1 GA MOT SO PP GIAI PT HE PT

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải tích Bài tốn Giải phương trình sin x + cos x - sin x.cos x = 1+ lg 3+ sin x + cos x 4+ sin x.cos x (1) Lời giải Nhận xét � p� 3+ sin x + cos x = 3+ 2.sin � x+ � �3� � � � � 4� > 1, " x �� 1 4+ sin x.cos x = 4+ sin 2x �4- > 1, " x �� 2 Phương trình cho tương đương với lg(4+ sin x.cos x ) - (4+ sin x.cos x) = lg(3+ sin x + cos x) - (3+ sin x + cos x) Xét hàm số f (t ) = lg t - t , t >1 Ta có f '(t ) = (2) - 1< 0, t > t.ln 10 , suy hàm số f (t ) nghịch biến (1; +�) Phương trình (2) có dạng f (4+ sin x.cos x) = f (3+ sin x + cos x) � 4+ sin x.cos x = 3+ sin x + cos x � (1- cos x)(1- sin x) = � cos x = 1�sin x = p � x = k 2p �x = + k 2p, k �� Kết luận phương trình (1) có hai họ nghiệm Bài toán Giải hệ phương trình x = k 2p, x = p + k 2p, k �� � (2x2 - 3x + 4)(2y - 3y + 4) = 18 � �2 � �x + y + xy - 7x - 6y +14 = ( Đề chọn ĐT trường chuyên ĐHSP Hà Nội) Lời giải 2 Xét phương trình x + y + xy - 7x - 6y +14 = (3) Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Xem (3) phương trình bậc hai ẩn x , (3) có Xem (3) phương trình bậc hai ẩn y , (3) có D=-+-�ۣ 3y 2� 10y y D=-+3 � x2� 16y 20 x y x 10 Xét hàm số f (t) = 2t - 3t + 4, t �1 Ta có f '(t ) = 4t - 3> với t �1 Hay hàm số f (t ) đồng biến (1; +�) Do đó, � y �1 � f ( y ) � f (1) = � � =ۣ� � � � �x �2 � �f ( x ) � f (2) = f ( x) f ( y ) 6.3 18 Suy hệ có nghiệm đẳng thức xảy ra, tức � x =2 � � � �y = Mà (2;1) lại khơng nghiệm phương trình (3) nên hệ cho vô nghiệm �x2 + 3x + ln(2x +1) = y � �2 � Bài tốn Giải hệ phương trình �y + 3y + ln(2y +1) = x (HSGQG 1994) Lời giải Điều kiện � � x >� � � � � y >� � � 2 Cộng vế theo hai phương trình hệ ta x2 + 4x + ln(2x +1) = y + 4y + ln(2y +1) Xét hàm số f (t ) = t + 3t + ln(2t +1), t >- (4) 1 f '(t ) = 2t + 3+ > 0, t >- 2t +1 Hay Ta có �1 � � - ; +�� � � � � � hàm số f (t ) đồng biến � Phương trình (4) có dạng f ( x) = f ( y ) � y = x , thay vào hệ cho x2 + 3x + ln(2x +1) = x � x2 + 2x + ln(2x +1) = (5) Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền �1 � � - ; +�� g '( x) = 2x + 2+ > 0, x >- � � � � �thì 2x +1 Đặt g ( x) = x + 2x + ln(2x +1) � 2 �1 � � - ; +�� � � � � � Hay hàm số g ( x) đồng biến � Mặt khác, phương trình (5) có nghiệm x = nên x = nghiệm phương trình (5) Suy (0; 0) nghiệm hệ 2x +1 � 1� log2( x + 2) + x + = log +� 1+ � � � �+ x + � � x� x Bài toán Giải phương trình (6) ( Đề chọn ĐT trường chuyên ĐH Vinh) Lời giải �x + 2> � � � - 2< x 0 � � x >0 � � Điều kiện � x Phương trình (6) tương đương với log2 � 1� � 1� � 1� x + 2- x + + x + = log2 � 2+ � - 2� 2+ � +� 2+ � � � � � � � � � � � � � x� � x� � x� � (7) Xét hàm số f (t ) = log2 t - 2t + t , t > Hay f (t ) đồng biến (0; +�) Phương trình (7) có dạng � x =- 1�x = 3- 13 f � 1� x +2 = f � 2+ � � x + = 2+ � ( x +1)( x - 3x - 1) = � � � � � x� x ( �x = ) 3+ 13 So với điều kiện ta nhận nghiệm phương trình Bài tốn Giải phương trình x + 9x2 - = 2x +1 x =- 1, x = 3+ 13 (8) ( Đề chọn ĐT tỉnh Phú Yên) Lời giải Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền x 3) ( Phương trình cho tương đương với 3 + 3x = ( 3x +1) + 3( 3x +1) (9) Xét hàm số f (t ) = t + 3t � f '(t ) = 2t + 3> 0, " t �� hay hàm số f (t ) đồng biến � 3 Phương trình (9) có dạng f (t ) = f (3t +1) � x = 3x +1� x - 3x - 1= (10) Gọi g ( x) = x - 3x +1là hàm đa thức liên tục tập số thực g ( x ) chứng minh - 2; 2] phương trình g ( x) = có ba nghiệm phân biệt [ nên ta xét - 2�x �2 Đặt x = 2cos t , t �( 0; p) phương trình (10) trở thành 8cos3 t = 6cos t +1 � 2( 4cos3 t - 3cos t ) = � cos 3t = p p � t = � + k , k �� �p 7p 5p� t �� , , � t �( 0; p) � � suy nghiệm phương trình (10) �9 9 � Vì nên ta chọn 7p 5p� � p x �� cos ,cos ,cos � � 9� � � ba nghiệm phân biệt phương trình cho �y2- x2 x2 +1 � e = � y +1 � � � 3log ( x + 2y + 6) = 2log2( x + y + 2) +1 � Bài tốn Giải hệ phương trình � ( Đề chọn ĐT trường THPT Cao Lãnh – Đồng Tháp) Lời giải x + 2y + 6> � � � � Điều kiện �x + y + 2> e y ( y +1) = e x ( x +1) Phương trình thứ hệ tương đương với Xét hàm số f (t ) = et (t +1) � f '(t ) = et (t + 2) > 0, " t �[ 0; +�) Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình (14) Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền 0;+�) Suy hàm số f '(t ) đồng biến [ � y=x f ( y 2) = f ( x ) � y = x � � � y =- x � Mặt khác phương trình (14) có dạng Xét trường hợp y = x , thay vào phương trình thứ hai hệ, ta 3log ( 3x + 6) = 2log ( 2x + 2) +1 � ( 3x + 6) = 2( 2x + 2) , x >- Phương trình vơ nghiệm Vậy trường hợp hệ vơ nghiệm Xét trường hợp y =- x , thay vào phương trình thứ hai hệ, ta 3log2 ( - x + 6) = 2log 2+1= � ( - x + 6) = 2, x < � x =4 Suy y =- , x = 4, y =- thỏa hệ nên chúng nghiệm hệ cho Kết quả: x = 4, y =- 3 Bài tốn Giải phương trình 2x - = 27x - 27x +13x - ( Đề thi HSG Hải Phòng) Kết quả: x = � 2(2x +1)3 + 2x +1= (2y - 3) y - � � � 4x + + 2y + = � Bài toán Giải hệ phương trình � ( Đề chọn ĐT trường chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) x = , y =6 Kết quả: Bài tốn Giải phương trình ( sin x - 2) ( sin x - sin x +1) = 33 3sin x - 1+1 Hướng dẫn sin x - 1) + 3( sin x - 1) = ( 3sin x - 1) + 33 3sin x - Biến đổi phương trình ( Kết quả: x = k p, k �� Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền � 2y + 2x 1- x = 1- x - y � � � Bài toán 10 Giải hệ phương trình �y = 2x - 1+2xy 1+ x ( Đề thi chọn HSG trường Chuyên Nguyễn Du – Đăk Lăk) Hướng dẫn Biến đổi phương trình thứ dạng 2y + y = 2(1- x - 1) 1- x + 1- x � 2y + y = 2(1- x) 1- x + 1- x ( ) � 2y + y = 1- x + 1- x 0;+�) Xét hàm số f (t ) = 2t + t , t �0 , chứng minh hàm số đồng biến [ suy y = x - , thay kết vào phương trình thứ hai hệ 1- x = 2x - 1+ 2x 1- x Đặt t = cos x, x �0 [ ; p] Kết quả: x = cos đưa giải phương trình lượng giác 3p 3p , y = 2sin 10 20 �x - y - = 3x - 3y � �2 �x + 1- x2 - 2y - y +2 = � Bài tốn 11 Giải hệ phương trình � Kết quả: x = 0, y = �x + x2 - 2x + = 3y- +1 � � � � �y + y2 - 2y +2 = 3x- +1 Bài tốn 12 Giải hệ hương trình � Lời giải �x - 1+ ( x - 1)2 +1 = 3y- +1 � � � � �y - 1+ ( y - 1)2 +1 = 3x- +1 Hệ phương trình cho tương đương � Cộng vế theo vế hai phương trình ta x - 1+ ( x - 1)2 +1+ 3x- = y - 1+ ( y - 1)2 +1+ 3y- Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình (11) Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Xét hàm số f (t ) = t + t +1+ 3t � f '(t ) = 1+ t t +1 + 3t ln = t + t +1 t +1 + 3t ln 3> 0, " t �� , t +1 > t = t �- t � t +1+ t > 0, " t �� Hay hàm số f (t ) đồng biến � Phương trình (11) có dạng f ( x - 1) = f ( y - 1) � x = y (12) x- Thay (12) vào phương trình thứ hệ ta x - 1+ ( x - 1) +1 = (13) a Lại đặt a = x - (13) trở thành a + a +1 = ( ) ( ) � ln a + a2 +1 = a ln a + a +1 > 0, " a �� � ln a + a2 +1 - a ln 3= Xét hàm số ( ) f (a ) = ln a + a2 +1 - a ln f '(a) = Rõ ràng thực a +1 tập số thực - ln 3< 1- ln 3< 0, " a �� Suy hàm số nghịch biến tập số Mặt khác g (0) = nên ta a = nghiệm phương trình Suy x = 1, y = nghiệm hệ Phương pháp đánh giá � 1 20y � sin x + + cos2 y + = � � sin x cos y x+y � � � � 1 20x � � sin y + + cos2 x + = � � sin y cos x x+y Bài toán Giải hệ phương trình � ( VMO 2013) Lời giải Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Nhân vế theo vế hai phương trình hệ, ta � � � � 1 � 1 � xy 2 � � � � sin x + + cos y + sin y + + cos x + = 20 � � 2 � 2 � � � � � sin x cos y � sin y cos x � � � � � ( x + y) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho biểu thức không âm, ta 20 xy ( x + y) sin x + �4 1 cos2 x + sin x cos x sin y + 1 cos2 y + 2 sin y cos y Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwart sin x + � � � � sin 2x 1 � � 2 � � cos x + = sin x + cos x + � + � � � � 2 � � � � � � sin x cos x sin x � cos x � sin 2x sin 2x 3 � + + �1+ = 2 sin 2x sin 2x 2 14444444244444443 AM =GM sin x + Suy 1 cos2 x + � sin x cos x sin y + Tương tự cho 20 Do 1 cos2 y + � 2 sin y cos y �۳++�-� 4xy x 2 ( x + y) xy 2xy y2 ( x y) Vậy hệ có nghiệm đánh giá xảy đẳng thức, tức �sin 2x = � � p p � � x = y = + k , k �� �x = y � � 2 � sin x = cos x � tất nghiệm hệ cho � 1 � + = � 2 � 1+2xy 1+2x 1+2y � � � � � x(1- 2x) + y (1- 2y ) = � Bài tốn Giải hệ phương trình � ( VMO 2009) Lời giải Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền 0�x, y � Điều kiện 2 Áp dụng bất đẳng thức (a + b) �2(a + b ) , ta có � � � 1 � � � � � � + �2� + � � � � 2� � 2 � � � + x + y � � � � 1+ 2x 1+ 2y � � 1 + � 0�x, y � 2 Lại có 1+2x 1+2y 1+2xy (*) bất đẳng thức với Do � � � � � � � � � � � + =� �� � � 1+2xy � � � � � 1+ 2x2 1+ 2y � � � � � 1+2xy � Hay 1+2x + 1+ 2y � 1+2xy Do hệ có nghiệm đẳng thức đánh giá phải xảy ra, hay x = y Thay kết vào phương trình cịn lại, ta kết luận nghiệm hệ phương trình 9� 73 x (1- 2x ) = � x = 36 Từ Bài tốn Giải hệ phương trình (Đề xuất Chun Biên Hịa, DHĐBBB 2015-2016) Lời giải Điều kiện : Ta có : ( dấu = xảy xy =) Do từ (1) (3) Từ (2) (3) ta suy : (4) Ta lại có Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Do (4) hoặc Thử lại ta thấy có nghiệm hệ � y3  x  y   x2  y  x2   y � � �  x  y   2   x  y                  x, y �� Bài toán Giải hệ phương trình: � ( ) Hướng dẫn giải y  x – y  �0 y – x �0 y �  x � Điều kiện: , ; ; +) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: y  2x  y  y  xy  y =  y  xy  y � x2  y  x2 y  3x x2  y  x2  � 2 = y  2x  y  Suy ra: x  y  4x + 2  y  3x � 3 xy + y  3x 2 �  x – y  �0 � x  y Vì vậy, ta phải có: y �3xy  Vậy phương trình đầu tương đương với x = y Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ ta được: 2 x + Do x  2  x  x (*) 2 x + x   nên ta phải có: x  x –  x  ( x �1 ) Khi phương trình (*) tương đương với:   x – x   x – 1  –    x  x  x   1 � � �  x – x – 1 � 1  � � x 1  x x  x  � 1 � � do1      � � x 1   x x  x  � � x – x –1  � Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 10 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền � 1   t / m  �x  � � 1 1 x               x  y  � 2 ۣ� � 1 � � � � x; y   �  � � Vậy hệ có nghiệm � x  xy  x  xy  y  y  15(1) � � 6( x3  y )  2( x  y )  3(2) �x  2 Bài toán Giải hệ phương trình � x  xy  y Lời giải �xy �0 �2 x  y  xy �0 Điều kiện � Nếu x  y = hệ vơ nghiệm �x �0 � Nếu �y �0 (x,y khơng đồng thời 0) vế trái (2) âm, phương trình (2) khơng thoả mãn Do x > 0, y > Vì xy �x  y nên từ phương trình (1) suy 15  x  xy  x  xy  y  y �(2 x  y )  x  3( x  y )  y  (2 x  y)  x  y � (2 x  y )  2(2 x  y ) �15 � x  y �3 x2  y xy  ��� x 2 Mặt khác, ta có xy (3) y2 3( x  y ) 3( x  y ) x  xy  y 2( x3  y ) x  y (4) 2( x  y ) � 2( x  y )(5) 2 Ta chứng minh rằng: x  y Thật bất đẳng thức (5) tương đương 2( x  y ) �( x  y ) � x  y  x y �3x y  3x y (6) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 11 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền x  x3 y  x3 y �3 x12 y  x y y  x y  x y �3 x y12  x y Cộng vế với vế hai đẳng thức ta (5), từ suy (5) 3( x  y ) � 2( x  y ) 2 x  xy  y Từ (4) (5) suy ra: Kết hợp với phương trình (2) lưu ý 3 x 2( x  y ) �x  y , ta được: 6( x3  y3 )  2( x  y ) �x  2( x  y ) �x  ( x  y )  x  y x  xy  y (7) Từ (3) (7) suy 2x  y  x  y ta x  y  (thoả mãn điều kiện tốn) Vậy hệ có nghiệm (1;1) Phương pháp biến đổi � � � � � � 3x � 1+ � =2 � � � � � x + y � � � � � � � � � � � 7y � 1� =4 � � � � � x + y � � � Bài toán Giải hệ phương trình � ( VMO 1996) Lời giải Điều kiện �x �0, y �0 � �x  y �0 Nhận xét x  y  không thỏa hệ phương trình, nên x  0, y  Chia hai vế phương trình thứ cho � � � 1 � � � x  y � � � � � � � 1 � � � x y� � � hệ 3x chia hai vế phương trình thứ hai cho 7y ta � �1 2 2   1 � � x y x y � � �� �� �2  4 �1  2  � � 7y 3x 7y 7y x  y �x  y � 3x 3x Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 12 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Nhân vế theo vế hai phương trình hệ, �1 �1 2� 2�    � � � � � 3x � � 3x � x y y y � � � � �   3x 7y x  y � 7y  38xy  24x  � y  6x �y   x � 11 �x  � 21 � �y  22  � - Trường hợp: y  6x vào phương trình thứ hệ giải � y x khơng có nghiệm dương - Trường hợp: Vậy hệ có nghiệm � � � 12 � � � 1+ � x =2 � � � � � � 3x + y � � � � � � � � 12 � � � � � y =6 � � � � � � 3x + y � � � Bài toán Giải hệ phương trình ( VMO 2007) Giải tương tự toán Bài toán Giải hệ phương trình sau: 2 � � x  x  y   x  y  x  y   y  18 � 2 � � x  x  y 1  x  y  x  y 1  y  (Đề hsg Dương Xá,2008-2009) Lời giải �x  x  y  �0 �2 y  x  y  �0 Điều kiện � Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền Cộng trừ vế tương ứng hệ phương trình ta � � x  x  y   y  x  y   10 � �x  y  Thế y   x vào phương trình ta x   x  16 x  73  10 � ( x  9)( x  16 x  73)   x  x  � ( x  32 ) � ( x  8)2  32 ) � � �  x(8  x) � (1) � Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8  x;3) � Khi � ( x  32 ) � ( x  8)  32 ) � � � � | a |.| b |= � a b =  x(8  x) � � � � Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a b (2) � � � � Ta có | a |.| b | �a b � � � � � � Khi (2) xảy a  b  (không xảy ra) a hướng b suy 8 x 1 � x=4 x Nghiệm hệ (4;4) 2 � � x  y 6  x  y 3 x y � x   y  x  y  15  � Bài toán Giải hệ phương trình sau tập số thực: � Hướng dẫn giải 2 � � x  y   x  y  x  y (1) � x   y  x  y  15  (2) � Đặt � Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 14 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| Điều kiện: (1) �  GV: Cao Nguyễn Minh Hiền �x  y �0 � �x  y �0 �x �2 � x y 2   x y 3  � y  4 x Thay vào (2) ta được: x    x  x  x   � 3 x � x3 � � � � ( x  3)( x  2)  � 3�  � 3 � � x  1� � (4  x )   x  � � x3 � � ��   x   (*) � (4  x)   x  � x  1 Phương trình (*) vơ nghiệm do: x �2 � x  �0 � VT  Vậy x  y  nghiệm hệ phương trình Phương trình, hệ phương trình chứa tham số 3 � �x  y  y  3x   (4) �2 x   x  2 y  y  m  (5) Bài tốn Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: � Hướng dẫn giải �1 �x �1 � Điều kiện: �0 �y �2 � x3  3x   y 1   y 1 Phương trình (4) t � 1;1 Xét hàm số f (t )  t  3t , với  f '(t )  3t  �0, t � 1;1 � f(t) hàm số nghịch biến  1;1 (vì liên tục đoạn này) Suy ra: x  y  2 Thay vào phương trình (5) ta được: x   x  m  2 u � 0;1 Đặt u   x , Ta có phương trình: g(u) = u  u   m Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 15 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi| GV: Cao Nguyễn Minh Hiền g (u )   ; max g (u )  1  0;1  0;1 Suy hệ phương trình cho có nghiệm � �m �1 Ngày… tháng… năm …… Người duyệt Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình Trang 16 ... +1 � � � � �y + y2 - 2y +2 = 3x- +1 Bài tốn 12 Giải hệ hương trình � Lời giải �x - 1+ ( x - 1) 2 +1 = 3y- +1 � � � � �y - 1+ ( y - 1) 2 +1 = 3x- +1 Hệ phương trình cho tương đương � Cộng vế theo... 1) = f ( y - 1) � x = y (12 ) x- Thay (12 ) vào phương trình thứ hệ ta x - 1+ ( x - 1) +1 = (13 ) a Lại đặt a = x - (13 ) trở thành a + a +1 = ( ) ( ) � ln a + a2 +1 = a ln a + a +1 > 0, " a ��... t + t +1+ 3t � f ''(t ) = 1+ t t +1 + 3t ln = t + t +1 t +1 + 3t ln 3> 0, " t �� , t +1 > t = t �- t � t +1+ t > 0, " t �� Hay hàm số f (t ) đồng biến � Phương trình (11 ) có dạng f ( x - 1) = f