Bài báo trình bày về vấn đề tối thiểu hoá tổng thời gian hoàn thành các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn, đồng thời chứng minh được điều kiện cần và đủ của vấn đề tối ưu, đối với vấn đề này đó là quy tắc WSPT.
Chun mục: Thơng tin & Trao đổi - TẠP CHÍ KINH TẾ & QUẢN TRỊ KINH DOANH SỐ 04 (2017) Tạp chí Kinh tế Quản trị Kinh doanh Journal of Economics and Business Administration Chỉ số ISSN: 2525 – 2569 Số 04, tháng 12 năm 2017 MỤC LỤC Trần Thùy Linh, Trần Thị Bình An - Nâng cao hiệu thi hành pháp luật phòng vệ thương mại Việt Nam Vũ Xuân Trƣờng - Một số vấn đề chiến lược phát triển nguồn nhân lực nhằm xây dựng thương hiệu doanh nghiệp kỷ nguyên số………………………………………………………………… Nguyễn Văn Hùng, Đàm Văn Khanh - Thúc đẩy thu hút đầu tư vào tỉnh phía bắc Việt Nam Kinh nghiệm thành công tỉnh Quảng Ninh .13 Cù Phúc Thành, Nguyễn Thị Mai Hƣơng, Bế Hùng Trƣờng - Những thành tựu nguyên nhân thành tựu cải cách kinh tế Trung Quốc .17 Trần Thùy Linh, Đồng Đức Duy - Hợp đồng nhượng quyền thương mại nguy xác lập hành vi lạm dụng vị trí thống lĩnh thị trường 23 Đỗ Minh Tuấn - Đề xuất số kinh nghiệm giải việc làm cho lao động nơng thơn tỉnh Thanh Hóa q trình cơng nghiệp hóa thị hóa 28 Phạm Hồng Trƣờng, Nguyễn Quỳnh Hoa, Phạm Thị Linh - Tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành cơng việc c tr ng số hác tr n mô h nh máy đơn sản xuất 34 Trần Văn Nguyện, Vũ Việt Linh - Tăng trưởng xanh Việt Nam - Góc nhìn từ tác động lượng tăng trưởng kinh tế đến khí thải Các-bon: Bằng chứng toàn diện từ phương pháp ARDL .38 Trần Thanh Tùng, Nguyễn Thị Thu Hằng, Đỗ Thanh Phúc, Hồng Thanh Hải - Mơ hình phân tích yếu tố tác động đến cầu lao động doanh nghiệp tỉnh Thái Nguyên 45 Nguyễn Quang Huy, Trần Thị Kim Anh - Chế độ bảo hiểm thai sản theo luật bảo hiểm xã hội năm 2014 – Một số tồn phương hướng hoàn thiện 50 Trần Xuân Thủy, Nguyễn Thanh Tú, Nguyễn Ngọc Lý - Chất lượng tăng trưởng kinh tế thành phố Yên Bái: Thực trạng giải pháp .55 Bùi Đình Hòa, Đỗ Xn Luận, Bùi Thị Thanh Tâm, Lò Văn Tiến - Xác định nhu cầu xây dựng nhãn hiệu tập thể hộ trồng cà phê huyện Mường Ảng, tỉnh Điện Biên 60 Lê Ngọc Nƣơng, Chu Thị Vân Anh - Các nhân tố ảnh hưởng đến động lực làm việc người lao động cơng ty xây dựng cơng trình giao thông – Trường hợp nghiên cứu Công ty Cổ phần Quản lý Xây dựng Giao thông Thái Nguyên .68 Nguyễn Đức Thu, Nguyễn Vân Anh - Phát triển ền vững oanh nghiệp nh vừa lĩnh vực sản xuất vật liệu x y ựng tr n địa àn tỉnh Thái Nguyên 72 Hoàng Thái Sơn, Nguyễn Thị Hồng, Nguyễn Văn Định, Vũ Thị Thanh Mai - Giải pháp phát triển nguồn nhân lực công ty nhiệt điện Cao Ngạn 78 Lê Thị Anh Quyên - Thực trạng mua, bán nợ tổ chức tín dụng VAMC trái phiếu đặc biệt 85 Phạm Minh Hƣơng, Trần Văn Quyết, Nguyễn Thị Minh Huệ - Li n ết v ng thu hút đầu tư phát triển inh tế x hội hu vực Đông Bắc……………………………………………………….… 92 Trƣơng Đức Huy - Lựa ch n đánh giá hiệu tập phát triển thể lực cho nam sinh viên K52 trường Đại h c Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên 97 Chuyên mục: Kinh tế & Quản lý - TẠP CHÍ KINH TẾ & QUẢN TRỊ KINH DOANH SỐ 04 (2017) TỐI THIỂU HĨA TỔNG THỜI GIAN HỒN THÀNH CÁC CƠNG VIỆC CĨ TRỌNG SỐ KHÁC NHAU TR N MƠ HÌNH MÁY ĐƠN TRONG SẢN XUẤT Phạm Hồng Trƣờng1, Nguyễn Quỳnh Hoa2, Phạm Thị Linh3 Tóm tắt Bài báo trình bày vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hồn thành công việc mô h nh máy đơn, đồng thời đưa quy tắc WSPT (Weighted Shortest Processing Time fisrt) điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu Nếu xếp công việc theo thứ tự không tăng tỷ số để thực (trong đó, pj wj thời gian thực trọng số công việc Tj ), tổng thời gian hồn thành cơng việc đạt giá trị nhỏ Ngược lại, dãy cơng việc có trọng số khác thực có tổng thời gian hồn thành nhỏ th dãy cơng việc có xếp tuân theo quy tắc WSPT Từ khóa: Sắp xếp tối ưu, tối ưu hóa, mơ h nh tốn học, thời gian hoàn thành MINIMIZING THE TOTAL WEIGHTED COMPLETION TIME OF JOBS ON THE SINGLE MACHINE MODEL Abstract The paper presented the minimum total weighted completion time of jobs on the single machine model Simultaneously, it indicated that WSPT rule (Weighted Shortest Processing Time fisrt) is a necessary and sufficient condition for the optimization problem The optimal solution of this one machine problem is obtained if we sequence the jobs according to non-increasing ratios Keywords: Optimal arrangement, Optimization, Mathematical model, Completion time Ba yếu tố: Máy xử lý, nhiệm vụ (hoặc công Giới thiệu việc) hàm mục tiêu tạo thành vấn đề trình tự Vấn đề trình tự xếp vấn đề tổ hợp xếp Số lượng loại h nh điều kiện tối ưu h a quan tr ng, đ sử dụng số máy máy xử lý có gần 10 trường hợp hác nhau, điều xử lý, máy móc, nguồn lực để hoàn thành tối ưu kiện ràng buộc nhiệm vụ (công việc) số lượng nhiệm vụ cơng việc đ cho liệu có phức tạp rắc rối, thêm Khi thực giải nhiệm vụ vào đ y u cầu cần đặt không giống công việc này, cần th a mãn số điều hàm mục ti u đ tạo nhiều loại hình kiện giới hạn như: Thời gian đạt đến, thời gian trình tự xếp phong phú đa ạng hạn định phải hoàn thành, thứ tự thực Ta dùng ba thành phần ản dạng nhiệm vụ… Mục đích làm cho hàm mục tiêu thức loại hình vấn đề trình tự xếp đạt giá trị tối ưu, đ hàm mục tiêu thông sau: thường khoảng thời gian thực hiện, cách thức α|β|γ hiệu suất sử dụng máy xử lý Trong đ , vị trí α iểu thị số lượng loại hình, Trong phân loại vấn đề trình tự xếp, điều kiện máy xử lý, vị trí đ c thể là: tất liệu số liệu biết + 1: máy đơn (1 máy xử lý) trước tiến hành thực th g i vấn + Pm: m máy đồng tốc đề trình tự xếp xác định Nếu c vài + Qm: m máy tốc liệu số liệu chưa biết, số liệu đ Vị trí β iểu thị tính chất, hạn chế, yêu cầu, vài biến lượng ngẫu nhi n, phân chủng loại liệu Số lượng điều kiện ràng bố chúng đ iết, hi đ vấn đề buộc ảnh hưởng nhiệm vụ (hoặc cơng g i vấn đề trình tự xếp ngẫu nhiên Dù việc) Vị trí có lúc nhiều điều vấn đề trình tự xếp ngẫu nhi n hay xác định, kiện theo yêu cầu vấn đề Vị trí đ c thể là: ta giả sử sau: + ri : Các nhiệm vụ có thời gian đạt đến (1) Số nhiệm vụ (hoặc công việc) số máy khơng giống Nếu vị trí β hơng c mặt ri , xử lý hữu hạn điều đ c nghĩa ri = 0, ∀j = 1, 2, , m (2) Trong khoảng thời gian + pmtn: Thời gian thực gián đoạn máy xử lý xử lý Nếu vị trí β hơng c xuất u nhiệm vụ thứ tự nhiệm vụ đ cầu này, điều đ c nghĩa tập nhiệm vụ 34 Chuyên mục: Kinh tế & Quản lý - TẠP CHÍ KINH TẾ & QUẢN TRỊ KINH DOANH SỐ 04 (2017) khơng có quan hệ (các nhiệm vụ khơng có ràng buộc lẫn nhau) Vị trí γ iểu thị hàm mục tiêu cần tối ưu h a, vị trí đ c thể là: + Cmax: Độ dài thời gian biểu tối đa; + ∑ : Tổng thời gian hoàn thành; +∑ : Tổng thời gian hồn thành cơng việc có tr ng số khác Vấn đề trình tự xếp tr n máy đơn vấn đề trình tự xếp đơn giản nhất, đồng thời vấn đề xếp quan tr ng Vấn đề trình tự xếp máy đơn tương đối dễ t m phương pháp giải quyết, phương pháp có tác dụng cụ thể việc nghiên cứu vấn đề trình tự xếp phức tạp hơn, c thể giúp cho việc tìm thuật tốn xấp xỉ vấn đề trình tự xếp tr n máy đơn giới thiệu vấn đề tồn sống thực, có bối cảnh thực tế Vì vậy, vấn đề trình tự xếp tr n máy đơn c phạm vi ứng dụng lớn, nâng cao hiệu xuất lao động, c ý nghĩa to lớn [2, 5] Trong tr nh t m phương pháp giải trình tự xếp, thường giả sử vài tham số công việc đ iết trước như: Thời gian thực công việc, tầm quan tr ng công việc (giá thành công việc), thời gian trễ công việc tr nh tham gia vào tr nh thực hiện… Mục ti u đặt phải lập tr nh xếp công việc đ để t m lời giải tối ưu.Việc t m thiết lập ế hoạch thực tối ưu giúp cho nhà sản xuất đảm ảo điều iện: Đáp ứng hạn giao hàng, tối thiểu h a chậm trễ (nếu c ) công việc tham gia vào tr nh thực hiện, tối thiểu h a tổng thời gian hồn thành cơng việc, tối thiểu h a thời gian gia hạn thực sản phẩm Một hàm mục tiêu quan tr ng vấn đề trình tự xếp tr n máy đơn cực tiểu hóa tổng thời gian hồn thành thực nhiệm vụ có tr ng số khác Peter Brucker đ đưa điều kiện đủ để dãy cơng việc T1,T2 trình tự tối ưu Công việc (Tj) Thời gian thực tương ứng (pj) (đơn vị tính: phút) Tr ng số wj vấn đề cực tiểu hóa thời gian hồn thành thực nhiệm vụ có tr ng số hác Đ dãy công việc đ phải th a mãn quy tắc WSPT (Weighte Shortest Processing Time fisrt) th đạt trình tự xếp tối ưu Theo quy tắc này, nhiệm vụ dựa vào thứ tự hông tăng tỷ số để thực Trong báo giới thiệu vấn đề tối thiểu h a tổng thời gian hoàn thành thực cơng việc có tr ng số khác nhau, tr n mô h nh máy đơn (một máy) đồng thời đưa điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu vấn đề đ Vấn đề tổng thời gian hoàn thành thực cơng việc có trọng số khác mơ hình máy đơn Trước hết, chúng tơi đưa số kí hiệu sau: Tj cơng việc thứ j dãy công việc đưa ra; pj thời gian thực công việc Tj; wj thời tr ng số công việc Tj; ∑ thời gian hồn thành cơng việc Tj Khi đ , ∑ tổng thời gian hoàn thành cơng việc có tr ng số khác từ T1 đến Tn Vấn đề ‖∑ g i vấn đề tổng thời gian hoàn thành thực cơng việc có tr ng số hác tr n mô h nh máy đơn Nhiệm vụ phải tối thiểu hố tổng thời gian hồn thành ∑ Vấn đề tối thiểu hoá ∑ g i vấn đề tối thiểu h a tổng thời gian hồn thành thực cơng việc có tr ng số hác nhau, tr n mơ h nh máy đơn Xét tốn sau: Tính tổng thời gian hồn thành cơng việc có tr ng số khác thứ tự từ công việc T1 → T2 →T3 → T4 → T5 với liệu cho theo bảng sau: T1 T2 T3 T4 T5 12 11 5 Ta có: 35 Chuyên mục: Kinh tế & Quản lý - TẠP CHÍ KINH TẾ & QUẢN TRỊ KINH DOANH SỐ 04 (2017) Khi đ , tổng thời gian hồn thành cơng việc có tr ng số khác là: ∑ 4.12 + 2.16 + 5.23 + 5.34 + 6.40 = 605 (phút) Mặt khác, thay đổi thứ tự công việc thành T2 → T3 → T1 →T5 → T4 Với cách tính tương tự, ta có, tổng thời gian hồn thành cơng việc có tr ng số khác là: ∑ Như vậy, thấy rằng, hi thay đổi thứ tự thực cơng việc, tổng ∑ khác Vậy, vấn đề đặt là, thực thực tập hợp công việc với thời gian thực công việc đ định sẵn, thứ tự thực cơng việc đ n n xếp để tổng thời gian hồn thành cơng việc đạt giá trị nh nhất? Sau đ y nghiên cứu vấn đề đ P Bruc er đ chứng minh kết sau đ y: Quy tắc WSPT (Weighted Shortest Processing Time first) giải vấn đề tối ưu vấn đề tối thiểu hố tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số khác mơ h nh máy đơn Trong đ , quy tắc WSPT: quy tắc xếp thứ tự công việc thực theo thứ tự không tăng tỷ số để thực Áp dụng quy tắc WSPT ta đạt trình tự xếp tối ưu Tuy nhi n, điều ngược lại chưa chứng minh Nghĩa Khi y cơng việc xếp theo trình tự tối ưu (tổng thời gian hồn thành cơng việc tr n mô h nh máy đơn nh nhất) thứ tự cơng việc có thoả mãn quy tắc WSPT hay không? Định lý: Điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu vấn đề tối thiểu hố tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số khác mơ h nh máy đơn dãy công việc xếp tuân theo quy tắc WSPT Chứng minh: - Nếu dãy công việc đ cho xếp theo quy tắc WSPT theo P Brucker [3] y đ cho tối ưu Nghĩa hi đ , tổng thời gian hoàn thành công việc tr n mô h nh máy đơn nh - Ta chứng minh điều ngược lại Giả sử dãy n công việc đ cho tối ưu (giả sử dãy tối ưu kí hiệu dãy ᴫ) Ta phải chứng minh dãy công việc đ tu n theo quy tắc WSPT Thật Giả sử y tr nh tự tối ưu ᴫ không tuân theo quy tắc WSPT Khi đ , y tr nh tự tồn hai nhiệm vụ cạnh Tj Tk (Tj 36 đứng trước Tk) cho Giả sử nhiệm vụ < Tj đầu gia công vào thời điểm t Ta thay đổi thứ tự π sau: hai nhiệm vụ Tj Tk giữ nguy n vị trí nhiệm vụ lại, ta y tr nh tự hác, giả sử ᴫ' Như vậy, y ᴫ', thời gian đầu gia công Tk t, Tj sau Tk Dễ thấy rằng, khác biệt tổng thời gian hoàn thành nhiệm vụ có tr ng số khác ᴫ ᴫ' phụ thuộc vào tổng thời gian hoàn thành nhiệm vụ Tj Tk Trong dãy trình tự ᴫ, thời gian hồn thành (của nhiệm vụ có tr ng số khác nhau) Tj Tk là: ( ) Còn dãy trình tự ᴫ' thời gian hồn thành (của nhiệm vụ có tr ng số khác nhau) Tj Tk là: Do đ , ch nh lệch tổng thời gian hoàn thành (của nhiệm vụ có tr ng số khác nhau) hai dãy trình tự (∑ ( ) ) (∑ ( ) ) ( ) ( Do < ) nên trình tự π hơng phải trình tự tối ưu Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta c điều phải chứng minh Quay trở lại với ví dụ trên, áp dụng quy tắc WSPT, ta có trình tự tối ưu [T5, T3, T2, T4, T1] tổng thời gian hoàn thành nhiệm vụ có tr ng số khác là: ∑ Kết luận Bài áo đ tr nh ày vấn đề tối thiểu hố tổng thời gian hồn thành cơng việc có tr ng số hác tr n mơ h nh máy đơn, đồng thời chứng minh điều kiện cần đủ vấn đề tối ưu, vấn đề đ quy tắc WSPT Tức là, xếp công việc theo thứ tự Chuyên mục: Kinh tế & Quản lý - TẠP CHÍ KINH TẾ & QUẢN TRỊ KINH DOANH SỐ 04 (2017) hơng tăng tỷ số để thực hiện, tổng hoàn thành nh th hi đ y xếp công việc tuân theo quy tắc WSPT thời gian hồn thành cơng việc đạt giá trị nh Ngược lại, dãy công việc có tr ng số khác thực có tổng thời gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Việt Hưng (2016) Một số vấn đề xếp lập kế hoạch gia công tối ưu tr n mô h nh máy đơn Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng Trường Đại h c Khoa h c - Đại h c Thái Nguyên [2] P.H Truong & L.X Wen (2014) The inverse Parallel Machine Scheduling Problem With Minimum Total Completion Time Journal of Industrial and Management Optimization, Vol 10(2), 613620 [3] P Brucker (2011) Scheduling algorithms Berlin: Springer [4] M Pinedo (1995) Scheduling: Theory, Algorithm and Systems Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ [5] Y Lin & X Wang (2007) Necessary and sufficient conditions of optimality for some classical scheduling problems European Journal of Operational Research, Vol 176, 809-818 Thông tin tác giả: Phạm Hồng Trƣờng - Đơn vị công tác: Khoa KHCB – Trường ĐH Kinh tế & QTKD - Địa email: phamhongtruong888@gmail.com Nguyễn Quỳnh Hoa - Đơn vị công tác: Khoa KHCB – Trường ĐH Kinh tế & QTKD Phạm Thị Linh - Đơn vị công tác: Khoa KHCB – Trường ĐH Kinh tế & QTKD Ngày nhận bài: 02/08/2017 Ngày nhận sửa: 11/12/2017 Ngày duyệt đăng:15/01/2018 37 ... đề tổng thời gian hoàn thành thực cơng việc có tr ng số hác tr n mô h nh máy đơn Nhiệm vụ phải tối thiểu hố tổng thời gian hồn thành ∑ Vấn đề tối thiểu hoá ∑ g i vấn đề tối thiểu h a tổng thời. .. sau: Tj cơng việc thứ j dãy công việc đưa ra; pj thời gian thực công việc Tj; wj thời tr ng số công việc Tj; ∑ thời gian hồn thành cơng việc Tj Khi đ , ∑ tổng thời gian hoàn thành cơng việc có tr... sản xuất đảm ảo điều iện: Đáp ứng hạn giao hàng, tối thiểu h a chậm trễ (nếu c ) công việc tham gia vào tr nh thực hiện, tối thiểu h a tổng thời gian hồn thành cơng việc, tối thiểu h a thời gian