Dùng ẩn phụ vào việc giải các ph ơng trình Có thể xem dùng ẩn phụ vào việc giải các phơng trình là một trong các con đờng chủ yếu .Điều đó thể hiện ở các mặt sau đây: -Một bộ phận khá lớn các phơng trình đều đợc giải bằng cách dùng ẩn phụ. -Khác với các loại toán khác nói chung chỉ dùng một ẩn phụ ,với các phơng trình việc dùng nhiều ẩn phụ là tơng đối phổ biến -Lại có thể dùng các ẩn phụ có tính chất khác nhau để giải cùng một bài toán -Tính chất chủ yếu đó còn thể hiện ở tính đa dạng của việc dùng ẩn phụ ậ đây tôi xin trình bày 6 dạng cơ bản sử dụng ẩn phụ để giải phơng trình vô tỉ Dạng 1:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai Dạng2:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích Dạng 3:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình đẳng cấp Dạng 4:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình của ẩn phụ đó , còn ẩn ban đầu coi là tham số Dạng 5: Sử dụng ẩn phụ đa về Dạng 1:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai Thí dụ 1:Giải phơng trình 10. 8 3 + x =3(x 2 -x+6) Giải: Điều kiện x -2. Để phát hiện ẩn phụ ,ta hãy tìm mối liên hệ giữa các biểu thức chứa ẩn tham gia trong phơng trình đó là: Dễ thấy rằng (x+2).( x 2 -2x+4)=x 3 +8 Chắc cũng ít ngời nghĩ đến mối liên hệ thể hiện bởi hệ thức sau (x+2)+( x 2 -2x+4 ) = x 2 -x+6 Khi đó phơng trình đợc biến đổi về dạng: 10 2 + x . 42 2 + xx =3. [ ] )42()2( 2 +++ xxx ẩn phụ sẽ xuất hiện nếu ta chia hai vế cho x 2 -2x+4 0 với mọi x , phơng trình đợc biến đổi về dạng 10 42 2 2 + + xx x =3 + + + 1 42 2 2 xx x Đặt u= 42 2 2 + + xx x 0 Phơng trình với ẩn phụ u có dạng 3u 2 -10u+3=0 u=3 hoặc u= 3 1 Trở về tìm x bằng cách giải 2 phơng trình sau: 42 2 2 + + xx x =3 9x 2 -19x+34=0 vô nghiệm 42 2 2 + + xx x = 3 1 x 2 -11x-14=0 x= 2 17711 >-2 Ví dụ 2:Giải phơng trình 3x 2 +21x+18+2 77 2 ++ xx =2 (1) ở ví dụ 2 này chúng ta phải quan sát để tìm đợc mối liên quan giữa các biểu thức trong phơng trình Lời giải: Đặt 77 2 ++ xx =y ,điều kiện (ĐK):y 0 Phơng trình (1) có dạng 3y 2 +2y-5=0.Từ đó tìm đợc y=1 (thoã mãn) và y=- 3 5 (loại) Suy ra 77 2 ++ xx =1 x 2 +7x+6=0 Phơng trình này có 2 nghiệm x=-1 và x=-6 Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là { } 1;6 Dạng 2:Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình tích a)Sử dụng một ẩn phụ Thí dụ :Giải phơng trình x 2 + 1 + x =1(2) Lời giải: Đặt 1 + x =t, ĐK: t 0 Phơng trình 2 có dạng(t 2 -1) 2 +t =1 t(t-1)(t 2 +t-1)=0 Từ đó tim đợc t=0,t=1,t= 2 51 + , và t= 2 51 , Vì t 0 nên loai giá trị t= 2 51 , *Với t=0 thì x=-1 *Với t=1 thì 1 + x =1 x=0 *Với t= 2 51 + , thì 1 + x = 2 51 + x+1= 4 )51( + 2 51 x= 2 51 Vậy tập nghiêm của phơng trình (2) là 2 51 ;1;0 b) Sử dụng hai ẩn phụ Thí dụ :Giải phơng trình 2 (x 2 +8)=5 8 3 + x (3) Đối với phơng trình này vì cả hai vế đều không âm nên nếu bình ph- ơng cả hai vế của phơng trình ta cũng tìm đợc nghiệm của nó (cách 1) nhng nếu dùng ẩn phụ ta cũng giải quyết đợc bài toán đó một cách đơn giản Lời giải: Điều kiện : x -2 (*) Cách 1:Với điều kiện (*) cả hai vế của (3) đều không âm nên (3) 2(x 2 +8) 2 =25(x 3 +8) 2x 4 -25x 3 +32x 2 -72=0 (2x 2 -5x+6)(x 2 -10x-12)=0 (4) Nhận thấy (2x 2 -5x+6)=2(x 2 - 4 5 ) 2 + 8 23 >0 với mọi x. Do đó (4) x 2 -10x-12=0 Phơng trình này có hai nghiệm x 1 =5- 37 và x 2 =5+ 37 đều thoã mãn (*) Vậy nghiệm của phơng trình (3) x 1 =5- 37 và x 2 =5+ 37 Cách 2:Đặt u= 2 + x ,v= 42 2 + xx (u 0,v>0). Khi đó u 2 =x+2, v 2 =x 2 -2x+4 ,u 2 v 2 =x 3 +8, 2u 2 +v 2 =x 2 +8. Phơng trình (3) có dạng 2 (2u 2 +v 2 )=5uv (2 2 u-v)(u- 2 v)=0 2 2 u=v hoặc u= 37 2 v Với 2 2 u=v thì 2 42 + x = 42 2 + xx X 2 -10x-12=0.Phơng trình này có hai nghiệm là5 37 đêu thoả mãn Với u= 2 v thì 2 + x = 842 2 + xx 2x 2 -5x+6=0.Phơng trình này vô nghiệm Tơng tự các bạn hãy dùng nó để giải các phơng trình khác Ví dụ :Các bạn hãy giải phơng trình sau: 2(x 2 +2)=5 1 3 + x ậ đây các bạn đặt u= 1 + x ;v= 1 2 + xx