1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

sang tao

22 151 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 22
Dung lượng 2,17 MB

Nội dung

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥  ÷   3 3 3 a b a b 2 2 2. Chứng minh: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥ 3 3 3 a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b 6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R 7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh: + + + +   ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b 12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 1 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ≥ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥  ÷  ÷     m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z + 5. Chứng minh: + + ≥ + + ≥ bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh: + ≥ − + 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +  ÷   + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + −ab a b 1 b a 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( ) ( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc c)     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ − 1 x 3 x y y 16. Chứng minh: a) + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ,∀x ∈ R b) + ≥ − x 8 6 x 1 , ∀x > 1 c) + ≥ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh: + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R 19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ≥ 4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số) b. + + ≥ 3 a b c 3 abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: + + ≥ 3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho = + x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho = + > − x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho = + > − + 3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho = + > − x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho = + − x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho + = 3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của + + = 2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của = + 2 3 2 f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤ 5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − 1 2 ≤ x ≤ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho = + 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN 38. Cho ( ) = + 2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN 3 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + ≤sinx cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 ≥ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 ≥ 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 ≥ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 ≥ 2. 7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: + ≥ 2 2 1 a b 2 Lời giải : I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥  ÷   3 3 3 a b a b 2 2 (*) (*) ⇔ + +   − ≥  ÷   3 3 3 a b a b 0 2 2 ⇔ ( ) ( ) + − ≥ 2 3 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 ()  a + b ≤ 0 , () luôn đúng.  a + b > 0 , () ⇔ + + + − ≤ 2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2 ⇔ ( ) − ≥ 2 a b 0 4 , đúng. Vậy: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 . 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥ 3 3 3 a b a b 2 2 ⇔ ( ) + + ≤ 3 3 3 a b a b 8 2 ⇔ ( ) ( ) − − ≤ 2 2 3 b a a b 0 ⇔ ( ) ( ) − − + ≤ 2 3 b a a b 0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a () () ⇔ + ≥ +a a b b a b b a ⇔ ( ) ( ) − − − ≥a b a a b b 0 ⇔ ( ) ( ) − − ≥a b a b 0 ⇔ ( ) ( ) − + ≥ 2 a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b () 4 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức ⇔ + − − ≥ + + + + 2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ≥ + + + + 2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ≥ + + + + 2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab ⇔ −   − ≥  ÷ + + +   2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( )   − + − − ≥  ÷  ÷ + + +   2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − ≥ + + + 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM.  Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0. 6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e ⇔ − + + − + + − + + − + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 ⇔         − + − + − + − ≥  ÷  ÷  ÷  ÷         2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 x y x z y z 0 9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3  + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca  + + + + + + + + +   = ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3 ⇔ + + + + ≥ a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh: + + + +   ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 3 3  ( ) ( ) + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c 2 a b c ( ) ( ) ≥ + + + + + = + + 2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c ⇒ + + + +   ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 5 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng ⇔ ( ) − − + + − ≥ 2 2 2 a a b c b c 2bc 0 4 ⇔ ( )   − − ≥  ÷   2 a b c 0 2 . 11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2a 2b 2 2ab 2a 2b 0 ⇔ − + + + + + + + ≥ 2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz ⇔ + + − + − ≥ 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0 ⇔ (x – y + z) 2 ≥ 0. 13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2x(xy x z 1) ⇔ + + + − + − − ≥ 4 4 2 2 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 2 2 x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4 ° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3 ⇒ a 3 + b 3 =   − + ≥  ÷   2 1 1 1 3 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 ⇔ (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2  > − > − > −a b c , b a c , c a b ⇒ > − + 2 2 2 a b 2bc c , > − + 2 2 2 b a 2ac c , > − + 2 2 2 c a 2ab b ⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)  ( ) > − − 2 2 2 a a b c ⇒ ( ) ( ) > + − + − 2 a a c b a b c  ( ) > − − 2 2 2 b b a c ⇒ ( ) ( ) > + − + − 2 b b c a a b c  ( ) > − − 2 2 2 c c a b ⇒ ( ) ( ) > + − + − 2 c b c a a c b ⇒ ( ) ( ) ( ) > + − + − + − 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a ⇔ ( ) ( ) ( ) > + − + − + −abc a b c a c b b c a c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 ⇔ 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0 ⇔ 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0 ⇔ (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0 ⇔ [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0 ⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác ⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 6 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: ⇒ + ≥a b 2 ab , + ≥b c 2 bc , + ≥a c 2 ac ⇒ ( ) ( ) ( ) + + + ≥ = 2 2 2 a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ⇒ + + ≥ 3 a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c ⇒ ( ) ( ) + + + + ≥ = 3 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c ≥ 0.  ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + + 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.  + + ≥ 3 a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2 ab ac bc 3 a b c  ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + + + = + 3 3 2 2 2 3 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥  ÷  ÷     m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z +  +           + + + ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           ≥ = m m m m m m m 1 a b a b b a 1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh: + + ≥ + + > bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: + ≥ = 2 bc ca abc 2 2c a b ab , + ≥ = 2 bc ba b ac 2 2b a c ac , + ≥ = 2 ca ab a bc 2 2a b c bc ⇒ + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 () () ⇔ + + ≥ 6 9 2 3 x y 64 12x y ⇔ ( ) ( ) + + ≥ 3 3 2 3 3 2 3 x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( ) ( ) + + ≥ = 3 3 2 3 3 2 3 2 3 x y 4 3x y 4 12x y . 7 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 7. Chứng minh: + ≥ − + 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a () () ⇔ + + + + ≥ + 4 4 2 2 2 1 a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: + + 4 4 2 2 1 a , a , a 1, 1 a ( ) + + + + ≥ + = + + 4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 () , a > 0 () ⇔ > − ⇔ + > 1995 1995 a 1995a 1995 a 1995 1995a + > + = + + + + ≥ = 1 4 2 4 3 1995 1995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 . 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . ° ( ) ( ) ( ) + + + + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° + + + + + ≥ = 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +  ÷   + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c ° ≤ = + 2 2 a a 1 2ab 2b a b , ≤ = + 2 2 b b 1 2bc 2c b c , ≤ = + 2 2 c c 1 2ac 2a a c ° Vậy:   + + ≤ + +  ÷   + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + −ab a b 1 b a 1 . ° ( ) ( ) = − + ≥ − = − + ≥ −a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1 ° ≥ − ≥ −ab 2b a 1, ab 2a b 1 ° ≥ − + −ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° ( ) ( ) = − + = − + + + −x x 1 1 x 1 x y z 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − + − ≥ − − − 2 4 x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tương tự: ( ) ( ) ( ) ≥ − − − 2 4 y 4 x 1 y 1 z 1 ; ( ) ( ) ( ) ≥ − − − 2 4 z 4 x 1 y 1 z 1 ⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( ) ( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . 8 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức ° ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + ≥ − − 3 a a b b c c 3 a b b c c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. ° +   ≥  ÷   2 b c bc 2 ⇔ ( ) + −     ≤ = = −  ÷  ÷     2 2 2 b c 1 a 16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2 ° ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   − = − − = − − − ≤ − = +   2 2 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ =2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     1 1 1 1 1 1 64 a b c ° + + +     + = ≥  ÷  ÷     4 2 1 a a b c 4 a bc 1 a a a ° + ≥ 4 2 1 4 ab c 1 b b ° + ≥ 4 2 1 4 abc 1 c c      + + + ≥  ÷ ÷ ÷     1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ − 1 x 3 x y y  ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + + ≥ = − − 3 x y y 1 VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a) + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ⇔ + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ⇔ + + ≥ + 2 2 x 1 1 2 x 1 b) + − x 8 x 1 = − + = − + ≥ − = − − − x 1 9 9 9 x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c. ( ) ( ) + + ≥ + = + 2 2 2 a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 ⇔ + ≥ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 ° Vì : + ≥a b 2 ab ⇒ ≤ = + ab ab ab a b 2 2 ab , ≤ = + bc bc bc b c 2 2 bc , ≤ = + ac ac ac a c 2 2 ac ° + + ≥ + +a b c ab bc ca , dựa vào: + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca . 9 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng ° + + + + + + ≤ ≤ + + + ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 18. Chứng minh: + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R ° ( ) = ≤ = + + 2 2 2 4 2 2 x x x 1 8 1 16x 2.4x 1 4x ° ( ) = ≤ = + + 2 2 2 4 2 2 y y y 1 8 1 16y 2.4y 1 4y  + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y 19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. ° a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) ° + − + − + − = = = Y Z X Z X Y X Y Z a , b , c 2 2 2 °         + + = + + + + + −  ÷  ÷  ÷   + + +         a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z [ ] ≥ + + − = 1 3 2 2 2 3 2 2 . Cách khác: °       + + = + + + + + −  ÷  ÷  ÷ + + + + + +       a b c a b c 1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b ( ) ( ) ( ) [ ]   = + + + + + + + −  ÷ + + +   1 1 1 1 a b b c c a 3 2 b c a c a b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ° ( ) ( ) ( ) [ ]   + + + + + + + ≥ − =  ÷ + + +   1 1 1 1 9 3 a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc ° ( ) ( ) ( ) + = + − + ≥ + 3 3 2 2 a b a b a ab a a b ab ⇒ ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự ° ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 b c abc b c bc abc bc a b c ° ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 c a abc c a ca abc ca a b c 10

Ngày đăng: 19/09/2013, 12:10

Xem thêm

w