HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,5đ) 1.1 (0,75đ) Giải, xác định đúng điều kiện: 2 2 ; 2 2 x x − < ≥ ⇔ 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = − + = ⇔ ⇔ ⇔ = = − − = = − (Thỏa mãn) 0,25 0,25 0,25 1.2 (1.0đ) Điều kiện : 2 2 2 2 4 0 (1) 16 0 (2) 4 1 0 (3) 2 3 0 (4) x x x x y y − ≥ − ≥ + ≥ + − − ≥ Từ (2) ⇔ (x 2 – 4)(x 2 + 4) 2 0 4 0x≥ ⇔ − ≥ kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y 2 – 2y + 1 0≥ ; Đúng với mọi giá trị của y. Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5) 0.5đ 0,5 1.3 (0,75đ) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x 2 – 2y 2 – 5)(x 2 + y 2 +1) = 0 ⇔ x 2 – 2y – 5 = 0 ⇔ x 2 = 2y 2 + 5 ⇔ x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z∈ ) ⇔ 4k 2 + 4k +1 = 2y 2 + 5 ⇔ 2y 2 = 4k 2 + 4k – 4 ⇔ y 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ y chẵn Đặt y = 2n; (n Z∈ ) ⇔ 4n 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ 2n 2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ pt đã cho vô nghiệm 0,25 0,25 0,25 2 (2,0đ) 2.1 (1,0đ) Để 18n + và 41n − là hai số chính phương 2 18n p⇔ + = và ( ) 2 41 ,n q p q− = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + = Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = = ⇔ + = = Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 882n = Thay vào 41n − , ta được 2 2 882 41 841 29 q− = = = . Vậy với 882n = thì 18n + và 41n − là hai số chính phương 0,5 0,5 2.2 (1,0đ) Gọi số cần tìm là : 10ab a b= + (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b+ = + là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có: ( ) 2 2 10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + ⇔ + = + + ⇔ − = ( ) 2 5 b a⇔ − = (vì 0a ≠ ) 0,5 Do đó a phải là số chẵn: 2a k= , nên 5 b k− = Nếu 1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) 0, 5 3 3,25đ) 3.1 (1,0) d d ' D B A L I E N P H O M . = Nếu 1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = +. 2 18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + = Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = = ⇔ + = = Từ 2 2 18 30 90 0n p+ =