Chuong1_GiaiTich12

suy ra caực nghieọm neỏu coự.. Neỏu phửụng trỡnh voõ nghieọm thửụứng laứ f ’x seừ luoõn ủoàng bieỏn hay nghũch bieỏn treõn caực khoaỷng thuoọc D maứ haứm soỏ xaực ủũnh • Laọp baỷng bieỏ

Ch ơng 1 ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồthị hàmsố

Đ1: TÍNH ẹễN ẹIEÄU CUÛA HAỉM SOÁ

 ẹieàu kieọn ủuỷ ủeồ haứm soỏ ủụn ủieọu :

Giaỷ sửỷ haứm soỏ f coự ủaùo haứm treõn khoaỷng I

a) Neỏu f / (x) > 0 x ∈ I thỡ haứm soỏ f ủoàng bieỏn treõn khoaỷng I

b) Neỏu f / (x) < 0 x ∈ I thỡ haứm soỏ f nghũch bieỏn treõn khoaỷng I

c) Neỏu f / (x) = 0 x ∈ I thỡ haứm soỏ f laỏy giaự trũ khoõng ủoồi treõn khoaỷng I

 Phửụng phaựp xeựt chieàu bieỏn thieõn cuỷa haứm soỏ :

• Tỡm taọp xaực ủũnh D R⊂

• Tớnh ủaùo haứm baọc nhaỏt f ’(x)

• Giaỷi phửụng trỡnh f ’(x) = 0 suy ra caực nghieọm (neỏu coự) Neỏu phửụng trỡnh voõ nghieọm thửụứng laứ f ’(x) seừ luoõn ủoàng bieỏn (hay nghũch bieỏn) treõn caực khoaỷng thuoọc D maứ haứm soỏ xaực ủũnh

• Laọp baỷng bieỏn thieõn ( xeựt daỏu ủaùo haứm baọt nhaỏt ) Thửụứng laứ caực tỡnh huoỏng sau ủaõy :

 Xeựt daỏu nhũthửực baọc 1 ; tam thửực baọc 2 ; hay tớch, thửụng caực bieồu thửực treõn  Neỏu laứ bieồu thửực baọc 3 thỡ khi x→ + ∞ f’(x) cuứng daỏu vụựi ax3

 ẹoõi khi duứng phửụng phaựp nhaóm daỏu f ’(x) treõn khoaỷng (a;b)

 Chuự yự raống ủa thửực khoõng ủoồi daỏu khi ủi qua nghieọm keựp

• Keỏt luaọn khoaỷng ủoàng bieỏn vaứ nghũch bieỏn treõn caực khoaỷng

 Naõng cao :

Loaùi 1 : Tỡm m ủeồ haứm soỏ luoõn ủoàng bieỏn hay nghich bieỏn treõn caực khoaỷng xaực ủũnh

Neỏu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoaởc daỏu y’ tuứy thuoọc tam thửực g(x)

• Haứm soỏ luoõn ủoàng bieỏn treõn R

g(x)

a 0 g(x) 0 , x R

Loaùi 2 : Tỡm m ủeồ haứm soỏ ủoàng bieỏn hay nghich bieỏn treõn khoaỷng ((x 0 ; +∞) hay (–∞ ; x 0 )

 ẹoồi bieỏn soỏ t = x–x0 ta coự f(x) =g(t)ù

 Tỡm ủieàu kieọn ủeà g’(t) > 0 ( hay < 0) khi t >0 (hay t <0)

 Bài Tập Cơ bản

Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây :

(1) y = x3 – 6x2 + 9x – 4 (2) y = x4 – 6x2 + 5 (3) y = 2x 3

− luôn đồng biến trên các khoảng xác định

(2) y= − +x3 (m 1)x+ 2−(m2+2)x m+ luôn nghịch biến trên R

(3) y mx 1

x m

−

=

+ luôn đồng biến trên các khoảng xác định

(4) y cosx x= − nghịch biến trên ( 0 ; π )

(5) y x= + x2 −6x 5+ nghịch biến trên (– ∞; 1) và đồng biến trên ( 5; +∞)

Tìm m để hàm số thỏa điều kiện

− nghịch biến trên các khoảng xác định

(6) y= − −x x2 − +x m luôn nghịch biến trên R

(7) y x2 2mx 3m2

x 2m

=

Cho hàm số y x= 3−3(2m 1)x+ 2+(2m 5)x 2+ + Tìm m để hàm số :

(1) Đồng biến trên R (2) Đồng biến trên ( 2 ; +∞) (3) Đồng biến trên khoảng (–∞;– 1) và (2 ;+∞)

Cho hàm số y mx2 6x 2

x 2

=

+ Tìm m để hàm số :

(1) Đồng biến trên các khoảng xác định (2) Nghịch biến trên (1 ; +∞) (3) Nghịch biến trên khoảng ( 0 ; 1)

Tùy theo m xét sự biến thiên của hàm số :

(1) y x= 3−3mx2+4mx (2) y mx 4

2x m

+

=+ (3)

− nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

Aùp dụng tính đơn điệu của hàm số Chứng minh các bất đảng thức :

§2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

 Định Lý : Hàm số f có tập xác định D và x 0∈ D Nếu f ’(x) đổi dấu khi qua

x 0 thì x 0 là điểm cực trị của hàm số f

 Cách gọi :

 x 0 là điểm CĐ hay CT của hàm số (Kí hiệu x CĐ ; x CT )

 f(x 0 ) là CĐ hay CT của hàm số ( kí hiệu y CĐ , y CT )

 Điểm M(x CĐ ;y CĐ ) là điểm CĐ của đồ thị hàm số ( hay CT)

 Phương pháp tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số

• Tìm tập xác định D R⊂

• Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x)

• Giải phương trình f ’(x) = 0 suy ra các nghiệm x 0

 Qui tắc 1: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến thiên để kết luận

 Qui tắc 2: Tính đạo hàm bậc hai f ‘’(x)

 Nếu f // (x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại

 Nếu f // (x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu

Chú ý : Nếu hàm số luôn đồng biến (hay nghịch biến ) trên các khoảng xác

định thì hàm số không có cực trị

 Đặc biệt :

 Cực trị của hàm hửu tỉ :

Nếu hàm số hữu tỉ : y f(x) u(x)

v'(x )

=

 Cực trị của hàm bậc 3 :

Nếu hàm số bậc 3 : y = ax 3 +bx 2 +cx + d có 2 điểm cực trị x 1 và x 2

 Giả sử khi chia đa thức bậc 3 là y = ax 3 + bx 2 + cx + d cho đạo hàm y’= 3ax 2 +2bx +c được thương q (x) và phần dư r(x)= kx+ m

 Ta viết : y = y’ q(x) + r(x)

 Nếu hàm số đạt cực trị tại x 1 thì y’(x 1 ) = 0 ⇒ y 1 = r(x 1 ) và tương tự cho

y 2 =r(x 2 )

 Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

bậc 3 là phần dư : y = r(x) = kx + m

•Chú ý : Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x) Điều kiện hàm số có cực trị

g(x)

a 0

0

 ≠



⇔ ∆ >

Phương pháp tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại x 0

♦ Hàm số đạt cực trị tại x0

0 0

f '(x ) 0

f '(x ) 0

f '(x ) 0

 Bài Tập Cơ bản

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau :

Dựa vào qui tắc 2 (dùng đạo hàm bậc 2) , tìm cực trị các hàm số :

(1) y (1 cosx).sin x= + (2) y cosx 1cos2x

(1) Có cực trị (2) Đạt cực trị tại x0 = 2

(3) Đạt cực tiểu tại x0 = 2 (4) Có cực trị x1 , x2 thỏa x1 < x2 < 2

Tìm m để hàm số :

 Bài Tập Nâng cao

Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

+

=+ (3)

x 1y

x 3

+

=+

(1) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 0 = 2

(2) Tính tọa độ 2 điểm cực trị theo m

Cho hàm số y x2 ax b

x 1

=+ Tìm a , b để hàm số có giá trị cực trị bằng

– 1 khi x = 1 Nói rõ đây là CĐ hay CT

Cho hàm số y 1x4 ax2 b

2

(1) Tìm a , b để hàm số có giá trị cực trị bằng – 2 khi x = 1

(2) Với a ,b vừa tìm được , hãy xác định khoảng đơn điệu và các cực trị của hàm số

Cho hàm số y 1mx3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

= − − + − + Tìm m để hàm số

(1) Có cực trị

(2) (2) Có CĐ,CT tại x 1 , x 2 thỏa mản x 1 +2x 2 = 1

(3) Có CĐ , CT và x CĐ < x CT (4) Đạt CĐ tại x = 0

Cho hàm số y x2 mx m 2

x m 1

=

− +

(1) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị ∀ m

(2) Tìm m để giá trị CĐ và giá trị CT cùng dấu

(3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số

Cho hàm số y x= 3 +mx2+7x 3+ Tìm m để :

(1) Hàm số có CĐ và CT Lập phương trình đường thẳng (d) qua 2 điểm

CĐ và CT của đồ thị hàm số

(2) Tìm m để (d) song song đường thẳng y = 2x +1

Cho hàm số : y x2 2mx m

x m

=

+Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm CĐ và CT của đồ thị tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

Tìm m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện

(1) y x= 3−3mx2 +(m2+2m 3)x 4− + có hai điểm cực trị nằm 2 phía của trục tung

 Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực D.

a) Nếu tồn tại một điểm x 0∈ ≤ D sao cho f(x) f(x 0 ) ,∀ x 0∈ D ; thì số M=f(x 0 )

được gọi là GTLN của hàm số f trên tập D Kí hiệu:M = max f(x)x D∈

b) Nếu tồn tại một điểm x 0∈D sao cho f(x) ≥f(x 0 ),∀ x 0∈D ; thì số m = f(x 0 )

được gọi là GTNN của hàm số f trên tập D Kí hiệu: m = minf(x)x D∈

 Chú ý : Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên khoảng (trên đoạn )

ta lập bảng biến thiên trên khoảng ( trên đoạn tính các giá trị đầu mút ) đó Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

 Phương pháp giải toán :

 Tìm GTLN và GTNN trên đoạn [ a;b ] :

+ Giải phương trình f’(x)= 0 Suy ra các điểm x 1 , x 2 , , x n trên đoạn [a,b]

+ Tính f(a) , f(x 1 ) , f(x 1 ) , , f(x n ) , f(b)

+ So sánh các giá trị trên và tìm số lớn nhất M=max f(x) và số nhỏ nhất m = min f(x)

 Tìm GTLN và NN trên khoảng ( a;b ) hoặc nửa khoảng : với a có thể

là –∞ và b có thể là +∞

Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a , b ) Nếu f(x) là hàm số liên tục trên (a ; b ) chỉ có 1 cực trị duy nhất :

+ Là cực đại thì Max f(x) = y CĐ và không có Min f(x)

+ Là cực tiểu thì Min f(x) = y CT và không có Max f(x)

 Nếu bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mà không chỉ ra tập X thì ta tìm trên toàn tập xác định D

 Chú Ý : Ngoài phương pháp ứng dụng đạo hàm như trên để tìm Max và Min

Ta có thể dùng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số hay dùng bất đẳng thức

 Bài Tập Cơ bản

Tìm GTLN và GTNN của hàm số

(5) f(x) x= + 2 x− 2 trên đoạn [– 1 ; 0 ]

Tìm GTLN và GTNN của hàm số

(1) f(x) = 2 – cos2x + cosx (2) f(x) =cosx – sinx– sin 2x +1 (3) f(x) = 2sinx – 4

3sin3x trên [0;π] (4) f(x) =sin2x+2sinx trên [0;

32

π]

(5) f(x)= – cos2x+4sinx+3 (6) f(x) = 3sinx + 4cosx + 1

 Bài Tập Nâng cao

Tìm Max f(x) và Minf(x) :

f(x) 2sin sin x trên( 0 ; )

Tìm m để phương trình x+3x 3 m x+ = 2+1 có nghiệm

(1) Giải phương trình sin2x + 2sinx = m khi m = 0

(2) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0 ; 5 ]

4

π

 Phụ Lục ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

• Giải PT : f // (x 0 ) = 0 = > x 0 Thì điểm I(x 0 ;y 0 ) là ø điểm uốn của (C)

• Điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu

Tìm điểm uốn của các đồ thị hàm số sau :

(1) y = 2x3 – 6x2 + 2x Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

(2) y =

2

532

2 4

−+x

x (6) y = 3x5 – 5x4 + 3x – 2

Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = x3 – ax2 + x + b nhận điểm I

( 1; 1 ) làm điểm uốn

Tìm a để đồ thị của hàm số y = x4 – ax2 + 3

a) Có hai điểm uốn b) Không có điểm uốn

Chứng minh rằng đường cong y =

Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) tại điểm uốn :

(1) y x= 3+3x2 −mx 2+ song song đường thẳng y = x+1

(2) y x= 3+3mx2 −2mx 3+ vuông góc đường thẳng x– y +3 =0

§4 ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ (Nângcao)

Trong hệ trục tọa Oxy cho điểm I(x 0 ;y 0 ) Đổi trục Oxy thành hệ trục tọa độ mới IXY bằng phép tịnh tiến theo vectơ OIuur Ta có công thức đổi trục :

Phương trình (C) đối với hệ trục tọa độ mới là : Y = F(X)

 M ∈ (C)⇔ y = f(x) đối với hệ toạ độ Oxy

 M ∈ (C)⇔ Y + y0 = f( X + x0 ) đối với hệ toạ độ IXY

 Chú y ù : Nếu Y=F(X) là hàm số lẻ thì (C) nhận I làm tâm đối xứng

 Nếu Y=F(X) là hàm số chẵn thì (C) nhận x=x 0 làm trục đối xứng

Cho đường cong (C) : y 3x 2

x 1

−

=+ và điểm I( –1 ; 3 )(1) Viết công thức chuyển hệ trục trong phép tịnh tiến vectơ OIuur và viết phương trình (C) đối với hệ tọc độ IXY

(2) Chứng minh I là tâm đối xứng của (C)

Chứng minh rằng đồ thị hàm số :

(1) y x= 3−3x2+1 nhận điểm uốn I (1 ; – 1) làm tâm đối xứng

(2) y x2 2x 3

x 1

=

− nhận điểm I (1 ; 4) làm tâm đối xứng

Tìm m để đồ thị hàm số :

1) Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận

ngang ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếuxlim f(x) y0

xlim f(x) y

→−∞ =

2) Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắc là tiệm cận

đứng ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu :

 Chú ý : Cách tìm các tiệm cận

1) Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số bằng không tìm nghiệm ( VD: đồ thị hàm so y = 2x2 5x 4

x 2

+ có tiệm cận đứng x =–2 )

2)  Hàm số có bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = hệ số bậc cao nhất chia nhau ( VD: hàm số y = 1 x2 x−+ có tiệm cận ngang y = – 1 )

 Hàm số có bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = 0

 Hàm số có bậc tử > bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang

 Tiệm cận xiên (Nâng cao)

ĐN : Đường thẳng y =ax +b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu :

x lim [f(x) (ax b)] 0 hoặc lim [f(x) (ax x b)] 0

 Chú ý : Nếu f(x) = Q x P x( )( ) là hàm hữu tỉ với P(x) và Q(x) là 2 đa thức :

 Tìm nghiệm x 0 của Q(x) = 0 ⇒ (C) có tiệm cận đứng : x = x 0

 Nếu bậc P(x) ≤ bậc Q(x) ⇒ (C) có tiệm cân ngang

 Nếu bậc P(x) > bậc Q(x) đúng 1 bậc ⇒ (C) có tiệm cận xiên

• Nếu hàm số f(x) có thể được viết dưới dạng f(x) = ax+b + α(x) trong đó

lim ( ) 0

xα x

→∞ = ⇒ Tiệm cận xiên y = ax +b

 Bài tập cơ bản

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau:

1 x

=

− (3)

2 2

3 2

1011

x x 1

=+ +

Tiệm cận ngang

Tiệm cận xiên Tiệm cận đứng

Tìm m để đồ thị hàm số y x2 2mx m 4

(2) Tìm m để giao điểm 2 tiệm cận xiên thuộc (P) : y =x2+3

Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số y x2 (m 2)x 2

§6 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bước 1: Tìm tập xác định và xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn của hàm số

( nếu có ) ; để thu hẹp pham vi khảo sát và tính đối xứng của đồ thị

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

• Tìm giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có )

• Lập bảng biến thiên của hàm số từ đó suy ra hàm số đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu , điểm uốn ( nếu có )

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

• Vẽ các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có )

• Tìm giao điểm với các trục toạ độ ( nếu đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc giao điểm phức tạp thì bỏ qua )

• Tìm một số điểm phụ , ngoài các điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để vẽ đồ thị chính xác hơn

• Khi vẽ đồ thị phải thể hiện sự đối xứng qua tâm , trục đối xứng

• Kết luận về giao điểm với 2 trục ; tính đối xứng

Hàm số Bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

 Tập xác định : D = R

 Đạo hàm bậc 1 : y‘ = 3ax 2 + 2bx + c ; ∆ ‘ = b 2 – 3ac

 Nếu ∆ ‘ > 0 : hàm số có 2 cực trị

 Nếu ∆ ‘≤ 0 hàm số đơn điệu trên R

 Đạo hàm bậc 2 y‘’=6ax + b ; y” = 0

3

b x a

⇔ = − (hoành độ điểm uốn)

 Bảng biến thiên : có 2 trường hợp

(1) Phương trình y ‘ =0 có 2 nghiệm phân biệt

 Đồ thị có 2 điểm cực trị , 1 điểm uốn là tâm đối xứng

(2) Phương trình y ‘ = 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép

Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến

 Hàm số đơn điệu ( đồng biến hoặc nghịch biến không có cực trị , có 1 điểm uốn

 Chú ý : Đồ thị hàm số bậc 3 luôn luôn có 1 điểm uốn I và nhận điểm uốn

làm tâm đối xứng

Hàm số Trùng Phương : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

 Tập xác định : D = R

 Đạo hàm : y‘ = 4ax 3 + 2bx = 2x (2ax 2 + b ) ; y” = 12ax 2 + 2b

 Nếu a.b < 0 ( a,b trái dấu) : hàm số có 3 cực trị ⇔

 Đồ thị có 1 điểm cực trị tại x = 0 , không có điểm uốn

 Chú ý : Hàm số trùng phương là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Hàm số nhất biến : y = +

→∞ = ⇒ Tiệm cận ngang y = a

c

 Bảng biến thiên :

a d – bc> 0 a d – bc<0

x -∞ – d/c +∞ x -∞ – d/c +∞

 Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến

 Chú ý : Đồ thị hàm số nhất biến nhận giao điểm 2 đường tiệm cận

I ( d a ;

c c

− ) làm tâm đối xứng

Hàm số hữu tỉ (2/1)y = + +

 Nếu ∆g x( )> 0 : hàm số có 2 cực trị Nếu ∆g x( )≤ 0 : hàm số đơn điệu

 Giới hạn : + →− ' = ∞

'

lim

b x a

y :

⇒ Tiệm cận đứng x = − '

'

b a + Chia tử cho mẫu ta có = + +

Tiệm cận xiên là y = Ax + B

 Bảng biến thiên

aa’> 0 , ∆g x( )>0 aa’<0 , ∆g x( )>0

 Hàm số đơn điệu và không có cực trị

 Khảo Sát Hàm Số Đa Thức

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau :

3 2

(1) y x= −6x +9x 1 + (2) y x= 3−x2+ +x 1

(1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

(2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x– 1

Cho hàm số : y x= 3+mx2−m ( C )m

(1) Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến

(2) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

(3) Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 9y – 1= 0

Cho hàm số : y mx= 4 +(m 1)x+ 2+1 (1)

(1) Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x = 1

(2) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

(3) Tìm GTLN ; GTNN của hàm số câu (2) trên [– 3 ; 1]

(1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 2

(2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có hoành độ x = 1

(3) Tìm m để ( Cm) không có cực trị

(4) Tìm m để ( Cm) có CĐ , CT và hai điểm nầy nằm 2 phía của trục tung

 Khảo Sát Hàm Số Phân Thức

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau :

2 x

=

− (3)

2x 1y

x 3

−

=+ (4)