Bài dạy GTLN GTNN chọn lọc (L12)

1 Tìm GTLN và GTNN của các loại hàm số sau: * A) Hàm tuyệt đối: Tìm GTLN và NN của các hàm số sau: 1) [ ] 2 3 2 , 10;10y x x x = − + ∈ − (giá trị tuyêt đối toàn phần) Giải: Xét [ ] 2 1 3 2, 10;10y x x x= − + ∈ − 1 1 3 2 3; 0 2 y x y x ′ ′ = − = ⇔ = Các giá trị đặc biệt của x là −10;3/2,10 Ứng với y 1 là 72, −1/4 và 132 Suy ra −1/4≤y 1 ≤132 Suy ra 0≤y≤132 Min(y)=0 (x=1 hay x=2) Max(y)=132 (x=10) 2) [ ] 2 1 , 2;2y x x x = + − ∈ − (giá trị tuyệt đối bộ phận) Giải: Xét ( ) ( ) 2 1 1, 2 1 1 2y x x x x= + − − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤ Và ( ) 2 2 1, 1 1y x x x= − + + − ≤ ≤ 1 1 0 2 y x − ′ = ⇔ = (bị loại) 2 1 0 2 y x ′ = ⇔ = Các giá trị đặc biệt của x là −2; −1; 1; 2; ½ Ứng với các giá trị của y là 1; −1; 1; 5; 5/4 Min(y)=−1 (khi x=−1) Max(y)=5 (khi x=2) 3) [ ] 2 2 4 4 3 , 1;4y x x x x x = + + − + ∈− Hướng dẫn: xem bài 2 4) [ ] 1 , 0;4 1 x y x x − = ∈ + Giải: Xét 1 1 2 1 2 , 1 ( 1) x y y x x − ′ = = + + 1 1 3 (0) 1; (4) 5 y y= − = Suy ra 1 3 3 1 0 5 5 y y− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Min(y)=0 (khi x=1) Max(y)=3/5 (khi x=4) 5) [ ] 2 , 0;4 2 1 x y x x − = ∈ + Giải: Xét [ ] 1 1 2 2 5 , 2;4 ; 0 2 1 (2 1) x y x y x x − ′ = ∈ = > + + Xét [ ] 2 1 2 2 5 , 0;2 ; 0 2 1 (2 1) x y x y x x − + − ′ = ∈ = < + + Những giá trị đặc biệt của x là 0; 2; 4 Ứng với y là 2; 0; 2/9 Min(y)=0 (khi x=2) Max(y)=2 (khi x=0) B) Hàm hữu tỷ: Tìm GTLN và NN của các hàm số sau: 1) 2 1 x y x = + (dạng(ax+b)/Q 2 hay P 2 /Q 2 với Q 2 >0 với mọi x) Giải: Cách 1: Khảo sát sự biến thiên của y… Cách 2: 2 2 0 1 x y yx x y x = ⇔ − + = + (1) Với y=0 cho ta giá trị x=0 để y(0)=0 Với y≠0, phương trình (1) cho ta điều kiện: 2 1 1 0 1 4 0 2 2 y y∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤ Min(y)=−1/2 khi x=1/(2y)=−1 Max(y)=1/2 khi x=1/(2y)=1 2) 2 2 1 1 x x y x x + + = − + Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2 3) 2 1 2 2 x y x x − = + + Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2 4) 2 2 1 1 x y x x + = + + 2 Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2 5) 2 2 2 2 x y x x − = + + Giải: 1 2 2 ( 2) 2 2 x y x x x − = ≥ + + ( ) 2 1 2 2 4 6 2 2 x x y x x − + + ′ = + + 1 1 1 0 2 10, 2 2 6 2 10 y x y x ′ = ⇔ = + = = + + 2 2 2 ( 2) 2 2 x y x x x − + = ≤ + + ( ) 2 2 2 2 4 6 2 2 x x y x x − − ′ = + + 2 1 1 0 2 10, 2 2 6 2 10 y x y x − ′ = ⇔ = − = = + − + Khi x=2 ta có y=0 Min(y)= 1 6 2 10− + khi x= 2 10− Max(y)= 1 6 2 10+ khi x= 2 10+ C) Hàm chứa căn dạng: Tìm GTLN và NN của các hàm số sau: 1) 2 1, 3; 3y x x x   = + + ∈ −   Giải: 2 2 2 1 1 1 1 x x x y x x + + ′ = + = + + Giải y’=0 vô nghiệm ( 3) 3 2y − = − + ( 3) 3 2y = + Min(y)= ( 3) 3 2y − = − + Max(y)= ( 3) 3 2y = + 2) [ ] 1 , 3;1y x x x = + − ∈− (Chỉ có 1 căn của P 1 thì đặt t là căn ấy) Giải: Đặt 2 1 ; 0 2; 1t x t x t= − ≤ ≤ = − 2 1 (0 2)y t t t= − + + ≤ ≤ 1 2 1; 0 2 y t y t ′ ′ = − + = ⇔ = 1 5 (0) 1; (2) 1; 2 4 y y y   = = − =  ÷   Min(y)=−1 và Max(y)=5/4 3) [ ] (2 8) , 1;4y x x x = − ∈ Hướng dẫn: xem bài 2 4) ( ) [ ] 1 , 0;1y x x x = + ∈ Hướng dẫn: xem bài 2 5) 1 x y x = + Giải: Xét 0 1 0 1 x x x x ≥ ⇔ < − ∨ ≥ + Xét 1 1 2 1 ; 0 1 ( 1) x y y x x ′ = = > + + Lập biến thiên của y 1 với x<−1 hay x≥0 Ta có : y≥0 và y≠1 Nên Min(y)=0 và không tồn tại Max(y) 3 D) Hàm lượng giác: Tìm GTLN và NN của các hàm số sau: 1) [ ] 2sin cos 2 , 0;y x x x π = + ∈ Giải: [ ] 2 2sin 2sin 1, 0;y x x x π = − + + ∈ Đặt t=sinx, 0≤t≤1 y=g(t)=−2t 2 +2t+1, y’=−4t+2 có nghiệm t=1/2 g(0)=1, g(1)=1, g(1/2)=3/2 Min(y)=1 khi t=0 hay t=1 ứng với x=0 hay x=π Max(y)=3/2 khi t=1/2 ứng với x=π/6 hay x=5π/6 2) sin 2 , 0; 2 y x x x π   = + ∈     Giải: 1 2cos 2y x ′ = + 1 0 cos2 2 3 y x x k π π − ′ = ⇔ = ⇔ = ± + Do 0 x π ≤ ≤ nên chỉ có 3 x π = y(0)=0; y(π)=π, y(π/3)= 2 3 3 6 π + Min(y)= y(0)=0 Max(y)= y(π)=π 3) [ ] 2sin , 0;y x x x π = + ∈ Hướng dẫn: 1 2cos 2 2sin x y x x + ′ = + 1 2 0 cos 2 3 y x x π − ′ = ⇔ = ⇔ = y(0)=0; y(π)= π ; 2 2 3 3 3 3 y π π +   =  ÷   Min)y)= y(0)=0 Max(y)= 2 2 3 3 3 3 y π π +   =  ÷   4) sin tan 2 , 0; 4 y x x x x π   = + − ∈     Giải: 3 2 2 2 cos 2cos 1 cos tan 1 cos x x y x x x − + ′ = + − = 2 2 2 2 (cos 1)(cos cos 1) cos (1 cos )(sin cos ) 0 cos x x x y x x x x x − − − ′ = = − + ≥ Max(y)= 2 2 2 1 4 2 2 2 y π π π + −   = + − =  ÷   Min(y)=y(0)=0 5) [ ] tan(sin ), 0;y x x π = ∈ Giải: 2 1 tan (sin ) cosy x x ′   = +   0 2 y x π ′ = ⇔ = (0) 0y = , tan(1) 2 y π   =  ÷   , ( ) 0y π = Min(y)= (0) 0y = Max(y)= tan(1) 2 y π   =  ÷   6) 2 2 1 sin cos cos 2 cos x x x y x + + = + Giaỉ: sin 2 1 cos 2 1 2 2 1 cos2 2 2 x x y x + + + = + + 3 sin2x+cos2x 5 cos 2 y x + = + (mẫu số luôn dương) sin2x+(1 y)cos2x=5 3y− − (dạng ax+by=c cho điều kiện a 2 +b 2 >=c 2 ) Từ phương trình ta có: 2 2 1 (1 ) (5 3)y y+ − ≥ − 2 24 28 7 0y y− + ≤ 7 154 7 154 12 12 y − + ⇔ ≤ ≤ * Min(y)= 7 154 12 − khi 2 2 sin2x cos2 s in2x+(1-y)cos2x 5 3 1 1 1 (1 ) 2 2 x y y y y y − = = = − + − − + từ đó suy ra sự tồn tại của x 4 * Max(y)= 7 154 12 + khi 2 2 sin2x cos2 sin2x+(1-y)cos2x 5 3 1 1 1 (1 ) 2 2 x y y y y y − = = = − + − − + từ đó suy ra sự tồn tại của x 7) sin cos 1 cos x x y x + = + Hướng dẫn: xem bài 6 8) 1 cos 2 cos x y x + = + Hướng dẫn: xem bài 6 9) 2 sin sin cos 2 1y x x x = + − + Hướng dẫn: t=sinx, −1≤t≤1 10) 3 3 sin cos 3(sin cos )y x x x x = + + + Hướng dẫn: t=sinx+cosx, 2 2t− ≤ ≤ suy ra 2 2 1 1 2sin cos sin cos 2 t t x x x x − = + ⇒ = 2 3 3 (3 ) sin cos (1 sin cos ) 2 t t x x t x x − + = − = 3 6 3 2 t t t y − + + = với 2 2t− ≤ ≤ 11) Tìm k để GTNN của sin 1 2 cos k x y x + = + nhỏ hơn −1 Giải: sin 1 2 cos sin 1 2 cos k x y y y x k x x + = ⇔ + = + + sin cos 2 1k x y x y⇔ − = − Ta có ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 k k k y y − + + + + ≥ − ⇔ ≤ ≤ Giá trị nhỏ nhất của y là 2 1 1 2 k− + Ta cần 2 2 1 1 1 1 3 2 k k − + < − ⇔ + > 2 1 9 2 2 2 2k k k⇔ + > ⇔ < − ∨ > E) Ápdụng bất đẳng thức: 1) Cho x>0, tìm GTNN của 2 1 y x x = + Giải: 2 2 1 1 1 2 2 y x x x x x = + = + + 2 3 3 1 1 3 3 . . 2 2 4 y x x x ≥ = 2 3 3 3 1 1 ( ) 2 4 2 Min y x x x   = = ⇒ =  ÷   2) Cho x>0, tìm GTNN của 3 1 y x x = + Hướng dẫn: xem bài 1 3) Cho x>0, tìm GTLN của ( ) 2 1y x x= − Giải: ( ) 2 2 1 1 (2 2 ) 2 y x x x x= − = − 3 1 2 2 4 2 3 27 x x x y + + −   ≤ =  ÷   4 2 ( ) 2 2 27 3 Min y x x x   = = − ⇒ =  ÷   4) Cho x>0, tìm GTLN của ( ) 2009 1y x x= − Hướng dẫn: xem bài 3 5) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm GTNN và LN của 2 2 2 y a b c= + + Giải: 9=(a+b+c) 2 <=3(a 2 +b 2 +c 2 ) suy ra y>=3 Min(y)=3 khi a=b=c=1 Ta có 1 3 3 3 a b c + + = và a,b,c không âm nên các giá trị a/3, b/3 và c/3 thuộc [0;1] Do đó 2 2 2 1 9 9 9 3 a b c a b c+ + + + ≤ = Max(y)=9 khi Max(a;b;c)=3 và 2 số còn lại bằng 0. 6) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm GTNN và LN của y ab bc ca= + + 5 Giải: ta có 9=(a+b+c) 2 >= 3(ab+bc+ca) suy ra ab+bc+ca<=3 Max(y)=3 khi a=b=c=1 Hiển nhiên ab+bc+ca>=0 Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0. 7) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTLN, GTNN của 1 y ab bc ca = + + Giải: Từ bài 6 ta có 1 1 3ab bc ca ≥ + + Min(y)=1/3 khi a=b=c=1 Cho b=c=1/n và a=3-2/n Ta có 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 3 y n n n n n n = + +       − −  ÷  ÷  ÷       2 2 2 3 2 n y n n = + − Khi n tiến ra +∞ thì y tiến ra +∞ Vậy không có GTLN của y 8) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm GTNN, GTLN của y abc= Giải: Ta có 3 3 3 1a b c abc abc= + + ≥ ⇒ ≤ Max(y)=1 khi a=b=c=1 Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0. 9) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTNN của 2 2 2 1 2 y a b c ab bc ca = + + + + + Giải: ( ) 2 2 2 2 3 3 ( ) y a b c ab bc ca ≥ + + + + 2 2 2 2 9 9 1 2( ) ( ) y a b c ab bc ca a b c ≥ = = + + + + + + + Min(y)=1 khi a=b=c=1 10) Cho x,y,z là 3 số dương. Tìm GTNN cùa 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       Giải: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       2 2 2 2 x y z x y z P yz zx xy + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P xyz + + + + = + 2 2 2 1 1 ( ) 2 P x y z xyz   = + + +  ÷   2 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 P x y z xyz xyz   = + + + +  ÷   2 3 3 2 1 9 9 ( ) 8( ) 2 P xyz xyz ≥ = Min(P)=9/2 khi a=b=c=1 G) Bất đẳng thức trong hình học: 1) Cho điểm M trên cung lớn AB của đường tròn (C). Tìm M để MA+MB lớn nhất D A B M Hướng dẫn: Trên tia AM lấy D để cho MD=MB Ta có góc MDB = góc MBD Suy ra góc AMB=MDB+MBD=2ADB Vậy góc ADB=1/2.AMB không đổi Điểm D di động trên cung tròn (L) chứa góc AMB/2 và nhận AB làm dây cung. AD = MA+MD=MA+MB dài nhất khi AD là đường kính của (L), khi đó tam giác ABD vuông tại B và M là trung điểm AD cho ta MA=MB, M chính là trung điểm của cung lớn AB trên đường tròn (C). 6 2) Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M trên cạnh BC. D và E lần lượt là đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. Định M để DE ngắn nhất. Giải: D E B C A M Do tính đối xứng: góc DAB=MAB và MAC=CAE Suy ra góc DAE=2.BAC không đổi Và AD=AM=AE Nên khi M thay đổi thì tam giác ADE cân ở A, góc đỉnh A không đổi, nên các tam giác ADE đồng dạng với nhau. Với một điểm M’ khác ứng với D’ và E’ ta có: ' ' ' ' DE AD AM D E AD AM = = Để cho D’E’ nhỏ nhất trong các DE thì ta chọn AM’ nhỏ nhất chính là đường cao AH của ABC. 3) Cho tam giác ABC, tìm các điểm A’,B’,C’ lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho chu vi A’B’C’ nhỏ nhất. Giải: D E B C A A' C' B' Ta tạm cố định điểm A’ trên BC. Dựng các điểm D và E là đối xứng của A’ qua các đường thẳng AB và AC. Ta có A’C’=C’D và A’B’=B’E Suy ra chu vi A’B’E’ là bằng độ dài đường gấp khúc DC’B’E lớn hơn hay bằng DE. Chu vi này (khi cố định D’) đạt nhỏ nhất khi D,E,B’,C’ thẳng hàng. . 1 Tìm GTLN và GTNN của các loại hàm số sau: * A) Hàm tuyệt đối: Tìm GTLN và NN của các hàm số sau: 1) [ ] 2 3 2 ,. − + Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2 3) 2 1 2 2 x y x x − = + + Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2 4) 2 2 1 1 x y x x + = + + 2 Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2 5) 2 2