Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ Đề bài Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2 2y ax bx= + + có đồ thị là parabol (P) a) Tìm a và b biết (P) có đỉnh là ( ) 2; 2I . Vẽ parabol (P). b) Dựa vào (P) vẽ đồ thị hàm số 2 2y ax bx= + + với a, b tìm đợc ở trên. Câu 2 (1 điểm) Tìm m để phơng trình 2 4mx x = + có nghiệm duy nhất. Câu 3 (2 điểm) Giải các hệ phơng trình sau a) 1 2 3 2 2 2 11 2 2 x y x y x y x y = + + = + b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 15 x y x y x y x y = + + = Câu 4 (1 điểm) Tam giác ABC có trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm AD, N là điểm sao cho 3AC AN= uuur uuur . Chứng minh B, M, N thẳng hàng Câu 5 (3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( ) 0; 4 , 5;6 , 3;2M N P . a) Chứng minh ba điểm M, N, P là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi tam giác MNP. c) Xác định toạ độ trọng tâm, trực tâm tam giác MNP. Câu 6 (1 điểm) Tam giác ABC có các cạnh thoả mãn 3 3 3 a b c= + . Chứng minh tam giác ABC nhọn. V. Đáp án và thang điểm Câu 1 Đáp án Điểm a) Dựa vào toạ độ đỉnh I thu đợc hệ phơng trình 4 2 4 4 0 a b a b + = + = Giải hệ ta đợc a=1 và b=-4 Vẽ đồ thị chính xác, cẩm thận 0,5 0,25 0,5 b) Vẽ đồ thị 2 4 2y x x= + dựa và (P) - Nêu cách vẽ - Vẽ chính xác 0,25 0,5 1 Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ Câu 2 Đáp án Điểm Cách 1 Đa về giải và biện luận hai phơng trình bậc nhất hai ẩn và suy ra: m = 1, m = -1 phơng trình có nghiệm duy nhất 1m phơng trình có nghiệm duy nhất khi 6 2 1 1m m = + . Suy ra 1 2 m = Kết luận: Phơng trình có nghiệm duy nhất khi 1 1; ;1 2 m 1,0 Cách 2 Biến đổi tơng đơng bằng cách bình phơng hai vế đa về phơng trình dạng 2 0ax bx c+ + = và xét các trờng hợp a = 0 và 0a 0 để đa ra kết quả. 1,0 Câu 3 Đáp án Điểm a) Sau khi đặt ẩn phụ 1 2 1 2 u x y v x y = + = Dùng định thức hoặc dùng phơng pháp thế, cộng đại số tìm đợc u=1; v=-1 Thay vào cách đặt tìm đợc nghiệm duy nhất của hệ là 0 1 2 x y = = 1,0 b) Viết lại hệ dới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 15 x y x y xy x y x y xy + + = + + = và đặt S x y P xy = + = Ta đợc hệ phơng trình 3 3 4 3 2 15 S SP S SP = = 0,5 Giải hệ thu đợc 3 2 S P = = Từ đó ta có hệ 3 2 x y xy + = = 0,25 Giải hệ trên ta đợc ( ) ( ) ( ) { } ; 2;1 , 1;2x y = và kết luận nghiệm của hệ 0,25 2 Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ Câu 4 Đáp án Điểm Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 11 2 2 11 2 4 3 4 BM BA BD BA AN BD AN BN BD AN BN BC NC BN = + = + + = + = + = uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra ba điểm B, M, N thẳng hàng. 1,0 Câu 5 Đáp án Điểm a) Tính đợc: MN = (- 5; 10) ; MP = (3; 6) 0,5 Do hai véctơ không cùng phơng nên 3 điểm M, N, P không thẳng hàng. 0,5 b) Tính đợc MN = 5 5 , NP = 4 5 ; MP = 3 5 0,75 Suy ra chu vi của tam giác MNP là MN + NP + MP = 12 5 . 0,25 c) Ta có MP = (3; 6) và NP = (8; - 4) nên MN . NP = 24 - 24 = 0 0,25 Nên trực tâm H của tam giác MNP chính là điểm P (3 ; 2) 0,25 Gọi G (x ; y) thì M N P M N P x x x x 3 y y y y 3 + + = + + = 2 x 3 4 y 3 = = nên G 2 4 ; 3 3 ữ 0,5 Câu 6 3 Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ Đáp án Điểm Từ giả thiết suy ra a b a c > > nên góc A là góc lớn nhất trong tam giác, do đó để chứng minh tam giác ABC nhọn ta chứng minh góc A nhọn 0,25 Cách 1 Ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 . . a b c b c a b c b c a a a a + = = = + < + (vì a b a c > > nên 0 1,0 1 b c a a < < < < ) Suy ra 2 2 2 a b c< + nên 2 2 2 cos 0 2 b c a A bc + = > . Do đó góc A nhọn. Từ các chứng minh trên suy ra tam giác ABC nhọn. 0,75 Cách 2 Từ 3 3 3 3 3 1 b c a b c a a = + + = ữ ữ Do 2 3 2 3 0 1 0 0 0 1 b b b a b a a a a c b c c a a a > < < ữ ữ > > > > < < > ữ ữ 2 2 3 3 1 b c b c a a a a + > > = ữ ữ ữ ữ 2 2 2 b c a + > Nên 2 2 2 cos 0 2 b c a A bc + = > . Do đó góc A nhọn. Từ các chứng minh trên suy ra tam giác ABC nhọn. 0,75 4 . có nghiệm duy nhất khi 6 2 1 1m m = + . Suy ra 1 2 m = Kết luận: Phơng trình có nghiệm duy nhất khi 1 1; ;1 2 m 1, 0 Cách 2 Biến đổi tơng đơng. Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ Câu 4 Đáp án Điểm Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 4 3 4 BM BA BD BA AN BD AN BN BD AN BN BC NC BN = + = + + = +