Luyện tập_Khoảng cách

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng ). . M H . M H P Định nghĩa 1 ∆ ∆ ∆ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). A’ A P Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. a P Q . A A’ Định nghĩa 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Định nghĩa 3 Tính chất 1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó. 2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. P a b P Q a b II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng m Phương pháp Trường hợp 1: (M và m cùng thuộc một mặt phẳng) . M H m - Kẻ tại H. - Ta có: MH=d(M; m). MH m⊥ Trường hợp 2: (M và m không cùng thuộc một mặt phẳng) . M m H - Dựng (P) qua M sao cho tại H. P ( )P m⊥ - Ta có: MH=d(M; m). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Phương pháp - Dựng với và MH là khoảng cách cần tìm. ( )MH P⊥ ( )H P∈ Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. a) Tính khoảng cách giữa điểm A và đường thẳng BC. Giải: D’ A’ B’ C’ A D C B b) Tính khoảng cách giữa điểm A và mặt phẳng (A’BD) . Hình 1 a) Ta có: nên: AB BC⊥ d(A; BC)=AB=a. M b) (Tìm hình chiếu của A trên (A’BD)) Ta có: O là tâm của hình vuông ABCD O Kẻ . 'AM A O⊥ Mặt khác (Vì chứa AM) AM BD ⊥ (AA' ' )BD C C ⊥ Nên: hay AM=d(A; (A’BD)). ( ' )AM A BD⊥ Tính được: 3 3 a AM = 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song Phương pháp Sử dụng định nghĩa 2 Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a a) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCC’B’) b) Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt phẳng (CDD’C’) Giải: D’ A’ B’ C’ A D C B a) Ta có: ( ' ')AB BCC B⊥ Vậy: AB=d(AD; (BCC’B’))=a. b) Tương tự ta có: ( DD' ')AD C C⊥ Vậy: AD=d((ABB’A’); (CDD’C’))=a. 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Phương pháp a) Trường hợp 1: ( ) a b⊥ P B A b a - Dựng (P) chứa a và vuông góc với b tại B. - Trong (P) dựng . BA a⊥ - Ta có: AB=d(a; b). b) Trường hợp 2: ( a và b không vuông góc với nhau) Tùy vào từng trường hợp cụ thể ta áp dụng một trong hai cách sau: [...].. .Cách 1: - Ta dựng mặt phẳng (P) chứa a và song song với b - Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM’ vuông góc với (P) tại M’ - Lấy M’ dựng b’ song song với b cắt a tại A - Từ A dựng AB song song với MM’ cắt b tại B Độ dài AB chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b b B M P A a M’ b’ Cách 2: - Ta dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại... thuộc b’ - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A Độ dài AB chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b a b A B b’ O P H I Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và đường thẳng C’C Giải: a) Ta có: C’ D’ A’ BC ⊥ AB B’ BC ⊥ CC ' Vậy: BC là đoạn vuông góc chung của AB và C’C hay . ∆ ∆ ∆ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). A’ A P Khoảng cách giữa. chất 1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó. 2) Khoảng cách giữa