Một số cách giải bài toán tìm chữ số của lớp 6 Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình A.Kiến thức hỗ trợ Nếu a là một chữ số thì 0 a 9 Mỗi số tự nhiên chỉ có một cách phân tích thành tổng chuẩn .Ví dụ : .10 .100 .10 ab ao b a b abc aoo bo c a b c = + = + = + + = + + Các dấu hiệu chia hết cho 2 , 4 , 5 , 25 , 3 , 9 Tổng các chữ số của số tự nhiên n ký hiệu là S(n) . Ví dụ ( )S abc a b c = + + Các tính chất chia hết của một tổng , hiệu , tích B. Một số cách giải ví dụ minh họa I.phơng pháp lựa chọn Nội dung : 1) Tìm một dấu hiệu để lựa chọn 2) Xét mọi trờng hợp xảy ra để lựa chọn kết quả đúng Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abc biêt nó đồng thời thỏa mãn hai điều kiện : 2 7 b a ab cc = + = Giải : Ta chọn dấu hiệu lựa chọn là các giá trị của a ( Vì sao ? Bạn hãy tự giải thích ) ĐK : 0 < a , b , c < 10 . Vì b = 2a nên a { 1 ; 2 ;3 ; 4 } , có bảng sau : a b ab 7ab + c abc Kết luận 1 2 12 19 loại 2 4 24 31 loại 3 6 36 43 loại 4 8 48 55 5 485 chọn Đáp số: Số phải tìm là 485 Ví dụ 2 : Điền các chữ số thích hợp vào vị trí các dấu và các chữ sao cho dãy tính sau đây là đúng ( ) 123a a ì+ = Giải : Đk 0 < a < 10 .Dấu hiệu lựa chọn là các giá trị của a . Vì 123 lẻ nên a lẻ và là ớc của 123 vậy a { 1 ; 3 } , nên ta lựa chọn nh sau : Nếu a = 1 thì ( 1).1 123 122 ì+ = ì = , vậy ta cần phân tích 122 thành tích của hai thừa số trong đó có một thừa số có hai chữ số và một thừa số có một chữ số . Vậy chỉ có 122 = 61.2 ta có cách điền là ( 61.2 + 1).1 + 1 = 123 Nếu a = 3 thì ( 3)3 123 3 41 38 ì+ = ì+ = ì = . Tơng tự lý luận trên ta có 38 = 38.1 = 19.2 , ta có các cách điền nh sau : ( 38.1 + 3 ).3 = 123 và ( 19.2 + 3 ).3 = 123 Đáp số : Ta có 3 cách điền nh trên Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên abcd biết ab cd bbb ì = Giải : ĐK 0 < a , b , c < 10 và 0 d < 10 Ta có : .ab cd bbb = . .111 .3.37ab cd b b = = .Vì b.3.37 < 37.37 mà 37 là một số nguyên tố nên ab và cd chỉ có một số chia hết cho 37 . Nếu 37abM thì { } 37;74ab Xét 37ab = ta có a = 3 và b = 7 thay vào đề bài ta đợc 777 : 37 21cd = = vậy số phải tìm là 3721abcd = Xét 74ab = thì a = 7 và b = 4 thay vào đề bài ta có 444 : 74 6cd = = vô lý ( Loại ) Nếu 37cd M thì { } 37;74cd Xét 37cd = thì c = 3 và d = 7 , thay vào đề bài ta đợc .3ab b = vì b.3 có tận cùng b mà b 0 nên b = 5 và a = 1 . Thử lại 15.37= 555 thỏa mãn , vậy số phải tìm là 1537abcd = Xét 74cd = thì c = 7 và d = 4 , Thay vào đề bài ta đợc .2 .3ab b = 20.a + 2b = 3b vô lý Đáp số : Số phải tìm là 1537 ; 3721 Bài tập luyện tập ph ơng pháp : 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu hai chữ số của số đó bằng 5 và tích hai chữ số của số đó bằng 24 2. Tìm số tự nhiên ab biết : 1) . .3 2) ( ).21 3) ( : ).21 4) . . 5) . ab a b ab a b ab a b a b ab bbb aba aa aaaa = = = = = 3. Tìm số tự nhiên abc biết . .abc aa bc abcabc = II.Phơng pháp chữ số tận cùng Một số chú ý : - Hai số có chữ số tận cùng giống nhau thì tích của chúng chỉ có thể có tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 - Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì tận cùng chỉ có thể là một trong các số 0 ; 2 ; 6 - Nội dung phơng pháp này là căn cứ vào các đặc điểm về số tận cùng của các thành phần trong dãy tính để suy luận tìm ra kết quả . Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abc biết 487abc bc c + + = Giải : Đặt phép toán đã cho thành cột dọc ta có abc Xét hàng đơn vị ta thấy c.3 có tận cùng là 7 nên c = 9 và phép cộng có nhớ 2 sang + bc hàng chục . Xét hàng chục b.2 + 2( nhớ) có tận cùng 8 nên b.2 có tận cùng là 6 c nên b = 3 hoặc b = 8 . 487 + Nếu b = 3 thì a = 4 ta có đáp số là 439 + Nếu b = 8 thì a = 3 ta có đáp số là 389 Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên abc biết 7.abc bc = Giải : ĐK : 0 < a ; b < 10 ; 0 c < 10 .Đặt phép toán thành cột dọc ta có bc Xét hàng đơn vị c.7 có tận cùng là c nên c = 0 hoặc c = 5. Nếu c = 0 thì xét x 7 phép nhân ở hàng chục b.7 có tận cùng là b mà b 0 nên b = 5 khi đó a = 3 abc Nếu c = 5 thì có nhớ 3 sang hàng chục , Xét phép nhân ở hàng chục lúc này là b.7 + 3( nhớ) có tận cùng b điều này không xảy ra vì nếu b lẻ thì b.7 + 3 chẵn và nếu b chẵn thì b.7 + 3 lại có tận cùng lẻ. Đáp số : Số phải tìm là 350 Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên abcd biết :dac c abc = với a , b , c, d là các chữ số khác nhau và khác 0 . Giải : Chuyển thành phép nhân rồi đặt thành cột dọc ta có : abc Xét phép nhân ở hàng đơn vị ta có c.c có tận cùng là c mà c 0 nên c = 1 hoặc x c c = 5 hoặc c = 6 . Lại vì a , b , c , d khác nhau nên c 1 dac Nếu c = 5 , vì tích là số có 3 chữ số nên a = 1.Khi đó phép nhân ở hàng chục sẽ là 5.b + 2( nhớ từ hàng đơn vị) có tận cùng là 1 vô lí . Nếu c = 6 ta cũng suy ra a = 1 . Khi đó phép nhân ở hàng chục sẽ là 6.b + 3( nhớ từ hàng đơn vị) có tận cùng là 1 nên 6.b có tận cùng là 8 , vậy b = 3 hoặc b = 8 . Với b = 3 thì d = 8 , ta đợc đáp số là 1368 Với b = 8 thì d = 11 ( loại ) Bài tập luyện tập phơng pháp Bài 1 : Tìm số tự nhiên abcd biết 1) 4574 2) 7574 abcd bcd cd d abcd bcd cd d + + + = + + + = Bài 2 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết thêm một chữ số vào bên trái số đó thì đợc số mới gấp k lần số ban đầu với k là một số chẵn nhỏ hơn 10 Bài 3 : Tìm abcde biết abcd acac cdebc + = III. Phơng pháp chặn Nội dung : Xét sự lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một thành phần thích hợp trong dãy tính để thu hẹp khu vực phải khảo sát , từ đó dễ dàng sử dụng các tính chất của phép tính và chữ số để tìm ra kết quả Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên xyz biết 5.3 7850x yz = Giải : ĐK : 0 x ,y , z 9 và x 0. Ta thấy x < 3 vì nếu x 3 thì 5.3 35.300 10500 7850x yz = > x > 1 vì nếu x = 1 thì 5.3 15.399 5985 7850x yz < = < . Vậy x = 2 . Khi đó ta có 3 7850 : 25 314 14yz yz = = = . Vậy số phải tìm là 214 Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên abcd biết 4321abcd abc ab a + + + = Giải : ĐK : 0 a , b , c , d 9 và a 0. Bài tập đã cho viết đợc thành : Tìm số tự nhiên abcd biết 4321aaaa bbb cc d + + + = .( Vì sao bạn đọc tự giải thích nhé ). Ta thấy a < 4 vì nếu a 4 thì 4444 4321aaaa > a > 2 vì nếu a 2 thì 2222 999 99 9 3329 4321aaaa bbb cc d + + + + + + = < Vậy a = 3 , khi đó ta có 4321 3333 988bbb cc d + + = = . Bằng cách lý luận nh trên ta thấy b < 9 và b > 7 vì nếu b 7 thì 777 99 9 885 988bbb cc d + + + + = < . Vậy b = 8 , khi đó 988 888 100cc d + = = . Đến đây chỉ có thể có một phân tích là 100 = 99 + 1. Từ đây có đáp số : abcd = 3891 Ví dụ 3 : Điền chữ số thích hợp vào các dấu trong sơ đồ phép nhân sau đây để phép tính là đúng . 624 2 Giải : Vì tích riêng thứ nhất là số có 3 chữ số nên hàng đơn vị của số nhân phải bằng 1. Từ đó suy ra tích riêng thứ nhất là 624 . Xét tích riêng thứ hai 624. = 2 nên hàng chục của số nhân phải lớn hơn 3 vì nếu nhỏ hơn hoặc bằng 3 thì ta có 624. 624.3 = 1872 < 2. Mặt khác hàng chục của số nhân phải nhỏ hơn 5 vì nếu lớn hơn hoặc bằng 5 thì : 624. 624.5 = 3120 > 2 . Vậy này bằng 4 , thay vào phép tính và thực hiện phép nhân là có đợc cách điền chữ số thích hợp cho sơ đồ phép tính . Bài tập luyện tập phơng pháp 1. Tìm số tự nhiên xyz biết 4 . 5 17395yz x = 2. Tìm số tự nhiên abc biết : ) 1037 ) a abc ab a b a b c abc + + = + + = 3. Tìm số tự nhiên xy biết y xx xyyx = IV. Phơng pháp dùng cấu tạo số và tính chất của phép tính Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abc biết abc ab bc ca = + + Giải : ĐK : 0 < a , b , c < 10 . Ta có : abc ab bc ca = + + 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c 89a = b + 10c = cb . Vậy a = 1 . b = 9 ; c = 8 Đáp số : số phải tìm là 198 Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm chen vào giữa hai chữ số của số đó một số có hai chữ số kém số phải tìm một đơn vị thì đợc số mới gấp 91 lần sô phải tìm . Giải : Gọi số phải tìm là ab , số viết thêm chen vào giữa là ac với c = b 1 và a > 0 . Theo bài ra ta có : 91. (1) 1(2) aacb ab c b = = Từ (1) ta có : 100. . 10 91.(10 ) 1100 10 910 91 190 10 90 19 9 aa c b a b a c b a b a c b a c b + + = + + + = + + = + = Mà c = b 1 nên ta có 19a + b 1 = 9b Hay 19a = 8b + 1 . Do 8b + 1 8.9 + 1 = 73 nên ta có 19a 73 a 3 ; lại vì 8b + 1 lẻ nên a lẻ . Vậy a = 1 hoặc a = 3. Nếu a = 1 thì 8b = 18 vô lý Nếu a = 3 thì 8b = 56 b = 7 , Vậy số phải tìm là 37 Ví dụ 3 : Điền chữ số thích hợp vào các dấu trong sơ đồ phép chia sau để cho phép tính là đúng . 1 0 2 7 0 0 Giải : Số d thứ nhất là 0 nên tích riêng thứ nhất là 10 và chia là 5 . Vì hàng chục của số bị chia hạ xuống không chia đợc , phải hạ tiếp hàng đơn vị nên hàng chục của thơng là 0 , khi đó tích riêng thứ hai cũng là hai sao cuối của số bị chia và bằng 7.5 = 35 . Từ đó ta có cách điền thích hợp là 1035 5 10 207 035 35 0 Bài tập luyện tập phơng pháp 1. Tìm số tự nhiên xa biết 0 04 40 0 040 11. 0 0x x x x x x a a a + + = 2. Tìm số tự nhiên abc biết 1444abc acb + = 3. Tìm số tự nhiên abc biết 0, , , ,a a b ab c bc b + + = 4. Tìm số tự nhiên abc biết abc ab ac ba bc ca cb = + + + + + IV.Phơng pháp vận dụng tính chất của phép chia các số tự nhiên Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên xy biết rằng .xx xy xyy xy = + Giải : ĐK : 0 x,y 9 và x 0 . Ta thấy .xx xy xyM và xy xyM nên xyy xyM . Vậy .10xy y xy + M y = 0 , thay vào đề bài ta có . 0 00 0 .11. .10 .100 .10 .110. .110xx x x x x x x x x x x = + = + = vậy x = 1 Đáp số : số phải tìm là 10 Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên abc biết . .7abbc ab ac = Giải : ĐK : 0 a , b , c 9 và a 0. Ta có . .7abbc ab ac = .100 . .7ab bc ab ac + = bc abM vậy .bc k ab = với k là số tự nhiên nhỏ hơn 10. Thay vào bài ta có : .100 . . .7 100 7.ab k ab ab ac k ac + = + = . Ta tiếp tục biến đổi nh sau : 100 7. 98 2 7. 2 7k ac k ac k + = + + = + M . Vì k < 10 nên k = 5, thay vào đ- ợc 15ac = và bài toán trở thành tìm b biết 1 5 1 .15.7bb b = 1005 .10 1 .105 945 60 .110 1 .105 945 105. (60 5 ) 105 60 5 105 bb b b b b b b + = + + = + + + + M M Vì 945 105 Vì 0 < 60 + 5b 60 + 45 = 105 nên b = 9 Vậy số phải tìm là 195 Ví dụ 3 : Cho một số tự nhiên khác 0 , Nếu viết thêm một số tự nhiên có 2 chữ số ( cả 2 chữ số đều khác 0) vào bên phải số đó thì ta đợc số mới hơn số đã cho là 1993 đơn vị . Tìm số đã cho và số viết thêm . Giải : Gọi số đã cho là N và số viết thêm là xy với xy 0 . Theo bài ra ta có : 1993Nxy N = trong đó N trong số Nxy là số trăm của số này. N.100 + xy N = 99N + xy = 1993 . Nếu xy = 99 thì 1993 chia hết cho 99 vô lý Nếu xy < 99 thì xy là số d trong phép chia 1993 cho 99 mà 1993 chia cho 99 đợc th- ơng là 20 và d là 13 . Đáp số : Số đx cho là 20 và số viết thêm là 13 Ví dụ 4 : tìm số tự nhiên xy biết rằng 2 2 xx yy xxyy + = Giải : ĐK : 0 < x , y < 10 . Ta có : 2 2 xx yy xxyy + = . . 00xx xx yy yy xx yy + = + x 2 .121 + y 2 .121 = x.11.100 + y.11 11x 2 + 11.y 2 = 100.x + y hay 11.( x 2 + y 2 ) = 99.x + ( x + y ),() x + y 11. Vậy x + y = 11 vì x và y l các chữ số khác 0 . Thay x + y = 11 vào biểu thức ( ) ta có : 11.( x 2 + y 2 ) = 99.x + 11 . Vậy : x 2 + y 2 = 9 x + 1. Ta có bảng lựa chọn nh sau : x x 2 + y 2 = 9 x + 1 y 2 y Thử lại 1 1 + y 2 = 10 9 3 13 11 2 + 99 2 = 9922 2 4 + y 2 = 19 15 Không có Loại 3 9 + y 2 = 28 19 Không có Loại 4 16 + y 2 = 37 21 Không có Loại 5 25 + y 2 = 46 21 Không có Loại 6 36 + y 2 = 55 19 Không có Loại 7 49 + y 2 = 64 15 Không có Loại 8 64 + y 2 = 73 9 3 83 88 2 + 33 2 = 8833 9 81 + y 2 = 82 1 1 91 99 2 + 11 2 = 9922 Từ bảng trên ta có đáp số là 83 Bài tập luyện tập phơng pháp 1. Tìm số tự nhiên xy biết ( ). . 1980xx yy x y + = 2. Tìm số tự nhiên xy biết xy ( x + y) = 900 3. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó 4. Tìm số tự nhiên N và số tự nhiên 1 8 9a bc d biết N.10001 = 1 8 9a bc d V. Phối hợp linh hoạt các phơng pháp khi giải bài tập tìm chữ số lớp 6 Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên ab biết rằng 99.aabb ab = Giải : ĐK : 0 a , b 9 và a 0 Cách 1 : 99.aabb ab = .100 11.9. .11.100 .11 11.9.aa bb ab a b ab + = + = ( Dùng phân tích số ) 100a + b = 9(10a + b) ( Chia hai vế cho 11 ) 99a + ( a + b) = 9(10a + b) (1) ( a + b) 9 Vậy a + b = 9 hoặc a + b = 18 ( Dùng tính chất chia hết ) Nếu a + b = 9 , thay vào (1) ta có 11a + 1 = 10a + b a + 1 = b mà a + b = 9 nên a = 4 và b = 5 . Ta có số phải tìm là 45 Nếu a + b = 19 thì a = b = 9 thay vào (1) ta có 99.9 +18 = 9.(10.9 + 9) có thể tính nhanh nh sau 99 + 2 = 90 + 9 vô lý , vậy trờng hợp này không xảy ra. Đáp số : số phải tìm là 45 Cách 2 : 99.aabb ab = 100. 00aabb ab ab aabb ab ab = + = . Đặt thành cột dọc ta có aabb Xét phép cộng ở hàng đơn vị ta thấy b + b có tận cùng là 0 vậy b = 0 hoặc b = 5 + ab Nếu b = 0 , khi đó xét phép cộng ở hàng chục ta thấy 0 + a có tận cùng 0 nên ab00 phải có a = 0 , vô lý . Nếu b = 5 thì khi đó xét phép cộng ở hàng chục 5 + a + 1( nhớ)có tận cùng là 0 nên a = 4 . Thử lại 99.45 = 4455 đúng . Đáp số : Số phải tìm là 45 Cách 3 : 99.aabb ab = 11. 0 11.9. 0 .9a b ab a b ab = = (1) .Từ (1) : b.9 có tận cùng là b nên b = 0 hoặc b = 5 . Nếu b = 0 thì thay vào (1) có a.100 = a.10.9 vô lý . Nếu b = 5 thay vào (1) ta có 100a + 5 = 90a + 45 10a = 40 a = 4 Đáp số : số phải tìm là 45. Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên n biết rằng 2n + 3S(n) = 191 . S(n) là tổng các chữ số của n Giải : a. Dùng phơng pháp chặn để giảm bớt trờng hợp phải xét Vì S(n) 1 nên 2n 188 hay n 94. Vậy n chỉ có thể có một hoặc hai chữ số Nếu n có chữ số thì S(n) = n . Khi đó ta có 2n + 3S(n) = 2n + 3n = 5n = 191, loại vì 191 không chia hết cho 5 Nếu n là số có 2 chữ số , đặt n = ab thì S(n) = a + b . Thay vào đề bài ta có : 2. ab + 3( a + b) = 191 (*) b. Dùng cấu tạo số để phân tích thu gọn dãy tính (*) 2( 10a + b) + 3a + 3b = 191 20a + 2b + 3a + 3b = 191 23a + 5b = 191 c. Dùng phơng pháp số tận cùng để tìm đáp số Vì 5b có tận cùng là 0 hoặc 5 nên để tổng có tận cùng là 1 thì 23a phải có tận cùng là 1 hoặc 6 suy ra khi đó a bằng 7 hoặc 2 . - Nếu a = 7 thì b = ( 191 23.7 ) : 5 = 6 , ta có đáp số n = 76 - Nếu a = 2 thì b = ( 191 23.2 ) : 5 = 29 > 9 ( loại ) Đáp số : Số phải tìm là 76. Bài tập luyện tập phơng pháp 1. Tìm số t nhiên abcd biết abcd = 1962 + a + b + c + d 2. Tìm số tự nhiên abcd biết 2 abc dab aa + = 3. Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 555 4. Tìm số tự nhiên abc biết ) 5 5.1 ) a abc abc b abc ca ca ac = = Bài tập luyện tập chung 1. Tìm số tự nhiên ab : ) .3 ) , , , a aaaa b baaaa b ab b bb a a a + = = ) . )2 2 36. c abc aa aaaa d ab ab = = 2. Tìm số tự nhiên abc biết : a ab abc bcb + + = 3. Tìm số tự nhiên abcd biết : 1) . . 2) 2086 3) 4426 4) .9 0 a abc bcd abcabc abcd abc ab a abcd abc abd abcd a bcd = = + + = = 5) 7668 6)( .0, 0, ).0, 19,83 7) , , 17,865 8)8 , 25, 52, abcd ab cd ab c d d ab cd a bcd ab a c d d c + + = + = = + = 4. Tìm số tự nhiên ab biết : 132 1) 4 .( ) 405 2) .( ) 486 ab ba a b ab a b ba a b + = = + = + = . 1855 3) 45 11 4) , , 2, 7 ab ba ab a b a b b a a b = = + + + = = 5. Tìm số tự nhiên n biết rằng a) n + S(n) = 230 d) n + S(n) = 814 b) n + 2S(n) = 96 e) n + 5S(n) = 2088 c) 2n + 3S(n) = 4044 f) n 5S(n) = 1992 6. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc th- ơng là 90 và d 13 . 7. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số sao cho khi chia số đó cho 9 ta đợc thơng cũng là một số có 4 chữ số nh thế nhng đợc viết theo thứ tự ngợc lại . 8. Tìm số tự nhiên abc biết .( ) 1000abc a b c + + = 9. Tìm số tự nhiên degabc biết deg 123558abc ab cd eg + + + = 10.Một ô tô đi với vận tốc đều , lúc 12 giờ nó vợt cột cây số ghi xz km , lúc 13 giờ cùng ngày vợt cột cây số ghi zx km , lúc 14 giờ cùng ngày nó vợt cột cây số ghi xyz km . Tính vận tốc của ô tô đó . . có Loại 4 16 + y 2 = 37 21 Không có Loại 5 25 + y 2 = 46 21 Không có Loại 6 36 + y 2 = 55 19 Không có Loại 7 49 + y 2 = 64 15 Không có Loại 8 64 + y 2 =. thay vào đ- ợc 15ac = và bài toán trở thành tìm b biết 1 5 1 .15.7bb b = 1005 .10 1 .105 945 60 .110 1 .105 945 105. (60 5 ) 105 60 5 105 bb b b b b b b +