CHỦ ĐỀ MŨ LÔGARIT CHỌN LỌC VD - VDC HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN I CÁC BÀI TOÁN CỦA BGD Câu 1: (BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C20) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình 6x + (3 − m ).2x − m = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) A 3; 4 B 2; 4 C (2; 4) D (3; ) Hướng dẫn ( ) Biến đổi phương trình m + 2x = 6x + 3.2x ⇒ m = khoảng (0; 1); f ' (x ) = 6x + 3.2x = f (x ) hàm số liên tục + 2x 12x (ln − ln 3) + 6x ln + 3.2x ln 2 (1 + ) x > f (0) = 2, f (1) = Chọn C Lời bình Nhìn chung: tốn có tham số m "cơ lập m " nên giải theo phương pháp Trong nhiều trường hợp ta đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai (hay phương trình đa thức), từ biện luận phương trình theo m Bằng máy tính Casio, ta vào Mode nhập hàm f (x ) đoạn 0;1 ta khảo sát giá trị f (x ) Câu 2: (BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C21) Xét số thực a, b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức a P = log2 a (a ) + logb b b A 19 B 13 C 14 D 15 Hướng dẫn 1 + − 1 = Đặt loga b = t ∈ (0;1) ⇒ P = + − Ta có: 1 − t t (1 − t ) t 12 1 P = −12 + 9 + + ≥ − 12 + + = − 12 + + + 2 1 − t − t 2t − t t t (1 − t ) P ≥ −12 + = 15 Dấu có ⇔ t = ⇒ P = 15 Chọn D − t + − t + 2t Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Lời bình Trong tốn có số phân số ta tìm cách khử phân số đi, công thức đổi số: 2 log (a ) a b = log a a = 2 log a (a ) b b ( ) = Cần ý đến bình phương = a − log b ( a ) loga b logarit mà nhiều học sinh dễ mắc sai lầm Ở ta dùng bất đẳng thức để giải toán, nhiên ta khảo sát hàm số ẩn t (1 − t ) P (t ) = + có dạng bậc hai bậc ba, số học sinh đạo hàm t (1 − t ) tương đối phức tạp, ngồi phải tìm nghiệm đạo hàm, lập bảng biến thiên Như xem tốn khó nằm độ phức tạp kỹ đạo hàm biến đổi logarit Câu 3: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C33) Cho số thực a, b > thỏa mãn loga b = Tính P = log A −5 + 3 B + b a a b C −1 − D −5 − 3 Hướng dẫn Từ giả thiết loga b = ⇒ b = a P = log a = log b a b a a a = , đó: 1− = + Chọn B −2 a Lời bình Cách giải bản, tức dùng phép để biến đổi logarit theo a , kết không phụ thuộc vào a, b > Bằng máy tính Casio ta chọn cặp a, b > 0, a ≠ tùy ý để tính Ở cần đòi hỏi kỹ biên đổi số, công thức loga β (b α ) = α loga b Bài toán mức VD β Câu 4: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C45) Có giá trị nguyên tham số m thuộc −2017;2017 để phương trình log (mx ) = log (x + 1) có nghiệm nhất? A 2017 B 4014 C 2018 D 4015 Hướng dẫn Điều kiện x > − 1, x ≠ Phương trình trở thành mx = (x + 1) ⇒ m = x + ⇒ f ' (x ) = + = f (x ) x x2 −1 = ⇔ x = ±1 Ta có bảng biến thiên: x2 Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung x f ' (x ) −1 f (x ) `0 − +∞ − + +∞ +∞ −∞ m = Vậy để phương trình có nghiệm , m nguyên thuộc −2017;2017 suy m < m ∈ {−2017; −2016; ; −1} ∪ {4} Chọn C Lời bình Trên ta "trung thành cô lập m" để khảo sát hàm số f (x ) Chúng ta đưa phương trình bậc hai để giải biện luân theo m, nhiên xét trường hợp cách hợp lý khơng bỏ sót nghiệm, ngồi tương đối dài dòng Cách giải lập bảng biến thiên tương đối "tường minh" thường hay sử dụng Rất dễ bỏ qua trường hợp m = Qua "lấy số kết trung gian" để tạo toán cho học sinh lớp 9, 10, 11, 12 giải trắc nghiệm hay tự luận, chẳng hạn: "Có giá trị nguyên tham số m −2020 ≤ m ≤ 2020 để phương trình mx = (x + 1) có nghiệm thỏa mãn x > − 1, x ≠ ?" Câu 5: (Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C39) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log23 x − m log3 x + 2m − = có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x 1x = 81 A m = − B m = C m = 81 D m = 44 Hướng dẫn Đặt log x = t ta có phương trình t − mt + 2m − = Theo yêu cầu toán định lý Viet, ta có: log3 (x1x ) = log3 (x1 ) + log3 (x ) = t1 + t2 ⇒ m = log3 (81) = Chọn B Lời bình Ta không cần kiểm tra lại xem m = có thỏa mãn tốn hay khơng? Vì đáp án cho rõ ràng Nếu đáp án có phương án lựa chọn m ∈ ∅ ta cần kiểm tra lại m = có thỏa mãn hay khơng, điều kiện có nghiệm ∆ > Bài tốn khó đưa vào phương án lựa chọn m ∈ ∅ x + x = − b a cần có ∆ ≥ Nói cách khác: dạy định lý Viet, cần ý nhấn mạnh c x 1x = a x + x = −1 trước đã! Một ví dụ mà giáo viên hay lấy làm dẫn chứng phương x 1x = trình x + x + = vô nghiệm! Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 6: (Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C42) Cho loga x = 3, logb x = với a, b số thực lớn Tính P = logab x A P = 12 B P = 12 C P = 12 D P = 12 Hướng dẫn Biến đổi P theo giả thiết, ta có: P = logab x = 1 = = logx ab logx a + logx b 1 + loga x logb x = = 1 + 12 Chọn D Lời bình Trên toán dễ, tương tự câu 3, chủ yếu cơng thức đổi số Ta giải theo phương pháp theo a , chẳng hạn: loga x = 3, logb x = ⇒ x = a = b ⇒ b = a , P = logab x = log a a a = log a4 (a ) = 74 = 127 Mặt khác để khơng phải biến đổi nhiều ta cho a = m , b = m ⇒ x = m 12 (lấy giá trị đổi làm số mũ cho nhau, < m ≠ ), ab = m dễ dàng có P = 12 Câu 7: (Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C47) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log − xy = 3xy + x + 2y − Tìm giá trị nhỏ x + 2y Pmin P = x + y A Pmin = 11 − 19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 18 11 − 29 21 D Pmin = 11 − Hướng dẫn Biến đổi log − xy u + = − (3 − 3xy ) + x + 2y ⇔ log = −u + v ⇔ u + log u = v + log v x + 2y v Hàm số f (t ) = t + log3 t đồng biến nên suy u = v ⇔ − 3xy = x + 2y , dùng phép thế, ta có: − 3x (P − x ) = x + (P − x ) ⇒ 3x − (3P − 1) x + − 2P = Sử dụng điều kiện có nghiệm (3P − 1) − 12 (3 − 2P ) ≥ ⇒ 9P + 18P − 35 ≥ ⇒ P ≥ Lời bình Fb: Diendangiaovientoan 11 − Chọn D GV: Nguyễn Xuân Chung Trên ta bỏ qua điều kiện x , y , xem chúng tồn giải để có đáp số Nếu đáp án đưa phương án lựa chọn khó là: Khơng tồn tại, x , y > ta cần lập luận chặt chẽ để có kết luận Chẳng hạn cần có điều kiện kiểm tra xy < xem dấu xảy nào? Có thỏa mãn điều kiện hay khơng? Mặt khác: tốn cho phương trình hai ẩn thường xuyên giải theo PP đánh giá hay PP hàm số Cách khác đưa biến để đánh giá hay khảo sát, chẳng hạn: y = có P = x + Pmin = 3−x vào P, ta 3x + 11 − (3x + 2) 3−x 11 ⇒ 3P = 3x + = 3x + + − ≥ 11 − , từ suy 3x + 3x + 3x + 2 11 − ⇔ 3x + = 11 ⇔ x = 11 − ,y = 11 − (thỏa mãn xy < ) Chọn D Câu hỏi đặt là: Có thể giải tốn máy tính Casio khơng? Câu trả lời Vì yêu cầu tìm GTNN nên ta kiểm tra xem phương án số nhỏ nhất? Và ta thử từ đáp án nhỏ trước tiên, A ≈ 1,2 < D ≈ 1,22 < C ≈ 1, 46 , nhập phương − X (1.2 − X ) − 3X (1.2 − X ) + X + (1.2 − X ) − bấm Shift Solve, trình sau: log X + (1.2 − X ) máy hỏi X ta nhập 0.5 bấm Shift Solve máy báo lỗi Sửa thành 1.22 giải lại máy cho đáp số X ≈ 0.54 Vậy chọn D Tuy nhiên có phương án Khơng tồn coi chừng! ( ) Câu 8: (Đề thi thức THPTQG 2017 M102 C31) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x − 2x +1 + m = có hai nghiệm thực phân biệt A m ∈ (−∞;1) B m ∈ (0; +∞) C m ∈ (0;1 D m ∈ (0;1) Hướng dẫn Đặt 2x = t > ta có phương trình t − 2t + m = Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = − m > dương ⇔ m ∈ (0;1) Chọn D t1t2 = m > Lời bình Bài tốn bậc hai đơn giản, không cần thiết "cô lập m" m = −t + 2t khảo sát hàm số f (t ) , lại trở nên phức tạp Nói cách khác: lập m để khảo sát hàm số không định phải áp dụng "cứng nhắc" để làm cho vấn đề phức tạp hay rắc rối Đây điều mà nhắc nhở cho học sinh "sự linh hoạt" giải toán thơng qua ví dụ đơn giản, quan trọng là: GV cần làm cho HS tự nhận xét rút kinh nghiệm cho Khơng phải thầy trò giải xong tốn xong! Như học có lẽ thành cơng chăng? Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 9: (Đề thi thức THPTQG 2017 M102 C37) Cho x, y số thực lớn thoả mãn: x + 9y = 6xy Tính giá trị biểu thức M = + log12 x + log12 y log12 (x + 3y ) A M = B M = C M = D M = Hướng dẫn Biến đổi giả thiết x + 9y = 6xy ⇔ (x + 3y ) = 12xy (*) Và biến đổi M = log12 12xy log12 (x + 3y ) = Chọn B Lời bình Cách giải tương đối khái quát, hướng giả thiết kết luận đến "điểm chung" Ngồi ta nhìn nhận giả thiết tính đẳng cấp để rút ẩn thế: x − 6xy + 9y = 2 ⇔ (x − 3y ) = ⇔ x = 3y , vào M, ta có M = + log12 3y + log12 y log12 6y = log12 (6y ) log12 6y = Hoặc sử dụng máy tính Casio, cho y = 1, x = tính M Câu 10: (Đề thi thức THPTQG 2017 M102 C46) Xét số thực dương a, b thỏa mãn log2 − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ Pmin a +b P = a + 2b A Pmin = 10 − B Pmin = 10 − C Pmin = 10 − D Pmin = 10 − Câu 11: (Đề thi thức THPTQG 2017 M103 C32) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log (x − 2x − m + 1) có tập định ℝ A m ≥ B m < C m ≤ D m > Hướng dẫn Yêu cầu toán x − 2x − m + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ (x − 1) > m, ∀x ∈ ℝ (*) Dễ thấy (*) m < Chọn B Lời bình Bài tốn trường hợp "đặc biệt" bất phương trình bậc hai Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Để giải ta "đặc biệt" cho x = đáp án Nói cách khái quát hơn: mà giả thiết đặc biệt hóa ta đặc biệt hóa theo giả thiết để giải tốn Câu 12: (Đề thi thức THPTQG 2017 M103 C42) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log22 x − log2 x + 3m − < có nghiệm thực B m < A m < C m < D m ≤ Hướng dẫn Đặt log2 x = t ⇒ t − 2t + 3m − < ⇒ (t − 1) < − 3m Để bất phương trình có nghiệm ta có − 3m > ⇔ m < Chọn A Lời bình Đây minh chứng cho nhận xét câu 11, cho t = ta có đáp án Ngồi ta lưu ý là: hàm số logarit có tập giá trị ℝ nên không cần điều kiện cho t trường hợp này, mà khơng có điều kiện khác mẫu thức, bậc chẵn, log2 x = t ⇔ x = 2t > , tồn t cho ta x tương ứng dương Một số học sinh đặt điều kiện cho x trước tiên x > khơng cần thiết Câu 13: (Đề thi thức THPTQG 2017 M103 C50) Xét hàm số f (t ) = 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị 9t + m tham số m cho f (x ) + f (y ) = với số thực x , y thỏa mãn e x +y ≤ e (x + y ) Tìm số phần tử S B A C Vô số D Hướng dẫn Trước hết ta xét hàm số g (t ) = et − et ⇒ g ' (t ) = e t − e = ⇔ t = 1; g '' (t ) = et > Từ suy t = điểm cực tiểu g (t ) , hay g (t ) ≥ g (1) = 0, ∀t ∈ ℝ ⇔ e t ≥ et, ∀t ∈ ℝ Vậy giả thiết e x +y ≤ e (x + y ) xảy x + y = Tiếp theo ta có phương trình: f (x ) + f (1 − x ) = 1, ∀x ∈ ℝ ⇔ 9x 91−x + =1 + = 1, ∀x ∈ ℝ Đặc biệt cho x = , ta x 1−x +m +m 9+m + m2 ⇒ m2 = ⇒ + m2 = m + m2 ⇒ m = ± + m2 + m2 Thử lại với m = Vậy S = { 9x 91−x 9x 9x + = + = + = 1, ∀x ∈ ℝ x 1−x x x x +3 +3 + + 3.9 + 3 + 9x } 3; − Chọn D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Lời bình Chúng ta xuất phát từ giả thiết cuối e x +y ≤ e (x + y ) để giải toán, mong tìm mối liên hệ x y hệ thức f (x ) + f (y ) = phương trình hai ẩn có tham số Trong q trình giải tốn có tham số nhiều ta đổi vài trò ngược lại: tham số ẩn cần tìm, ẩn lại xem tham số thỏa mãn điều kiện định Câu hỏi là: Chúng ta giải (hay mò) tốn máy tính Casio hay khơng? Câu trả lời Xuất phát từ điều kiện đặc biệt cho dấu xảy e X +Y − e (X + Y ) = , dùng Shift Solve máy hỏi Y, ta cho Y tùy ý, chẳng hạn Y = 1, tìm X = Sau nhập điều 9X 9Y kiện X + − , M Shift Solve nhập M = 0.5 tìm M = 1,7320508 Và Shift +M2 9Y + M Solve nhập M = - 0.5 tìm M = -1,7320508 (nhớ để X, Y cố định) Vậy m = ± Câu 14: (Đề thi thức THPTQG 2017 M104 C31) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình 9x − 2.3x +1 + m = có hai nghiệm thực x 1, x thỏa mãn x + x = A m = B m = − C m = D m = Câu 15: (Đề thi thức THPTQG 2017 M104 C40) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log (x − 2x + m + 1) có tập định ℝ A m = m < −1 C m > B < m < D m > Câu 16: (Đề thi thức THPTQG 2017 M104 C46) Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x 1, x phương trình log2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x 1x > x 3x Tìm giá trị nhỏ S S = 2a + 3b A S = 30 B S = 25 C S = 33 D S = 17 Hướng dẫn Điều kiện để hai phương trình có nghiệm phân biệt ∆ = b − 20a > ⇔ b > 20a Đến ta sử dụng định lý Viet giả thiết: x 1x > x 3x ⇒ ln x + ln x > ln x + ln x hay đổi số vế phải ln x + ln x > log x + log x log e ⇒− b b > − ln 10 ⇔ a > ≈ 2,17 a ln 10 Vì a ∈ ℕ * nên a = Mà b > 20a = 60 nên bmin = Suy S = 30 Chọn A Lời bình Vì thi trắc nghiệm nên ta bỏ qua số lập luận a, b ∈ ℕ* , ∆ > nên nghiệm x 1, x Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung khác nhau, x , x khác số dương Do lấy logarit vế thỏa mãn tồn Nếu giải lập luận q đầy đủ chặt chẽ khơng đủ thời gian giấy nháp (khoảng 20 trang cho thi!) Tuy nhiên dạy học hay ôn tập cho học sinh cần nhắc nhở thêm lấy ví dụ phản chứng Qua nhiều toán khác, thấy cần làm cho học sinh thấy mở rộng ứng dụng định lý Viet chỗ: Định lý Viet áp dụng khái quát phương trình có ẩn u (x ) hay u (x , y ) dạng au + bu + c = Ý nghĩa là: không cần chuyển đổi trực tiếp biến, cụ thể ta hay áp dụng với a u(x ) loga u (x ) Câu 17: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2018 C27) Tổng giá trị tất nghiệm phương trình log x log x log 27 x log 81 x = A 82 B 80 C D Hướng dẫn Viết lại phương trình log x ) = ⇒ log x = ± ⇒ x = , x = Chọn A ( 24 Câu 18: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2018 C34) Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16x − 2.12x + (m − 2).9x = có nghiệm dương? A B C D Hướng dẫn x x x 16 12 4 Viết lại phương trình thành − + m − = ⇒ − m = (t − 1) , t = > Từ suy − m > ⇒ m < ⇒ m ∈ {1;2} Chọn B Lời bình Bài tốn u cầu "có nghiệm dương" "cả hai nghiệm dương" Bởi m < t = + − m > thỏa mãn toán Câu 19: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2018 C42) Cho dãy số (un ) thỏa mãn log u1 + + log u1 − log u10 = log u10 un+1 = 2un với n ≥ Giá trị nhỏ n để un > 5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Hướng dẫn Đặt + log u1 − log u10 = t ≥ , ta phương trình t + t − = ⇒ t = Mặt khác un+1 = 2un nên (un ) cấp số nhân công bội q = Khi ta có: Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung ( + log u1 − log u10 = ⇒ log (10u1 ) − log u1 29 ) = ⇒ 10u1 = 218.u12 ⇒ u1 = 10.2−18 Suy un = 10.2−18.2n−1 > 5100 ⇔ 2n−18 > 599 ⇒ n > 18 + 99 log2 ≈ 247, 87 Vậy số n nhỏ 248 Chọn B Lời bình Đối với số học sinh thấy "biểu thức cồng kềnh" sinh tâm lí "e ngại" giải tốn Vì để tránh tâm lí giáo viên lấy hay tương tự để rèn luyện cho em, điều quan tâm là: nhấn mạnh bước giải cách "tường minh" em khơng "đáng ngại" với dạng toán trên: - Đầu tiên "giải phương trình vơ tỉ bình thường" ta làm thôi! - Thứ hai "dãy số cho gì?" suy số hạng tổng quát? - Cuối "cho dãy thỏa mãn điều kiện" Trên kiến thức kỹ có liên quan phối hợp toán Để rèn luyện cho HS, ta lấy dãy đơn giản, phương trình vơ tỉ nhẹ nhàng, giảm bớt điều kiện Câu 20 (Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C34) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16x − m x +1 + 5m − 45 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A 13 B C D Hướng dẫn Đặt x = t > ta có phương trình bậc hai t − 4mt + 5m − 45 = , để có hai nghiệm dương phân biệt ta sử dụng điều kiện tổng, tích delta dương, nhiên ta biến đổi 45 − m > 2 tiếp: (t − 2m ) = 45 − m suy điều kiện ⇒ m ∈ {4; 5; 6} Chọn B 5m − 45 > 0, 4m > Câu 21 (Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C44) Cho a > , b > thỏa mãn log 3a +2b +1 (9a + b + 1) + log6ab +1 (3a + 2b + 1) = Giá trị của a + 2b bằng A B C D Hướng dẫn Để cho gọn ta ký hiệu m = 3a + 2b + > có logm (9a + b + 1) + = Đây logm (6ab + 1) phương trình hai ẩn nên ta đánh giá: (9a + b ) + ≥ 6ab + từ ta có: ( ) = logm 9a + b + + 1 ≥ logm (6ab + 1) + ≥ , dấu có logm (6ab + 1) logm (6ab + 1) 9a = b ⇔ log m (6ab + 1) = Fb: Diendangiaovientoan 3a = b ⇔ 6ab + = m = 3a + 2b + a = Chọn C b = GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 22 (Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C46) Cho phương trình 5x + m = log5 (x − m ) với m là tham sớ Có giá trị ngun m ∈ (−20;20) để phương trình cho có nghiệm? A 20 B 19 C D 21 Hướng dẫn Nhận xét phương trình vừa chứa logarit, vừa chứa mũ nên ta chuyển biến trung gian: Đặt log5 (x − m ) = t ⇔ x − m = 5t ⇔ x = m + 5t Thay vào phương trình ta có 5x + m = t x = m + 5t ta hệ phương trình ⇒ x − t = 5t − 5x ⇒ x + 5x = t + 5t Mà hàm số t = m + 5x x f (x ) = x + đồng biến (vì f ' (x ) = + 5x ln > ) suy x = t ⇒ x = m + 5x hay ta có m = x − 5x = g (x ) Ta có g ' (x ) = − 5x ln = ⇔ x = − log5 (ln 5) = α , g '' (x ) = −5x (ln 5) nên α điểm cực đại g (x ) Từ ta có m ≤ g (α ) ≈ −0, suy m ∈ {−19; −18; ; −1} Vậy chọn B Lời bình Đây tốn dài, ta phải chuyển hệ đối xứng loại II Sau sử dụng PP hàm số để giải vòng quanh hai lần Các câu khác mã đề thi năm 2018 giải tương tự Câu 23 (Đề thi thức THPTQG 2018 M102 C35) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 25x − m 5x +1 + 7m − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử ? A B C Câu 24 (Đề thi thức THPTQG 2018 M102 C37) D Cho a > , b > thỏa mãn log10a +3b +1 (25a + b + 1) + log10ab +1 (10a + 3b + 1) = Giá trị a + 2b A B C 22 D 11 Câu 25 (Đề thi thức THPTQG 2018 M102 C45) Cho phương trình 3x + m = log3 (x − m ) với tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−15;15) để phương trình cho có nghiệm? A 16 B C 14 D 15 Câu 26 (Đề thi thức THPTQG 2018 M103 C33) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m chho phương trình x − m 2x +1 + 2m − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử ? A B C D Câu 27 (Đề thi thức THPTQG 2018 M103 C37) Cho a > 0, b > thỏa mãn log 4a +5b +1 (16a + b + 1) + log 8ab +1 (4a + 5b + 1) = Giá trị a + 2b A Fb: Diendangiaovientoan B C 27 D 20 GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 28 (Đề thi thức THPTQG 2018 M103 C42) Cho phương trình 7x + m = log7 (x − m ) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−25;25) để phương trình ch có nghiệm? C 24 A B 25 Câu 29 (Đề thi thức THPTQG 2018 M104 C28) D 26 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m cho phương trình 9x − m.3x +1 + 3m − 75 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử ? A B C 19 D Câu 30 (Đề thi thức THPTQG 2018 M104 C48) Cho phương trình 2x + m = log2 (x − m ) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−18;18) để phương trình cho có nghiệm ? A B 19 C 17 D 18 Câu 31 (Đề thi thức THPTQG 2018 M104 C50) Cho a > , b > thỏa mãn log2a +2b +1 (4a + b + 1) + log 4ab +1 (2a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b 15 A B C D Câu 32: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2019 M001 C31) Tổng tất nghiệm phương trình log (7 − 3x ) = − x B A C D Hướng dẫn Mũ hóa ta phương trình − 3x = 32−x = x +x x + x = log 3 ( ⇔ 3x x ( ) − 7.3x + = Ta có: ) = log 3 = log = Chọn A x x Câu 33: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2019 M001 C39) Cho hàm số y = f (x ) Hàm số y = f ′ (x ) có bảng biến thiên sau Bất phương trình f (x ) < ex + m với x ∈ (−1;1) A m ≥ f (1) − e B m > f (−1) − e C m ≥ f (−1) − e D m > f (1) − e Hướng dẫn Xét hàm số g (x ) = f (x ) − ex , x ∈ (−1;1) có g ' (x ) = f ' (x ) − ex < 0, ∀x ∈ (−1;1) nên Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung 1 suy max g (x ) < g (−1) = f (−1) − , từ g (x ) < m, ∀x ∈ (−1;1) ⇒ m ≥ f (−1) − (−1;1) e e Vậy chọn C Lời bình: Có thể nhiều học sinh chọn đáp án B, giả thiết x ∈ (−1;1) khơng có dấu Chúng ta cần phân tích cho em thấy là: m a, g (x ) < a bất đẳng thức g (x ) < m Câu 34 (Đề thi thức THPTQG 2019 M101 C39) Cho phương trình log9 x − log3 (3x − 1) = − log m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm A B C Hướng dẫn D Vô số x Khi ta có − log m = log x − log (3x − 1) = log 3x − 1 x 3x − 1 = ⇔m= = − , x > ⇒ < m < Vì m nguyên nên chọn A m 3x − x x Câu 35 (Đề thi thức THPTQG 2019 M101 C50) Điều kiện x > ( ) Cho phương trình log22 x + log2 x − 7x − m = ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt A 49 B 47 C Vô số D 48 Hướng dẫn Trước hết ta xét phương trình: log x + log2 x − = ⇔ 2 Và log2 x = log2 x = − x =2 (*) 5⇔ − x =2 =α x − m = ⇒ x = log m, m ∈ ℕ * Đến theo yêu cầu toán ta xét: x = log m = 0 < x = log m < 7 ⇔ m = 49 Hoặc ⇔ m ∈ {3; 4;5; ; 48} α α 7 − m < 7 − m < Vậy m ∈ {3; 4; 5; ; 48; 49} Chọn B Nhận xét: Các câu khác mã đề thi năm 2019 ta giải tương tự Câu 36 (Đề thi thức THPTQG 2019 M102 C37) Cho phương trình log9 x − log (6x − 1) = − log3 m (m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số Câu 37 (Đề thi thức THPTQG 2019 M102 C47) ( ) Cho phương trình log22 x − log2 x − D 3x − m = (m tham số thực) Có tất giá trị ngun dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 79 B 80 C Vơ số D 81 Câu 38 (Đề thi thức THPTQG 2019 M103 C36) Cho phương trình log9 x − log (5x − 1) = − log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm A Vơ số B C Fb: Diendangiaovientoan D GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 39 (Đề thi thức THPTQG 2019 M103 C46) ( ) Cho phương trình log23 x − log x − 5x − m = (m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có nghiệm phân biệt? B 125 C Vô số D 124 A 123 Câu 40 (Đề thi thức THPTQG 2019 M104 C36) Cho phương trình log9 x − log3 (4x − 1) = − log3 m (m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vơ số Câu 41 (Đề thi thức THPTQG 2019 M104 C48) ( ) Cho phương trình log23 x − log x − D 4x − m = ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt C 63 D 64 A Vô số B 62 II CÁC BÀI TOÁN CỦA CÁC TRƯỜNG THPT Câu 42: Cho log9 x = log12 y = log16 (x + y ) Giá trị tỉ số A 3− B 3+ x y −1 C Hướng dẫn D −1 − t x 3 Đặt log9 x = log12 y = log16 (x + y ) = t ⇒ x = , y = 12 , x + y = 16 Ta cần tính = y t 2t t t t t 3 3 3 −1 + Mà ta có + 12 = 16 ⇔ + − = ⇔ = Chọn C t t t Câu 43: Xét số thực dương a, b thỏa mãn log9 a = log 12b = log 15 (a + b ) Mệnh đề đúng? A a ∈ (3;9) b B a ∈ (0;2) b C Hướng dẫn a ∈ (2; 3) b D a ∈ (9;16) b Giải tương tự câu 42 Câu 44: (THTT – 477) Nếu log8 a + log4 b = log4 a + log8 b = giá trị ab A 29 B 218 C Hướng dẫn D x + y = x = ⇔ Đặt log a = x , log2 b = y ⇒ ab = 2x +y Mặt khác ta có hệ: Chọn A y = x+ y=7 Câu 45: Gọi x, y số thực dương thỏa mãn log9 x = log6 y = log4 (x + y ) với a, b hai số nguyên dương Tính a + b A 11 B Fb: Diendangiaovientoan C −a + b x , = y D GV: Nguyễn Xuân Chung Hướng dẫn Giải tương tự câu 42 Câu 46: (THPT Triệu Sơn Thanh Hóa) x + y x Tính tỉ số Gọi x, y số thực dương thỏa mãn log9 x = log6 y = log y A B C D Hướng dẫn Giải tương tự câu 42 Câu 47: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a thức A = a A 519 (log3 7) Biến đổi a +b (log3 7) (log7 11) ( = a log11 25 (log11 25) (log log3 ) = 27,b log7 11 = 49, c log11 25 = 11 Giá trị biểu 25) là: + c 11 B 729 log3 log3 = 27 log3 C 469 Hướng dẫn = Tương tự: b ( D 129 log7 11) = 49 log 11 = 112 c = 11 = 25 = Vậy A = + 112 + = 469 Chọn C Lời bình Trên ta sử dụng cơng thức lũy thừa lũy thừa công thức logarit ( ) n a mn = a m ( ) = an m ; a log a x =x b Câu 48: Cho a > 0, a ≠ 1;b > thỏa mãn loga b = m Giá trị biểu thức A = log b tính a a theo m là: 2m + 2m − 2m + 2m − A B C D 3m + 3m − 3m + 3m − Hướng dẫn Bài giải tương tự câu câu Chúng ta làm sau: Ta thấy biểu thức logarit có bậc hai bậc ba nên chọn a = n , < n ≠ ta có n 2m 2m − b = a m = n 6m ⇒ A = log n m = logn 3m −6 n 2m −3 = Chọn D m − n n6 ( ) Câu 49: Tổng tất nghiệm phương trình log2 (11 − 2x ) = − x A B C D Câu 50: Biết phương trình log3 (3x +1 − 1) = 2x + log có hai nghiệm x 1, x Hãy tính tổng S = 27 + 27 A S = 252 x1 x2 B S = 45 C S = Hướng dẫn 2x −log3 Phương trình tương đương với 3x +1 − = D S = 180 ⇔ 3.3x − = 32x Đặt 3x = t > x x ⇒ 3t − = t ⇒ t − 6t + = Ta có 27 + 27 = t13 + t23 = (t1 + t2 ) − 3t1t2 (t1 + t2 ) Nên S = 63 − 3.6.2 = 180 Chọn D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 51 Biết phương trình log3 (32x −1 − 3x −1 + 1) = x có hai nghiệm x 1, x (với x < x ) Tính giá trị biểu thức P = x x 31 − 32 B + A − Phương trình tương đương với C − Hướng dẫn D + 2x x − + = 3x ⇔ 32x − 4.3x + = Đặt 3x = t > 3 ⇒ t − 4t + = ⇒ t1 = 1, t2 = Ta có P = 3x1 − 3x2 = t1 − t2 = − Chọn A Câu 52 Tổng tất nghiệm phương trình (log9 x ) = log3 x log3 A B D log3 x ) = log3 x log3 ( log x = x = ⇔ ⇔ ⇔ log x = log x = 2x + − , x > x + − 3 x = x = ⇔ ⇔ Chọn D x = x − 4x = 0, x > ) ( ( Câu 53 Cho phương trình x x −3 −3 ) x −3 nghiệm phương trình B A Đặt x −3 ) 2x + − C Hướng dẫn Biến đổi phương trình tương đương với ( ( )= x −3 +1 −3 ( ) 2x + − x = 2 2x + = x + 2, x > x −3 +1 + x − 18 Tổng tất C 11 Hướng dẫn D a = = a > 0, x = b ⇒ b a − a = 3a − 3a + 6b − 18 ⇔ a − a − (b − 3) = ⇒ b = x − = 1, x > ⇒ ⇒ x = ( ) ( ) x = Chọn C x = Câu 54 Tổng tất nghiệm phương trình 9x − (x + 5).3x + (2x + 1) = A B 12 C Hướng dẫn D a = Đặt 3x = a > 0, 2x + = b ⇒ a − (b + 9)a + 9b = ⇔ (a − 9)(a − b ) = ⇒ a = b x = x = Chọn A ⇒ ⇒ x + = x x = 0, x = Lưu ý: Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Để giải phương trình 2x + = 3x ta cần khảo sát hàm số f (x ) = 3x − 2x − Câu 55 Tổng tất nghiệm phương trình 32x −x +2 − 3x A B C −1 Hướng dẫn 3 +2x + x − 3x + = D −2 Biến đổi phương trình tương đương với 3u − 3v + u − v = ⇔ 3u + u = 3v + v ⇔ u = v x = − ⇔ x − 3x + = ⇔ Chọn C x = Câu 56 Phương trình log22 (3x − 1) + log2 (3x − 1) − = có nghiệm x ; x (x < x ) a a x − x = log với a,b ∈ ℤ , b > phân số tối giản Tính a − b b b B a − b = A a −b = −5 C a − b = −20 Hướng dẫn t = −3 Đặt log2 − = t ⇒ t + 2t − = ⇔ ⇔ t2 = ( x ) D a −b = −1 x = log 3x = + 1 ⇔ x x = log = + 3 Suy x − x = log3 = log3 ⇒ a − b = −5 Chọn A 8.3 Câu 57 Tổng tất nghiệm phương trình 7x −1 − log7 (6x − 5) = A B C Hướng dẫn D Biến đổi phương trình tương đương với 7x −1 − log7 (6x − 5) = Đặt x − = u, log7 (6x − 5) = v ⇒ 6x − = 7v ⇔ (x − 1) + = 7v ⇒ = 7v − 6u ta có phương trình 7u − 6v = 7v − 6u ⇔ 7u + 6u = 7v + 6v Hàm số f (t ) = 7t + 6t đồng biến ℝ nên từ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ = 7u − 6u Hàm số g (t ) = 7t − 6t có ; g '' (t ) = 7t (ln 7) > t điểm cực tiểu, g ' (t ) = 7t ln − = ⇔ t0 = log7 ln g (0) = g (1) = nên phương trình = 7u − 6u có hai nghiệm u = 0, u = ⇔ x = 1, x = Chọn A Câu 58: Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (−40; 40) để hàm số sau y= x xác định với x ∈ (2; +∞) ? 2 + log − − + x m x m x m ( ) ( ) Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung A 50 B 40 C 21 Hướng dẫn D 41 + Trước hết x + 2m ≠ 0, ∀x > ⇒ m ≥ −1 + Mặt khác x − (4m − 2) x + 4m > 0, ∀x > ⇔ (x + 2m ) > −2x , ∀x > (luôn đúng) Vậy ta có m ∈ {−1; 0;1;2; ; 39} Chọn D Câu 59: Đồ thị hàm số y = f (x ) đối xứng với đồ thị hàm số y = a x (a > 0, a ≠ 1) qua điểm I 1;1 Giá trị biểu thức f 2 + loga 2018 ( ) A 2016 B − 2016 C 2020 D − 2020 Hướng dẫn ( ) ( ) Lấy điểm M x ;a x thuộc đồ thị y = a x (a > 0, a ≠ 1) , tọa độ M ' − x ;2 − a x thuộc đồ thị y = f (x ) Nói cách khác: ta lấy X = − x f (X ) = − a x Đặt t = loga 2018 ⇒ loga = f (X ) với X = − t , vậy: = −t giá trị f 2 + loga 2018 2018 f (X ) = − a t = − a loga 2018 = − 2018 = −2016 Chọn B ( Câu 60: Gọi S = −∞; a + b , a, b ∈ ℚ tập giá trị tham số thực m để hàm số y = x + ln (x + m + 2) đồng biến tập xác định Tính tổng K = a + b B K = A K = − Tính đạo hàm y ' = 2x + C K = Hướng dẫn D K = , x ∈ (−m − 2; +∞) Yêu cầu toán tương đương với: x +m +2 2x (x + m + 2) + ≥ ⇔ 2x + (m + 2) x + ≥ 0, ∀x > −m − (1) + Trường hợp 1: ∆ ' = (m + 2) − ≤ ⇔ −2 − ≤ m ≤ −2 + Khi (1) ln + Trường hợp 2: Khơng cần xét tìm m ≤ −2 + Ta có a = −2, b = ⇒ K = a + b = Chọn B Câu 61: Hàm số y = log2 (4x − 2x + m ) có tập xác định ℝ A m ≥ B m > C m < D m > Câu 62: Tìm tất giá trị m để hàm số y = log2020 (2020x − x − x thuộc 0; +∞) Fb: Diendangiaovientoan x2 − m ) xác định với GV: Nguyễn Xuân Chung A m > 2019 B m < C < m < 2019 Hướng dẫn D m < 2020 x2 − m, x ∈ 0; +∞) ⇒ f ' (x ) = 2020x ln 2020 − − x 2 x f '' (x ) = 2020 (ln 2020) − > 0, ∀x ≥ nên hàm số f ' (x ) đồng biến 0; +∞) , suy ra: f ' (x ) ≥ f ' (0) > f (x ) đồng biến 0; +∞) Do f (x ) = f (0) = − m Vậy y = log2020 f (x ) xác định với x thuộc 0; +∞) − m > ⇔ m < Chọn B Lời bình: Bài tốn ta dùng đạo hàm cấp cao để xét dấu đạo hàm cấp thấp, xét tính đơn điệu hàm số Xét hàm số f (x ) = 2020x − x − ( ) ( ) Câu 63: Cho hàm số f (x ) = 2e −x − log m x + − mx Có giá trị nguyên m để bất phương trình f (x ) + f (−x ) ≥ với ∀x ∈ ℝ ? A 21 B C Vô số Hướng dẫn D 22 Xét bất phương trình: f (x ) + f (−x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ( ⇔ 2e−x + 2e x − log m x + − mx ) ( − log m x + + mx ) m m x + − mx > + Ta phải có điều kiện , ∀x ∈ ℝ ⇔ m x + + mx > m + Ta có ( ( ≥ , ∀x ∈ ℝ (1) ) , ∀x ∈ ℝ (*) + + x) > x2 + − x > x2 x + > x = x , ∀x ∈ ℝ nên từ (*) suy m > ( ) ( )( ) Khi (1) ⇒ e −x + e x − log m x + − mx m x + + mx ≥ , ∀x ∈ ℝ ( ) ( ) ⇒ e −x + e x − log m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ log m ≤ ( −x e + e x , ∀x ∈ ℝ (2) ( ) ) Mà ta có e −x + e x ≥ e −x e x = nên để (2) ∀x ∈ ℝ log m ≤ ⇒ < m ≤ 100 Yêu cầu m nguyên nên ta m ∈ {1;2; 3; 4} Chọn B Câu 64: (THPT Chuyên ĐH Vinh) Cho số thực m hàm số y = f (x ) liên tục ℝ, có đồ thị hình bên Phương trình f (2x + 2−x ) = m có nhiều nghiệm thuộc đoạn −1;2 ? A B C D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Hướng dẫn 1 Trước hết ta đặt 2x = u; x ∈ −1;2 ⇒ u ∈ ; 4 , ta đặt t = 2x + 2−x = u + , ta có: 2 u t ' (u ) = − 17 2; Bây xét phương trình f (t ) = m với t ∈ 2; 17 u , suy = ⇔ = t ∈ 4 4 u2 Từ đồ thị suy phương trình có nhiều hai nghiệm t Trở ẩn x ta có phương trình t = 2x + ⇔ 2x x 2 ( ) 2x = t + x − t + = ⇒ 2x = t − t2 − suy có nhiều nghiệm x t2 − Chọn C Câu 65 Cho hàm số y = f (x ) liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá 1 trị nguyên m để phương trình f (2 log2 x ) = m có nghiệm ;2 A B C Hướng dẫn D 1 Đặt log2 x = t ; x ∈ ;2 ⇒ t ∈ −2;2) với t cho ta giá trị x = 2t Bây m = ta xét f (t ) = m, t ∈ −2;2) có nghiệm t −2 ≤ m ≤ Suy giá trị nguyên m m ∈ {−2; −1; 0;1;2;6} Chọn B Câu 66 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm f '( x ) sau: Hàm số y = g (x ) = f (2x − 4) − e ( ) A 1; Fb: Diendangiaovientoan x −2x +3 x −1 B (3; +∞) đồng biến khoảng đây? ( ) C −∞ ;1 7 D 1; GV: Nguyễn Xuân Chung Hướng dẫn ( ) Đạo hàm g ' (x ) = f ' (2x − 4) − x − 4x + e x −2 x +3x −1 mục tiêu tìm khoảng mà f ' (2x − 4) − (x − 4x + 3) dương Trong − (x − 4x + 3) > ⇔ x ∈ (1; 3) kiểm tra thêm f ' (2x − 4) > 0, x ∈ (1; 3) ⇔ f ' (t ) > 0, t ∈ (−2;2) Vậy chọn A Lời bình Cách giải tự nhiên lẽ xét dấu tích dương hai số hai thừa số dấu, xét dấu tổng ta thử tương tự, ngồi có khoảng cho tốn nên ta dễ thử Tuy nhiên tùy trường hợp, chẳng hạn: a = 5, b = −2 trái dấu tổng a + b = > Cách tốt tìm nghiệm biểu thức lập bảng xét dấu Câu 67: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên hình x y' bên Có số m nguyên để phương trình log6 2 f (x ) + m = log4 f (x ) có nghiệm phân y biệt? A B C 16 D 15 Hướng dẫn −∞ + −1 16 − +∞ + 12 Đặt f (x ) = y log6 (2y + m ) = log4 y = t suy ra: 2y + m = 6t , y = 4t ⇔ m = 6t − 2.4t Mà từ bảng biến thiên ta có < y = 4t ≤ 16 ⇒ t ≤ ta xét g (t ) = 6t − 2.4t , t ≤ có: ln16 = α ≈ 1, 08 Suy bảng biến thiên: g ' (t ) = 6t ln − 2.4t ln = ⇔ t = log ln t g' t () () −∞ α − + 20,14 g t −2, 01 Với giá trị t cho ta giá trị y , từ y ta suy số nghiệm Vì m ∈ ℤ ta xét y = + Nếu m = −2 ⇒ t = 1, t = 1,14 ⇒ y ≈ 4, y = + Nếu m = −1 ⇒ t = 0, t = 1, 56 ⇒ y ≈ 8, phương trình f (x ) = y có nghiệm x phương trình f (x ) = y có nghiệm x + Nếu m = ⇒ t = 1, ⇒ y ≈ 10, 56 phương trình f (x ) = y có nghiệm x + Nếu m = ⇒ t = 1, ⇒ y ≈ 12,13 phương trình f (x ) = y có nghiệm x { } Tương tự m ∈ 2; 3; phương trình f (x ) = y có khơng q nghiệm x Vậy có m = −1 thỏa mãn tốn Chọn A Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 68: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x −1 = 2m − có nghiệm A m = B m ≥ 1 C m > Hướng dẫn D < m ≤ Nhận xét x nghiệm − x nghiệm, nên ta phải có x = − x x = nghiệm nhất, suy 2m − = ⇔ m = Chọn A Lời bình Ta giải theo cách thông thường sau: Trước hết để phương trình có nghiệm 1 x −1 2m − > Khi ta có: = ⇔ x − = log3 ⇔ x = ± log3 sau 2m − 2m − 2m − 1 1 = − log3 ⇔ log2 = ⇔ m = cho hai nghiệm trùng nhau: + log3 2m − 2m − 2m − Giá trị m = thỏa mãn điều kiện Vậy chọn A Câu 69: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình 2x + x = m có nghiệm A m = B m ∈ ∅ C m > Câu 70: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình ( D m ∈ ℝ ) log x − 4x + = m có nghiệm kép A m = log2 B m = C m = log D m ∈ ∅ Hướng dẫn Viết lại log (x − 4x + 6) = m ⇔ log (x − 2) + 2 = m , nghiệm kép x = nên ta có m = log Chọn C Câu 71: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình log2 x + log2 (x + 1) = m có nghiệm A m ∈ ℝ B m ∈ ∅ C m > D m > Câu 72: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình log3 (x + 1) + log3 (x − 3) = m có nghiệm kép A m ∈ ∅ B m ∈ ℝ C m > Hướng dẫn D m = − Điều kiện: x > Viết lại m = log (x + 1)(x − 3) = log (x − 2x − 3) suy nghiệm kép x = không thỏa mãn Chọn A Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 73: Với giá trị tham số m phương trình 4x − m.2x +1 + 2m = có hai nghiệm x 1, x thoả mãn x + x = ? A m = B m = C m = D m = Câu 74: Cho phương trình log22 x − (m − 3m ) log2 x + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x 1x = 16 m = A m = m = −1 B m = m = −1 C m = m = D m = −4 Câu 75: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log23 x − log3 x + 2m − = có hai nghiệm thực x ; x thỏa mãn (x + 3)(x + 3) = 72 A m = 61 B m = C m ∈ ∅ D m = Hướng dẫn Đặt log3 x = t ⇒ t − 3t + 2m − = Giả sử toán thỏa mãn x < x , viết lại điều kiện ⇔ x 1x + (x + x ) = 63 , x 1x = 1.3 = t t t +t2 = 33 = 27 , suy ra: x + x = 12 suy x = 3, x = Cuối 2m − = t1t2 = log 3 log = ⇔ m = Vậy chọn D Lời bình Ta giải cách khác sau: Giả sử tồn m thỏa mãn toán Viết lại 3 log x − = 37 − 2m = a ⇒ log x = ± a hay ta có x = − a , x = + a Viết lại điều 3 2 kiện ⇔ x 1x + (x + x ) = 63 ta có: 3− + 3 3 ⇔ x1 = a − a +3 + a − = 63 ⇔ =3⇔ a +3 + a x x = 27 x = = 12 Hay ta có ⇔ x + x = 12 x = 37 − 2m = ⇔ m = − a = ⇔ a = Trở ẩn m ta có 4 Câu 76: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x − log (x + 1) = m có hai nghiệm thực phân biệt A −1 < m ≠ B m > −1 C m ∈ ∅ D −1 < m < Hướng dẫn Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Xét hàm số f (x ) = x − log3 (x + 1) , x > −1, x ≠ ⇒ f ' (x ) = + (x + 1) ln log (x + 1) f ' (x ) > 0, ∀x > −1, x ≠ suy f (x ) đồng biến Bảng biến thiên: x −1 +∞ +∞ +∞ f (x ) −∞ −1 Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt m > −1 Chọn B Lời bình Bài tốn cho dạng đa thức logarit cô lập m, nên ta việc khảo sát hàm số Xin lỗi q thầy bạn đọc ban đầu tơi nhẩm đạo hàm thấy dương mà qn cho f (x ) dương đơn điệu tập xác định, khơng thể cắt y = m hai điểm chọn đáp án C Ngoài cách giải biến đổi khảo sát tương giao đồ thị khác nhau, nhiên độ phức tạp không giảm Câu 77: Cho phương trình x − ax + b = Biết a, b thuộc đoạn 2;10 phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn A loga x2 x1 = x2 logb x1 Có cặp số nguyên (a;b ) ? B C 10 D 14 Hướng dẫn log x = x = ⇔ Từ điều kiện suy loga x loga x = loga x logb x ⇔ a loga x = logb x a = b + Nếu a = b ta có phương trình x − ax + a = có hai nghiệm a − 4a > ⇒ a > Khi cặp (a; a ) ∈ {(5;5), (6; 6), (7;7), (8, 8), (9; 9), (10;10)} Có cặp loại + Nếu x = x = b & a = b + Khi cặp (b + 1;b ),b ∈ {2; 3; ;9} Có cặp loại Vậy tất có 14 cặp (a;b ) thỏa mãn Chọn D Câu 78: Cho phương trình log (mx − 6x ) + log (14x 2 ) + 29x − = Hỏi có giá trị nguyên m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt? A B C 18 D 15 Hướng dẫn Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Điều kiện 14x + 29x − > ⇒ x < −29 − 953 −29 + 953 ∪x > Ta có phương trình: 28 28 mx − 6x = 14x + 29x − ⇒ m = 6x + 14x + 29 − Suy f ' (x ) < 0, ∀x < a = x f' x () 2 = f (x ) Ta có f ' (x ) = 12x + 14 + x x −29 − 953 −29 + 953 ∪ f ' (x ) > 0, ∀x > b = Bảng biến thiên: 28 28 −∞ a − b + +∞ ( ) +∞ +∞ f x () () f a f b ( ) Từ suy phương trình f x = m khơng thể có ba nghiệm phân biệt Chọn A Câu 79: (THPT Chuyên ĐH Vinh) ( ) Cho phương trình 9.32x − m 4 x + 2x + + 3m + 3x + = Hỏi có giá trị m ngun để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A Vô số B Biến đổi PT ⇔ 3x +2 + C Hướng dẫn D − m x + + 3m + = Đặt x + = t ⇔ x = t − ta có phương 3x ( ( ) ) trình: 3t +1 + 31−t − m t + 3m + = (1) Nhận xét: phương trình (1) có nghiệm t0 có nghiệm −t0 phương trình có nghiệm trước hết phải có nghiệm t0 = −t0 lại hai nghiệm khác a −a (với a ≠ ) Khi t0 = suy ra: − m (3m + 3) = ⇒ −m − m + = ⇒ m = 1, m = −2 Ngược lại ( ) Với m = −2 , ta có phương trình: 3t +1 + 31−t + t − = ⇔ 3t +1 + 31−t − + t = ⇔ ( 3t +1 − 31−t ) +8 t = ⇔ t = ⇔ x = −1 nghiệm nhất, nên m = −2 loại Như kết hợp đáp án có m = thỏa mãn tốn Chọn C Lời bình Chúng ta kết hợp điều kiện cần phương pháp loại trừ để đưa đáp án C (vì thi trắc nghiệm) Tuy nhiên tự luận phải chứng minh điều kiện đủ, làm sau: Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung ( () ) Với m = ta có phương trình f (t ) = 3t +1 + 31−t − t + = (2) Ta thấy f t hàm số ) chẵn mà đồ thị có trục đối xứng trục tung nên ta cần xét 0; +∞ Khi ta có ( ) f ' (t ) = 31+t − 31−t ln − t ( ) có lim+ f ' (t ) = −∞; f ' (1) = ln − > nên tồn α ∈ 0;1 t→ ( ) cho f ' α = Ngoài f '' (t ) = (31+t + 31−t ) (ln 3) + t t > 0, ∀t > nên f ' (t ) = có () nghiệm α α điểm cực tiểu f t Bảng biến thiên: t () α − f' t +∞ + +∞ () f t ( ) f α ) Suy phương trình f (t ) = có hai nghiệm t = 0, t = 0; +∞ Suy ℝ phương trình f (t ) = có nghiệm phân biệt t = 0, t = 1, t = −1 ⇔ x = −1, x = 0; x = −2 Vậy m = thỏa mãn toán Bài tốn có lẽ cho học sinh để "hạn chế 10 điểm tròn" Trường Chuyên mà! (chẳng lẽ thi Olimpic hay - Thi trắc nghiệm mà làm tóm tắt trang lận!) Câu 80: Tìm tất ( giá trị thực tham số m để phương trình ) log22 x + log x − = m log x − có nghiệm thuộc 32; +∞) ? ( A m ∈ 1; ) ) ( B m ∈ 1; C m ∈ −1; Hướng dẫn D m ∈ − 3;1 Đặt log2 x = t ; x ≥ 32 ⇒ t ≥ , ta có phương trình t − 2t − = m (t − 3) ⇔ (t + 1)(t − 3) = m (t − 3) ⇒ m = t +1 = 1+ (vì t ≥ ) Từ suy ra: t −3 t −3 = Chọn A 5−3 Câu 81: (THPT Chuyên ĐH Vinh) 1 Hướng dẫn Bình phương hai vế, biến đổi ta có phương trình 2x + Fb: Diendangiaovientoan D m0 < −5 = m cos (πx ) (1) Ta có: 2x GV: Nguyễn Xuân Chung cos π (2 − x ) = cos (2π − πx ) = cos (−πx ) = cos πx từ ta có nhận xét phương trình (1) có nghiệm x có nghiệm − x để phương trình có nghiệm trước hết ta phải có x = − x ⇒ x = , = m cos (π) = −m ⇒ m = −4 Chọn B Lời bình Khi thi tự luận ta phải thực điều kiện đủ, với m = −4 ta có: 1 4 cos (πx ) = ±1 cos (πx ) = 2x + x ≥ = ⇔ x ⇔ x = nghiệm 2 = 4 Vậy m = −4 thỏa mãn toán Câu 82: Số giá trị nguyên tham số m thuộc −2020;2020 cho bất phương trình: x − 2x + m ≤ x + 4x + − m nghiệm với x ∈ 0; 4 ? log2 x + x + A 2023 B C D 2022 Hướng dẫn Vì x + x + > 0, ∀x ∈ 0; 4 nên phải có x − 2x + m > 0, ∀x ∈ 0; 4 ⇒ m − > ⇒ m > x − 2x + m ≤ 2x + 2x + − x − 2x + m ⇔ log2 u + u ≤ log2 v + v Biến đổi log2 2x + 2x + ( ) ( ) ⇔ u ≤ v ⇔ x − 2x + m ≤ 2x + 2x + ⇔ x + 4x + − m ≥ 0, ∀x ∈ 0; 4 ⇒ − m ≥ ⇒ m ≤ Kết hợp ta có m = thỏa mãn tốn Chọn B Lời bình () () Ta gặp nhiều hàm số dạng f t = a t + t, a > 1, t ∈ ℝ f t = loga t + t, a > 1, t > hàm số đồng biến tập xác định nên từ sau ta khơng trình bày lại Tuy nhiên giải tự luận bắt buộc em học sinh phải nêu ra, cho dù đạo hàm dòng Mặc dù thầy trò hiểu trình bày cho chặt chẽ theo nghĩa tốn học mà khơng bắt bẻ em làm Câu 83: (THPT CHUYÊN SƠN LA) log x + m − = ( m tham số ) Tìm m để Cho phương trình log92 x + m log x + 3 phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn x x = Mệnh đề sau ? A < m < B < m < C < m < Hướng dẫn D < m < 1 Đặt log x = t , ta có phương trình t − m + t + m − = Từ log (x 1.x ) = ⇒ t1 + t2 = ⇒ m + mãn toán Chọn C Fb: Diendangiaovientoan 2 2 = ⇒ m = , − > nên m = thỏa 3 GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 84: Cho phương trình − a − 2x = , với a tham số thực Hỏi có giá trị nguyên a ∈ −25;25 để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? x A B 50 C 24 Hướng dẫn D 48 a 2 Nhận xét x nghiệm −x nghiệm nên ta xét với x ∈ 0; Khi ta có: 2a = 2.32x + 4x = 2.3t + t , < t ≤ a < 2a ≤ 2.3 a 2 Hàm số f (t ) = 2.3t + t đồng biến nên suy ra: + 2a ⇔ a > ⇒ a < −1 ∪ a > ⇒ a ∈ {−25; −24; ;24;25} \ {0; ±1} Chọn D Câu 85: (CHUYÊN ĐH VINH) ( ) Số nghiệm phương trình log x − 2x = log x − 2x + B A ( C Hướng dẫn D ) Đặt log x − 2x = log x − 2x + = t ⇒ x − 2x = 3t , x − 2x + = 5t Dùng phép 5t = + 3t + ≥ ta có điều ta có: 5t − = 3t ⇔ t t Ta có x − 2x + = x − = 2−3 2 3 kiện cho t t ≥ log5 = α Ta có 5t ≥ , − 3t < ta có phương 2 t t trình = + có nghiệm t ≥ α (nếu có) Ngồi t = α khơng phải nghiệm ta t 3 f (t ) = 2.5 + − = hàm số nghịch biến nên có nghiệm t = > α −t Suy phương trình có hai nghiệm x = ± 14 Chọn B Lời bình Phương pháp mũ hóa ẩn chung gặp số Trong ta may mắn tìm xác nghiệm phương trình Nói chung số nghiệm phương trình đáp ứng yêu cầu toán x2 + a = 6x − x + + ln có dạng x = (a, b, c 2x b c ∈ ℕ ) Hỏi tổng a + b + c bao nhiêu? Câu 86: Nghiệm phương trình ln A B C D Hướng dẫn Viết lại phương trình ln Fb: Diendangiaovientoan x2 + x2 + − ln = 6x − x + ⇔ ln = 6x − x + 2x 6x GV: Nguyễn Xuân Chung Đặt x + = u, 6x = v ⇒ u + ln u = v + ln v Hàm số f (t ) = t + ln t đồng biến (0; +∞) nên suy u = v ⇔ x + = 3x > ⇒ x = > ⇒ a + b + c = Chọn C 2 Lời bình Ở chế độ Mode 1, sử dụng máy tính Casio chức Shift Solve ta tìm nghiệm X, sau bấm X kết cho ta khai bậc hai x = từ suy a, b, c 2 Câu 87 (THPT Chu Văn An - Hà Nội) Biết phương trình 52x + 1−2x − m.51− 1−2x số Tính giá trị b − a A = 4.5x có nghiệm m ∈ a;b , với m tham B C D Hướng dẫn Biên đổi phương trình ⇔ m = t = 5x −1+ 1−2 x ,x ≤ 52x + 1−2x − 4.5x 1− 1−2x = 52x −2+2 1 5x −1+ ⇒ t ' (x ) = 1 − − 2x 1−2x 1−2x +1 − 4.5x −1+ 1−2 x = 5t − 4t , ln = ⇔ − 2x = ⇔ x = , từ suy x = điểm cực đại t (x ) , suy t ∈ (0;1 Bây ta xét f (t ) = 5t − 4t có f ' (t ) = 10t − = ⇔ t = 2 , suy m ∈ f ; f (1) = − ;1 = a;b nên b − a = Chọn A 5 Câu 88: Cho phương trình 4x − (10m + 1).2x + 32 = Biết phương trình có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn 1 + + = Khi giá trị m thỏa mãn điều kiện nào? x x x 1x A < m < B < m < C −1 < m < Hướng dẫn D < m < Đặt 2x = t > ta có phương trình: t − (10m + 1)t + 32 = giả sử phương trình có hai nghiệm t1, t2 theo định lý Viet ta có: t1t2 = 32 ⇔ 1.2 = 25 ⇔ x + x = (1) x Biến đổi x 1 + + = ⇔ x + x + = x 1x (2) Từ (1) (2) suy x = 2, x = , x x x 1x ta có: t1 + t2 = 22 + 23 = 12 Cũng theo định lý Viet ta được: 10m + = t1 + t2 = 12 ⇒ m = 11 10 Chọn D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 89: (CHUN THÁI BÌNH) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log3 (1 − x ) + log (x + m − 4) = A −1 ⇔ m > Trước hết ta phải có điều kiện: mx + 4x + m > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 4 − m < Khi ta có bất phương trình: 7x + ≥ mx + 4x + m, ∀x ∈ ℝ 4 − (7 − m ) ≤ ⇒ −m ≥ ⇒ m ≤ (7 − m )x − 4x + − m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ 7 − m > Từ suy < m ≤ 5, m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {3; 4;5} ⇒ S = 12 Chọn C Câu 91: (THPT Chun Lam Sơn Thanh Hóa) Cho phương trình log27 2x − (m + 3) x + − m + log (x − x + − 3m ) = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn x − x < 15 ? A 14 B 11 C 12 D 13 Hướng dẫn Trước hết ta có điều kiện: x − x + − 3m > (*) Khi phương trình trở thành: 2x − (m + 3) x + − m = x − x + − 3m ⇒ x − (m + 2) x + 2m = ⇒ x = 2, x = m + Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt m ≠ ; 3 − 3m > + Thay nghiệm x = 2, x = m vào (*) ta có: ⇔ m Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung + Các nghiệm x = 2, x = m thỏa mãn x − x < 15 ⇔ m − < 15 ⇔ −13 < m < 17 Kết hợp điều kiện m ∈ ℤ ta có m ∈ {−12; −11; ; −1; 0} Chọn D Câu 92: Cho phương trình (x − 2) log4 (x + m ) = x − Có giá trị nguyên m thuộc 0;18 để phương trình cho có nghiệm dương nhất? A 18 B 16 C 17 D 19 Hướng dẫn Xét phương trình: (x − 2) log4 (x + m ) = x − Dễ thấy x = không thỏa mãn Đặt x −1 =t ≠1⇒x =2+ , với giá trị t cho ta giá trị x x −2 t −1 Vì x > nên 1 + > ⇒ t < ∪ t > t −1 = g (t ), t ≠ t −1 Khi ta có phương trình: x + m = 4t ⇒ m = 4t − − g ' (t ) = 4t ln + t (t − 1) > 0, ∀t ≠ hàm g (t ) đồng biến Bảng biến thiên: −∞ g(t) 2 +∞ +∞ −∞ −2 Kết luận: m ≥ 2, m ∈ 0;18 , m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {2; 3; 4; ;18} Vậy có 17 giá trị m Chọn C Câu 93 (THPT Chuyên Thái Bình) ( ) m để tồn cặp (x ; y ) cho x Trong tất cặp số thực x ; y thỏa mãn logx +y +3 (2x + 2y + 5) ≥ , có giá trị thực A + y + 4x + 6y + 13 − m = ? B C D Hướng dẫn 2 Vì x + y + > nên ta 2x + 2y + ≥ x + y + ⇔ (x − 1) + (y − 1) ≤ (1) 2 ( ) Mặt khác x + y + 4x + 6y + 13 − m = ⇔ (x + 2) + (y + 3) = m Xét x ; y điểm ( ) hệ trục Oxy để tồn cặp x ; y xem hai đường tròn tiếp xúc nhau, mà điểm K (−2; −3) nằm ngồi hình tròn (1) có giá trị m thỏa mãn Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 94: [TT Tân Hồng Phong] Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 22x −15x +100 − 2x A B C +10 x −50 + x − 25x + 150 < D Hướng dẫn Bất phương trình có dạng 2u − 2v + u − v < ⇔ 2u + u < 2v + v ⇔ u < v x − 25x + 150 < ⇔ 10 < x < 15 , mà x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {11;12;13;14} Chọn B Câu 95: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình log2+ (2x − x − 4m + 2m ) + log mãn x12 + x 22 = A −2 x + mx − 2m = có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa B C D Hướng dẫn Biến đổi số −2 = ( −1/2 ) +2 ( x + x − 2m = x + x − 2m 1/2 ) từ ta có phương trình: 2x − x − 4m + 2m = x + mx − 2m > ⇒ x − (m + 1) x − 2m + 2m = ( Giả sử x 12 + x 22 = ⇔ x + x ⇒ 5m + 8m − = ⇒ m = ) ( ) − 2x 1x = ⇒ (m + 1) − −2m + 3m = hay ta có −4 ± 26 ∈ I Vậy không tồn m ∈ ℤ Chọn B Câu 96: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình ( ) log22 x + log x − = m log x − có nghiệm thuộc 32; +∞) ? A B C D Hướng dẫn Xem câu 80 Câu 97: Cho phương trình 4x − 10.2x + 16 ( ) log3 x − m = Tổng giá trị nguyên dương m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? A 15 B C 21 D 10 Hướng dẫn 4x − 10.2x + 16 = (1) 2x = ⇔ x = 1, x = Phương trình tương đương với: Giải (1): ⇔ x x − m = log (2) = Vì m ∈ ℕ* nên (2) ln có nghiệm x = 3m Để phương trình có hai nghiệm, ta xét + Trường hợp 1: x = 3m = ⇒ m = (loại) Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung + Trường hợp 2: x = 3m = ⇒ m ∈ I (loại) + Trường hợp 3: Phương trình nhận x = (1) làm nghiệm, nghiệm từ (2): 0 < m < m = log x , x < m ∈ {1;2; 3; 4} ⇒ ⇒ ⇒ 5 log < m x = 3m x = 3m Kết luận: Với m ∈ {1;2; 3; 4} phương trình có hai nghiệm x = 3, x = 3m Vậy tổng giá trị nguyên dương m 10 Chọn D 2x + a+ b có nghiệm dạng x = với Câu 98: Cho phương trình 2x − 6x + = log2 c x − 2x + 1 a, b, c ∈ ℕ * Tính tổng a + b + c B 11 A 14 C 12 D 13 Hướng dẫn Điều kiện: x > − , x ≠ Phương trình tương đương với: 2x + 2x + u − log2 = log2 = log2 2x − 6x + = log2 2x − 4x + v x − 2x + 1 u ⇔ v − u = log2 = log2 (u ) − log2 (v ) ⇔ u + log2 (u ) = v + log2 (v ) v (Hàm số f (t ) = t + log2 t đồng biến (0; +∞) ) nên ta được: v = u 2x − 6x + = 3+ a+ b ⇔ 2x − 4x + = 2x + > ⇔ ⇔x = = x > − , x ≠ c Vậy a + b + c = 12 Chọn C Câu 99: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Bất phương trình 2.5x +2 + 5.2x +2 ≤ 133 10x có tập nghiệm S = a;b b − 2a A B 10 C 12 D 16 Hướng dẫn Chia hai vế cho 2x ta có 50 ≤t = 25 −4 5 5x ≤ ⇔ x 2 25x 10x + 20 ≤ 133 ⇒ 50t − 133t + 20 ≤ 0, t = x x 4 x 5x suy 2x 5 5 ≤ ≤ ⇔ x ∈ −4;2 Từ ta có b − 2a = 10 Chọn B Lời bình Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Đối với số học sinh em hiểu giải bất phương trình mũ cần ý x 2 2 đến số, thường sai như: > ⇔ x > (Là thói quen!!) Để tránh việc phải giải thích sau số, ta thường chia hai vế cho lũy thừa có số nhỏ tốn chẳng hạn Câu 100: [THPT Tiên Lãng] Với giá trị m để bất phương trình 9x − (m + 1).3x − − 2m > có nghiệm với số thực x ∈ ℝ ? A m ∈ ∅ C m < − B m ≠ D m ≤ − Hướng dẫn Biến đổi 9x − 2.3x − > 2m (1 + 3x ), ∀x ∈ ℝ ⇔ 2m < 9x − 2.3x − = 3x − 3, ∀x ∈ ℝ hay ta có x 1+3 2m + < 3x , ∀x ∈ ℝ ⇔ 2m + ≤ ⇔ m ≤ − Chọn D Câu 101: (THPT Yên Phong) Biết a;b tập tất giá trị tham số m để bất phương trình ( ) log2 x − 2x + m + log x − 2x + m ≤ thỏa mãn với x thuộc a;b Tính a + b B C D A Hướng dẫn Đặt ( ) log x − 2x + m = t ≥ ta có bất phương trình: t + 4t ≤ ⇒ ≤ t ≤ ⇒ ≤ x − 2x + m ≤ ⇔ − m ≤ (x − 1) ≤ − m + Nếu m ≤ tập nghiệm hai đoạn − − m ≤ x ≤ − − m ∪ + − m ≤ x ≤ + − m không thỏa mãn (−∞;2 + Nếu ≤ m ≤ tập nghiệm − − m ≤ x ≤ + − m 1 + − m ≥ Ta có: ⇔ m ∈ ∅ (mâu thuẫn) 1 − − m ≥ + Xét m = tập nghiệm − ≤ x ≤ + Khi với x = Vậy a;b = 2 điểm Chọn B Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 102: [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Cho phương trình (m − 1) log21 (x − 2) + (m − 5) log 2 + 4m − = Tìm tập hợp tất x −2 5 giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm thực đoạn ; 4 4 A −3 ≤ m ≤ B −3 < m ≤ C m < −3 D m > Hướng dẫn Ta có điều kiện x ∈ (2; 4 Khi ta có (m − 1) log22 (x − 2) + (m − 5) log2 (x − 2) + m − = Đặt log2 (x − 2) = t ≤ , ta (m − 1)t + (m − 5)t + m − = ( ) t + + 4t t + 5t + 4t 4.2t + 4t ⇔m = = 1+ ⇔ 3m = + ≤3+ = t +t +1 t +t +1 t +t +1 t2 + t + (t + 1) 4t + 8t + Suy m ≤ Mặt khác m = −3 + = −3 + ≥ −3 t +t +1 t +t +1 Vậy −3 ≤ m ≤ Chọn A Lời bình Ta theo phương pháp chung khảo sát f (t ) = t + 5t + , t ≤ để giải toán Khi biết t2 + t + "điểm rơi" ta trình bầy thêm cách khác "để thay đổi khơng khí tí" Câu 103: [THPT Chuyên Thái Nguyên] Cho phương trình: log 3+2 (x + m − 1) + log nghiệm thực m = −3 A B m > m = (mx + x ) = Tìm 3−2 C −3 < m < m để phương trình có D m = Hướng dẫn Trước hết ta có điều kiện x (m + x ) > , m + x < m + x − < không thỏa mãn, m + x > x > nên ta có ⇒ Ngồi − 2 = + 2 x > 0, x + m − > x > − m ( phương trình: m + x − = mx + x ⇔ m = m > 1−x ⇒ −1 ) từ ta có x2 − x + = f (x ), x > 0, x ≠ Ta có: 1−x x > ⇒ < x < f ' (x ) > 0, ∀x ∈ (0;1) , ta có bảng biến thiên: 1−x Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung x +∞ f (x ) Từ suy để phương trình có nghiệm m > Chọn B Câu 104: Số giá trị nguyên tham số m cho phương trình log23 x + log23 x + − 2m − = có nghiệm đoạn 1; 3 ? A B C D Hướng dẫn Đặt log23 x + = t ∈ 1;2 ⇒ t + t − = 2m ⇒ ≤ 2m ≤ ⇒ ≤ m ≤ Chọn D (x −1) Câu 105: Cho phương trình ( ) log2 x − 2x + = x −m ( ) log2 x − m + Tập tất giá trị m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là: A −1 < m < B − < m < 2 D ;1; 2 C − < m < Hướng dẫn Phương trình có dạng 2u.log2 (u + 2) = 2v.log2 (v + 2), u = (x − 1) , v = x − m Khi xét hàm số f (t ) = 2t log2 (t + 2), t > tích hai hàm số dương đồng biến nên đồng biến, suy u = v ⇔ (x − 1) = x − m Thử thấy m = phương trình có nghiệm x = 2, x = ± Chọn D Câu 106: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn 2x + 2y = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức ( )( ) P = 2x + y 2y + x + 9xy A Pmax = 27 B Pmax = 18 C Pmax = 27 D Pmax = 12 Hướng dẫn Áp dụng bđt = 2x + 2y ≥ 2x 2y ⇒ 2x +y ≤ ⇒ x + y ≤ ⇒ xy ≤ x + y) = ( Ta có P = 4x 2y + (x + y ) (x + y ) − 3xy + 10xy ≤ 4x 2y + 4 − 3xy + 10xy P ≤ 16 + 2x 2y + 2xy (xy − 1) ≤ 18 ⇒ Pmax = 18 ⇔ x = y = Chọn B Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 107: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn log9 (a + 3b ) = 52c +6d −1 = Tìm giá trị nhỏ 25 biểu thức P = a + b + c + d − (ac + bd ) 11 40 A B 40 C 10 20 D 22 10 Hướng dẫn Từ giả thiết: log9 (a + 3b ) = ⇔ a + 3b = 52c +6d −1 = 1 ⇔ c + 3d = − 25 2 Khi P = a + b + c + d − (ac + bd ) = (a − c ) + (b − d ) hay viết lại: 2 2 −1 = 10P = + (a − c ) + (b − d ) ≥ (a − c ) + (b − d ) = 1 − ( 2 ) a + 3b = 23 1 ⇒ P = ⇔ c + 3d = − Chẳng hạn tại: a = , b = − , c = 1, d = − 40 20 20 3 (a − c ) = (b − d ) Chọn B Câu 108: Cho số thực x, y thỏa mãn 2x biểu thức S = x − y + x − y +y −1 + log3 (x + y + 1) = Biết giá trị lớn a a với a,b số nguyên dương tối giản Tính b b T = a + 2b B T = 34 A T = 25 C T = 32 D T = 41 Hướng dẫn Đặt 2x +y −1 =t ≥ ⇒ log (x + y + 1) = − t ⇔ x + y + = 33−t = + log2 t 1 + 33−t ln > 0, ∀t ≥ nên f (t ) đồng biến t ln 2 2 suy phường trình f (t ) = có nghiệm t = ⇔ x + y = ⇔ f (t ) = + log2 t − 33−t = Ta có f ' (t ) = − t − t2 = − t + 4t Lại đặt x − y = t ≥ ⇒ xy = S = t 3 + 2 S ' (t ) = − t + = ⇔ t = Fb: Diendangiaovientoan 16 > ⇒ max S = Suy T = a + 2b = 41 Chọn D GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 109: (THPT Triệu Sơn Thanh Hóa) Xét số thực a,b thỏa mãn > a > b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P = loga b − − log a b b A B C D Hướng dẫn Đặt logb a = t Từ điều kiện > a > b > b − ≥ ⇒ b ≥ b − ⇒ log b − a suy t ∈ (0;1) Áp dụng bất đẳng thức: 1 = ta có ≥ loga b = loga b = t 4 a (t − 1) b log b b (2 + 1) = Đẳng thức có 2 1 P≥ + = + ≥ = ⇔t = t (1 − t ) 2t − 2t 2t + − 2t 2t − 2t Vậy P = 1 ⇔ b = ,a = Chọn D 2 Câu 110: [Sở GD Hải Dương] Cho m = loga ab với a > 1, b > P = loga2 b + 16 logb a Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn Đặt loga b = x > ⇒ P = x + Khi m = loga ab = 16 8 = x + + ≥ 3 8.8 = 12 ⇒ Pmin = 12 x = x x x 1 + loga b ) = (1 + x ) = Chọn C ( 3 Câu 111: Cho hai số thực x , y không âm thỏa mãn x + 2x − y + = log2 2y + Giá trị nhỏ x +1 biểu thức P = e 2x −1 + 4x − 2y + A − B C D −1 Hướng dẫn Biến đổi PT ⇔ (x + 1) − (2y + 1) = log Fb: Diendangiaovientoan 2y + − log x +1 ) ( GV: Nguyễn Xuân Chung Xét hàm số f (t ) = t + log t đồng biến (0; +∞) , với u = (x + 1), v = 2y + phương trình cho trở thành f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ 2y + = (x + 1) ⇒ 2y = 2x + 4x + vào P, ta có: P = e 2x −1 + 4x − (2x + 4x + 1) + = e 2x −1 + 2x − 4x Hay viết lại P = e t + t − t − , t = 2x − Ta có P ' = e t + t − 1; P ' = ⇔ t = 2 P " = e t + > 0, ∀t ⇒ P ' đồng biến, ta có bảng biến thiên: −∞ t +∞ 0 - P' + +∞ +∞ P − Vậy P = − Chọn A Câu 112: Xét số thực a, b thỏa mãn > a > b > Tính A 4b − 1 + log2 a a đạt giá trị nhỏ P = loga 4a b a b B C D Hướng dẫn Đặt loga b = t Từ điều kiện > a > b > suy t > Áp dụng bất đẳng thức: b − ≥ ⇒ b ≥ 4b − ⇒ log 4b − ≥ log b = 2t log2 a = a a a b log a a b = (t − 1) 4b − 1 1 + log2 a a − loga a ≥ 2t + Khi P = loga − = t −1 + t −1 + −1 2 b (t − 1) (t − 1) P ≥ 3 (t − 1)(t − 1) Hay (t − 1) − = Đẳng thức có t − = (t − 1) ⇔t =2 a = b = a ⇒ = 2a = = Chọn C b Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 113: Cho số dương b > a > Giá trị nhỏ P = (loga b A 30 B 40 2 ) + log b a C 18 b a D 60 Hướng dẫn Đặt loga b = x , (x > 2) ⇒ b = a x log b b a a = loga x /2 2 Ta có P = (2x ) a a x /2 x −1 = loga x /2−1 a x /2−1/2 = 1/2 x −2 a ( ) x − t + 1 = (t + 2) + , t = x − > + x − t 1 1 1 P = t + + 12 t + + t + t + + 22 ≥ + 24 + + 22 = 60 t t t Vậy Pmin = 60 ⇔ t = ⇔ x = ⇔ b = a , (a > 1) Chọn D Câu 114: (THPT Yên Phong) Cho x , y số dương thỏa mãn xy ≤ 4y − Giá trị nhỏ P = a + ln b Giá trị tích ab A 45 B 81 C 108 (2x + y ) x + ln x + 2y y D 115 Hướng dẫn Đặt x = ty, t > ⇒ xy ≤ 4y − ⇔ ty − 4y + ≤ ⇔ Và − −t + −t ≤y ≤ , t ∈ (0; 4 t t −6 t − 6t − 12 S = + ln (2 + t ), t ∈ (0; 4 ⇒ S ' (t ) = + = < 0, ∀t ∈ (0; 4 t t +2 t t (t + 2) nghịch biến ⇒ S = S (4) = nên S(t) 3 27 + ln ⇒ P = 12 + + ln = + ln ab = 81 Chọn B 2 Lời bình Xin lỗi quý thầy bạn đọc ban đầu tơi tính 15 +6= = a b = nên cho kết 45 2 Câu 115: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: + ln x +y +1 = 9xy − 3x − 3y Giá trị 3xy nhỏ biểu thức P = xy A B C D Hướng dẫn Biến đổi PT ⇔ ln x +y +1 u = 3xy − x + y + ⇔ ln = 3v − 3u ⇔ 3u + ln u = 3v + ln v 3xy v Fb: Diendangiaovientoan ( ) ( ) GV: Nguyễn Xuân Chung ⇔ u = v ⇔ x + y + = 3xy ⇒ y = Hay ta có 9P = x +1 x2 + x 1 ,x > ⇒ P = ,x > 3x − 3x − 9x + 9x 4 = 3x + + = 3x − + + ≥ + = 3x − 3x − 3x − ( ) Suy P ≥ ⇒ Pmin = ⇔ x = y = Chọn C Câu 116: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log2 nhỏ biểu thức P = A x + y2 + x + 2y + ≤ 3xy Tìm giá trị 3xy + x 2x − xy + 2y 2xy − y B 1+ C D Hướng dẫn Đặt 2x + 2y = u > 0, 3xy + x = v > , từ giả thiết ta có log u + u ≤ v hay v x x x log2 u + u ≤ log2 v + v ⇔ u ≤ v ⇔ 2x + 2y ≤ 3xy + x ⇔ − + ≤ Đặt = t > y y y 2 2t − t + 2 1 1 + ≥ 2+ = Ta có t ∈ 1;2 P = t t = + = − + 2t − 2t − 1 2 t − 2 Vậy P = ⇔ t = ⇔ 2x = 3y Chọn D 2 Câu 117: Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn 3a = 5b = 15−c Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P = a + b + c − 4(a + b + c ) là? A −3 − log5 B −4 C −2 − D −2 − log Hướng dẫn Từ 3a = 5b = 15−c ⇒ a = −c (1 + log3 5), b = −c (1 + log5 3) ⇒ a = −c (1 + m ), b = −c (1 + m ) thay vào P ta m 1 P = c m + + 1 + 4c(m + + 1) = T 2c + 4Tc = (Tc + 2) − ≥ −4 Chọn B m m Câu 118: Cho x , y số thực thỏa mãn log4 (x + y ) + log4 (x − y ) ≥ Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = 2x − y A Pmin = Fb: Diendangiaovientoan B Pmin = −4 C Pmin = D Pmin = 10 GV: Nguyễn Xuân Chung Hướng dẫn x > y ⇒ x > y ≥ Khi ta có log4 x − y ≥ ⇒ x − y ≥ Dùng phép Điều kiện x > −y ( ) ( ) ta có x − (2x − P ) ≥ ⇒ 3x − 4Px + P + ≤ Trước hết ta có ∆ ' = 4P − P + ≥ Hay P ≥ 12 ⇒ P ≥ (vì P = x + (x − y ) > y + (x − y ) > ) Dấu có khi: x= 3 ,y = thỏa mãn điều kiện Vậy Pmin = Chọn C 3 Câu 119: Gọi m giá trị nhỏ tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: x + log2 (2 − x ) ≤ log2 m − + ( − x + 2x + − log2 (x + 1) Khi m thuộc khoảng ) đây? A m0 ∈ (9;10) B m0 ∈ (8;9) C m0 ∈ (−10; −9) D m0 ∈ (−9; −8) Hướng dẫn Điều kiện −1 < x < Biến đổi bất phương trình tương đương với x log2 (2 − x ) + log2 (2x + 2) ≤ log2 m − + ⇔ log2 ⇔ (2 − x )(2x + 2) ≤ log x m − + (2 − x )(2x + 2) ≤ m − x2 + ( ⇔ x +4+2 Đặt (2 − x )(2x + 2) − ( ( ( − x + 2x + ) − x + 2x + ) ) − x + 2x + ) − x + 2x + − ≤ 2m (*) − x + 2x + = t; x ∈ (−1;2) ⇒ t ∈ ( 3;3 , (*) trở thành: ( 3;3 nên (**) có nghiệm có phần đồ thị f (t ) nằm đường thẳng y = 2m hay: f (t ) = t − 8t − ≤ 2m (**), mà f (t ) nghịch biến min f (t ) ≤ 2m ⇔ f (3) = −19 ≤ 2m ⇔ m ≥ − ( 3;3 19 19 ⇒ m = − Chọn C 2 Câu 120: Xét số thực dương a , b thỏa mãn log2 − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ a +b Pmin P = a + 2b A Pmin = 10 − Fb: Diendangiaovientoan B Pmin = 10 − GV: Nguyễn Xuân Chung C Pmin = 10 − D Pmin = 10 − Hướng dẫn Biến đổi PT ⇔ log2 − ab u + = −2 (1 − ab ) + (a + b ) ⇔ log2 = −u + v a +b v Hay u + log2 u = v + log2 v ⇔ u = v ⇔ − 2ab = a + b ⇒ b = −a , a ∈ (0;2) Khi ta có 2a + 2P = 2a + 4b = 2a + − 4a 10 10 − = 2a + + − ≥ 10 − ⇒ P ≥ 2a + 2a + Dấu có a = 10 − ,b = Câu 121: Cho x , y > S = 2x + y là? A 2 − 2 10 − 10 − Vậy Pmin = Chọn A thỏa mãn log x + log y ≥ log(x + y ) Giá trị nhỏ biểu thức B C + 2 D + 2 Hướng dẫn Từ giả thiết suy y ≥ x3 x3 = x + 3x + + = f (x ) , x > Nên S = 2x + y ≥ 2x + x −1 x −1 x −1 Đặt x − = t > ⇒ f (t ) = t + 5t + + 1 ⇒ f ' (t ) = 2t + − t t ( ) f ' (t ) = ⇔ t (2t + 5) − = ⇒ 2t + 5t − = ⇒ (2t + 1) t + 2t − = ⇒ t = −1 + ( ) Suy f (t ) = f −1 + = + ⇔ x = 2, y = + 2 Chọn C Câu 122: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn xy = 4, x ≥ , y ≥ Gọi M , m giá trị 2 lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = log2 x + (log2 y − 1)2 Tính S = M + m A S = B S = 11 C S = 21 D S = 11 Hướng dẫn Rút y = 1 , x ∈ ; 4 vào P, ta có: P = log22 x + (1 − log2 x )2 = 2t − 2t + = f (t ) ; 2 x Với log2 x = t ∈ −1;2 , f ' (t ) = 4t − = ⇔ t = 1 ⇒ m = P = f = x = 2, y = 2 , M = max P = = f (2) = f (−1) Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung 11 x = 4, y = x = , y = Suy S = M + m = Chọn D 2 Câu 123: Giá trị lớn biểu thức P = 1 + loga b + − log2a b a ( ) + bao nhiêu? Biết a, b số thực thỏa mãn a > b ≥ A 67 B 31455 512 C 27 D 455 Hướng dẫn 1 b Đặt loga b = x , (0 ≤ x < 3) ⇒ b = a loga = x − 1; log2a b = x = x a x Khi P = (1 + x − 1) + 4 − x + = 2x + + − x Ta có P ' = 6x − ( 6x − x2 ( ) = ) 2 6x 3x − x ) x + 2x − 12x − 32 8x − − x = ( ( ) ( ) −2 + 10 Xét g (x ) = x + 2x − 12x − 32, x ∈ 0; 3) ⇒ g ' (x ) = 3x + 4x − 12 = ⇔ x = Lập bảng biến thiên suy g (x ) < 0, ∀x ∈ 0; 3) , từ suy P ' = ⇔ x = 0, x = ∈ 0; 3) Suy Pmax = 67 ⇔ x = ⇔ b = 1, a > Chọn A Câu 124: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b ≥ a 10 > 1, c > loga b + logb c + logc a = 12 Giá trị nhỏ biểu thức P = loga c + logc b + 10 logb a A 15 B 15 C 21 D 25 Hướng dẫn Đặt loga b = x , logb c = y, logc a = z ⇒ x , y, z > 0, xyz = x + 2y + 5z = 12 Khi ta có: P = loga c + logc b + 10 logb a = 10 10 + + 2xy + + hay P = x y z x y Đặt x = 10m, 2y = n , x ≥ 10 ⇒ m ≥ , ta có: 1 10 P = + + 10mn ≥ + 20 m = + m + m + 18 m ≥ + 18 = 21 m m m n 1 Đẳng thức xảy ⇔ m = n = ⇔ x = 10, y = , z = b = a 10 , c = a , (a > 1) Vậy Pmin = 21 Chọn C Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Lời bình: Một số học sinh đưa về: P = 10 + + tiếp tục biến đổi x y z 1 (1 + + 1) 90 15 10 10 10 1 15 P= + + = 10 + + ≥ 10 = = nên Pmin = x x + 2y + 5z 2y 5z 12 2 x 2y 5z Và kết luận: chọn đáp án A Nhưng quên ý đến điều kiện xyz = Câu 125: Cho số thực a, b, c thỏa mãn < a < b < c loga2 b − logb2 c = loga c c − logb − b b Đặt T = logb c − loga b Mệnh đề đúng? A T ∈ (−3; −1) B T ∈ (−1;2) C T ∈ (2;5) D T ∈ (5;10) Hướng dẫn Đặt loga b = x , logb c = y ⇒ x , y > ⇒ T = y − 2x Ta có loga c = xy giả thiết là: 6x − y = xy − x − (y − 1) − ⇔ 6x − (T + 2x ) = x (T + 2x ) − x − (T + 2x ) + T = ⇔ −T − 4Tx = Tx − 5x − 2T + ⇔ 5x (1 − T ) = (T − 1) ⇔ ⇔ x = − T > T = T < −4 So sánh đáp án ta chọn B Câu 126: Cho số thực a, b, c > S = loga (bc) + logb (ca ) + logc (ab) Tính logb (ca ) biểu thức S đạt giá trị nhỏ B A 2 8(2 − 1) C + −2 D Hướng dẫn Đặt loga b = x > 0, logb c = y > 0, logc a = z > ⇒ xyz = Khi ta có: S =x+ 9 + 2y + + 9z + = x + xy + + + 2y + z x y x xy y S = x (y + 1) + 2y + 9 + 2y + ≥ xy y (y + 1)(2y + 9) + 2y + = y S ≥ 2 18 + 11 + 18 = + 11 + = y ( 2y + 9 + 11 + 2y + y y ) + + ⇒ S = + y = 2y = y 2y + ⇔ x = ⇔ c = a 3,b = a , a > ⇒ logb (ca ) = log Khi x = a y (y + 1) xyz = z = Fb: Diendangiaovientoan (a ) = 2 GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 127: Cho số thực a, b, c > số thực dương thay đổi x , y, z thỏa mãn a x = b y = c z = abc Tìm giá trị lớn biểu thức P = A 20 B 20 − 3 16 16 + − z x y C 24 D 24 − 3 Hướng dẫn Ta có a x = b y = c z ⇒ y = x logb a, z = x logc a Mà ta có: a 2x = abc ⇒ a 2x −1 = bc ⇒ 2x − = loga b + loga c ⇔ 2x = + Suy P = x x 1 + ⇔ + + =2 y z x y z 8 16 16 1 + − z = 16 2 − − z = 32 − + + z ≤ 32 − 3 64 = 20 x y z z z Vậy Pmax = 20 ⇔ z = 1 ⇔ z = 2, + = Chọn A z x y y2 − x Biết giá trị a a lớn biểu thức P = x + 2y − 2x + 8y − x + với a, b nguyên dương tối giản b b Tính S = a + b Câu 128: Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn e x −4y + A S = 85 B S = 31 1−x − ey + 1−x −y = C S = 75 D S = 41 Hướng dẫn ( y + − x − x − 4y + − x ) ⇔e 1 + u = e v + v dễ 4 dàng suy u = v ⇔ x − 4y + − x = y + − x ⇔ y + 4y = x , x ∈ −1;1 Viết lại e x −4y + 1−x − ey + 1−x = u Biến đổi P = x − 2x − x + + (y + 4y ) = x − 2x + x + 2, x ∈ −1;1 Ta có P ' (x ) = 3x − 4x + = ⇔ x = 1, x = 58 Suy Pmax = Vậy S = a + b = 85 Chọn A 27 Câu 129: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y + = 2( x − + y + 3) Giá trị lớn biểu thức S = 3x +y−4 + (x + y + 1)27−x −y − 3(x + y ) Tính T = a + b A T = B T = 141 a a với a, b nguyên dương tối giản b b C T = 148 D T = 151 Hướng dẫn Đặt 2 x − = m ≥ 0, y + = n ≥ ⇒ m + n = 2(m + n ) ⇔ (m − 1) + (n − 1) = (*) 2 Biến đổi S = 32m +2n −5 + 2(m + n )28−2m −2n − (m + 2) + (n − 3) Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Mà a số hữu tỉ nên ta phải có 32m +2n −5 ;28−2m −2n số hữu tỉ suy m + n số tự nhiên b Từ (*) ta tìm cặp số tự nhiên (m; n ) ∈ GTLN m = 0, n = và: S max = {(0; 0), (2; 0), (0;2)} , thử vào S ta có 148 a + 64 − 15 = = ⇒ T = 151 Chọn D 3 b Lời bình Trên tốn lấy từ ý tưởng toán thi THPTQG năm 2016 BGD Bài toán chủ yếu rèn luyện kỹ biến đổi biện luận chính, khơng có tác dụng rèn luyện chủ đề mũ loogarit Như chủ đề mũ logarit đánh giá mức trung bình thấp Câu 130: c c − logb − Gọi M , m b b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = loga b − logb c Tính S = 3M + 2m Cho số thực dương a, b, c khác thỏa mãn loga2 b + logb2 c = loga A S = B S = C S = D S = Hướng dẫn Đặt loga b = x , logb c = y ⇒ loga c = xy Khi ta có: x + y = xy − x − 2y + − ⇔ x + y = xy − x − 2y − Hay ta có: x + (x − P ) = x (x − P ) − x − (x − P ) − ⇔ x − (P − 3) x + P − 2P + = ( ) PT có nghiệm (P − 3) − P − 2P + ≥ ⇔ −3P + 2P + ≥ ⇔ −1 ≤ P ≤ Từ suy S = 3M + 2m = Chọn C Câu 131: Cho số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn log(x + 2y ) = log x + log y Biết giá trị nhỏ biểu thức P = e x2 1+2y e A S = y2 1+x a e b với a, b nguyên dương B S = a tối giản Tính S = a + b b C S = 13 D S = Hướng dẫn Viết lại giả thiết log(x + 2y ) = log x + log y ⇒ x + 2y = xy ⇒ x = P= e x2 1+2y e y2 1+x =e x2 4(1+2y ) e Fb: Diendangiaovientoan y2 1+x =e x2 y2 + 4(1+2y ) +x =e f (y ) , với f (y ) = 2y , y > Thế vào P ta có: y −1 y2 (y − 1) (1 + 2y ) + y (y − 1) 3y − ,y > GV: Nguyễn Xuân Chung y 3y − + (y − 1) (1 + 2y ) 25y f (y ) = Với y > ⇒ y − 1 + y ≤ y − + + y = ( )( ) ( ) 4 (y − 1) (1 + 2y )(3y − 1) suy f (y ) ≥ Q= 3y − + (y − 1) (1 + 2y ) 25 (y − 1) 3t + + t (2t + 3) , ta viết lại Đặt y = + t ⇒ Q = 25t 2 3 8 2t + + 3t + ≥ (4 + 6) = Dấu có t = ⇔ y = Vậy f (y ) = t 25 25 5 t a suy P = e = e b ⇒ S = 13 Chọn C Lời bình Đây tốn khó số mũ lũy thừa biểu thức phức tạp Nếu để ngun để khảo sát gặp khó khăn lớn phải đạo hàm tìm nghiệm, phải lập bảng biến thiên gặp tình nghĩ đến phương pháp đánh giá để giảm độ phức tạp Nói vậy: phương pháp đạo hàm công cụ mạnh để giải toán hàm số, trường hợp chưa tỏ "mạnh" Bài toán thi Olimpic hay nhỉ? Ra đề thi kiểu bó tay! Câu 132: Cho hai số thực x, y thỏa mãn + 3x biểu thức S = x + 2y A − B −2y +2 = (4 + 9x C − −2y 33 ).72y −x Tìm giá trị nhỏ +2 D − Hướng dẫn ( ) Đặt x − 2y = t ⇒ + 3t +2 = + 9t 72−t ⇒ f ' (u ) = ( ) + u − 2u (4 + 9u ) (4 + u ) + 3t +2 + 9u 2−t = Xét hàm f u = ,u > ( ) + 9t + u2 ⇒ f ' (u ) = ⇔ −9u − 8u + 36 = 0, u > ⇔ u = −4 + 85 Ta có u điểm cực đại, lim f (u ) = 1, lim f (u ) = u →0 Hàm số g (u ) = 2−log u u →+∞ , u > nghịch biến (0; +∞) Và lim g (u ) = +∞, lim g (u ) = u →0 u →+∞ Ta có bảng biến thiên u +∞ f (u0 ) f (u ) g (u ) u0 +∞ Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung ... rộng ứng dụng định lý Viet chỗ: Định lý Viet áp dụng khái quát phương trình có ẩn u (x ) hay u (x , y ) dạng au + bu + c = Ý nghĩa là: không cần chuyển đổi trực tiếp biến, cụ thể ta hay áp dụng. .. Chọn B Lời bình Bài tốn cho dạng đa thức logarit lập m, nên ta việc khảo sát hàm số Xin lỗi q thầy bạn đọc ban đầu tơi nhẩm đạo hàm thấy dương mà quên cho f (x ) dương đơn điệu tập xác định, khơng... log (x − 2x − m + 1) có tập định ℝ A m ≥ B m < C m ≤ D m > Hướng dẫn Yêu cầu toán x − 2x − m + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ (x − 1) > m, ∀x ∈ ℝ (*) Dễ thấy (*) m < Chọn B Lời bình Bài tốn trường hợp "đặc biệt"