epsilon vol16 2019december

“ K Một Ỳ N gu TH kỳ t yễ I T hi g n H OÁ iản “H ùn N d g B ị, d Nế ãy Sơ A ân trê u c hì n LT c TO n c hú nh IC hủ Ca PO ác ng dun W t t o g A tr Ch CỦ ườn a m Y un ộ 20 g o g A i t 19 thự V bằn mộ buồ Ũ t c.” TR g g ph ng Ụ ươn òng gươ g nh ng ch , ún th g ế ta vớ c có i v ài phò m ng ng gi ọn v ác n ới lọ ến b t v th ứ ì v c t m ì hệ ườ ột n kh g ôn p g g ươ gi n ng an ch vô iếu tậ n ” NO T Tr OÁ ần N Na HỌ SỐ m C D V B ũn À Ng IỂU CH g B Í N Ĩ uy D H N ễn IỄ P G N H Q Đ Đ u C Ư Á an Á Ơ Tr ẲN g C ịn G M S NG h TH in Ố T Đ h V N RO Ứ À o G C C CÁ U NG hi TỔ YÊ ến C N H CH Ợ U P Y Q ÊN U A M C Ụ Á C C K B H À Á IT C O Á N O LY M PI C Chủ biên: TRẦN NAM DŨNG Biên tập viên: Lê Viết Ân Lê Phúc Lữ Tống Hữu Nhân Nguyễn Tất Thu Võ Quốc Bá Cẩn Trần Quang Hùng Ngô Quang Dương Nguyễn Văn Huyện Đặng Nguyễn Đức Tiến LỜI NGỎ Epsilon 16 lên trang xuất xưởng ngày người hâm mộ nước phát cuồng hai chức vơ địch SEA Games hai đội tuyển bóng đá U22 nam nữ Epsilon, với tinh thần theo sát nhịp thở thời đại, có cách thể niềm hân hoan theo cách riêng Và để kỷ niệm chiến thắng 3-0 đội tuyển nam trước U22 Indonesia trận chung kết, BBT Epsilon cam kết tiếp tục xuất Epsilon đến số 30 Thú vị theo tiến độ nay, số 30 phát hành vào năm tổng biên tập tròn 60 tuổi Quá phù hợp cho thay đổi chuyển giao hệ Epsilon, hẳn nhiên tờ báo đặc biệt Theo ngôn ngữ thời đại tờ báo 4.0: khơng tồ soạn, không nhân viên, không quan chủ quản, không kinh phí Báo khơng bán người viết khơng nhận nhuận bút Vậy mà số báo đặn Lần xuất thứ hai vào ngày thứ sáu mười ba không ngoại lệ1 Trân trọng gửi đến độc giả Epsilon 16 với 15 tác giả, 14 viết, xuất ngày 13 tháng 12! Lần xuất vào ngày thứ sáu mười ba rơi vào Epsilon đầu tiên, Epsilon số MỤC LỤC Cao Chi Topo Vũ trụ Nguyễn Lê Anh Sự tích "Trâu Vàng", "Cáo Chín Đi" Hồ Tây 13 Trần Nam Dũng Tốn học Bóng đá 21 Lý Ngọc Tuệ Tính tốn với dấu chấm động máy tính - Phần 26 Nguyễn Tuấn Anh Đơn đồ thị vô hướng đề chọn đội tuyển Tỉnh - Thành Phố 2019 - 2020 32 Trịnh Đào Chiến Đẳng thức tổ hợp qua toán Olympic 48 Nguyễn Tất Thu Định hướng giải số toán cực trị tổ hợp dành cho THCS 71 Nguyễn Quang Minh Số phương biểu diễn số nguyên 80 Ngơ Hồng Anh Những tốn sơ cấp kỳ thi IMC 100 Trần Quang Hùng Một số bất đẳng thức diện tích tam giác 140 Lê Xuân Hoàng Một số vấn đề đường tròn Mixtillinear Thébault 148 Nguyễn Minh Hà Lê Viết Ân Một mở rộng đường thẳng Simson 153 S.B.Gashkov Mã kỳ thi Olympic toán (II) 159 Nguyễn Hùng Sơn Kỳ thi Toán Baltic Way 2019 168 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 TOPO CỦA VŨ TRỤ Cao Chi GIỚI THIỆU Vấn đề nghiên cứu topo vũ trụ gây ý nhiều nhà vũ trụ học Nhiều vũ trụ xét mặt hình học vũ trụ vơ hạn (infinite) song ý đến topo (tức đến tồn cục) lại vũ trụ hữu hạn (finite) Nhiều quan sát CMB (Cosmic Microwave Background - Bức xạ Phông Vũ trụ) xác hố thêm nhờ chi tiết phát sinh từ hệ topo Bài viết nhằm mục đích giới thiệu vài nét tổng quát ảnh hưởng topo đến vũ trụ học Topo (topology) gì? Topo mơn học nghiên cứu hình dạng khơng gian mặt tính liên thơng (connectedness), tính liên tục (continuity) biên (boundary) Những tính bất biến phép biến đổi liên tục gồm biến đổi kéo dài, uốn cong mà không bao gồm biến đổi xé rách (tearing) dán dính (gluing) Xem hình ta thấy cốc, hình xuyến hình xuyến xoắn tương đương topo với Hình 1: Cái cốc, hình xuyến hình xuyến xoắn tương đương topo với Quả cần phép kéo dài uốn cong ta biến hình xuyến thành cốc (xem hình 2) Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Hình 2: Biến hình xuyến thành cốc nhờ phép biến đổi liên tục topo Hình học topo Cần phân biệt hình học (độ cong phẳng, dương hay âm?) topo (dạng nào, liên thông nào?) Xét mặt hình học tồn loại vũ trụ: Vũ trụ phẳng (Euclidean, độ cong không), vũ trụ cầu (đóng, hữu hạn độ cong dương) vũ trụ hyperbolic (mở, vô tận độ cong âm), xem hình số Khi nói đến độ cong âm người ta thường nghĩ đến không gian vô hạn Song có nhiều độ cong topo, ví dụ hình xuyến (torus) có độ cong âm mặt (inside edge) topo hữu hạn (finite) Thuyết tương đối tổng quát (với phương trình Einstein vốn phương trình vi phân) nói lên tính định xứ (local) mà khơng thể xác định tính tồn cục (global) tức topo vũ trụ Thuyết tương đối tổng quát không bất biến biến đổi đồng phôi (homeomorphism - xem thích) mà bất biến biến đổi vi phôi (diffeomorphism) tức biến đổi toạ độ Với vũ trụ đồng đẳng hướng ta có lời giải metric Friedmann-Lemaitre-RobertsonWalker (FLRW) Ä d r2 2 C r d  C sin2 Âd ˆ2 : d s D g d x d x D d t C a Á/ kr a thừa số kích thước vũ trụ, độ cong k D 0; C1; tương ứng với độ cong không, độ cong dương độ cong âm (xem hình vẽ 3) Giữa bán kính độ cong R mật độ trung bình vật chất vũ trụ có mối quan hệ 1 1j ; H số Hubble, D c ; c mật độ ứng với vũ R D a=jkj D 1=H j trụ phẳng Ta có vũ trụ với độ cong không, độ cong dương độ cong âm tương ứng với mật độ D 1; > < 1: Hình 3: Từ trái sang phải: Độ cong phẳng, độ cong dương độ cong âm Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Một yếu tố metric định xứ cho trước tương ứng với tập lớn mơ hình vũ trụ khác mặt topo Tồn vô số (đếm được) dạng không gian với độ cong dương, tất không gian đóng vơ số khơng gian với độ cong âm số khơng gian đóng (hữu hạn) số không gian mở (vô tận) Thuyết tương đối mơ tả hình xuyến mặt phẳng với phương trình hình xuyến hữu hạn mặt phẳng vô hạn Để xác định topo vũ trụ cần hiểu biết vật lý nằm lý thuyết tương đối (như CMB - Cosmic Microwave Background - Bức xạ Phơng Vũ trụ) Hãy hình dung buồng gương, phòng với tường (gồm trần nền) gương Nếu vào phòng với vài nến hệ phản chiếu tường gương có cảm giác lọt vào khơng gian vơ tận Giống buồng gương (xem hình 4) vơ tận vũ trụ ảo tưởng Vũ trụ hữu hạn thực tế Ảo tưởng vô tận phát sinh từ tượng tia sáng thực quỹ đạo chạy quanh không gian nhiều lần (khi vũ trụ hữu hạn) tạo nên hình ảnh đa bội thiên hà Hình 4: Buồng gương gây hệ vơ tận đối tượng hữu hạn Nếu buồng kính ta có bóng tranh tạo nên hình ảnh vơ số bóng hình vẽ số 5: Buồng gương hình tượng vũ trụ hữu hạn cho ảo tưởng vơ tận Lẽ dĩ nhiên vũ trụ khơng có biên để phản xạ ánh sáng song thay bị phản xạ buồng gương ánh sáng vòng quanh vũ trụ nhiều lần Từ tranh hình ảnh đa bội lặp lại người ta suy kích thước hình dáng thật vũ trụ, tức xác định topo vũ trụ Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Hình 5: Ba bóng buồng kính tạo nên hình ảnh vơ số bóng Tạo hình Topo giúp ta tạo hình xuyến (hoặc dải Moebius) từ mảnh phẳng không thời gian cách đồng đường mép (edge) đối diện mảnh phẳng (hình 6) Nói chung người ta biểu diễn phần đa diện (polyhedron) với mặt đối đồng đôi Trên hình ta thấy dán mép hình vng ta có hình trụ, dán mép (tức đồng mép a với a; b với b) hình vng ta có hình xuyến, dán mép hình bát giác (đồng a với a; b với b; c với c; : : :) ta có hình xuyến với lỗ Ta gọi số lỗ genus ví dụ hình xuyến lỗ có genus D 2: Hình 6: Tạo hình trụ, hình xuyến lỗ lỗ cách dán mép đối (tức đồng mép) Chú ý hình xuyến S S có nhờ đồng mép đối diện hình vng khơng gian phẳng hình xuyến thơng thường khơng gian khơng phẳng Song mặt topo hình xuyến tương đương Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Hình trụ, hình xuyến lỗ, hai lỗ khơng gian topo đa liên thơng (multiplyconnected) Trong hình ta có topo đơn liên thơng (cột một) hai topo đa liên thơng (cột 3) Hình 7: Đây vài ví dụ đa tạp đồng phôi (homeomorphic), số hàng số lỗ topo chúng Phần đa diện 10 mặt ngũ giác mà đôi mặt ngũ giác đồng với khơng gian đóng với độ cong âm (compact hyperbolic space) Vậy vấn đề nghiên cứu topo vũ trụ nằm câu hỏi sau Vũ trụ đóng hay mở? Vũ trụ có lỗ (hay tay quai-handle) khơng? Vũ trụ liên thông hay đa liên thông? Những câu hỏi topo thường bị bỏ quên nhà vũ trụ học Trong mơ hình đầy đủ phải kể đến câu hỏi topo Vũ trụ thực sân khấu ảo tưởng quang học khổng lồ phát sinh hiệu ứng thấu kính topo (topological lens) Nghiên cứu vũ trụ ta phải ý hai mặt: Hình học topo Về mặt hình học ta có: Khơng gian Euclide (độ cong không), không gian cầu (độ cong dương) không gian hyperbolic (độ cong âm) Không gian cầu trường hợp hữu hạn Đối với hai loại không gian lại tính hữu hạn vơ tận lại phụ thuộc vào topo Nếu topo đơn liên thông (simply-connected) chúng vơ tận Song topo đa liên thơng (như hình xuyến với lỗ hay hai lỗ) có khả xét mơ hình vũ trụ khơng gian hữu hạn độ cong lúc mật độ vật chất số vũ trụ thấp (mà xét hình học ta phải có khơng gian phẳng hyperbolic vơ tận) Như khơng gian với độ cong âm hữu hạn topo đa liên thông Một vài chi tiết tốn học Trong khn khổ vũ trụ học chuẩn vũ trụ mơ tả đa tạp không thời gian M D R M cộng với metric FLRW Trong M D E (Euclidean), S (cầu) H (khơng gian hyperbolic có hình n ngựa) Điều thường dẫn đến hiểu nhầm: Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Độ cong M tất điều cần thiết để xác định xem không gian chiều hữu hạn (finite) hay vô hạn (infinite) Bởi khơng gian M đa tạp thương (quotient manifold) dĩ M D MGc : Trong Mc D E ; S ; H / không gian gọi không gian phủ tổng quát (universal covering) Không gian M không gian đa liên thông Phép G cho phép phủ Mc tế bào gọi đa diện (fundamental polyhedron-FP) thực phép tịnh tiến gắn liền với việc đồng mép (xem hình 8) Ví dụ hình xuyến T D hình vẽ số 6: E2 G FP hình chữ nhật với mép đồng Trong không gian đa liên thông hai điểm nối liền nhiều đường trắc địa hệ vũ trụ hữu hạn ánh sáng từ đối tượng đến với quan sát viên theo nhiều quỹ đạo khác – bầu trời ta có nhiều hình ảnh nguồn xạ Hình 8: Cư dân FD không gian phủ Ta lát không gian phủ tổng quát (universal covering) với nhiều FD cách đồng mặt mép Một cư dân hình xuyến nhìn phía trước thấy phía sau nhìn thấy khơng gian phủ tổng qt mạng hình ảnh (xem hình 8) Với khơng gian đa liên thơng (có số lỗ) số lượng N copy FD tranh quan sát vũ trụ đánh giá cơng thức: N D V =VFD : Trong V thể tích vùng vũ trụ quan sát VFD thể tích FD: Topo CMB Trong vũ trụ học CMB xạ nhiệt tàn dư từ lúc Big Bang (xem hình 9) CMB giúp xác định topo Một phương pháp để làm việc thực mơ hình tốn học máy tính CMB topo so sánh với quan trắc vũ trụ 10 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Tài liệu [1] Gibson History - Robert Simson http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Gibson_ history_7.html [2] Simson line http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson shtml [3] Đường thẳng Simson, https://vi.wikipedia.org/wiki/ 158 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Mà VÀ CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN (II) S.B.Gashkov Tiếp theo kỳ trước, xem phần mở đầu mục 1; 2; Epsilon số 15 Ví dụ đơn giản mã sửa lỗi Cần làm thứ trở nên đơn giản có thể, khơng đơn giản Albert Einstein Claude Shannon21/ đưa ý tưởng mã sửa sai Ta xét ví dụ mã sửa lỗi (trường hợp riêng đơn giản mã Hamming) Giả sử ta phải truyền từ nhị phân x1 ; x2 ; x3 ; x4 / ta bổ sung ký tự kiểm tra x5 D x1 C x3 C x4 ; x6 D x1 C x2 C x4 ; x7 D x1 C x2 C x3 (dấu C phép cộng theo modulo 2; ký tự x1 ; x2 ; x3 ; x4 gọi ký tự thơng tin) Quy trình tính theo ký tự thông tin ký tự kiểm tra thiết lập từ mã (bản tin mã hóa) gọi mã hóa (và ánh xạ từ tin ban đầu thành từ mã gọi mã hóa) Trên ngơn ngữ ma trận ví dụ xét việc mã hóa quy việc nhân ma trận M với ma trận chuyển vị x1 ; x2 ; x3 ; x4 /T ; tức vector cột 1 0 x1 B0 0C Bx2 C B C B C B0 0C x1 B C B C Bx2 C Bx3 C B0 0 1C B C D Bx4 C : B C@ A B C B1 1C x3 Bx5 C B C B C @1 1A x4 @x6 A 1 x7 Ta truyền tin mã hóa c D x1 ; x2 ; : : : ; x7 / thu tin nhiễu r D c C e với e D e1 ; e2 ; : : : ; e7 / vector lỗi Trong trường hợp có trọng 1; theo giả thiết, lỗi xảy (nếu thực có lỗi) vị trí Giả sử, e D e3 D 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0/: Khi r D c C e D c1 ; c2 ; c3 C 1; c4 ; c5 ; c6 ; c7 / D c1 ; c2 ; c3 ; c4 ; c5 ; c6 ; c7 /; D 1; D 0: Trong trường hợp xét, số gọi vị trí lỗi Để xác định vị trí lỗi, tính tổng kiểm tra S1 D r1 C r3 C r4 C r5 ; S2 D r1 C r2 C r4 C r6 ; S3 D r1 C r2 C r3 C r7 : 159 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Một cách trực quan, tất tổng minh họa hình Mỗi tổng chứa vòng tròn Trên ngơn ngữ ma trận, trình tương đương với việc nhân ma trận cho vector r1 B r2 C 1B C C 1 1 0 B S1 B r3 C @1 1 0A Br4 C D @S2 A : B C C 1 0 B S3 B r5 C @ r6 A r7 Ma trận H gọi ma trận kiểm tra mã Trong cách viết gọn, phép nhân ma trận H cho vector r T viết S D H r T ; S vector cột S1 ; S2 ; S3 /T Chú ý ma trận H chọn cho H c T D (trong vector dạng cột) với vector mã c: Điều kiểm tra trực tiếp (và khơng cần phải sử dụng ngôn ngữ ma trận, cần tổng Si thay x5 ; x6 ; x7 giá trị chúng tính qua x1 ; x2 ; x3 ; x4 /) Trên ngôn ngữ! ma trận điều kiểm chứng dễ dàng Chú ý ma E trận M viết dạng ; E ma trận đơn vị22/ kích thước 4 A ma A trận kích thước 4: Ma trận H tạo thành từ ma trận A ma trận đơn vị kích thước 3; H c T D A x1 ; x2 ; x3 ; x4 /T C E x5 ; x6 ; x7 /T D A x1 ; x2 ; x3 ; x4 /T C x5 ; x6 ; x7 /T D 0T ; từ đẳng thức M x1 ; x2 ; x3 ; x4 /T D x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 /T ; ta có A x1 ; x2 ; x3 ; x4 /T D x5 ; x6 ; x7 /T : Sử dụng tính chất dễ kiểm tra phép nhân cộng ma trận, ta S D H r T D H.c T C e T / D H e T D Hi ; e vector với số vị trí thứ i; Hi cột thứ i ma trận H (đẳng thức kiểm tra trực tiếp, thay rj tổng Si cj C ej D xj C ej /: Bây ý tất cột ma trận H khác khác 023/ : Do theo cột Hi ta 160 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 xác định cách xác số thứ tự nó, có nghĩa vị trí lỗi Nếu khơng có lỗi, hiển nhiên S D H r T D H c T D 0; đẳng thức kiểm tra cách so sánh S với vector dạng cột (nếu S khác tất nhiên xảy lỗi) Để xác định vị trí lỗi theo vector S tính (được gọi hội chứng) ta lập bảng có chứa vị trí lỗi, ví dụ cách viết nhị phân Bảng bao gồm dòng, đánh số số nhị phân độ dài 3: Nếu khơng có lỗi số thứ tự cho 0: Nếu ma trận kiểm tra có dạng 1 1 0 @1 0 1 0A ; 1 1 bảng khơng cần thiết, hội chứng S trường hợp trùng với thứ tự nhị phân vị trí lỗi Dĩ nhiên, ma trận M phải thay đổi Mã vừa xây dựng trường hợp riêng mã Hamming, nói đến phần Trong trường hợp chiều dài từ mã 31, ý tưởng xây dựng mã gần với toán 5; đề xuất nhà toán học Pháp Lucas từ kỷ XIX (điều trở nên rõ ràng sau đọc phần 5) Và toán gần với tốn Bài toán 23 (Từ sở liệu toán Olympic toán Matxcova) Trong tập hợp n phần tử ta chọn 5n tập phân biệt gồm phần tử Chứng minh cách hợp chúng lại đơi một, ta thu khơng 45n tập phần tử Bài toán 24 Hãy tìm đồng tiền giả từ 63 đồng tiền, sử dụng lần cân, biết đồng tiền giả nhẹ đồng tiền thật Mỗi lần cân cân nhiều đồng tiền lúc Kế hoạch cần phải thiết lập từ trước Bài toán 25 (MMO 1990, 8.5) Bảng điện bao gồm 64 bóng đèn, điều khiển 64 cơng tắc, bóng đèn cơng tắc Mỗi lần thực đồng thời nhấn cơng tắc ghi lại bóng sáng Hỏi cần lần thực để biết tất bóng đèn bảng: Bóng đèn điều khiển công tắc nào? Lưu ý số tính chất mã xây dựng Nó có 24 D 16 từ mã, tổng hai từ mã theo modulo lại từ mã (tức mã tuyến tính), khoảng cách mã 3: Khoảng cách khơng thể nhỏ 3; khơng khơng thể sửa lỗi, ta tính tường minh khoảng cách với ý d.a; b/ D d.a C b; 0/: Vì mã chứa từ mã có trọng (từ 0) khoảng cách mã nên mã khơng có từ có trọng hay 2: Với từ mã ta xét hình cầu bán kính với tâm từ Hình cầu chứa, ngồi tâm nhị phân (đỉnh lập phương nhị phân chiều), thu cách thay trung tâm ký tự thành ký tự đối Các hình cầu với tâm từ mã khơng giao nhau24/ (khơng có đỉnh chung) tổng thể chứa 24 D 27 đỉnh khác hình lập phương, tức tất đỉnh (hình cầu chiều có 27 đỉnh) Những phép phủ hình lập phương nhiều chiều hình cầu gọi hồn hảo, mã tương ứng gọi mã hoàn hảo Trong [4], xuất phát từ tính chất hồn hảo mã xét giải thích cách xác định số đỉnh mã lớp thứ ba hình lập phương chiều, xem hình 2: 161 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Hình 2: Hình lập phương chiều Ở tìm phổ trọng lượng nó, số lượng từ trọng lượng cho Nó có dạng a0 D 1; a1 D 0; a2 D 0; a3 D 7; a4 D 7; a5 D 0; a6 D 0; a7 D 1: Ở giải thích từ mã trọng lượng xác định cấu hình tổ hợp thú vị hệ thống ba Steiner26/ ; chứng tỏ hệ thống ba đẳng cấu với cấu hình đường thẳng qua điểm mặt phẳng xạ ảnh điểm – gọi mặt phẳng Fano27/ (hình 3) Hình 3: Mặt phẳng Fano Các mã mà đỉnh chúng nằm lớp hình lập phương, gọi mã đồng trọng Như vậy, mã cực đại trọng lượng với độ dài khối có lực lượng 7: Các từ mã trọng lượng tạo thành cấu hình tổ hợp thú vị Mỗi một từ khóa cho ta tập phần tử tập hợp f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g số thứ tự vị trí từ Hệ thống 162 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 tạo thành ví dụ sơ đồ khối, mà cặp phần tử thuộc hai 428/ : Các cấu hình nói (sơ đồ khối) lớp thứ ba thứ tư có tính chất thú vị Chúng đối ngẫu với nhau, cụ thể là: Bộ sơ đồ khối thứ hai phần bù ba sơ đồ khối thứ tập hợp f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g: Ghi chú: 21) Claude Elwood Shannon 1916 thuyết thông tin 2001/ nhà toán học kỹ sư người Mỹ, cha đẻ lý 22) Ma trận vuông gọi đơn vị, đường chéo số 1; vị trí khác 0: Đường chéo đường chéo từ góc bên trái xuống góc bên phải Khi nhân ma trận đơn vị với vector kết thu vector 23) Điều xảy có cột nhị phân khác có chiều cao 3: 24) Nếu mặt cầu với tâm a; b có điểm chung c d.a; b/ điều khơng thể xảy d.a; c/ C d.c; b/ 2; 25) Lớp!k hình lập phương bao gồm đỉnh có trọng lượng k hiển nhiêu bao gồm đỉnh k 26) Jakov Steiner 1796 27) Gino Fano 1871 1863/ nhà hình học tiếng người Thụy Sĩ 1951/ nhà toán học tiếng người Ý 28) Về sơ đồ khối xem Œ4; 14; 16: Mã Hamming Hai ngày nghỉ liền tơi đến phòng máy nhận tất liệu tải lên khơng có điều thực Tơi giận tím người tơi cần câu trả lời, hai ngày nghỉ trơi qua cách vơ ích Khi tơi nói với thân:“Quỷ thật, máy tính có thể phát lỗi điều ngăn cản xác định lỗi xảy chỗ sửa nó?” Richard Hamming theo John MacCormick “Chín thuật tốn thay đổi giới” Chúng ta mã nhị phân Hamming Mã xây dựng sau Xét n D 2m 1; k D n m; giả sử x1 ; x2 ; : : : ; xk vector thông tin mà cần mã hóa Ta bổ sung vào vector ký tự kiểm tra xkC1 ; : : : ; xn mà để tính chúng, ta nhân vector cột X D x1 ; x2 : : : ; xk /T với ma trận bậc m; k/ Mn (với m hàng k cột) mà cột tất độ dài n gồm số 1; có chứa số (có tất 2m m D n m D k vậy) Ta bổ sung vào ma trận thêm m cột, cột chứa số (có thể coi 163 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 chúng tạo thành ma trận vng với phần tử đường chéo 1), thu ma trận bậc m; n/ Hn ; có cột tất độ dài n; khác gồm số 1: Cũng phần 4; ta kiểm tra với từ mã x D x1 ; x2 ; : : : ; xn /T đẳng thức ma trận sau thỏa mãn Hn x T D 0: Ma trận H (tiếp theo ta bỏ số n đi) gọi ma trận kiểm tra mã Ma trận cho phép không kiểm tra từ c cho có phải từ mã khơng, mà cho phép tìm lỗi, có lỗi xảy Thật vậy, 4; ta có S D H r T D H.c T C e T / D H e T D Hi ; e vector lỗi, có số vị trí thứ i; Hi cột ma trận H với số thứ tự i: Vì tất cột H khác khác nên theo vector hội chứng S ta tìm cách xác vị trí lỗi Cũng 4; ta xét số tính chất mã xây dựng Mã có 2k phần tử, tuyến tính, số chiều khơng gian vector trường hai phần tử k (bởi sở khơng gian gồm k vector, khơng gian bao gồm tất tổng chúng, tức 2k tổng (tính tổng rỗng tương ứng với theo định nghĩa)), khoảng cách mã (khoảng cách nhỏ 3; khơng thể sửa lỗi) Vì mã chứa từ mã có trọng (từ 0) khoảng cách mã nên mã khơng có từ có trọng hay 2: Với từ mã ta xét hình cầu bán kính với tâm từ Hình cầu chứa, ngồi tâm n nhị phân (đỉnh lập phương nhị phân n chiều) Các hình cầu với tâm từ mã khơng giao tổng thể chứa 2k n C 1/ D 2kCm D 2n đỉnh khác hình lập phương, tức tất đỉnh Vì mã Hamming hồn hảo (và xếp kín) Cũng hiển nhiên mã cực đại với khoảng cách có tham số giống với mã Hamming n đạt n C D 2m (nếu khơng Thật vậy, cận đánh giá m.n; 3/ nC1 phân số cho số nguyên), từ m.n; 3/ D 2n m : Như tốn giải hồn tồn, ta dễ dàng giải tốn Bài tốn 26 Hỏi tìm số từ đến 2048 với 15 câu hỏi dạng (có/khơng) hay khơng, ta có quyền trả lời sai câu hỏi đó? Các câu hỏi phải chọn trước Và toán theo chủ đề này: Bài toán 27 (19, trang 120) Ba nhà thơng thái có mũ màu đen màu trắng Người dẫn chương trình đội cho nhà thông thái mũ, cho người nhìn thấy mũ hai người khơng nhìn thấy mũ khơng biết màu mũ Theo hiệu lệnh, nhà thơng thái đồng loạt đốn màu mũ Mỗi nhà thơng thái dự đoán màu mũ dựa vào màu mũ mà ơng ta nhìn thấy hai người lại, họ quyền bỏ qua, nghĩa từ chối khơng đốn Các nhà thơng thái thắng người họ đoán màu mũ đồng thời khơng có họ đốn sai Trước chơi diễn nhà thông thái thông báo luật chơi cho phép họ thảo luận trước chiến thuật chơi Chiến thuật tối ưu chiến thuật mà với tất cách xếp mũ cho nhiều trường hợp chiến thắng a) Hãy đề xuất chiến thuật nhà thông thái cho họ chiến thắng nhiều nửa trường hợp b) Hãy đề xuất chiến thuật tối ưu chứng minh chiến thuật tối ưu 164 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 5.1 Mã Hamming q-phân Tôi cô gái tội nghiệp, số học! Lớn toán cao cấp Dmitry Emetz, “Tanhia Grotter” Trong số trường hợp tồn mã q-phân hoàn hảo Cận Hamming đạt chẳng hạn C q 1/n D q m : Khi số phần tử mã q n m ; n độ dài khối Các mã xây dựng trường hợp tồn trường hữu hạn q phần tử29/ : Trường tập hợp mà định nghĩa hai phép toán cộng nhân cho phép tốn thỏa mãn tính chất y phép tính cộng nhân cáo số hữu tỷ, cụ thể tính giao hốn: a Cb D b Ca; a b D b a; tính kết hợp: a Cb/Cc D a C.b Cc/; ab/c D a.bc/; tính phân phối: a.b C c/ D ab C ac thỏa mãn đẳng thức a C D a; a D a; định nghĩa cách phép toán ngược phép trừ a b phép chia a=b thỏa mãn tính chất a b/ C a D a; a=b/b D a: Từ đại số ta biết số phần tử q trường hữu hạn phải lũy thừa số nguyên tố p; q D p n ; với số q tồn trường30/ bậc q; gọi trường Galois31/ ký hiệu GF q/: Ví dụ GF 2/ D f0; 1g; ˚; /: Ta xây dựng trường GF q/ mã, mở rộng mã Hamming Với vector v khác độ dài m trường GF q/ ta xét tập hợp vector song song với v; GF q/ n f0g: Tập hợp tạo thành đường thẳng không gian GF q/n ; qua gốc tọa độ Ta chọn đường thẳng (số đường thẳng n D q m 1/=.q 1/; chúng có điểm chung gốc tọa độ) điểm khác với gốc tọa độ, ví dụ chọn điểm mà tọa độ cuối 1: Điều ln thực ngoại trừ trường hợp tất điểm đường thẳng có tọa độ cuối 0: Trong trường hợp chọn điểm mà tọa độ gần cuối 1: Nếu lại khơng có điểm tọa độ gần cuối ta lại chọn điểm có tọa độ thứ ba kể từ cuối 1; : : : Điểm đường thẳng (và vector bán kính tương ứng) xác định cách Tất vector khác thu cách nhân vector chọn cho phần tử trường (khi nhân với ta vector 0) Hiển nhiên vector khác không gian GF q/n thu từ vector cho v1 ; v2 ; : : : ; cách nhân với phần tử khác trường, biểu diễn Xét ma trận m; n/ Hn trường GF q/; có cột vector v1 ; v2 ; : : : ; cho Định nghĩa mã tập hợp vector c; cho H c T D (tức không gian ma trận cho) Khi Hn ma trận kiểm tra mã cho Mã sửa lỗi, vì, phần 4; ta có S D H r T D H.c T C e T / D H e T D ei Hi ; e vector lỗi, có ký tự khác 0; ei vị trí thứ i; Hi cột thứ i ma trận H: Bởi tất cột khác khác cột 0; tích chúng với phần tử khác trường khác nên theo vector S xác định cách vị trí i lỗi, giá trị ei Vì ma trận Hn (sau đổi chỗ cột cách thích hợp) chứa ma trận đơn vị bậc m; m/; chiều mã (chiều không gian 0) n m; có nghĩa số phần tử mã q n m (tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vector sở 165 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 trường GF (q) có lực lượng q n−m ), nghĩa mã nằm xác cận xếp cầu mã hồn hảo Như phần d) toán giải Lời giải phần b) độc giả xem [2, trang 165 − 166] Ghi chú: 29) Có giả thuyết cho với q lũy thừa số nguyên tố, mã hoàn hảo khơng tồn 30) Chính xác đến đẳng cấu trường 31) Evarist Galois (1811 − 1832) nhà toán học vĩ đại người Pháp Tài liệu [1] Берлекэмп Э Р Алгебраическая теория кодирования М.: Мир, 1971 [2] Васильев Н Б., Егоров А А Задачи Всесоюзных математических олимпиад М.: Наука, 1988 [3] Гальперин Г А., Толпыго А К Московские математические олимпиады М.: Просвещение, 1986 [4] Гашков С Б Разностные множества, конечные геометрии, матрицы Заранкевича и экстремальные графы // Математическое просвещение Сер Вып 21 М.: МЦНМО, 2017 С 145–185 [5] Гашков С Б Графы-расширители и их применения в теории кодирования // Математическое просвещение Сер Вып 13 М.: МЦНМО, 2009 С 104–126 [6] Левенштейн В И Элементы теории кодирования // Дискретная математика и математическая кибернетика Т М.: Наука, 1974 [7] Мак-Вильямс Ф Дж., Слоэн Н Дж А Теория кодов, исправляющих ошибки М.: Связь, 1979 [8] Прасолов В В и др Московские математические олимпиады 1935–1957 гг М.: МЦНМО, 2010 Коды и олимпиады 173 [9] Прасолов В В и др Московские математические олимпиады 1958–1967 гг М.: МЦНМО, 2013 [10] Бегунц А В и др Московские математические олимпиады 1981–1992 гг М.: МЦНМО, 2017 [11] Фёдоров Р М и др Московские математические олимпиады 1993–2005 гг / 3-е изд М.: МЦНМО, 2017 [12] Садовничий В А., Григорьян А А., Конягин С В Задачи студенческих математических олимпиад М.: МГУ, 1987 [13] Сидельников В М Теория кодирования М.: Физматлит, 2008 166 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 [14] Таранников Ю В Комбинаторные свойства дискретных структур и приложения к криптологии М.: МЦНМО, 2011 [15] Фейеш Тот Л Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве М.: Физматгиз, 1958 [16] Холл М Комбинаторика М.: Мир, 1970 [17] Чашкин А В Дискретная математика М.: Академия, 2012 [18] Guruswami V., Sudan M Improved decoding of Reed — Solomon and algebraicgeometric codes // IEEE Trans Inform Theory 1999 Vol 45 P 1757–1767 [19] Winkler P Mathematical puzzles: a connoisseur’s collection Natick, USA: Taylor and Francis Inc., 2004 167 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 KỲ THI TOÁN BALTIC WAY 2019 Nguyễn Hùng Sơn TÓM TẮT Xin giới thiệu đến bạn đọc kỳ thi tốn mang tên Baltic Way Tác giả báo có vinh dự giao trọng trách làm chủ tịch hội đồng đề chấm thi thi Baltic Way 2019 Bài báo chia sẻ thi số quan sát trình chọn đề chấm thi Giới thiệu thi Baltic Way thi toán đồng đội tổ chức lần vào năm 1990 với tham gia nước cộng hòa Xơ Viết cũ Litva, Latvia Estonia Tên gọi thi có xuất xứ từ kiện mang tên “Con đường Baltic” (Baltic Way) diễn vào ngày 23 tháng năm 1989 xấp xỉ hai triệu người nắm tay tạo thành chuỗi dài sáu trăm số trải qua ba nước vùng Baltic Latvia, Litva Estonia để đòi độc lập Kể từ năm 1992, tình hình trị châu Âu thay đổi, thi mở rộng theo ý nghĩa tên gọi với tham gia nước cộng hòa xung quanh biển Baltic Ba Lan, Đan Mạch, Đức (các tỉnh phía bắc), Na Uy, Phần Lan, Thụy Điển Ngồi có tham gia Ai-xơ-len, Ai-xơ-len (Iceland) nước công nhận độc lập nước Latvia, Litva Estonia, đội tuyển thành phố Saint Petersburg (Liên bang Nga) Để thay đổi khơng khí, ban tổ chức nước chủ nhà mời thêm quốc gia ngồi vùng Baltic tham gia thi Cuộc thi Baltic Way thi đồng đội tổ chức vào tháng 11 hàng năm Mỗi quốc gia cử đội tuyển người gồm thí sinh học sinh chưa tốt nghiệp phổ thông trung học thời điểm diễn thi Các thành viên đội có thời gian 30 phút để giải 20 toán (gồm đại số, hình, tổ hợp lý thuyết số) Điểm số điểm nên đội đạt tối đa 100 điểm Trong lịch sử thi, có lần có đội đạt kỳ tích tối đa 100/100 điểm đội tuyển khách Israel, thi Baltic Way tổ chức vào năm 2001 Hamburg (Đức) Vì thời điểm diễn thi tháng 11 nên đội tuyển Ba lan thường chọn dựa kết kỳ thi Olympic toán học năm học trước Thường đội tuyển trẻ Ba lan gồm học sinh lớp 10 lớp 11 có thành tích cao chưa đủ để chọn vào đội tuyển thi IMO MEMO 168 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Đội vơ địch thi giữ cúp luân lưu phải trao lại cho đội vô địch lần thi năm sau Ban giám khảo trao giải đặc biệt cho lời giải sáng tạo Kỳ thi Baltic Way lần thứ 30 Baltic Way lần thứ 30 tổ chức thành phố Szczecin, Balan từ 15 đến 19 tháng 11 năm 2019 Tác giả vinh dự Ủy ban Olympic Toán Ba lan đề cử làm trưởng ban đề (chair of jury) Cũng nhiều kỳ thi quốc tế khác, nước tham gia gửi đề đến cho trưởng ban đề để chuẩn bị shortlist, tức danh sách có khả chọn làm đề thi Khi đến dự thi, trước ngày thi ngày, trưởng phó đoàn nhận shortlist để chuẩn bị cho trình chọn Ngày 17/11, ban đề gồm trưởng ban đề trưởng đoàn họp để chọn cách biểu Kỳ thi đồng đội nên ban đề phải chọn 20 thi thuộc lĩnh vực: Đại số, Số học, Hình học Tổ hợp Trong trình chọn đề, trưởng đoàn quyền biểu Trưởng ban đề có chức điều khiển họp, phân tích, đánh giá, so sánh lựa chọn khơng có quyền đưa lựa chọn Kỳ thi năm có 11 nước tham gia nên có 11 trưởng đồn quyền biểu Vì 11 số nguyên tố nên may mắn không xảy trường hợp lựa chọn có số phiếu Cũng cần lưu ý lúc chọn bài, trưởng đồn khơng biết toán shortlist nước đề cử Trong trình chuẩn bị shortlist, trưởng ban đề thấy đề nghị lĩnh vực số học tổ hợp yếu nên mượn thêm ngân hàng đề Olympic Tốn Ba Lan tình cờ chọn vào danh sách 20 thi thức thi Sau chọn 20 thi, ban đề lại tiếp tục họp để đưa phương án hoàn chỉnh phiên tiếng Anh Thời gian kéo dài khoảng tiếng đồng hồ có tranh luận liệt Sau đó, trưởng đoàn phải dịch đề tiếng Anh sang tiếng nước Năm tồn q trình từ chọn đến lúc in ấn đề xong kéo dài từ 10:00 sáng đến 22:30 Đây họp kéo dài ban đề Có năm họp kéo dài đến sáng Trong thời gian ban đề chỉnh sửa đề ban chấm thi bắt đầu chỉnh sửa lời giải lên thang điểm (marking schemes) Ban chấm thi hoàn thiện marking schemes trước thi kết thúc tiếng đồng hồ đưa cho trưởng đồn Cuộc thi thức diễn hơm 18/11/2019 thí sinh làm thi từ 9:30 đến 15:00 Sau thi trưởng đồn chấm trước, sau ban giám khảo phối hợp cho điểm Tồn q trình coordination kết thúc lúc 22:00 ngày Kết quả, giải thi Baltic Way 2019 thuộc đội Saint Peterburg với kết 90 điểm (trên tổng số 20 × = 100 điểm), giải nhì đội Ba Lan (83 điểm) giải ba thuộc đội Estonia (70 điểm) 169 Tạp chí Epsilon, Số 16, 12/2019 Một kỳ thi giản dị, dân chủ trung thực Đây lần tác giả viết thị sát thi Baltic Way với danh nghĩa người Ban tổ chức Phải thú thực tơi thấy có nhiều điều ngạc nhiên muốn chia sẻ điều tai nghe mắt thấy với thầy cô giáo bạn đọc người Việt Công việc tổ chức giao cho Sở Giáo dục thành phố Sở chọn trường cấp làm đơn vị đăng cai Năm 2019, thi tổ chức trường phổ thông trung học số XIII thành phố Szczecin phụ trách toàn thi thầy cô giáo trường Đây thi từ trước tới mà người biết đề không bị cách ly khỏi thí sinh Trong q trình chọn bài, hỏi có có ý kiến khơng số trưởng đồn đứng lên xin phát biểu: • Thưa quý vị, xin thông báo cách tuần, vừa dạy học sinh có cấu trúc hình học tương đối giống lời giải G9 Nếu chọn lợi cho học sinh tơi q Hoặc • Bài A6 giống toán quen thuộc học sinh Phần lan Sự trung thực bạn thật đáng khâm phục Tuy nhiên sau nghe trình bày cụ thể, trưởng đồn khác cho lợi không đáng kể Sau chọn xong, trưởng đoàn phải dịch toàn đề sang tiếng nước Sau in ấn đề xong 22:30, nghỉ khách sạn Các thí sinh nghỉ khách sạn với trưởng đồn Sáng hơm sau, trưởng đồn, thí sinh ban giám khảo ăn sáng lên xe để đến nơi thi Đến nơi, trưởng đồn vào phòng riêng, ban chấm thi vào phòng khác thí sinh vào phòng thi Nếu muốn gian lận có nhiều cách để thí sinh biết đề trước thi Tuy quan sát năm trở lại đây, chưa nước chủ nhà đạt giải thi Đúng ngày hội em học sinh tham gia kỳ thi Mời bạn đọc thử sức với đề thi Baltic Way 2019 Xin chia sẻ thêm khó thi số 4, số 14 số 18 Hai dễ số số 170 November 17th, 2019 Version: English Time allowed: 4.5 hours During the first 30 minutes, questions may be asked Tools for writing and drawing are the only ones allowed Problem For all non-negative real numbers x, y, z with x ≥ y, prove the inequality x3 − y3 + z3 + √ ≥ (x − y) xyz Problem Let (Fn ) be the sequence defined recursively by F1 = F2 = and Fn+1 = Fn + Fn−1 for n ≥ Find all pairs of positive integers (x, y) such that 5F x − 3Fy = Problem Find all functions f : R → R such that f (x f (y) − y2 ) = (y + 1) f (x − y) holds for all x, y ∈ R Problem Determine all integers n for which there exist an integer k ≥ and positive integers x1 , x2 , , xk so that x1 x2 + x2 x3 + + xk−1 xk = n and x1 + x2 + + xk = 2019 Problem The 2m numbers · 2, · 3, · 4, , 2m(2m + 1) are written on a blackboard, where m ≥ is an integer A move consists of choosing three numbers a, b, c, erasing them from the board and writing the single number abc ab + bc + ca After m − such moves, only two numbers will remain on the blackboard Supposing one of these is 43 , show that the other is larger than Problem Alice and Bob play the following game They write the expressions x + y, x − y, x2 + xy + y2 and x2 − xy + y2 each on a separate card The four cards are shuffled and placed face down on a table One of the cards is turned over, revealing the expression written on it, after which Alice chooses any two of the four cards, and gives the other two to Bob All cards are then revealed Now Alice picks one of the variables x and y, assigns a real value to it, and tells Bob what value she assigned and to which variable Then Bob assigns a real value to the other variable Finally, they both evaluate the product of the expressions on their two cards Whoever gets the larger result, wins Which player, if any, has a winning strategy? Problem Find the smallest integer k ≥ such that for every partition of the set {2, 3, , k} into two parts, at least one of these parts contains (not necessarily distinct) numbers a, b and c with ab = c Problem There are 2019 cities in the country of Balticwayland Some pairs of cities are connected by non-intersecting bidirectional roads, each road connecting exactly cities It is known that for every pair of cities A and B it is possible to drive from A to B using at most roads There are 62 cops trying to catch a robber The cops and robber all know each others’ locations at all times Each night, the robber can choose to stay in her current city or move to a neighbouring city via a direct road Each day, each cop has the same choice of staying or moving, and they coordinate their actions The robber is caught if she is in the same city as a cop at any time Prove that the cops can always catch the robber November 17th, 2019 Version: English Problem For a positive integer n, consider all nonincreasing functions f : {1, , n} → {1, , n} Some of them have a fixed point (i.e a c such that f (c) = c), some not Determine the difference between the sizes of the two sets of functions Remark A function f is nonincreasing if f (x) ≥ f (y) holds for all x ≤ y Problem 10 There are 2019 points given in the plane A child wants to draw k (closed) discs in such a manner, that for any two distinct points there exists a disc that contains exactly one of these two points What is the minimal k, such that for any initial configuration of points it is possible to draw k discs with the above property? Problem 11 Let ABC be a triangle with AB = AC Let M be the midpoint of BC Let the circles with diameters AC and BM intersect at points M and P Let MP intersect AB at Q Let R be a point on AP such that QR BP Prove that CP bisects ∠RCB Problem 12 Let ABC be a triangle and H its orthocenter Let D be a point lying on the segment AC and let E be the point on the line BC such that BC ⊥ DE Prove that EH ⊥ BD if and only if BD bisects AE Problem 13 Let ABCDEF be a convex hexagon in which AB = AF, BC = CD, DE = EF and ∠ABC = ∠EFA = 90◦ Prove that AD ⊥ CE Problem 14 Let ABC be a triangle with ∠ABC = 90◦ , and let H be the foot of the altitude from B The points M and N are the midpoints of the segments AH and CH, respectively Let P and Q be the second points of intersection of the circumcircle of the triangle ABC with the lines BM and BN, respectively The segments AQ and CP intersect at the point R Prove that the line BR passes through the midpoint of the segment MN Problem 15 Let n ≥ 4, and consider a (not necessarily convex) polygon P1 P2 Pn in the plane Suppose that, for each Pk , there is a unique vertex Qk Pk among P1 , , Pn that lies closest to it The polygon is then said to be hostile if Qk Pk±1 for all k (where P0 = Pn , Pn+1 = P1 ) (a) Prove that no hostile polygon is convex (b) Find all n ≥ for which there exists a hostile n-gon Problem 16 For a positive integer N, let f (N) be the number of ordered pairs of positive integers (a, b) such that the number ab a+b is a divisor of N Prove that f (N) is always a perfect square Problem 17 Let p be an odd prime Show that for every integer c, there exists an integer a such that a p+1 + (a + c) p+1 ≡c (mod p) Problem 18 Let a, b, and c be odd positive integers such that a is not a perfect square and a2 + a + = 3(b2 + b + 1)(c2 + c + 1) Prove that at least one of the numbers b2 + b + and c2 + c + is composite Problem 19 Prove that the equation x = + y2 + z2 has no solutions over positive integers Problem 20 Let us consider a polynomial P(x) with integer coefficients satisfying P(−1) = −4, P(−3) = −40, and What is the largest possible number of integers x satisfying P P(x) = x2 ? P(−5) = −156 ... chung kết, BBT Epsilon cam kết tiếp tục xuất Epsilon đến số 30 Thú vị theo tiến độ nay, số 30 phát hành vào năm tổng biên tập tròn 60 tuổi Quá phù hợp cho thay đổi chuyển giao hệ Epsilon, hẳn nhiên... ngoại lệ1 Trân trọng gửi đến độc giả Epsilon 16 với 15 tác giả, 14 viết, xuất ngày 13 tháng 12! Lần xuất vào ngày thứ sáu mười ba rơi vào Epsilon đầu tiên, Epsilon số MỤC LỤC Cao Chi Topo Vũ... Huyện Đặng Nguyễn Đức Tiến LỜI NGỎ Epsilon 16 lên trang xuất xưởng ngày người hâm mộ nước phát cuồng hai chức vơ địch SEA Games hai đội tuyển bóng đá U22 nam nữ Epsilon, với tinh thần theo sát nhịp