Elementary Grade – Final selection round - 29 June 2015 (Time Allowed: 90 minutes, Total Scores: 100 points) Full name: Date of bird: School: Grade: ■ For Problems 17 and 18, presentation of solution in the space provided is a must, no credit will be given if only the final answer is written down in the paper! A Multiple - Choice Problems (Each problem worth points, a total of 40 points) How many divisors does N 217.325.519 have which are perfect cubes? Số tự nhiên N 217.325.519 có ước lập phương đúng? A 378 B 380 C 356 D 432 E 426 Given triangle ABC, let D be the midpoint of AC and E lies on BC such that CE = 2EB Let F be the intersection of AE and BD If the area of triangle AFB equals 1, what is the area of triangle ABC? Cho tam giác ABC có D trung điểm AC E điểm nằm cạnh BC cho CE 2EB Gọi F giao điểm AE BD Biết diện tích tam giác AFB 1, tính diện tích tam giác ABC A B 10 C 11 D E Considering natural numbers which are multiples of 11, there are 3k digits consisting of k 0s, k 3s and k 8s Let S be the smallest number among those mentioned, find the remainder of S when divided by 11 Xét số tự nhiên bội số 11, có 3k chữ số có k chữ số 0, k chữ số k chữ số Gọi S số nhỏ số đó, tìm số dư S chia cho 11 A B C D E Given a rectangle ABCD, the two diagonals intersect at O, let E be the midpoint of AB If CE is the bisector of angle BCD and ACE 15 , find BOE Biết ABCD hình chữ nhật mà hai đường chéo cắt O, E trung điểm cạnh AB cho CE phân giác góc BCD Biết ACE 15 , tính góc BOE A 60 B 65 C 70 D 75 E 80 Consider the set of 88 numbers a1 , a , , a88 in which each number has the value of -3 or -1 and the 280 , compute S a14 a 24 a88 numbers satisfy that a12 a 22 a88 Xét 88 số a1 , a , , a88 số nhận hai giá trị –3 –1 thỏa mãn a12 a 22 a88 280 , tính giá trị tổng S a14 a 24 a88 A 2010 B 2008 C 2006 D 2000 E 2002 How many different ways are there to distribute identical apples into identical boxes so that each box contains at least one apple? Có cách chia táo giống hệt vào hộp giống hệt cho hộp có táo? A 240 B 300 C 350 D 480 E Other answer Let a,b,c be numbers satisfying the following conditions: abc 60, a b b c 1, c a 2, compute a b c 1 bc ca ab a b c Nếu số a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện abc 60, a b b c 1, c a 2, tính giá trị A 30 a b c 1 bc ca ab a b c B 20 C 10 D E Other answer Let a,b be real numbers satisfying the condition that the equation ax b 5a 1x 3b has more than one solution, what is the value of 100a 4b ? Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện phương trình ax b 5a 1x 3b có nhiều nghiệm, hỏi giá trị tổng 100a 4b A.16 B 17 C 18 B Fill in the blank (5 points each, a total of 40 points) Inside a rectangular room, measuring 30 m in length, 12 m in width and height, a spider is at a point on the middle of one of the end walls, m from the ceiling, as at A; and a fly is on the opposite wall, m from the floor in the centre, as shown at B What is the shortest distance (m) that the spider must crawl in order to reach the fly, which remains stationary? D 19 E Other answer Trong phòng hình hộp chữ nhật với chiều dài 30m, chiều rộng chiều cao 12m, nhện điểm hai tường hai đầu phòng, cách trần nhà 1m, điểm A hình; ruồi tường đối diện cách sàn nhà 1m tường, điểm B hình Hỏi độ dài quãng đường ngắn nhện bò tới chỗ ruồi ruồi đứng yên chỗ? 10 Find a natural number such that the sum of it and all it with all its digits equals to 2003 Tìm số tự nhiên có tính chất đem số cộng với chữ số kết 2003 11 Let n be the largest natural number such that for all natural number m, we have m 25 m n Find n N số tự nhiên lớn cho với số tự nhiên m ta có m 25 m n Tìm n 5a 12 Let a be a number such that the inequalities x x a and have the x 5a same set of solutions Find a 5a Tìm số a cho bất phương trình x x a có chung tập nghiệm x 5a 13 In the figure, the total lengths of the three small circular arc is 3,14cm Find the length of the large circular arc Ở hình bên, tổng độ dài ba cung tròn nhỏ 3,14cm Độ dài cung tròn lớn là: 14 What is the last two digits of N = 6! + 7! + 8! +…+ 2015!? Hai chữ số tận số N = 6! + 7! + 8! +…+ 2015! là: 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015 15 Compute: 43 47 48 2014 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015 Giá trị là: 43 47 48 2014 2015 16 How many 8-digit numbers are there such that their digits belong to the set 1;2;3;4 and the number of digit equals to the number of digit 2? Số số tự nhiên có chữ số với chữ số thuộc 1;2;3;4 số chữ số số chữ số là: C Problem Solving (10 points each, a total of 20 points) 17 A square entirely filled with natural numbers is called a “magic square with the sum of m” if the sum of all the numbers in each row and each column equals to m How many different 3x3 magic square with the sum of 2015 are there such that the least number among the numbers on the diagonals lies in the center of the square? Một bảng hình vng điền kín số tự nhiên gọi “hình vng kỳ ảo với tổng m ” tổng số hàng hay cột m Tính số “hình vng kỳ ảo với tổng 2015” kích cỡ cho số bé số nằm đường chéo tâm hình vng 18 Let n be the sum of all positive divisors of a positive integer n, compute: S 1 2 2015 Gọi n tổng ước số số nguyên dương n , tính giá trị S 1 2 2015 - The end