Giải thuật di truyền + cấu trúc dữ liệu = chương trình tiến hoá

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA H À NỘI TRƯỜNG ĐẠI H Ọ C KHOA H Ọ C T i ; NHIÊN - GIẢI THUẬT DI TRUYỀN CẨU TRÚC DỮ LIỆU = CHVOMG TRÌNH TICN HĨfl i rổi áp dụng Dhép biín d ổi gicn M ội dạng hệ trốn lóp J-c Chiến lược T iín hố, lớp g6m Ihuật tốn bấl chuức c i c nsuyẻn lý liín hoá irona lự nhiỗn để giàĩ cáo toán lối lAj hố có ibam số [3 ,3 ] l-orgel m ội phưưng pháp t'im kiốm ưong khơng gian "Lập Irình Tlõ'n h ố” cúa m áy hữu hạn nhò Kỹ ihuỊl ■‘lìm kiii'fn rải rác” cùa G lovcr trì m ội lộp điểm a cứu sinh cá thể bảng lổ hợp luyiin lính có irọny số M ộl loại h Ị ú ín hố k h i Thuậl ỉoán Di u y in Hà Ian(lS8Ị Năm 1990 K oiu [231] dã đtí xual m ộl loại hộ liín liố, L4p trình Di L'un lím kicm chương innh mdy lính tồi n h íl cho viủc gidi lodn dó ♦ Ta dùng m ột ihuẠi naữ chung, Chương irình Ticn hố (E P), ch o m ọi hỏ tiín hố k é cà hệ LỈã ùược liột kẻ trân ) N ội riung cùa EP dược irình bny irong hình O.I EP ỉ i ihuẠl lốn xác suủì ưi q u ìn ihể cd ihể, P(t) lại vòng lặp liiữ ĩ M ỗi cá ihò Jiú diỌn m ỏl lừi giài c ó iliO’ cũ:i loán dã cho T ron g EP, cá ihể dược biẩu ihị bảiiíi mộ: cấu irúc !iỏu (cõ Ihô phứo lạp) s M ỗi lời ciải x \ Jár.h giá '.heo độ :hích nahi lỉiòi irưOrng cùa lừi £Ìài Sau Jó, n;ội qn ih i m ứi (vò n g lập i + l) xáv dựna Dằng cách chạn cá thể có độ thích nghi cao (bước chọn lọ c) M ột sồ’ cá quán ỉhii mứi bị biốn đôi (bước biến J ôi) bầng cách áp dung phéo biến d ổi gien đỏ tạo lòi iiâ i mói Có nhiổu phép biến đổi; m, íđột biến) tao m ột cá thể bầng m ộl sửa đổi r.hỏ irèn mỌl cấ Ihổ (m, ; s -> S), vù phiíp bii'n cJdi bậc uao hưn Cj (íja o JÒi ch iu ) lậO >;ác cá ihể bang cách k íl hợp phán cùa nhi>íu cá Ihô (lừ hai irờ lốn) (c^: Sx xS —* S) Sau mộl sđ Ih.ồ' hộ, chương Irình sè hội lụ - với hy vọng cá ihể lốt n h đại dtện cho lời Ìài gán lối ưu p ro ced u re cvolution_proeram begin t< -0 khời lạo P(ỉ) dánh ciá P(t) •• w h ile (.noi dícu_kiiỊn_dừnc ) bcyiri I » - 1+1 chọn p(0 í P ( t - l) , ihay dổi P(0 đánh giá P(t) end H ìn h ] C ẩ u in ic chươiiỊỉ iriiilt tiế n h o X ét VÍ dụ sau Giả sừ la cần tìm m ộl đổ ihị ihồ mãn m ột số' điổu kiện (.chảng hạn tìm mộ: topo lối ưu cho m ội m ạng truyổr ihỗnc ihco tiơu ch í vổ chi phí truvổn tin, cíộ ùn cặy.v.v ) M ỏi cá thổ irong EP biổu thị m ột lời giải có ih ể tốn, nghía mỏi cá thổ đại diộn cho m ột đổ Ihị Tạp hạp ban đáu F(Q) cữa đổ thị (được khời lạo ncảu nhiôn Ih k iì quà cùa mội irình hcurisiic: nảo dó) diẩm xuú’i phá; (/= / EH Hàm đánh giá ihườnc dược cho săn - nổ k íl hợp u cáu cùa lốn Hàm đánh ciá trà vé độ thích nchi cùa m ỗi dổ ihị d ỉ phăn biột cá Ihể tơì xấu M ội số phép (iộ: biỂn cổn ihiÊi k ế đổ b iín đổi m ội đổ Ihị Các phép irao cỉổi chéo cũna cẩn thiối cho việc kết hợp cấu irúc cùa hai (hoặc nhiổu hơn) đổ thị Ihinh m ộl đ ổ thị Các phép biên dối Ihườns phài phù hợp vái lừna lốn cụ thể V í dụ, la cán lìin đíi ihị livi: thỏng khỏnc có chu irình (dố Ihị dạnc cay), phcp đột bicn cổ ihc xoá m ỏi cạnii đổ ihị Ihỗm cạnh m ói đc nối hai dổ thị ròi Ta c ó Ihể dùnc m ội cách k h ij ihiết k ế m ộl phép đột biến khốnc phụ Ihuộc loán đưa điổu kiện cùa lốii vào Irons hàm dánh iiìá đò ino hàm dánh giá irà £Ìá Irị ihẩp ch o dổ ihị khỏn c phiìi Ta tháy, xây dựng nhiốu EP cho lốn Các EP c ó Ihể khác nhíiu vé nhici: mật: cấu trúc liệu để biểu d iỉn m ột cá thổ, phép biến đổi gien, cách khừi lạo quấi ihé ban dẩu Iham sơ' (kích thước quẩn Ihể, xác suâì áp dụnp phcp bicn dối v.v ) Tuv nhiẾn, ch ú n s cổ mộ’ nguyÊn lý chunc: quần Ihổ trải qua sô' bicn đổi \iư on e irinh liốn hoá đổ, cá (hổ đấu iranh đi' sinh lổn Nlìư clã nói ữ uủii EP kliOiiỊi phài lù ý lưõiií: m ới mil tỉũ dược tiùn*; dốn troni; vùnc nãm nav Tịonu khồiis lliòi uian đó, nliiồu lìiỊ licn hố khúc nhnii phá: b'iwi: Nhưnc ironc cuởn sách n jy , la chi bàn Vií tươnc ii6iic giũu khuỏn mfiu Ja óạni: cú; EP Ta s c t n Vii cách xáy dựni; m ội EP ch o m ội lớp loíin cụ Ihố cấu Irt.v liộu ihích hợp (có lỉii plìứ: lạp) dùnc dc bicu d iĩn n h iỉm sác Uk (NST), mội lập m j rộna loán lữ cicn, ưong GA c ổ óicii cJiinc xảu nhị phân có dộ dji khùnc đổi (làm NST, cấu ưúc liộu S.I cho c í ihể hai plicp bicn đổi: đội biốn nhị phãri vìi ưao c5ổi chéo nhị phùn N ói cácn kiiác c i’u irúc c ù u m ộ l GA giơnu cấu U'úc mộ! EP (hình 0.1), dicm khác biột ẩn dưứi láng ihấp bon Trong EP, NST khỏii!: nluVi ihiốl piiài dược b iiu d iỉn hòi x£iu nhi piiiin, q Iiình bicn dổi liicn ban t:6m c;j ưác lojii lừ gicn khác pliù hợp với cấu irúc toán dà clio Đ ó khơnc hồn lồn lù mftl hướ.ic m ới Nàm 1985, Di; Jong v iíi [84j: • “ Ta phài làm ncu biẩu'3iỉn lự nhiòn nhấi phán lử irone khơng gian « lìm k iím lại c íu u ú c liiỊu phức tạp màng, cây, dổ ihị có hướng, v.v T a có nỗn “ ỉu y ín lính hố” chúng thành m ột biổu diỗn xâu, hay có cách định nghĩa lại irao đổi chéo dột biốn m ột cách sáng tạo để có Ihii dùng trực tiiip cấu trúc dó Tơi chưa ih íy m ột tiến U'ong lĩnh vực n ày ” Có lẽ b iiu diỏn lự n h iin mộl lời giùi cộng vứi mộl họ loán lừ gicn hữu dụng việc ước lượng lời giài cùa nhiiỉu loán Cách úếp cận dùng khuôn mả'j lự nhiồn ( E P ) , nhìn chung, mộl hướng giãi tốn hứa hẹn Bên cạn[\ khuồn mảu úốn hoá khác (chiốn lược tiín hố, EP lạp trình gicn ), nhà nghitìn cứu vẻ G A dã líiTi hiiiu bìiiu diỏn gicn khác, chánn hạn danh sách Ihứ lự (clio bãi xếp ba lô), em bedded lisl (ch o bùi xếp lịch sàn xuấi) vajiablc-olem enl lisl (bài Ihiết k ế mạch bán uán) Mưừi nãm UV iại đ ay dã ghi nhận i;hiổu biốn dạng ciia GA tuỳ Iheo dạng ứng đụng Các biến dạns g m có: dãy d ọ dài không cổ' dịnh (các phán lừ dãy ià diổu kiỌn nhân ouã), cấu trúc phức tạp XÃU nhị phản (v í dụ ma ưủn), cúc loán tử gien đuợc ihay đ ổ i phù liijp với diổu kitỊn icán Trong [285] c ó miỏu ù m ội GA dùng b a c k - D r o p a g a t i o n (một kỳ thuậi huả’n luvồii mạng nơ-ron) làm tốn lừ c ù n s vói hai phương pháp ưao đổi chéo dơt b iín dã dược cài liốii CỈIO phù hợp với m ạng nơ-ix>n Davis Ccom bs [65,761 c'il giói iliiiỊu m ội G A dàm nhiửm niỏl giai đoạn irình ihiốt k ỉ mạng ch u yin mạch (packet-sw itching network); biểu diễn nhị phân khôna dùng, GA r.ày dùng loán tử gien (số, ihống kẻ, sỏ i thức) Các loán tử khác xa trao đổi chéo đột biế:i nhị phân Phan lớn nhà nghiỏn cứu d i cài Uốn G A bàng cách dùng bi«ỉu điỗn khững lliuộc dạng x iu huv lliiốl k í loũn lử gicn dục biỌ[ dá pliù hợp với bili loán cần giãi N hiéu ihử ngiùỌm da đạna dược x i y dựng cho loán cụ thể, đơn giản khó áp dụng irực ìiốp G A chn cho m ột toán s6 Ihay dổi on s cẩu Lnic NST c£r ihiỏì Trong cuỏn sách này, lác sià dã cố ý lách khòi G A chuẩn dùng xáu nhị phàn: cấc lấc giả dã tìm kiếm cấu trúc liệu tốt lốn từ gien thích hợp vói cấu trúc nàv đ ể áp d ụ n s ch o nhiổu dạng bìii Bằnc cách thừ nehiộm c íu Uiíc phóp b iín dổi đó, chúng lôi Ihành lỊp hệ mức cao G A kinh điển M ội cảu hòi dược dặt ra: m ội chiến !ược tiến hố có phải mỌi Ihuật lốn eien hay khơng Đ ể iránn viộc phàn loại hộ liến hi, la gọì chúne m ội cáclì dơn àn “chương trình Liín hoá" (EP) Tai c h ú n t u lại rời bó G A d ì hưóna lới chưone irình lìín hố ir.ểm dèo hơn? Cho dù dă dưa vào lý ihuvởi cách đẹp đc G A khôns đem lại ứng dụng ihànli côna nỶiiểu ỉĩnh vực Có lẽ ih íl bại thành g G A có nguyỏn nhủn chính: G A khỏnj; phụ Ihuộo vào lốn M ột irong hộu quiì cùa ngăn nắp cùa G A (lính khơna phụ ihuộc) Ih bả't lực củ:i G A xử lý ràng buộc khơng tẩm thường Như dã nói trồn, N ST irong hẩu hốt G A dểu xủu nhị phan M ột v ín để qưan trọng cán dược xét ih iíi k ế biổu d iẻn lC;i siả i m ội lốn dó lù cách xừ lý rar.s buộc cùa toán dởi vái lời giải Như dược trình bày irong [74]: "Các diòu ki-Ịn ràng buộc có ihể dược xử lý bảng cách phạt diếm nặng cúc cá thỏ khơng Ihồ mãn, phạl điổm vừa phải, xây dựng cách giài mã biẩi' d iễn £Ìen cho Iiánh dưực vi(Ịc sinh cá ihổ khône hợp liỊ M ỏi cách đổu có ưu diCm nhược d iìm N íu tích hợp viộc Dhạt diểm vào ihủ lục đánh aiá tronc miiin xác dịiih có nhiéu khà nânc sinh cá thò khống họp !Ọ rùi ro cùa ta l i G A r c ó thii dùne píián lứn Ihời cian cho viộc dánh lời ciài khống hơp lộ Hơn oòn c ó thè xdv trưừne hợp m ội cá Ihì hợp lò ùm th ív , đẩy cá Ihì khác khòi quan the cuẩn th i hội lụ lai Jiu Jỏ ih i ,\ừ 'iV úó JÙI1;Ị Uico cácli Iiiiy." (M ục i;iứi ilii^Li ví c!ụ Vi5 brt uiài mã Uián sử;i v.'i nu't vài Ii.'iiT phạt đ iểm áp clụnc cho loón xốp ba lơ) IVone lẠp ìih tiín iiố ván xiá íhũà x ã n c ic r jn c buộc oó m ỏt sào :iú i ;5n thích hợ]> tốn tử liicn phù h(ip vói cách biiíu diỗn G lover, trone niỉhiiỉn cứu vé mẠt tốn phức tạp v é cấu h\nh bàn phím [ l - l l] dã viối; # "M ặc Jù iiwh luCu q cùa gíùi Uiuậl Uuvéiì r íl Ììú ) hỢỊ) cho hùi luân cau lùiỉi^ bùn phím , biéu cliỗn xiiu nhị phiin vỉi cdc lốn ỉù U*uv6n Ihrtng kh^ni: phù hiTp Vi*?; diẻu kiện bùi loán V ỉ dụ, n i u bỉéu dí6n m ỏi thành phíin m ội bàn phím phím bầng bii, dẻ ihấv chĩ c ó m ột on g sổ ĨTÌỎÌ cấu in íc b il bấl kỳ biSu d iỉn m ội cấu irúc hợp lộ.” T rong [8 ], D e Jong dă vi6i v é loán nsười đưa ihư sau: '*Nốu (lùuị; \kú \ ì lử iìíio dổi chciỉ vò dột biCỉỉ kiiih ỏ\6i\ GA SC ù m kiòỉ)^ ir&ii m ọ i lổ hựp cùa củt: llùn h phố, irìg dó, la chi củn quun lủm i'u dùng kỹ thuật chọn lọc iruy^n thống, việc lấy mẫu trờ thành v iỊc chọn ngẫu nhiẻn Hiện iượng di ngược lại với dicu la mong muốn : ành hường độ ihích nghi lương đối lổn cuá ưình chọn lọc giùm xuống Ihố hộ Jáu vù lãns cúc Ihí hỊ cuối cùa trình ùốn hố e \'a l{ S ,l) /F { l) , P^{S)>\ dới với máu trỏn truns bình Khi dó NST chọn phải lổn sau Uao dõi chco Jột biốn (pha Cú) Như nói đến irong chưcmg 3, xác s u it lổn lại mẫu s lù: /7,(5) = - p ( ) / ( / « - l ) - , , o( ) < Từ công thức (“l l ) , la có pg[S).p,{S)>\ vúi cúc m ĩu ngấn bậc thấp Do vộy số Idn 5Ữ dụne mâu nùỵ lànu Ihco cấp sđ mũ theo cáo i h í h.i ĐiiỈL (J(5 củng d ủ ũ k modGA Sơ’ NST dự đốn cùa mội màu s Irong ihuậl lốn rr.odC-A 'ũní; lích cùa số NST trone qưán ihổ cũ xác suẩl lổn lại fo,(5) i(x) vói X Nliư dã nói ưD hỊ ấn cho F íĩỉá trị f(x; lớn nliất :ronii w : h í hiỊ gấn Giá iri vv=0 cho u cừii sổ vô han nehĩa lù F=n'.ax :'vX)í Vửi f(x) irir, m ọi thó' hỊ Ncu w < , r.g'-'ừi dủim có ihá j u ii ” phươiiii ph.áp tỉâ dược í’iới ilìiệu irJn ; phươna pháp làm l ĩb n xichma Đ ị l điiỉu kic-n k thúc cùa ihuỊt lốn bưóc có vai irò rd’t auan irọne Đ iỏu kiện kẽt ihúc đơn là: dừns lìm kiín' số ihii’ IvỊ dũ XĨI vượi qud m ội hãng sổ’ cho irước Tlieo hình 0.1 diẻu kiện kơ'i Ihúc dược v iít dạnii “ 1> T ’ với T ià h ã n s số nàù dó N h ié u chương irình tiín hod ki\ồrs o:in vJani' i iá lại :nội số cá liu:: :nộ[ 5Ố cá ihể tôn lại từ thè’ hổ p.àv sang hộ sau mà ki'.ỏng bị bicrì dổi Trong nhữna iruờr.g ÌK.^ d ó, 'vkhi càn so sánh vói sổ Ihuật tốn kinh ciịiin khác ) sè họp loaic nẽ’ư :a liốiĩi sổ lán đánh già (tính hàm m ạc liáu) dùng lìm kiím số lán đánh aiá vượt cuá m ột hầná sỏ’ c h o irước (s ố lár đ ủ n h 21Ú thưởnsi IV lọ Ihuạn với số Uiỗ hệ) T u y n hiciì, J ic u k iỊn ki'l lliúc li’.in "iù ihiốt ran!* niiưùi sử d ụ n u biốt >JÚC vỉSc d iò m CŨJ hùm m ụ c ú ổ u m il c ỏ ã iih h iíỡiii: tlcii d i l ì m k iõ n i T m n t : Iibiiiu i r m : liơ p k h ó m ù J u i i i ijh;ì>j tổnq sồ' lliíhtỊ (ho.ịc số Ịúii dúiih !:iá') lìOn là, chuột tốn dừiia lìm kiếm kiui nãnc nũnă cấp kốt quà ÌKin, 10000 Ic SC lốl hon lỉcu iầ n khủnc Có hai ioại dicu kiỊn dừna c bàn Cliúna SỪ dụntt đ?.c didiTi irình tìm k;cm Jii quvốt định nõn dừnc hav liíp lục '.huậi toún Một loại dựu vào c í u irúc N S T I.kiiu cienr loại dựa vào ý nahĩa cùa lùna XST cụ Ihi v^‘ểu hình) Đicu kiỌn kối thúc thuộc loại ihư n h í i đo hfti ỉụ cùa auán \hé bầnc cách kiiin' tra số Ìon iươiic ứnc hội !ụ T r o n s m ội gien tươns ứng dược coi ’.à hội tụ r j'u c p% cuấn thii Ip dã dược xác định trước) có cùni: ( h o ặ c tươnc J n g - dứi vứi cd c biiia ó icii k h ỏ n s phãi b ic u d iỏn nhị phán) s i i u ị củ a zicii luơna ứniỉ Q [rình ùm kiím kí! !húc lỳ lọ siữa số aiiỉn iươnc ứng hội tụ vù lổnii s ố gien tirơnỉ ứne vượi “l ộ i "Cưỏim cho trujc dó Cúc đicu kiộn k thúc ir.uộc loại thứ hai đo lốc dộ liín hố cùa ihi lốn ironc v ò n c n iliế h-Ị (n cho irước): lỏc dộ nhò số cpsilon rào cho ừước, ihuậi tốn kct ;húc ,3 I h u ậ l to n g ien vói n h x c u n g n Sự hội lụ wiia ihuậi iốu m ỏl ironu vi'n Ú.Í lý iliuycl ihách tliức nhấl irong lĩnh vực lính loan bẵng phưaniỊ pháp ũốn hố Mộí số nhà nghiiin cứu tìm hiểu vấn đé lừ nhiổu C độ Coldbcrc Scercsỉ [Ỉ63Ị đơa phân tích G A dùng chuỗi Markov hữu hạn (quẩn ih ì hữu hạn, sinh sàn Jộl biín) Davis Principe [80] nghiẻn cứu khả náng áp dụns phõp ngoại suy sò lý ihuyết sán có ihuỊt tốn luyộn ihép vào mổ hình Ihuật lốn uicn chuỗi Markov, Eibcn Aaris Van H ee ị9 ì đưa thuật tỗn gicn irừu iượni: kít hợp GA v j ihuẠl lốn ỉuyỊn ihiip Họ (jã bàn vò bự áp dụniị lích chuỏi V!urk.ov cho G a dưa Jiliu kiỊn cán Ihiối (Jii x c S U ÍI l ì i n IU Iỏ'i u l o n c ụ c c ù a q u ã i r ì n h liii’n h o l K i n e d o n [ 2 ] n g h iiin c ứ u diổm xuấi phái, hội lụ, VÌI lợp cdc lốn mà khó áp dụng ihuăt lốn gien Khái niệm mẫu có licm nãns m ò rộng xác suái liội tụ nhữne mảu đưa Một s ố n h n e h iiỉn c ứ u c ũ n g đ ã \cn i x c t ih ủ n ì n h ữ n g đ ị n h n g h ĩa đ d d n g c ù a c c b i t o n n g ỏ nhận (deceptive problem)[154] Gán dày, Rudolph [334] dã chứng minh rin g G A kinh đ iể a khơng bao 'ZÌà hội lụ v ỉ lối ưu toàn cục, n h n a biến ihể, mà d u y trì c thể '.ốt q uần thể (ví dụ m hình e l i i i s i ) , hội lụ dược vẻ lối ưu tồn cục Có ihể dựa vào dịnh lí diểm ổ r định Banach [386j để gidi thích đặc điển-, hội tụ cũa GA d c h tiếp cận cho ta cách giải Ihích cách trực giác hội tụ GA (không cẩn dến m hình elitisi) u cầu n hít q trình tiến hố phài thu kết q u s a u m ỗ i t h ố h ỉ ( k h ổ n ^ n h ấ l ih iố t p lià i i 5ự n l u g c í p c ủ a llké l ổ l I i h í t ) Đ ị n h l í đ i ể n i Ổn định Banach nói v R mộl khôn g niciric ncu diốư kiệ.T s a u d ợ c (hỏa m ã n với m ọi x ,y e s • 5(x ,y ) > (x ,y )= klú chì x=y • (x ,y )= (y x ) • ỗ(x,y)+5Cy.z) > 5(x,z) ánh xạ f đưực gọi khồiiỊị cách Ta ihườnc ký hiỌu khơnjỊ G ọi < s ,ô > khônc aian m cin c r ; s —> s m ội ánh xạ Ta i rang í co ngắn chi lổn lại số z uoiiE đoạiì [0,1) cho vợi m ọ i x , y s S (f(x ),f(y )) < ex ỗ (x y ) Đ phát biổu dịnh lý Biinach ta cầii định nghĩii khái niiịm dầy úù cùa k h ô n s sian mctric Ta nói rầna dãy P0,P;, i ó m phẩn lừ cùa khônq gian m e tn c < s ,ỗ > mộc dây C auchy clù vứi £ > lổn lại k cho với m ọi m,n > k, (p „ ,p J < e Ta nói rằng, không gian mclric Jẩy đù n\ọi dãy Cauchy po.pi,— d i u có giới liạn p = p„ Ta dâ sún sàiìg dii [ihál biòu ilinh lý Raiiitch Clìứnt; niiiili cùa liịiìÌT [ý cỉư(fc giới lliiiỊii 1;ÌI» (iđu liơn irong Ị25| vù có Iliii dược lìm Iliấy Ironíỉ hàu liC'i c ác cuứn sách vé íơpỏ học hàn (v í dụ [9 | iraiìa 60) D Ị n h lỷ.[25] G ọi < 3,ô> inội khỏna ịỊÌaii mciric dãy dù f:S— rỉiột ánh xạ c o nsián Khi đ ó f có dúna điòm ƠII dịnh X s -S cho vái m ọ i Xo s s , la có x= f(xQ) f ‘(Xo) = Xo f ’''(Xo) = f(f'CXt,)) C ó ihẩ áp dụnft dịnh lý Banach cúch tiiíc Ìác c h o trườnc hợp ihuỊi toán gicn Cụ thii nỏ'u la xây dựna khồnu i:ian mclric s cho vác phán lừ s quấn thồ, Jó m ọ i ánh xạ c o ncán !'đcu có dúnq ũicm ổn dịnh đinh lý Banach áp d ụ n c ihực hiệa ánh xạ f tập di lập lại xuất phái lừ quán Ihi PCO) ban đẩu c h ọ n luỳ ý V ây n íu ta tìm ^ T h ự c ra, la SC ihiiy r n g ihuiỊI ngữ n/w lum nủy tó nghĩa m a n h lum binh th n g dư Khồni: jdijl' trone kiiõni: uian mciric s cùa c ác duần ;ho oú Ihii Jược Jinii Iiiiíiĩa Iihư.s-au: ( P „ ,., “ „ I^ , ^ - E v a H P ; - ! -p ,v/ - E v a / { P )' o ih e n v is e irong đó, M lù c:)n Iròn CÚJ hùm cv;ii ::*orm T.idn quar lâm , niihĩa id c v a i ( x ) ắ M vải c i h ổ X ( d o đ ổ E v n l í P ) < M VÍ^TÌ m ọ i q u ầ n ib.ỉ p ) V ủ y • Ỗ í p , p 2; ằ • • vứi m o i òl ỉ i n (lữu l ! ^ , ! ^ ) - c : ^ s 1\ vù ồ(P ,P :y^ ò(P :,P ; = It.V / -i^valiP j - : -X í-E va ỉ{P ,iị~ }-M -I£ vcii(P ^-ị> [ - A / - Evai(P, )ị + ;i - X í - ĩ v a i ( F ,) = J - F , p , ), d ó, iù mỏt khỏi uian niJUic Han aữa, khona aiun nìcu*iw ià dấv dủ s: với m ọ i Cauchy g ổ m quần ihố, lổn k iau c h o vứi m ọi n>k, p.==p^ Cú n^hĩa l i m ọ i dăy Cauchy đ í u c ó giới hạn i licn đon vô h a n / * Lưu ý r i n g c c G A la clú Ú V IO lác ircn cá c kỉỉổng g ian m e í c hCiỉ hạn, s ổ phán lử t o n s m ọ i quán ú ỉt m ộ t s ố lỉìhj hạii v bị chậji KJ)i J ổ , v6u cáu vé :ính d áv d c ù a k h n g gian m otríc đ ịn h Banach lu o ii lu ỏ n 'ã\oủ inrm TVOIVẶ uvờ\)ịi hợp cda ^húv.}^ L”U ilă y J v i m ọ i u lp s Bây , la bàn vé ánh xạ c o n s ấ n f : —» s Đ ó lìi lán lập irong irinh chny G A , vói diều kiện lăn lập đ ó đ e m i:.i cài liến (lính theo hàm Eval) biến đổi lừ quán Ihể P(t) thành P(1+1) Trong ư n g hợp dó, f(P (t))= P (i+ lj N ói cách khác, vòng lập ihứ I cùa m ộ l G A dược coi ánh xạ c o nEần chi E val(P (t))