học sinh giỏi

Buổi 7 Bồi dỡng học sinh giỏi phần số học I) Lý thuyết chia hết 1) Cho a;bZ ;b 0; a M b nếu có q Z sao cho a = bq + r hay còn nói b chia hết a ;hay b là ớc của a 2) Với aZ ;bZ ; b 0 luôn tìm đợc q và r sao cho a = bq + r (0 r <| b |) 3) Cho 2 m Z ; và a,b Z ta có a b(mod m) nếu có a - b M m 4) Tính chất đồng d thức a)giả sử a 1 ,b 1 ,k 1 Z 1,i n = và a 1 b 1 (modm)vì 1,i n = thì 1 1 (mod ) n n i i i i i i k a k b m = = b )nếu a b(mod m) thì a n b n (mod m) với mọi n Z 5) Cho 1<p N P đợc gọi là nguyên tố nếu p chỉ có ớc là 1 và p ;nh vậy p là nguyên tố khi và chỉ khi không tồn tại các số nguyên tố a;b >1 sao cho p= ab 6) Số tự nhiên a >1 không phải nguyên tố gọi là hợp số Vậy số tự nhiên a >1 là hợp số khi và chỉ khi tồn tại 1 < b < a sao cho b là - ớc của a 7) Định lý Fermat Cho a Z ;p là số nguyên tố a M p Thì a p-1 1 (mod p) 1 *) Các phơng pháp chứng minh chia hết 1) Dùng tính chất trong n số nguyên liên tiếp (n>1) có một và chỉ một số chia hết cho n 2) Dùng công thức khai triển a n - b n M a b với mọi nZ a n + b n M a + b nếu n lẻ a n - b n M a + b nếu n chẵn (a - b ) ( a+ b ) n b n (mod a) 3) Dùng định lý về chia có d Khi chia n cho p có thể có các số d là 0;1;2; .p-1 hoạc1;2 ; .; 1 2 p Nếu p lẻ 4) Dùng quy nạp toán học 5) Dùng định lý Fermat P là nguyên tố a p a (mod p) (a,p) =1 thì a p - 1 1 (mod p) II) Các dạng bài tập Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n số n 5 và n có chữ số tận cùng giống nhau Giải Ta chứng minh n 5 n M 10 Ta có n 5 n = n( n 2 -1)( n 2 +1) = n( n 1) ( n+ 1) (n 2 +1) Vì n(n-1) là 2 số TN liên tiếp => n(n-1) M 2 => n 5 n M 2 Ta C/M n 5 n M 5 n * n 5 n = n( n 2 -1)(n 2 +1) = n(n 2 -1) (n 2 4 +5) 2 2 2 2 5 5 ( 1)( 4) 5 ( 1)n n n n n= + M M 1 4 44 2 4 4 43 142 43 Vì (2,5) =1 => n 5 n M 10 hay n 5 và n có cùng chữ số tận cùng *Hoạc có thể xét theo số d => n 5 n M 10 hay n 5 và n có cùng số tận cùng Bài tập : Sử dụng tính chất trong chứng minh chia hết : trong n sô nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n và dùng cách xét theo số d theo bội của 5n có thể bằng 5k ; 5k 1;5k2 Các bài tập sử dụng tính chất trên Chứng minh: a)Tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 20 b) n 3 + 11n M 6 c) Chứng minh rằng với số tự nhiên n thì 2 n + 1 M 7 d) Cho 3 < n N Chứng minh rằng 2 n = 10a +b thì ab M 6 e) n 5 m nm 5 M 30 f) Tìm các số nguyên dơng n để A = 2 n + 1 M 3 Bài 2: Cho p là số nguyên tố > 3 chứng minh p 2 -1 M 24 Giải P 2 1 = (p+1)(p -1) Vì p là nguyên tố > 3 => p lẻ => P+1 và p -1 là 2 số chẵn liên tiếp nên (p + 1 ) (p 1) M 8 Mặt khác (p + 1 ), (p 1) , p là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 => p +1 hoặc p 1 chia hết cho 3 => (p + 1 ) (p 1) M 3 Mà (3,8) =1 => p 2 -1 M 24 Bài tập tơng tự : 3 a) Chứng minh 4 2k -1 M 15 b) Chứng minh 3 1998 + 5 1998 M 13 c) Chứng minh p 4 - 1 M 240 Bài 3 : Chứng minh : Q = a 8 +4a 7 + 6a 6 +4a 5 +a 4là bội của 16 với aN Giải Q= a 4 ( a 4 + 4a 3 + 6a 2 +1) = a 4 ( a+1) 4 = [a(a+1)] 4 Vì a(a+1) M 2 nên [a(a+1)] 4 = 2 4 k 4 là bội của 16 Bài tập tơng tự a) CMR nếu m là một số lẻ thì M= m 4 +9 ( 9- 2m 2 ) M 16 Ta xét m lẻ = > m =2k 1 thay vào M b) CMR nếu g không là bội của 5 thì tổng: A = g 5 + 3 g 4 - 4 là bội của 100 Bài 4: Cho P = (10x + 192 y) (11x+ 191y) .(19x+183y) với x, y Z Biết P M 101 , hỏi P có chia hết cho 101 10 không ? Giải: Vì P có 10 thừa số mà P M 101 => một trong các thừa số có 1 thừa số chia hết cho 101 Giả sử thừa số 10x + 192y M 101 ta có : 10x + 192y = 10x -10y + 202y =10(x-y) + 202y Vì 10x + 192y M 101 mà 202y M 101 => 10(x-y) M 101 Mà (10;101) = 1 => x y M 101 Vậy ta có: [ ] [ ] [ ] 101 101 101 10( ) 202 11( ) 202 . 19( ) 202P x y y x y y x y y= + + + M M M 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 4 => P M 101 10 Bài tập tơng tự Giả sử a,b là số nguyên có (16a + 17b) (17a + 16b) M 11 Chứng minh (16a + 17b) (17a + 16b) M 121 . Buổi 8 Bài 5 : Cho A = 999993 1999 555557 1997 chứng minh A M 5 Giải : Xét 3 1999 =( 3 4 ) 499 . 3 3 = 8 499 .3 3 số này có tận cùng là 7 Xét 7 1997 = (7 4 ) 499 . 7 số này có tận cùng là 7 A có số tận cùng là 0 nên A M 5 Bài tập tơng tự : Chứng minh : B = 3 1998 + 5 1998 M 13 Giải : B = 3 1998 + 2 1998 + 5 1998 2 1998 = [(3 2 ) 909 + (2 2 ) 999 ] + [(5 3 ) 666 (2 3 ) 666 ] = (9 999 +4 999 ) + (125 666 8 666 ) =( 9+ 4) A + (125 8) .C = 13A + 117C M 13 Bài 6: CMR nếu a 2 + b 2 M 5 thì 2a + b, 2b a hoặc hai số 2a b, 2b + a chia hết cho 5 Chứng minh Ta có a 2 + b 2 = ( a 2 - 4b 2 ) + 5b 2 = (a 2b)( a+ 2b) + 5b 2 5 => (a 2b) (a + 2b) M 5 * Nếu a 2b M 5 => 2b a M 5 Và 2( 2b a) + ( 2a + b) = 5b M 5 => 2a + b M 5 * Nếu a + 2b M 5 => 2(2a b) + ( a+ 2b) = 5a M 5 => 2a b M 5 Bài 7: CMR số tự nhiên 1 1 1 1 1.2.3 2003.2004 1 . 2 3 2003 2004 A = + + + + + ữ Chia hết cho 2005 Giải : 1 1 1 1 1 . 2 3 2003 2004 + + + + + ữ ( ) 2 2 2 4 4 5 5 n d n d n d n d + + + + M M M M 1 1 1 1 2005 . 2004 2.2003 3.2002 1002.1003 = + + + + ữ 1 1 1 1 1.2.3 .2003.2004.2005 . 2004 2.2003 3.2002 1002.1003 A => = + + + + ữ =2005 .(B) B là biểu thức tự nhiên => A M 2005 Bài tập tơng tự: Cho 1 1 1 1 . 2 3 1992 m n => = + + + + ữ CMR: m M 1993 và tìm bài toán tổng quát Bài 8 Cho phân số 2 4 5 n A n + = + hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 n 2 004 soa cho A là phân số cha tối giản Giải Gọi d là ớc của n 2 +4 và n + 5 thì ta có 6 ( ) 2 2 2 4 4 5 5 n d n d n d n d + + + + M M M M =>[(n+5) 2 (n 2 +4)] M d => (10n+21) M d hay 10( n+5) 29 M d Mà 10( n+5) M d => 29 M d Để A cha tối giản thì d >1 mà d là ớc của 29 nên d = 29 Do đó n + 5 = 29 k ( kN * ) => n = 29 k 5 Vì 1 n 2004 nên 1 29k - 5 2004 <=> 6 29k 2009 => k = 1 , 2 , 3 , ,69 Vậy có 69 số nguyên dơng thoả mãn đầu bài Bài tập tơng tự * Chứng minh phân số tối giản với số tự nhiên n 3 4 2 2 3 1 n n n n + + + * cho a/b tối giản chứng minh 2 2 ab a b+ * Chứng minh với a/b tối giản thì 2 ( ) a b a a b + + tối giản Bài 9 : Cho số tự nhiên A ngời ta đổi chỗ các chữ số của A để đợc số B gấp ba lần số A . Chứng minh B M 27 Giải : Theo đầu bài ta suy ra B = 3A (1) => B M 3 Nhng tổng các chữ số của A và B nh nhau ( Ngời ta chỉ đổi chỗ các chữ số ) => A M 3 (2) Từ (1) và (2) => B M 9 => A M 9 (3) Từ (1) và (3) => B M 27 Bài 10 : Cho số N = 1.3.5 .1997, chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp 2N 1 , 2N, 2N + 1 không có số nào là số chính phơng 7 Ta chú ý 2 kết luận : + Một số chính phơng chẵn thì M 4 + Một số chính phơng không chia hết cho 3 thì chia cho 3 d 1 Giải * Ta có 2N = 2( 1.3.5 .1997) là một số chẵn nhng không chia hết cho 4 => 2N không thể là số chính phơng * Ta có 2N 1 = ( 2N 3) +2 mà 2N 3 M 3 => 2N 1 chia cho 3 d 2 nên 2N 1 không thể là số chính phơng * Giả sử 2N + 1 = k 2 ( k lẻ ) => 2N = k 2 -1 = ( k+1) (k 1 ) M 4 => N chẵn vô lý Vậy 2N + 1 cũng không thể là số chính phơng Bài tập tơng tự a) Tìm tất cả các số nguyên N sao cho n 2 + 2002 là một số chính phơng b) Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + .+ n( n+1 ) ( n+ 2) Chứng minh số 4N + 1là một số chính phơng với mọi số nguyên dơng n Bài 11 : Chứng minh số A = 2 9 + 2 99 M 100 Giải A = 2 9 + 2 99 = 2 9 + (2 11 ) 9 =( 2 + 2 11 ) ( 2 8 -2 7 .2 11 + 2 6 . 2 22 - . 2.2 77 + 2 88 = 2050 . 2B = 4100 .B M 100 Hoặc có thể dùng đồng d thức 2 9 + 2 99 0 (mod 4) Ta chứng minh 2 9 + 2 99 0 (mod 25) Thật vậy2 10 2024 -1 (mod 25) 8 => 2 9 +2 99 = 2 9 ( 1+2 90 ) = 2 9 [1+ (2 10 ) 9 ] 0 (mod 25) Bài tơng tự a) Chứng minh : (a 2 +3a +1) 2 1 M 24 với aN b)Chứng minh 10 n +18n -1 M 27 với nN c) Chứng minh 10 k - 4 k -3b là bội của 9 d) CMR nếu a,b M 3 thì a 6 b 6 M 9 Buổi 9 Bài tập a) CMR tổng bình phơntg của 5 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phơng b) CMR tổng luỹ thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phơng c) Số 19 1997 + 9 1997 + 7 1997 có là số chính phơng không ? vì sao d) Hình vuông có cạnh là số tự nhiên có thể có diện tích là 1997 111 .11 so 14 2 43 đợc không? tại sao? Bài 12: Cho 3 2 1993 1991 3 2 6 x x x A = + + CMR khi x là số nguyên thì A nhận giá trị nguyên Giải Ta có 3 2 3986 31991 6 x x x A + + = 9 Ta chứng minh khi xZ thì B = 3986x 3 + 3.1991x 2 +x chia hết cho 6 Nếu x chẵn => B M 2 Nếu x lẻ =>(3986x 2 + 3.1991x +1 ) M 2 Nếu x = 3k (kZ) => B = x[(3984x 2 +3.1991x )+2x 2 +1] M 3 X = 3k 1 thì x 2 =3m+1 (mZ ) => 2x 2 +1 = (6m+3) M 3 => B M 3 Vậy B M 2 và 3 mà (2,3) =1 => B M 6 Chứng tỏ A có giá trị nguyên khi x nguyên Bài tập tơng tự a) CMR với mọi số nguyên n thì 5 3 7 5 3 15 n n n + + b) CMR : ax 3 + bx 2 + cx+d là số nguyên vỡi xZ Khi và chỉ khi 6a,2b,a+b+c và d là số nguyên Bài 13 CMR: với mọi số tự nhiên n thì số N=5.7 2n+2 +2 3n M 41 Giải : N= 5(49 n+1 - 8 n+1 )+41.8 n = 5.49 n+1 -5,8 n+1 +41.8 n = 5.49 n+1 40.8 n +41.8 n Bài tập tơng tự a) ( 6 2n + 19 n 2 n+1 ) M 7 b) ( 7.5 2n + 12.6 n ) M 19 c) (5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 ) M 59 Bài 14 Cho a là số nguyên dơng chẵn không chia hết cho 10.tìm chữ sô hàng trục của a 20 và chữ số hàng trăm của a 200 10 . Buổi 7 Bồi dỡng học sinh giỏi phần số học I) Lý thuyết chia hết 1) Cho a;bZ ;b 0; a M b nếu có q Z sao. các số d là 0;1;2; .p-1 hoạc1;2 ; .; 1 2 p Nếu p lẻ 4) Dùng quy nạp toán học 5) Dùng định lý Fermat P là nguyên tố a p a (mod p) (a,p) =1 thì a p - 1