Học như thế nào

Trong phần này tôi xin nêu một ví dụ điển hình về ứng dụng kết quả của bài toán trong sách giáo khoa hình học lớp 9: Bài 1: (Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-tập II) Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ hai cát tuyến MAB và MCD với đờng tròn. Chứng minh rằng: MA.MB = MC.MD D C O B A M GT: MAB và MCD là hai cát tuyến của (O) KL: MA.MB = MC.MD. Chứng minh: Xét MAD và MCB có: M là góc chung; MBC = MDA ( cùng chắn cung AC) MAD ~ MCB MDMCMBMA MB MD MC MA == (đpcm) Bài 2:( Bài 33-sgk-trang 80-hình học lớp 9-tập II) Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh rằng MT 2 = MA.MB. O B A T M GT: (O) ; MT là tiếp tuyến (O) MAB là cát tuyến. KL: MT 2 = MA.MB Chứng minh: Xét MTA và MBT có M chung; MTA = TBM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AT) MTA ~ MBT MBMAMT MT MA MB MT . 2 == (đpcm) Đây là hai bài toán khá đơn giản song kết luận của bài toán khá quan trọng giúp chúng ta giải quyết đợc mộp lớp bài toán có liên quan đến kết luận của hai bài toán này. Sau đây là các bài toán mà trong quá trình giải sử dụng kết quả của hai bài toán trên. Bài 3: Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ cát tuyến MAB với đờng tròn. Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến. Chứng minh: Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT với đờng tròn (O) Theo kết quả của bài toán 2. Ta có: MTA ~ MBT MBMAMT MT MA MB MT . 2 == Do M cố định nên đoạn thẳng MT không O B A T M đổi MA. MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB. Nhận xét: Đây là bài toán không đơn giản đối với học sinh trung bình và khá nếu học sinh cha biết đến hai bài toán trên. Bài toán 3 chẳng qua là cách phát biểu khác với bài toán 1 và bài toán 2. Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B . Kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đờng tròn ( M (O); N (O'); đờng thẳng AB cắt MN tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm của MN. Chứng minh: Sử dụng kết luận của bài toán 2 .Ta có: Xét (O) IM 2 = IA . IB Xét (O') IN 2 = IA . IB IM 2 = IN 2 IM = IN I là trung điểm của đoạn MN. I O' O M N B A Nhận xét: Bài toán 4 đợc tạo ra từ bài toán 2 song mức độ khó hơn nếu học sinh không có t duy linh hoạt sáng tạo thì rất khó tìm ra ngay lời giải của bài toán 4. Tuy nhiên nếu biết khai thác kết luận của bài toán 2 thì lời giải thật đơn giản. Bài 5: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đ- ờng tròn. Gọi BD là dây của đờng tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với đờng tròn, I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC. Hớng dẫn HS dựa vào bài toán 2 tìm cách chứng minh . Ta cần chứng minh: IC = IA Theo bài toán 2 ta có: IC 2 = IE . IB Vậy ta chỉ cần chứng minh: IA 2 = IE . IB. Để có IA 2 = IE. IB ta chứng minh IAE ~ IBA I E D C O B A Chứng minh: Theo kết quả của bài toán 2 ta có: IC 2 = IE. IB (1) Có : AC // BD BDA = IAE ( so le) Mà BDA = ABI ( Góc nội tiếp và góc tạo bởi 1tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE) IAE = IBA. Xét IAE và IBA có I chung; IAE = IBA. IAE ~ IBA IA IE IB IA = IA 2 = IE . IB (2) Từ (1) và (2) IC 2 = IA 2 IC = IA I là trung điểm của AC. Nhận xét: Trong bài toán này nhờ có kết quả của bài toán 2 nên con đờng tìm dến lời giải dễ dàng mạch lạc hơn. Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính của đờng tròn đi qua A và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đờng tròn đó bằng 4cm. Chứng minh: Gọi F là giao điểm của DA với đờng tròn (O) Có FAB = 90 0 FB là đờng kính. áp dụng bài toán 2 ta có: DE 2 = DA. DF = DA( DA + AF ) 16 = 2.( 2 + AF ) => AF = 6 (cm) ABF có A = 90 0 Ta có: BF 2 = AB 2 + AF 2 = 2 2 + 6 2 = 40 BF = 2 10 Vậy bán kính đờng tròn là 10 cm. O F E D C BA Bài 7: Qua điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn. Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đờng vuông góc với AO, cắt AO tại H và cắt đờng tròn (O) tại E và F ( E nằm giữa K và F ). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng tứ giác EMOF nội tiếp đờng tròn. Hớng dẫn học sinh tìm lời giải. Để tứ giác EMOF nội tiếp ta cần chứng minh F 1 = M 1 muốn vậy ta chỉ ra KME ~ KFO cần có thêm KE . KF = KM . KO theo bài toán 2 thì KE . KF = KC 2 nên ta chỉ cần chứng tỏ KM . KO = KC 2 Chứng minh: 1 1 H M K O F E C B A Từ kết luận của bài toán 2 ta có : KC 2 = KE . KF (1) KCO có C = 90 0 , CM OK KC 2 = KM. KO (2) Từ (1)(2) KE . KF = KM . KO KF KM KO KE = KEM và KOF có K là góc chung; KF KM KO KE = KEM ~ KOF M 1 = F 1 mà M 1 + EMO = 180 0 F 1 + EMO = 180 0 Tứ giác EMOF nội tiếp đợc đờng tròn. Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H. Gọi AM, AN là các tiếp tuyến với đờng tròn (O) đờng kính BC ( M, N là các tiếp điểm ) Chứng minh rằng a/ AMDN là tứ giác nội tiếp. d/ M,H,N thẳng hàng. Hớng dẫn tìm cách chứng minh M,H,N thẳng Ta cần chứng tỏ AHN + AHM = 180 0 trong khi biết AND + AMD = 180 0 Ta cần chứng tỏ: AHN =AND; AHM = AMD Để chứng tỏ: AHN =AND; ta cần chứng minh AHN ~ AND cần có thêm AN 2 = AH.AD Theo bài toán 2 ta có: AN 2 = AE. AC Ta cần chỉ ra AH. AD = AE.AC điều này có đợc từ bài toán 1 do DHEC là tứ giác nội tiếp. N H M O E D C B A Chứng minh: a/ Dễ chứng minh đợc các điểm A,M,D,N thuộc đờng tròn đờng kính AO. b/ Có AN là tiếp tuyến; AEC là cát tuyến của đờng tròn (O) nên theo bài toán 2 ta có : AN 2 = AE. AC (1) Dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp (E + D =180 0 ) nên AHD và AEC là hai cát tuyến theo bài toán 1 ta có: AH.AD = AE.AC (2) Từ (1) và (2) ta có: AN 2 = AH. AD hay AN AD AH AN = Xét AHN và AND có : A là góc chung ; AN AD AH AN = AHN ~ AND (c.g.c) AHN =AND (3) Tơng tự ta có: AHM ~ AMD AHM = AMD (4) Từ (3) (4) AHN +AHM = AMD + AND Mà AMDH là tứ giác nội tiếp AMD + AND = 180 0 AHN +AHM = 180 0 M, H, N thẳng hàng. Bài 9: Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AM, đờng phân giác AD . Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng BE = CF. Chứng minh: áp dụng kết quả bài toán 1 ta có: BE.BA = BD.BM BE = BA BDBM . (1) CF.CA = CM.CD CF = CA CDCM . (2) F E D M C B A Mặt khác AD là tia phân giác của A CA CD BA BD CA BA CD BD == (3); MB = MC (4) Từ (1)(2)(3)(4) BE = CF. Bài 10: Cho đờng nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB, điểm C thuộc bán kính OA. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn tại D. Đờng tròn tâm I tiếp xúc với nửa đờng tròn và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm trên AC của đờng tròn (I). Chứng minh BD = BE . Chứng minh: Gọi K là tiếp điểm của (O) và (I) ; kẻ IH CD mà CD AB IH // AB KIH = KOB mặt khác KIH cân tại I; KOB cân tại O IKH = OKB K,H,B thẳng hàng Do BE là tiếp tuyến, BHK là cát tuyến của (I) theo bài toán 2 ta có: BE 2 = BH.BK (1) ADB có D = 90 0 ; DC AB BD 2 = BC.BA (2) Có: AKHC là tứ giác nội tiếp (AKH +HCA = 180 0 ) Theo bài toán 1 ta có: BH.BK = BC.BA (3) Từ (1)(2)(3) BE 2 = BD 2 BE = BD. Bài 11: K H E I O D C BA Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A vµ B. D©y BC cña ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O') t¹i B. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. §êng th¼ng AI c¾t c¸c ®êng trßn (O);(O') theo thø tù t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng BDCE lµ h×nh b×nh hµnh. Chøng minh: Cã IB lµ tiÕp tuyÕn; IAE lµ c¸t tuyÕn cña (O') theo bµi to¸n 2 ta cã:IB 2 = IA.IE ∆ AIC ~ ∆ DIB ⇒ IB.IC = IA.ID mµ IB = IC ⇒ IA. IE = IA. ID ⇒ IE = ID Tø gi¸c BDCE cã IB = IC; IE = ID ⇒ tø gi¸c BDCE lµ h×nh b×nh hµnh. O' O I E D C B A . ứng dụng kết quả của bài toán trong sách giáo khoa hình học lớp 9: Bài 1: (Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-tập II) Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên. tuyến MAB. Nhận xét: Đây là bài toán không đơn giản đối với học sinh trung bình và khá nếu học sinh cha biết đến hai bài toán trên. Bài toán 3 chẳng qua