý tưởng thuật toán phân tích CP cho ten-xơ bậc liệu đầy đủ Nion cộng [12], phát triển cho liệu không đầy đủ [11] Trong báo này, khai thác thêm ý tưởng sử dụng hàm phi tuyến tính [9] để cải thiện hiệu thuật tốn ước lượng khơng gian PETRELS, khơng bó buộc việc sử dụng hàm tanh(x) mà xem xét hàm phi tuyến khác Trên sở đó, báo khảo sát thuật tốn phân tích CP cho ten-xơ bậc với hàm phi tuyến khác minh họa áp dụng cho khôi phục liệu EEG không đầy đủ Phần lại báo cấu trúc sau: Mục trình bày sở lý thuyết bao gồm thuật tốn ước lượng khơng gian PETRELS [4], NL-PETRELS [9] thuật tốn phân tích CP thích nghi Nion cộng [12]; mục trình bày đề xuất khảo sát chúng tôi; mục trình bày kết mơ thuật tốn liệu phân tích liệu thật ứng dụng khôi phục liệu cho ten-xơ EEG bậc 3; mục 52 TRƯƠNG MINH CHÍNH kết luận báo Bài báo sử dụng ký hiệu toán học sau: Các chữ in hoa đậm nghiêng (ví dụ X ), in hoa đậm (ví dụ X) in thường đậm (ví dụ x) sử dụng để ký hiệu ten-xơ bậc 3, ma trận véc-tơ; Các toán tử (·)T , (·)† , , ∗, ◦ toán tử chuyển vị, giả ngẫu nhiên (pseudo-inverse), tích Khatri-Rao, tích cặp tích ma trận véc-tơ CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Phân tích CP Định nghĩa Ten-xơ bậc 3, X ∈ RI×J×K , gọi ten-xơ hạng X biểu diễn dạng tích ngồi véc-tơ sau: X = a ◦ b ◦ c (1) Định nghĩa Phân tích phần tử song song ten-xơ X ∈ RI×J×K phân tích ten-xơ X dạng tổng số lượng ten-xơ hạng 1, sau R X = r=1 ar ◦ br ◦ cr , (2) ar , br , cr cột thứ r ma trận thành phần A ∈ RI×R , B ∈ RJ×R , C ∈ RK×R ; R gọi hạng ten-xơ Phân tích CP ten-xơ biểu diễn dạng ma trận Gọi X(1) ∈ RIK×J (1) biểu diễn ma trận ten-xơ X với thành phần X(i−1)K+k,j = xijk , lúc cơng thức (2) biểu diễn dạng ma trận sau: X(1) = (A C) BT (3) Hồn tồn tương tự, thiết lập biểu diễn phân tích CP cho ma trận X(2) X(3) [12] Bài báo quan tâm khảo sát ten-xơ có kích thước thỏa mãn < R < I, < R < J < R < K phân tích CP X [12, Định lý 1] 2.2 Thuật toán PETRELS NL-PETRELS 2.2.1 Bài toán ước lượng không gian cho liệu không đầy đủ Giả sử rằng, thời điểm τ , liệu x ∈ RM tạo thành theo mơ hình [4] x(τ ) = U(τ )a(τ ) + n(τ ), (4) cột ma trận U(τ ) ∈ RM ×r(τ ) sinh khơng gian với số chiều thấp, n(τ ) nhiễu Gauss Giá trị r(τ ) giả thiết khơng biết xác thời điểm τ , thay đổi chậm theo thời gian nhỏ giá trị r 53 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN Trong trường hợp quan sát khơng đầy đủ, thay x(τ ), ta có y(τ ) sau: y(τ ) = p(τ ) ∗ x(τ ) = P(τ )x(τ ), (5) p(τ ) = [p1 (τ ), p2 (τ ), , pM (τ )]T véc-tơ quan sát, bao gồm phần tử có giá trị 0: pi (τ ) = phần tử thứ i x(τ ) quan sát pi (τ ) = trường hợp ngược lại; P(τ ) ma trận quan sát, dạng ma trận đường chéo, tạo thành từ p(τ ) để tạo thuận lợi thực biến đổi toán học: P(τ ) = diag {p(τ )}; ∗ ký hiệu tích cặp: Với véc-tơ p ∈ RM x ∈ RM , y = p∗x ⇐⇒ yi = pi xi với i = 1, 2, 3, , M Với đầu vào dãy quan sát không đầy đủ, {y(τ ), pτ )}tτ =1 , thuật tốn ước lượng khơng gian cho đầu thời điểm t: Thứ ma trận W(t), kích thước M × r, việc xác định ma trận mang lại khơng gian có số chiều thấp (không gian cột W(t)); thứ hai hệ số a(t) thời điểm t tương ứng 2.2.2 Thuật toán PETRELS Thuật toán PETRELS thuật toán ước lượng song song sử dụng đệ quy bình phương tối thiểu có hiệu suất cao [4] Thuật tốn PETRELS thực luân phiên ước lượng hệ số a(t) cập nhật không gian W(t) thời điểm t theo bước sau Bước 1: Ước lượng a(t) x(t) dựa vào W(t − 1) PETRELS sử dụng W(t − 1), không gian xác định thời điểm (t − 1) để lần đầu ước lượng a(t) sau: a(t) = minr P(t) (y(t) − W(t − 1)a) a∈R 2 = (P(t)W(t − 1))† y(t) (6) Tiếp theo, x(t) ước lượng theo công thức x(t) = W(t − 1)a(t) (7) Bước 2: Ước lượng không gian (W(τ )) theo hàng Trong bước này, a(t) x(t) sử dụng để ước lượng W(t) nghiệm phương trình t W(t) = arg W∈RM ×r τ =1 λt−τ P(τ ) (x(τ ) − Wa(τ )) 2, hệ số λ hạn chế quan sát khứ W(t) ước lượng theo hàng, wm (t), sau: γm (t) = + λ−1 aT (t)R†m (t − 1)a(t), vm (t) = λ−1 R†m (t − 1)a(τ ), −1 R†m (t) = λ−1 R†m (t − 1) − pm (t)γm (t)vm (t)vTm (t), wm (t) = wm (t − 1) + pm (t) xm (t) − aT (t)wm (t − 1) R†m (t)a(t) 54 TRƯƠNG MINH CHÍNH Các ma trận R†m (0) thiết lập R†m (0) = ξIr , với ξ hệ số bất kỳ, Ir ma trận đơn vị kích thước r × r Bước 3: Cập nhật a(t) dựa vào không gian W(t) ước lượng bước Thay W(t − 1) không gian vừa ước lượng W(t) vào công thức (6) để cập nhật giá trị cho a(t) Thuật tốn PETRELS trình bày thuật toán Thuật toán 1: Thuật toán PETRELS [4] Đầu vào: {(y(τ ), Pτ )}tτ =1 , yτ ∈ RM , Pτ ∈ RM ×M Dữ liệu ma trận quan sát Đầu ra: W(t), a(t) Ước lượng không gian hệ số † Khởi tạo: W(0) ngẫu nhiên; Rm (0) = ξIr for τ = 1, 2, , t a(τ ) = (P(t)W(t − 1))† y(t) x(τ ) = W(τ − 1)a(τ ) for m = 1, 2, , M γm (τ ) = + λ−1 aT (τ )R†m (τ − 1)a(τ ) vm (τ ) = λ−1 R†m (τ − 1)a(τ ) −1 (τ )vm (τ )vTm (τ ) R†m (τ ) = λ−1 R†m (τ − 1) − pm (τ )γm wm (τ ) = wm (τ − 1) + pm (τ ) xm (τ ) − aT (τ )wm (τ − 1) R†m (τ )a(τ ) end for a(τ ) = (P(t)W(t))† y(t) end for 2.2.3 Thuật toán NL-PETRELS Thuật toán NL-PETRELS xây dựng sở cải tiến thuật toán PETRELS, khác thuật toán PETRELS bước Tại bước thuật tốn NL-PETRELS, thay sử dụng cơng thức (6), thuật toán NL-PETRELS thực sau: a(t) = g (P(τ )W(t − 1))† y(t) , (8) g(x) xác định sau: g(x) = tanh(x) = e2x − e2x + (9) Thuật tốn NL-PETRELS khai thác yếu tố tuyến tính, có hiệu suất cao thuật toán PETRELS tỷ lệ quan sát thấp 55 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN J(t) I K t=1 t=2 Hình 1: Ten-xơ bậc với kích thước I K cố định, J(t) tăng theo thời gian Tại thời điểm t, slice (là thành phần hai chiều ten-xơ bậc 3, ma trận kích thước J × K) thêm vào ten-xơ [10] 2.3 Thuật tốn phân tích CP thích nghi Thuật tốn phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc có mơ minh họa hình Gọi ma trận A = [a1 , , aR ] ∈ RI×R , B = [b1 , , bR ] ∈ RJ×R , C = [c1 , , cR ] ∈ RK×R ma trận thành phần phân tích CP ten-xơ X , phân tích CP X viết dạng ma trận sau X(1) = (A C) BT (10) Tại thời điểm (t − 1), (t > 1), phân tích CP X (t − 1) dạng ma trận X(1) (t − 1) = W(t − 1)BT (t − 1), W(t − 1) = A(t − 1) (11) C(t − 1) Ten-xơ X (t) thời điểm t thu từ ten-xơ X (t − 1) cách thêm slice theo chiều J(t) Lúc này, phân tích CP trở thành X(1) (t) = W(t)BT (t) (12) Thuật tốn phân tích CP thích nghi thực ước lượng ma trận thành phần thời điểm t ( tức A(t), B(t) C(t)) dựa vào ma trận thành phần thời điểm (t − 1) (tức A(t − 1), B(t − 1) C(t − 1)) slice thời điểm t Khi biểu diễn ten-xơ dạng ma trận, slice biểu diễn thành véc-tơ trở thành cột X(1) (t), cụ thể X(1) (t) = X(1) (t − 1) x(t) , (13) với x(t) biểu diễn véc-tơ slice thời điểm t Phân tích CP dạng ma trận thời điểm t (t − 1) viết lại sau X(1) (t − 1) = W(t − 1)BT (t − 1), X(1) (t) = W(t)BT (t) (14a) (14b) 56 TRƯƠNG MINH CHÍNH Với giả thiết W(t) thay đổi chậm thời điểm (t − 1) t, W(t) ≈ W(t − 1), vào cơng thức (14) ta có BT (t) = BT (t − 1) bT (t) , (15) từ véc-tơ hóa slice x(t) xác định x(t) = W(t)bT (t), (16) bT (t) cột thứ t ma trận BT (t) Như vậy, với x(t) biết, ước lượng W(t) xác định bT (t) cập nhật B(t) (cơng thức (15)) Thuật tốn phân tích CP thích nghi tóm tắt thuật tốn Thuật tốn 2: Thuật tốn phân tích CP thích nghi [12] Đầu vào: A(t − 1), B(t − 1), C(t − 1) Các ma trận thành phần thời điểm (t − 1) x(t) Dữ liệu thời điểm t Đầu ra: A(t), B(t), C(t) Các ma trận thành phần thời điểm t Bước 1: Giả thiết W(t) ≈ W(t − 1), ước lượng bT (t) lần đầu bT (t) = W† (t − 1)x(t) Bước 2: Ước lượng W(t) Bước 3: Ước lượng A(t) C(t) từ W(t) Bước 4: Cập nhật lại bT (t) B(t) bT (t) = W† (t)x(t) BT (t) = BT (t − 1) bT (t) Nếu x(t) thuộc khơng gian con, có nghĩa x(t) thuộc không gian sinh cột ma trận W(t), bước bước thuật tốn ước lượng khơng gian Sau thi thực bước bước 2, thuật toán có khơng gian khơng gian cột ma trận W(t) Bước thực ước lượng A(t) C(t) từ W(t), thỏa mãn A(t) C(t) = W(t) Theo khái niệm tích Katri-Rao tích Kronecker, cột thứ r W(t) ar (t) ⊗ cr (t), biểu diễn véc-tơ ma trận cr (t)aTr (t) , cách viết khác [cr (t) ◦ ar (t)] Vì vậy, cột A(t) C(t) ước lượng sau: [12] Sắp xếp Wr (t) theo ma trận I × K ma trận hạng 1, [cr (t) ◦ ar (t)] ar (t) cr (t) tính tốn qua phân tích SVD ma trận cr (t) ◦ aTr (t) Thuật toán phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc 3, liệu không đầy đủ [11], gọi CP-PETRELS, [9], gọi CP-NLtanh tương tự thuật toán Các thuật toán khác thuật toán bước 2: Sử dụng ước lượng không gian cho liệu không đầy đủ 57 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN ĐỀ XUẤT KHẢO SÁT Trong báo này, đề xuất sử dụng hàm phi tuyến khác thay cho hàm g(x) biểu thức (8) Các hàm phi tuyến sử dụng hàm có dạng chữ S (S-shape) hàm erf(x), arctan(x) hàm đại số, ký hiệu f (x), sau: erf(x) = √ π f (x) = √ x e−t dt, (17) x + x2 (18) Từ đó, chúng tơi khảo sát thuật tốn ước lượng CP thích nghi cho ten-xơ bậc liệu không đầy đủ cách thay hàm phi tuyến tương ứng cho bước ước lượng khơng gian (bước 1, thuật tốn 2) Các thuật toán khảo sát gọi CP-NLerf , CP-NLatan CP-NLalg sử dụng hàm phi tuyến tương ứng erf(x), arctan(x) f (x) Các thuật toán khảo sát phiên khác thuật toán CP-NLtanh , sử dụng hàm phi tuyến khác MƠ PHỎNG Mục trình bày hai mô sau: ◦ Mô 1: Được thực liệu phân tích, để chứng minh thuật tốn khảo sát có hiệu suất tương đương với thuật toán CP-NLtanh , khắc phục nhược điểm thuật toán CP-PETRELS tỷ lệ quan sát thấp; ◦ Mơ 2: Minh họa thuật tốn khảo sát cho ứng dụng khôi phục liệu EEG không đầy đủ 4.1 Mô Dữ liệu mô tạo sau Đầu tiên, ten-xơ X kích thước 20 × 2000 × 25 tạo thành từ ma trận A, B, C với thành phần biến ngẫu nhiên Gauss, trung bình phương sai Tiếp theo, nhiễu biến ngẫu nhiên Gauss, trung bình 0, phương sai σ cộng vào ten-xơ X Tại lần ước lượng thứ τ , liệu chọn slice thứ τ ten-xơ X , tức ma trận X (:, τ, :); liệu không đầy đủ tạo thành cách nhân liệu đầy đủ với ma trận quan sát, vị trí quan sát ngẫu nhiên Các giá trị khởi tạo thuật tốn thích nghi khởi tạo ngẫu nhiên, hệ số λ thuật toán thích nghi giống 0.91, giá trị mà thuật tốn PETRELS có hiệu suất tốt [4] ˆ , tham số đánh Khi ước lượng slice thứ τ , gọi ngắn gọn x, ta giá trị ước lượng x giá kết mô ˆ x−x (19) NRE (τ ) = x Tham số NRE nhỏ (gần 0) chứng tỏ hiệu suất cao việc ước lượng 58 TRƯƠNG MINH CHÍNH Kết mơ thể hình ứng với mức nhiễu 10−3 1040 104 CP-PETRELS CP-NL CP-NL erf CP-NL erf 1030 CP-NL atan 10 10 10 10 NRE (τ ) NRE (τ ) CP-NL alg 20 CP-NL atan CP-NL alg 100 10-2 100 10-10 CP-PETRELS CP-NL 500 1000 1500 10-4 2000 500 Lần ước lượng (τ ) 101 CP-PETRELS CP-NL CP-NL erf CP-NL erf 100 CP-NL atan CP-NL atan NRE (τ ) NRE (τ ) CP-NL alg 10 CP-NL alg 10 -1 10-1 10-2 10-2 10-3 10-3 500 1000 1500 2000 10-4 Lần ước lượng (τ ) (c) Tỷ lệ quan sát 20% Hình 2: Giá trị sát khác NRE 2000 (b) Tỷ lệ quan sát 15% CP-PETRELS CP-NL 101 1500 Lần ước lượng (τ ) (a) Tỷ lệ quan sát 10% 102 1000 500 1000 1500 2000 Lần ước lượng (τ ) (d) Tỷ lệ quan sát 25% theo thời gian ước lượng τ thuật toán tỷ lệ quan Từ kết này, có số nhận xét sau: ◦ Khi tỷ lệ quan sát nhỏ (cỡ 10%), thuật tốn khơng thể khôi phục liệu; ◦ Khi tỷ lệ quan sát tăng lên, thuật tốn ước lượng với độ xác (qua tham số NRE ) tăng lên; ◦ Các thuật tốn ước lượng phi tuyến có hiệu suất tốt thuật toán CP-PETRELS tỷ lệ quan sát nhỏ, cỡ 15% 20%; ◦ Các thuật toán ước lượng phi tuyến có hiệu suất tương đương 4.2 Mơ Mục trình bày mơ so sánh thuật toán khảo sát (CP-NLatan ) với thuật toán CP-NLtanh thuật toán hoạt động chế độ khối thuật toán CP-WOPT Thuật toán 59 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN CP-WOPT thực công cụ cho ten-xơ (Tensor Toolbox [3]), thực Poplano Toolbox [7] Thời gian Các đặc trưng Kênh f1 (s) f2 (s) ··· fn (s) Kê nh Mơ hình xây dựng ten-xơ bậc thực theo mơ hình Acar cộng đề xuất [1], cho ứng dụng phát xung động kinh, minh họa hình Ten-xơ đặc trưng Các khoảng thời gian GLđặc (n) trưng Acar cộng [1] Hình 3: Sơ đồ khối xây dựng ten-xơ EEG Trước hết, liệu kênh lấy mẫu xử lý khoảng có độ dài N mẫu (gọi epoch), mẫu thời gian s = {s(1), s(2), , s(N )}; từ mẫu khoảng này, tiến hành xây dựng hàm đặc trưng, ký hiệu fi (s) Có hàm đặc trưng miền thời gian miền tần số xây dựng, hàm mô tả chi tiết [1] Mỗi khoảng thời gian, kênh tương ứng với véc-tơ hàm đặc trưng; đồng thời xem xét nhiều kênh liệu ma trận Thu liệu EEG khoảng thời gian liên tiếp có ten-xơ bậc 3, chiều tương ứng số kênh, hàm đặc trưng khoảng thời gian (epoch) Dữ liệu EEG thô cho mô sử dụng từ bệnh nhân 38, sở liệu nghiên cứu gai động kinh thuộc đề tài QG-10.40, Phòng Thí nghiệm Tín hiệu Hệ thống, Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội Dữ liệu lưu trữ dạng ma trận, kích thước 19 × 133712 tương ứng với 19 kênh 133712 mẫu thời gian, tần số lấy mẫu 256 Hz Dữ liệu thơ trích khoảng, kích thước 19 × 32496 thực biến đổi, tạo nên ten-xơ đặc trưng theo phương pháp [1], mã chương trình tại: http://www.dsrc.rpi.edu/epilepsy/ với tham số cụ thể sau: Độ dài khoảng 512 mẫu, bước dịch khoảng 16 mẫu (có nghĩa khoảng thứ thực biến đổi từ mẫu đến mẫu 512 khoảng thứ từ mẫu 17 đến mẫu 528, tương tự cho khoảng tiếp theo) Dữ liệu thu ten-xơ kích thước 19 × 2000 × 7, 19 số kênh, 2000 số khoảng thời gian số hàm đặc trưng Giả sử liệu bị khoảng thời gian kênh ngẫu nhiên, lúc liệu kênh gán Từ liệu khơng đầy đủ, thực thuật toán CP-WOPT, CP-NLtanh CP-NLatan để khôi phục lại liệu Đối với ten-xơ liệu gốc X , liệu vị trí xác định ten-xơ quan sát W (bao gồm thành phần có giá trị tương ứng với vị trí liệu 60 TRƯƠNG MINH CHÍNH ˆ ; lúc tham số đánh giá thuật khơng mất) thuật tốn ước lượng ten-xơ X toán số khôi phục ten-xơ (TCS: Tensor Completion Score) xác định sau: TCS = ˆ) (1 − W) ∗ (X − X (1 − W) ∗ X (20) TCS có giá trị khơng âm, giá trị TCS gần chứng tỏ thuật toán tốt, theo nghĩa liệu khơi phục hồn tồn Thực mô trường hợp số kênh khác nhau, số lượng kênh thực 50 lần tính giá trị TCS trung bình, kết có bảng Bảng 1: Quan hệ giá trị TCS trung bình với số lượng kênh bị liệu thuật toán Số kênh CP-WOPT CP-NLtanh CP-NLatan 0.0804 0.0911 0.0913 0.0866 0.0939 0.0937 0.0893 0.0967 0.0957 0.0938 0.1019 0.1022 0.0972 0.1108 0.1112 11 0.1037 0.1254 0.1246 liệu Kết bảng cho thấy rằng, thuật tốn CP-WOPT có hiệu suất cao thuật tốn thích nghi Các thuật tốn thích nghi khôi phục liệu số kênh 7, lúc giá trị TCS xấp xỉ 0.1; lúc thuật tốn CP-WOPT khơi phục liệu số kênh 11 Tuy nhiên, sai khác tham số TCS thuật toán khơng q lớn Để nhìn trực quan việc khôi phục liệu, đoạn liệu hiển thị dạng ảnh: Ten-xơ kích thước 19 × 100 × xếp dạng ma trận kích thước 133 × 100 hiển thị dạng ảnh hình Giá trị hiển thị giá trị hệ số (hình 4(a) 4(b)) sai số tuyệt đối ten-xơ ước lượng ten-xơ liệu gốc (các hình lại) Kết hình cho phép củng cố đánh giá khôi phục liệu EEG dạng ten-xơ bậc thành cơng thuật tốn minh chứng sai khác nhỏ thuật toán CP-WOPT thuật tốn thích nghi Các giá trị sai khác liệu khôi phục liệu gốc nhỏ có vùng tương đồng vùng có màu vàng (giá trị lớn) 61 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN 0.3 0.3 20 20 0.25 40 0.25 40 0.2 60 0.2 60 0.15 0.15 80 80 0.1 0.1 100 100 0.05 0.05 120 120 20 40 60 80 100 20 (a) Dữ liệu đầy đủ 40 60 80 100 (b) Dữ liệu không đầy đủ 20 0.06 20 0.06 40 0.05 40 0.05 60 0.04 60 0.04 0.03 80 0.02 100 0.01 120 20 40 60 80 0.03 80 0.02 100 0.01 120 100 20 (c) Sai số khôi phục CP-WOPT 40 60 80 100 (d) Sai số khôi phục CP-NLtanh 20 0.06 40 0.05 60 0.04 0.03 80 0.02 100 0.01 120 20 40 60 80 100 (e) Sai số khôi phục CP-NLatan Hình 4: Minh họa khơi phục liệu thuật toán CP-WOPT, CP-NLtanh CP-NLatan 62 TRƯƠNG MINH CHÍNH KẾT LUẬN Với việc sử dụng yếu tố phi tuyến tính ước lượng khơng gian liệu khơng đầy đủ, thuật tốn khảo sát báo có ưu thuật tốn PETRELS sử dụng cho phân tích CP thích nghi, tỷ lệ quan sát thấp Các thuật toán khảo sát thực tế thể khác việc sử dụng hàm phi tuyến đề xuất [9] Tuy nhiên, việc mô với hàm phi tuyến khác có ý nghĩa khác lớn hơn, áp dụng thuật tốn cho kiểu liệu khác nhau, kiểu hàm phi tuyến trở thành lựa chọn phù hợp với liệu thực tế Vì vậy, nghiên cứu áp dụng, hàm phi tuyến cần mô khảo sát nhiều Các thuật tốn phân tích CP thích nghi có ưu thuật tốn phân tích CP chế độ khối ứng dụng khơi phục tín hiệu EEG cấu trúc ten-xơ bậc cần thời gian xử lý ngắn LỜI CẢM ƠN Bài báo hỗ trợ Đề tài nghiên cứu khoa học số TN 18-TN-04, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Acar, C A Bingol, H Bingol, R Bro, and B Yener (2007), “Seizure recognition on epilepsy feature tensor,” in Proceedings of the 29th Annual International Conference of the Engineering in Medicine and Biology Society (EMBS 2007), IEEE, pp 4273–4276 [2] E Acar, D M Dunlavy, T G Kolda, and M Mørup (2011), “Scalable tensor factorizations for incomplete data,” Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 106 (1), pp 41–56 [3] B Bader and T Kolda (2010), “Matlab tensor toolbox version 2.4: http://csmr.ca sandia gov/˜tgkolda” [4] Y Chi, Y C Eldar, and R Calderbank (2013), “PETRELS: Parallel subspace estimation and tracking by recursive least squares from partial observations,” IEEE Transactions on Signal Processing, 61 (23), pp 5947–5959 [5] F Cong, Q.-H Lin, L.-D Kuang, X.-F Gong, P Astikainen, and T Ristaniemi (2015), “Tensor decomposition of EEG signals: a brief review,” Journal of Neuroscience Methods, 248, pp 59–69 [6] M De Vos, A Vergult, L De Lathauwer, W De Clercq, S Van Huffel, P Dupont, A Palmini, and W Van Paesschen (2007), “Canonical decomposition of ictal scalp EEG reliably detects the seizure onset zone,” NeuroImage, 37 (3), pp 844–854 [7] D M Dunlavy, T G Kolda, and E Acar (2010), “Poblano v1 0: A matlab toolbox for gradient-based optimization,” Sandia National Laboratories, Tech Rep SAND20101422 [8] T G Kolda and B W Bader (2009), “Tensor decompositions and applications,” SIAM review, 51 (3), pp 455–500, 2009 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN 63 [9] N Linh-Trung, T Minh-Chinh, V.-D Nguyen, and K Abed-Meraim (2018), “A NonLinear Tensor Tracking Algorithm for Analysis of Incomplete Multi-Channel EEG Data,” in Proceedings of the 12th International Symposium on Medical Information and Communication Technology [10] M Mardani, G Mateos, and G B Giannakis (2015), “Subspace learning and imputation for streaming big data matrices and tensors,” IEEE Transactions on Signal Processing, 63 (10), pp 2663–2677 [11] T Minh-Chinh, V.-D Nguyen, N Linh-Trung, and K Abed-Meraim (2016), “Adaptive PARAFAC decomposition for third-order tensor completion,” in Proceedings of the Sixth International Conference on Communications and Electronics (ICCE), IEEE, pp 297– 301 [12] D Nion and N D Sidiropoulos (2009), “Adaptive algorithms to track the PARAFAC decomposition of a third-order tensor,” IEEE Transactions on Signal Processing, 57 (6), pp 2299–2310 [13] S Sanei and J A Chambers (2007), EEG signal processing, John Wiley & Sons [14] M Weis, F Romer, M Haardt, D Jannek, and P Husar (2009), “Multi-dimensional space-time-frequency component analysis of event related EEG data using closed-form PARAFAC,” in Proceedings of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE, pp 349–352 [15] J R Wolpaw, N Birbaumer, D J McFarland, G Pfurtscheller, and T M Vaughan (2002), “Brain–computer interfaces for communication and control,” Clinical Neurophysiology, 113 (6), pp 767–791 Title: A COMPARISON STUDY ON SEVERAL TYPES ON NON-LINEAR FUNCTIONS IN ADAPTIVE CANONICAL POLYADIC DECOMPOSITION OF THIRD-ORDER TENSORS AND APPLICATION IN ANALYSIS OF INCOMPLETE EEG DATA Abstract: In this paper, we compared several nonlinear functions used in adaptive canonical polyadic (CP) decomposition of third-order tensors with one dimension growing with time We also applied these adaptive CP decomposition algorithms to analysis of incomplete electroencephalogram (EEG) data under third-order tensor representation The numerical results showed comparable performance of the algorithms when different nonlinear functions were used The study also showed the applicability of adaptive canonical polyadic decomposition in tensor completion for EEG data Keywords: Non-linear function, adaptive Canonical Polyadic algorithm, EEG ... toán khác thuật toán bước 2: Sử dụng ước lượng không gian cho liệu không đầy đủ 57 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN ĐỀ XUẤT KHẢO SÁT Trong báo này, đề xuất sử dụng hàm phi tuyến khác thay cho hàm. . .SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN 51 trị tổn thương não [ 13, 15] Tín hiệu EEG phản ánh hoạt động điện não thu hệ thống điện cực đặt da đầu người đo, sau lấy mẫu để xử lý hệ thống số Tín hiệu. .. bày mơ so sánh thuật tốn khảo sát (CP-NLatan ) với thuật toán CP-NLtanh thuật toán hoạt động chế độ khối thuật toán CP-WOPT Thuật toán 59 SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN CP-WOPT thực công cụ cho ten-xơ